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CIENCIA Y SOCIEDAD VolumenXXVIII, Número4 Octubre'Diciembre2fi)3 TALLER: USO DE LA CALCULADORAGRÁFICATT-92 EN LA CLASEDE ÁLGEBRASUPERIOR Antonia Medrano Disla' Introducción Cada día es más común que los profesoresintegremosla tecnologíaa las clasesde matemática. La calculadoragráfica Tl-92, HP, así como otras similares ponenal estudianteal nivel de la tecnología.Recordemosque es la épocade la telemática. La Calculadora como instrumento de trabajo . Optimiza el tiempo en los cálculos. . Minimiza los errores. . Evita la fatiga frente a cálculoscomplicados. . Evita bloqueospor la fobia a la simbólicamatemática. Estánpresenteslos soportes;verbales,simbólico-matemático y gráficos. * Facultad de Ciencias, Escuelade Matemáticas,UniversidadAutónoma de Santo Domingo. 621 El aprendizajede la matemáticacon calculadorapermite visualizar,geneal estudianteen ciertamedida,experimentar, ralizary plantearconjeturas,así como mantenerel interés. ¿Quéharemos? l. ¿Cómousar la calculadora?Teclas-funciones. 2. Solución de sistemasde ecuacioneslineales. Algoritmo de solución. 3. Soluciónde ecuacionescon determinantes. 4. Operacionescon matrices. 5. Resultadosdudososde la calculadoraque lleva al usuario a desanollaruna actitudcrítica hacialos resultados. Importanciade los contenidosconceptuales. 6. Resolverecuacionesde raícesracionalese irracionales. ¿En cuáles temas de Álgebra podemos trabajar con la calculadora Tl-92? I- Operacionescon matrices. 1.1) Sumade matrices. 1.2) Multiplicacionesde matrices. 1.3) Inversade una matriz. matriciales. 1.4) Soluciónde ecuaciones 622 II- Sistemasde ecuacioneslineales. III- Determinantes. 3.1) Cálculode determinantes, 3.2) Soluciónde ecuacionescon determinantes. IV-Teoría general de ecuaciones. 4. l) Evaluarpolinomios. 4.2) Factorizarexpresionesalgebraicas. 4.3) Resolverecuacionesde raícesracionalese irracionales. 1. Resolución de sistemas de ecuacioneslineales. = (x+ y+2 2 9 =| l2x+4V-32 =0 [ 3x+6y-52 por el métododeeliminaciónGaussiana. Lo resolveremos 623 l' La Matriz ampliada:A'= [A:b], ya que todo sistema puedeserescritocomo un productomatricialde la forma:Ax = b; es decir: fr I zt f^l f'l lz4 3l.lrl=l'l / 3 6 - 5J L , J L o l / Matriz dc coeficientcs t Matriz de las incógnitas \ Matriz de téminos independientes r l iI . : ] 2o Hacer reduccionesen A'para convertirlaen una Matriz escalonada: tz e\ *' (:iÍÍ): (::i':) l:::;l e\ l t t z s l _ z ¡ *l rr t, z 3oSistemareducido: Er:x+y+2r=9 E2:2y-7'=-17 E3: -r=-3 624 lr 4' Sustitución haciaatrás: En E3 multiplicamos por (-l);Z=3 2Y-7{3)=-17 Sustituimos z enE2: 2y = -17+2l Y=2 =9 x+2+2(3) Sustituimos z,y enEl: x=9-8 x=l S o l u ci ó n: { ( 1,2,3) } Algoritmo para Ia Ti-922 t r @ t r t r t r @t r t r t r t r tr tr@EtrtrtrtrEtr @trtrtrtrt¡trtr@tr tr@trtr@trtr@trE @trD@ 625 Se visualizacomo:( [A], [B]) Solución:(^=l) {, = ,[ lr=t) f2x+4V+62=t8 sistemapropuesto I 4x+5y+62=24 Solución:{(4 ,-2,3)l I l3x+y-22=4 2. Resolverecuacionescon determinantes: il=' l:' 3(x-2)-10=5 3x-6-10-=5 solución: 3x=5+16 3x=21 x='l como,orrr(o"r([Conla Tl-gzlntroducir *'.) ; I ) \ trE@@trtrtr@trtr trAtrtr@8tr'trtr @EDTtrt¡EE@ Solución: X = 7 626 ;':l 1 8 7 2 - r 6; solución 3 1 3 3(x-2)-I 0=-3+14+lM+21-48 3x-6-10=122 3 x=1 3 8 x=46 Con la TI-92: EE@@trtrtr@trtr trtrt¡tr@trtrEtr@ trtrtr@trtrtr@trtr t r t r t r t r @ 8 t r t r Ot r t r t r @ E t r t r t r t r t r @t r trtrtrD@ 627 Se visualizacomo: '",f.,([i :l)= lil)) 8 -t ,o,r"(o"rI*' \ \r 2 I Propuestos:Determinaa x en cadacaso x r s 2 6 -r nl=o 7l lr -r 2l l a) t b)l3x r lo t r t -2 l 4l=25 l sl l Propósitos . Realizaroperaciones matriciales: suma,resta,multiplicacióne inversade unamatriz. . Resolverecuaciones deraícesracionales e irracionales. Inversade una Matriz: En álgebrade matricesno se definela divisiónde forma directa,sinoa partirde la multiplicación. Si A esunamatrizcuadrada, suinversaserádel mismoordeny sedesignapor A'' y el productodeA x A'' = L 628 Aplicación de matriz inversa: La utilizamosparaescribirÁlgebraesde la formaAX = B. Algebra de los números =J Álgebra de matrices AX=B 1tt2¡zx={rt2¡s x=512 A . , A X= A . ' B IX=A''B X=A'rB Existendiferentesmétodospararesolverinversade una matriz.Veremosalgunos. lz -t1 Ej. Si M = | | LI - l l calculeM'r=? Solución: 'l M x B =I. SeaB la matrizinversa;,= |'o "nron.r, d ) Ic [?1][.:]=[;I l z a - t c2 b - 3 d l _ l 'q l L u - . b - d . J - Lr o Escrito comosistema: El 2 a - 3 c = l E2 2 b - 3 d = 0 E3 a - c = 0 - > a = c E4 b - d = 1 629 S u s t i t u y o a e n E: 2, c - 3 c= I = > c = - l y a = - l -3Eo+8, = -3b+3d = -3 2b-3d= 0 -b)=-3=>b=3 Sust:b en Eo: -d = l-b d = b-l =>d=2 t 3l Porlo tanrola inversa f"r' L - l 2 ) It 231 E" i 2 :S e a nt= lI 3 3 l = l >A.'=? Ll 24) o Cofactores deA. Solución:porlosadjuntos A'' = I [Aü]' det A = I * 0 es no singulary tiene 1. Det.A = 12+6+6-9-6-8 inversa. 630 'l: .[l il tlil l:il.[iil tl .[l ll .[i1]tt ') ,) 2. A= [Arj]'= ,) L:lil 3. A' = [A]' li1il 631 Otro métodoparaencontrarA', 1. Hacemosla matrizampliada [A : I] 2. Hacemos reduccioneshasta convertir la matriz A en una unidady la de la izquierdaserála inversa. lhl=li ll' li: ll",[ : ; ? , 1 ; : l =, A'=fl :11 2 3 1 0 2 3 3 3:0 I I 0:-l I 2 4 0 0 l - l 0 0 3:3 -2 0:-l I l:-l 0 1 0 ft o 3:6 -2 -3.| En estos procedimientostediososes que la calculadora ayudaa optimizar el tiempo. 632 : ActividadesPropuestas l. Encuentre lasinversas de: ^=ll "=l:1] : l]='^=, 2. Calculary escribiralgoritmoparaOperacionescon matrices: 2.1) Sumade matrices. 2.2) Multiplicacionesde matrices. 2.3) Inversade una matriz. 2.4) Soluciónde ecuacionesmatriciales. Resolverecuacionesde raícesracionales sol = 3.1) f(x)=4xo-4x3-25x2+x+6=O xz= tlz xt = 'tlz X¿=3 633 -;=1'1 3.2) f(x)= xt - x4lz+ 3x3-3lzx2-4x+2=Osol = i',,=i,l De raícesirracionales: *,- ' .6i8... f 0.17759...1 l sol= +2x+6=O=> f(x)=¡r-5¡z 1*r= =-o'gssse [*" J 4. f(x) = 4xn-4x3-25x' +x+6=O Después de encender el calculador debo situarme en álgebra: F""'"ió;l*[-l.*E * I Ftl*l E'*".|.--* Primer Momento: Elaboraciónde algoritmosen equipos de trabajo. SegundoMomento:Verificare intercambiarcon otro equipo de trabajo. TercerMomento: socializacióncon todo el curso, de los diferentesalgoritmos. 634 Algunas reflexiones: El estudianteantesque todo debetenerel dominioconceptual. Las calculadoras,lossoftwaresonhenamientasque agilizan los cálculos,los procedimientos. Veamosalgunoscasos. , ^=[; ;], g= [:]l entonceses PosibleA*B=? eldererminanre: 2. Encuenrre l] l: 3, lossistemas: Resolver xr+xr2xr+ x¿=10 2xr+2xr+3x.-xn=-l , , , { 3x,+3x,*x3*xo=7 x,+3x,-5xr+xo=4 , r r {2xr+5xr-2xr+4xu=$ 4xr+4xr-xr+7xn=17 63s Si nos detenemosen lo conceptual: Caso 1: Se ve que es imposibleA *B porqueno son conformes.Aunque el calculadorle recuerdala información. Caso 2: Esteen especificose ve por simpleinspecciónque Caso 3: El sistema3.1 tienedoscolumnascon los mismos coeficientes;es decir, tiene dos líneas dependientes,por lo que ya no seráde 4x4 ni tendrásoluciónúnica. Es evidente que en el 3.2 hay mas incógnitas que ecuaciones. Estos sistemas se resuelven aplicando eI teorema de Rouché Frobenius. "Es condición necesariay suficiente que el sistema de ecuacionesadmita una solución(al menosque la característica o rango de la matriz de los coeficientesA y de la matriz ampliada A' sean iguales" Consecuenciasdel teorema de Rouché-Frobenius. l . Si r(A) - 4A') y r = n, el sistemaes compatiblecon solución única. 2. Si. r(A) = r(A') y r < n, el sistemaes indeterminadocon infinitassoluciones. Tenemosque darlesvaloresarbitrariosa algunasvariables; para obtener solucionesparticulares.Se calcula: n-r y el resultadoserán las incógnitasno principales que asumenvaloresarbitrarios. 636