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Tema 2: Razones y relaciones trigonométricas
Ya conoces las razones trigonométricas de los ángulos agudos. Podríamos preguntarnos
si éstos serían suficientes para trabajar con los problemas de la vida real, pero si
pensamos que en ocasiones tenemos que tratar con triángulos cualesquiera, no
necesariamente rectángulos ni con todos sus ángulos agudos, la respuesta es clara,
tenemos que ampliar la Trigonometría para cubrir estos casos citados (y muchos otros).
La Trigonometría, en sus inicios, se desarrolló fundamentalmente para aplicaciones
astronómicas o geodésicas y se cree, por referencias, que ya se utilizaban tablas de
razones trigonométricas antes de que lo hicieran los griegos, aunque las primeras que
nos han llegado son las de Ptolomeo (construidas mejorando unas anteriores de Hiparco).
En aquella época no se utilizaban las razones seno, coseno y tangente, sino que se
consideraban las cuerdas de la circunferencia, pero son totalmente equivalentes a las ya
citadas.
La Trigonometría mide los triángulos y, a través de ellos, permite medir distancias
cualesquiera, áreas o volúmenes. Aunque se utilizan casi constantemente las razones y
relaciones trigonométricas, también en algunos casos se puede resolver un problema
trigonométrico aguzando el ingenio y echando mano sencillamente al teorema de
Pitágoras o a la semejanza de triángulos, como hicieron en muchos casos los antiguos
griegos. De todas formas, en general, en muchos casos las razones trigonométricas se
vuelven prácticamente indispensables y, sobre todo, muy prácticas.
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1. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera se utiliza la
circunferencia goniométrica (literalmente: "para medir ángulos") que es la centrada en
el origen de coordenadas y radio unidad. Posteriormente veremos que también es muy
útil para determinar relaciones entre razones trigonométricas o para resolver ecuaciones.
A cada punto de la circunferencia le asociaremos un ángulo α comprendido entre 0º y
360º, que será el determinado por los segmentos OA y OP, siendo A(1,0) el punto
intersección de la circunferencia con la parte positiva del eje de abscisas, y P(x,y) el punto
considerado. Llamaremos P' al punto proyección de P sobre el eje de abscisas, luego sus
coordenadas serán (x,0).
Recíprocamente, dado un ángulo α construiremos el punto P considerando el radio OP
cuyo ángulo con OA sea el ángulo dado.
Por construcción, el triángulo OPP' es rectángulo en P', por lo que podremos calcular las
razones trigonométricas de α:
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De esta forma, las razones trigonométricas están orientadas, es decir, toman valores
positivos o negativos dependiendo del cuadrante en que se encuentre el ángulo. Se llama
I cuadrante al de los ángulos comprendidos entre 0º y 90º, II al de los de 90º y 180º, III
a 180º-270º, y IV al 270º-360º.
En estos cuadrantes, las razones trigonométricas tienen los signos:
I II III
sen + + cos + - tan + - +
IV
+
-
Aunque estamos más acostumbrados a trabajar con grados que con radianes (repasa el
tema anterior si fuera necesario), las razones trigonométricas suelen utilizarse
indistintamente en grados o en radianes, por lo que debes practicar con los dos sistemas
para tener la suficiente fluidez. Normalmente, basta con tener unas cuantas referencias,
como:
los demás se obtienen a partir de éstos:
demás.
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, y así con los
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Para los ángulos mayores de 360º el procedimiento es el mismo, sólo que al completar
una vuelta seguimos girando hasta llegar al ángulo total. No se sabe cuál fue la razón ni
su origen, pero el hecho es que, desde siempre, se considera como sentido positivo de
los ángulos el contrario al de las agujas del reloj, y negativo el de éstas.
Como el punto de la circunferencia es el mismo para dos ángulos que se diferencian en un
número completo de vueltas de circunferencia (o sea, de 360º, o π radianes), las
funciones trigonométricas son cíclicas, es decir, se van repitiendo continuamente. Al
ángulo mínimo que hay que sumar para que se repita el ciclo se llama periodo.
El seno y el coseno tienen un periodo de 360º, (o 2π radianes), pero la tangente se
repite cada 180º (utiliza el applet anterior para comprobarlo), así:
Es importante que te acostumbres a expresar los ángulos de
las dos maneras: en grados sexagesimales y en radianes, y
que cambies de un sistema a otro con gran fluidez.
Sea
1.
2.
3.
4.
, entonces
pertenece:
Al II cuadrante.
Al III cuadrante.
Al IV cuadrante.
No está determinado, pueden darse varios casos.
Si
(a)
(b)
, entonces:
.
.
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(c)
(d) Ninguna de las anteriores.
La utilización del sistema sexagesimal de los Babilonios se
debe, seguramente, a que es un sistema que permite manejar
"fácilmente" fracciones que otros sistemas no permiten
(recordemos el 0 no apareció hasta el siglo V en la India, y que
las cifras "arábigas" se introdujeron en el mundo occidental en
el siglo XIII, pensemos también en cómo se podría realizar una
división con el sistema de numeración romano). Y también a
que el año tiene unos 360 días (múltiplo de 60), mucho más
fácil de manejar que 365, y que la fase lunar es de unos 30
días.
Los nombres de grado, minuto y segundo se establecieron
como resultado de la traducción de términos antiguos que
fueron perdiendo su significado, por lo que se tuvieron que
buscar palabras parecidas en el idioma del momento (griego,
árabe o latín fundamentalmente) para transcribirlas. A la
sexagésima parte de un grado, los griegos la llamaban la
"primera parte", y a su sexagésima parte "la segunda parte".
Al pasar por el latín, estos términos se transformaron en pars
minuta prima y pars minuta secunda, derivándose éstos en
nuestros minuto y segundo.
Posteriormente hubo varios intentos de mejorar y racionalizar
las escalas de las medidas de los grados, sin que triunfaran.
En la actualidad son los grados sexagesimales y los radianes
los que se utilizan casi exclusivamente, las calculadoras y los
ordenadores usan los grados pero con un formato decimal:
17,5º en lugar de 17º 30'.
En 1871 James Thompson, hermano del famoso físico Lord
Kelvin, inventó la palabra radián. Tanto en las matemáticas
como en las demás ciencias se reconoce la importancia de la
utilización de los radianes en función de la simplicidad de las
fórmulas (la longitud de un arco de ángulo α es r·α, mientras
que en grados sería
, y así con muchas más) y también
que para valores pequeños de un ángulo la función seno toma
valores muy aproximados al del ángulo en radianes: 1º es
0,0174533 radianes, y sen 1º=0,0174524.
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2. Reducción de ángulos al primer cuadrante
Ya hemos visto que podemos calcular las razones trigonométricas de todos los ángulos
(positivos y negativos) obteniendo su equivalente en la primera vuelta de circunferencia
(por ejemplo: 390º=360º+30º). Vamos a ver ahora, aprovechando la simetría de la
circunferencia, que es suficiente con hallar las razones de los ángulos comprendidos entre
0º y 45º para obtener fácilmente todas las demás.
Para facilitarte la comprensión de lo que se dice, te presentamos animaciones Java con las
que, moviendo el punto P, podrás ver cuáles son los triángulos que se forman. Una vez
hayas comprendido cuáles son los triángulos a considerar, es conveniente que memorices
un esquema en el que el ángulo α del primer cuadrante sea de unos 30º
aproximadamente, en el que las relaciones trigonométricas aparecen de forma inmediata.
Algunos alumnos tienden a memorizar las relaciones, pero si te familiarizas con estos
esquemas verás que es mucho más sencillo, rápido y efectivo visualizar mentalmente uno
de ellos para deducir de forma automática las relaciones correspondientes. Es un ejercicio
que te recomendamos practiques de cuándo en cuándo.
Las fórmulas de reducción aparecen en multitud de problemas
diversos y en muchas simplificaciones y sustituciones (en
particular, las fórmulas trigonométricas se utilizan con cierta
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frecuencia en el cálculo de derivadas e integrales). Además,
también permiten determinar el valor de una razón
trigonométrica a partir de las comprendidas entre 0º y 45º.
Este hecho hace posible utilizar tablas trigonométricas con
"sólo" unos cuantos ángulos, con lo que el esfuerzo requerido
para su construcción se puede dedicar aobtener una mayor
precisión.
Al menos desde la época babilónica se intentaron elaborar
tablas con la máxima precisión que se podía conseguir en su
tiempo. Sin duda, fueron varios los intentos de mejorar las
tablas, pero se debe a Ptolomeo (85 a 165 d.C.) la realización
de unas tablas "de cuerdas" muy exactas, en la que calculaba
los valores de las cuerdas de una circunferencia de radio 60
correspondientes a un ángulo central que iba de 0º a 180º en
intervalos de medio grado. Como ejemplo de la exactitud de
las mismas, para un ángulo de 7º daba el valor de 7, 19, 33
(en sistema sexagesimal), o sea
,
cuando la verdadera longitud de la cuerda, con cinco decimales
exactos, es de
.
Posteriormente, a finales del siglo XV, dos de los mejores
matemáticos
alemanes
(Regiomontanus
y
Rhaeticus)
dedicaron 12 años de intensos cálculos para elaborar unas
tablas trigonométricas con una precisión de 10 cifras
decimales para los ángulos en intervalos de 10 en 10
segundos.
Hoy en día, con la precisión y comodidad de uso de las
calculadoras y ordenadores, las tablas trigonométricas son
más una curiosidad que un instrumento de cálculo. Pero sí que
es muy conveniente que conozcas las relaciones entre razones
trigonométricas, pues éstas te servirán para simplificar
expresiones, resolver ecuaciones, efectuar cambios de
variables, etc, con más frecuencia de la que te imaginas.
2.1 Del II al I cuadrante
En este primer apartado calcularemos las razones del ángulo AOP comprendido entre
y
en función de un ángulo del primer cuadrante. Sean Q el simétrico de P respecto del
eje de ordenadas, y P', Q' sus proyecciones sobre el eje de abscisas. Los triángulos OPP'
y OQQ' son rectángulos, tienen la misma hipotenusa (r=1) y el ángulo Q'OQ es igual al
P'OP, luego los catetos serán iguales, así podemos determinar fácilmente la relación entre
las razones trigonométricas de los respectivos ángulos, que son suplementarios.
Moviendo el punto P podrás ver cómo cambian los ángulos y sus razones. Prueba con
unos cuantos y observa en los triángulos OPP' y OQQ' cuáles son los catetos que se
corresponden (están pintados del mismo color). Del mismo modo, los triángulos OAT y
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OAT' nos dan las tangentes. Finalmente, deja la gráfica con un ángulo α de unos 30º
(PP'=0'5), y compara los senos, cosenos, y tangentes obtenidos.
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Al ser α y β suplementarios, los triángulos OPP' y OQQ' son semejantes y con la misma
hipotenusa (r=1), luego los catetos son iguales: PP'=QQ' y orientados positivamente, así
.
Por otra parte, también OP'=OQ', pero, en este caso, la orientación es inversa, el primero
es negativo y el segundo positivo, de ahí que
.
En cuanto a la tangente, el triángulo OAT es semejante al OAT' y tienen un cateto común,
por lo que AT=AT' pero en sentido contrario, uno es negativo y el otro positivo, luego:
Debes saber deducir rápidamente las relaciones que acabamos
de ver:
Practica, de cuándo en cuándo, no a "recitar" las relaciones sino
a imaginarte la figura y a deducir automáticamente las mismas.
Es más fácil de lo que ahora puedas pensar.
Notas: En alguna ocasión, nos podemos encontrar
con algún ángulo como
, que también es del II
cuadrante, pero no está expresado en la forma
"canónica" que acabamos de ver. En este caso, lo
mejor es hacernos (o imaginarnos) un gráfico con un
ángulo de unos 30º y deducir fácil y rápidamente cuál
es la relación entre las razones trigonométricas. De la
gráfica adjunta se deduce inmediatamente:
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Debemos prestar especial atención a los signos de las razones, es decir, a la orientación
de los segmentos (hacia la izquierda o hacia abajo, negativos, en otro caso, positivos).
Si
=2660º, entonces:
(a)
(b)
(c)
(d)
Si α=18º, entonces:
(a)
(b)
(c)
(d) Ninguna de las anteriores.
2.2 Del III al I cuadrante
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De igual manera que en el apartado anterior, mueve el punto P, familiarízate con los
triángulos respectivos y compara las razones. Deja la figura con un ángulo de 30º.
y
se diferencian en
radianes, luego los triángulos OPP' y OQQ' son semejantes y
con la misma hipotenusa (r=1), así: PP'=-QQ' (están orientados en sentidos opuestos),
por lo que
.
También OP'=-OQ':
.
En cuanto a la tangente, el punto T es común, luego:
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.
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También tienes
relaciones:
que
saber
deducir
rápidamente
estas
Notas: También podemos ver algún ángulo como
, que es del III cuadrante. La figura en la que
debemos pensar es:
De ésta:
Si
, entonces:
(a)
(b)
(c)
(d) Ninguna de las anteriores.
2.3 Del IV al I cuadrante
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Razonando
como en
y:
los
apartados
anteriores, obtenemos:
,
.
Como en los apartados anteriores, estas relaciones:
también son importantes.
Notas: Otro caso del IV cuadrante puede ser
,
en este caso la gráfica es:
Y de aquí:
Si
, entonces:
(a)
(b)
(c)
(d) Ninguna de las anteriores.
2.4 Ángulos complementarios
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β y α son complementarios, luego el ángulo OPP'= =QOQ' y los triángulos OPP' y OQQ'
son semejantes y con la misma hipotenusa (r=1), así:
,
.
En cuanto a la tangente:
Si
(a)
(b)
(c)
(d) Ninguna de las anteriores.
3. Relaciones y fórmulas fundamentales
La Trigonometría es una herramienta que abre muchas puertas al Cálculo, por lo que es
muy conveniente tener cierto dominio de la misma. Es necesario conocer algunas
relaciones entre ellas que nos permitirán, a su vez, demostrar muchas más.
Por el tema anterior sabemos que las razones trigonométricas de los ángulos agudos
verifican unas determinadas relaciones. Éstas se cumplen también para ángulos
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cualesquiera, además, en el tema siguiente, verás aparecer bastantes fórmulas, no debes
asustarte por su número, pues aprenderás a deducirlas a partir de unas pocas.
En muchas de las identidades y relaciones deberás utilizar las Identidades Notables,
repásalas ahora, debes dominarlas perfectamente.
Las fórmulas fundamentales de la Trigonometría son:
1.
2.
3.
Veamos la primera de ellas.
Sea x un ángulo cualquiera que no es múltiplo de 90º. x
determina en la circunferencia goniométrica un triángulo
rectángulo OPP' cuya hipotenusa vale 1 y sus catetos son
su seno y su coseno (con su signo correspondiente).
Basta, pues, con aplicar el teorema de Pitágoras (al estar
elevados al cuadrado el seno y el coseno, no importa si
son positivos o negativos).
Si x es múltiplo de 90º, el punto que determinará sobre la
circunferencia será A(1,0), B(0,1), C(-1,0) o D(0,-1), y en
todos ellos se cumple la relación, veámoslo en D:
Para la segunda el razonamiento es parecido, utilizando la semejanza de triángulos. Sólo
varía que en los ángulos 90º y 270º, la tangente no está definida.
La tercera se obtiene dividiendo los dos miembros de la primera por
segunda.
y aplicando la
Las demás identidades se deducen de una forma relativamente fácil de estas tres, como
vamos a ver a continuación.
Ejemplos:
Demuestra las siguientes identidades:
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1.
La demostración es casi inmediata, basta con elevar al cuadrado los dos miembros de la
primera propiedad de la Trigonometría.
2.
Dos fracciones son iguales si lo es el producto "en cruz" de sus términos, o sea:
y de aquí:
es 1=1.
, o:
, que
3.
Las relaciones no siempre son fáciles de demostrar. Muchas veces no debemos intentar
demostrarlo todo de golpe, sino por partes. En este caso podemos observar que la
primera parte del numerador se parece a la 1ª fórmula fundamental, luego podemos
transformarla en:
de donde:
, o sea:
y en el denominador se opera de forma análoga.
Debemos decir que lo que acabamos de hacer sería como un borrador de los intentos de
demostración, que haríamos en un papel aparte. Una vez encontrado el camino debemos
recomponer adecuadamente todos los detalles y presentar correctamente la
demostración, tarea que te dejamos como ejercicio.
4.
En algunas ocasiones es más fácil transformar la identidad en otra equivalente que sea
más
fácil
de
demostrar,
en
este
caso
se
puede
partir
de:
Multiplicando los términos del segundo miembro queda:
o:
y, volviendo a aplicar la fórmula fundamental, queda:
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.
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Si
,
, se tiene que
es igual a:
(a)
(b)
(c)
(d) Ninguna de las anteriores.
La expresión
es equivalente a:
(a)
(b) 1
(c)
(d) Ninguna de las anteriores.
4. Introducción a las ecuaciones trigonométricas
En el tema 3 trabajaremos el apartado de Ecuaciones Trigonométricas, que es un poco
complicado si no se entiende bien. De momento, para preparar el terreno, y también para
asimilar mejor los conceptos anteriores de reducción de razones trigonométricas al I
cuadrante, presentaremos algunas ecuaciones sencillas. El método de resolución, en
principio, es muy simple, basta con hallar los ángulos
comprendidos entre 0º y 360º
que sean solución, y luego añadir todos los equivalentes, o sea, los que se diferencien
con ellos un número entero de vueltas a la circunferencia, o n·360º. Esto se representará
de la forma
.
Así, por ejemplo, la solución de la ecuación sen x = 1 es 90º, y también 360º+90º=450º,
720º+90º=810º, 1080º+90º=1170º, etc. La solución se simplifica de esta manera: 90º
+n·360º, con n entero.
Esto es muy fácil de entender y parece sencillo, pero el problema surge cuando hay que
condensar varias soluciones en una que las reúna a todas. Comentaremos un poco más
en los ejemplos siguientes, pero se tratará más a fondo en el tema siguiente.
Por otra parte, y como ya hemos comentado, trabajaremos indistintamente con grados y
con radianes, pero es conveniente que por tu cuenta obtengas, en cada problema, las
soluciones en los dos sistemas de medida. Así en el caso anterior, la solución en radianes
sería
, o también, factorizando,
.
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En primer lugar, familiarízate un poco con las animaciones moviendo el punto M y viendo
cuáles son las soluciones (en general, dos, salvo los casos particulares: 0º, 90º, 180º y
270º) para los distintos valores. Después mira los ejemplos y resuelve los ejercicios de
autoevaluación.
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Ejemplos:
1. La solución de la ecuación: tan x =-1 es: 135º+n·360º, y 315º+n·360º. Pero
estas dos soluciones se pueden resumir en: 135º+n·180º.
2. La ecuación cos x = 0'5 tiene como soluciones 60º+n·360º, y 300º+n·360º, que,
como
300º=-60º,
se
pueden
presentar
conjuntamente:
.
3.
es equivalente a las dos ecuaciones
y
, por lo
que las soluciones en la primera vuelta son 30º, 150º, 210º y 330º. Si añadimos
n·360º a cada uno de estos valores la expresión se vuelve farragosa, por lo que se
simplifica agrupándolos de dos en dos: 30º+n·180º, 150º+n·180º o, mejor
todavía (aunque más difícil de determinar):
.
Si tienes dificultad para simplificar de esta manera tan
condensada, siempre puedes dejar las soluciones de la primera
vuelta de circunferencia más el añadido +n·360º en todas ellas.
Si la solución de una ecuación son los ángulos 45º+k·360º y 135º
+k·360º, ésta se puede expresar (en radianes) de la forma simplificada:
(a)
(b)
(c)
.
.
.
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(d) Ninguna de las anteriores.
La solución de la ecuación
es:
(a)
(b)
(c)
(d) Ninguna de las anteriores.
5. Resolución de problemas
Bastantes problemas de trigonometría pueden parecer complicados, pero muchos de
ellos, bien orientados y con la única ayuda de las herramientas básicas, acaban
resolviéndose de forma bastante sencilla. Esta aparente contradicción reside en el hecho
de que la dificultad es más bien de tipo conceptual, y que se requiere una buena
comprensión de la trigonometría para poder aplicarla adecuadamente. Por ello,
continuaremos la resolución de problemas iniciada en el tema anterior con problemas con
un nivel de dificultad algo superior. Como siempre, intenta resolver por tu cuenta los
ejercicios resueltos antes de ver la solución.
1. Se coloca un mástil para una torre de radio encima de un montículo. Desde cierta
distancia se ve la parte superior de la torre bajo un ángulo de elevación de 60º,
mientras que su base se ve a 30º. Demostrar que la torre tiene el doble de altura
que el montículo.
En los problemas en los que no nos dan ciertas distancias,
debemos trabajar con incógnitas, en este caso vamos a
llamar a la distancia a la base del montículo, x la altura de
éste e y la altura de la torre. De los triángulos ABC y ABD
se deduce:
despejando de la primera ecuación:
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, sustituyendo en la segunda:
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de donde
.
2. Halla el lado de un polígono regular de n lados
inscrito en una circunferencia de radio r.
Particulariza para un triángulo, cuadrado,
pentágono y hexágono.
Sea la circunferencia de centro O y radio
r=OA1, y sean A, B los dos primeros vértices
del polígono inscrito (en la figura se considera
un
hexágono
a
título
de
ejemplo),
supondremos que A está sobre el eje de
abscisas. El ángulo AOB vale
. Si G es el
punto medio del lado AB, el triángulo OAG es
rectángulo en G, de donde:
de donde
.
En el caso del triángulo n=3, luego:
.
Para los demás casos basta con sustituir n por 4, 5 y 6 respectivamente. Lo dejamos
como ejercicio.
Calcula el lado de un polígono regular de n lados circunscrito a una
circunferencia de radio r. Particulariza para el caso de un triángulo y de
un hexágono.
(Repasa el ejemplo nº 2. Es importante que lo intentes por tu cuenta
antes de ver la solución)
La resolución es parecida
a la del ejemplo 2. Para
simplificar se ha elegido
un pentágono en el
dibujo,
pero
el
razonamiento del caso
general sería el mismo. El
polígono es tangente a la
circunferencia
en
los
puntos medios de los
lados. El triángulo AOM
es rectángulo en M, y el
ángulo en O es la mitad
que el ángulo central del
polígono, que mide
.
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Se tiene
, de
donde:
Si n=3, queda
, y para n=6:
.
3. En un dodecágono regular se construye un cuadrado cuyo lado es el segmento
determinado por dos vértices separados por otros tres. Demostrar que las áreas
del cuadrado y del octógono son iguales.
Consideraremos
el octógono
centrado
en el origen de
coordenadas y con un vértice en
el eje de ordenadas (como si
fuera un reloj). Dado que el
problema
no
da
unidades,
supondremos que la distancia
desde el centro O hasta los
vértices es de r.
El área del dodecágono será 12
veces la del triángulo OCD, y por
tanto
vale,
,
al igual que el área del cuadrado.
Los ángulos centrales
y
abarcan uno y dos lados respectivamente, luego:
inscrito
,
. Y el ángulo
.
Así:
.
Por otra parte, de OME:
y de AME:
luego:
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Determina los lados del triángulo rectángulo ABC, sabiendo que el
ángulo C es de 30º, y la bisectriz correspondiente al otro ángulo agudo
mide 8 cm.
Sea BN la bisectriz citada. Como
B=90º-30º=60º, se tiene que
el ángulo ABN=30º, por lo que
en el triángulo ABN:
así
Y de ABC:
.
, de donde
.
El lado b se obtiene por
trigonométrica. Su valor es:
Pitágoras
.
o
por
otra
razón
Si ABC es un triángulo rectángulo en A, su área
viene dada por:
(a)
(b)
(c)
(d) Ninguna de las anteriores.
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La base mayor del trapecio rectángulo ABCD de la figura
(el dibujo no está hecho a escala) es:
(a) 60
(b) 65
(c) 70
(d) 75
Para finalizar, te proporcionamos una colección de ejercicios
que debes hacer para consolidar lo que has aprendido a lo
largo de este tema.
* Ejercicios de consolidación
* Soluciones
https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623
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