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CIENCIA Y SOCIEDAD
VolumenXXVIII, Número4
Octubre'Diciembre2fi)3
TALLER: USO DE LA CALCULADORAGRÁFICATT-92
EN LA CLASEDE ÁLGEBRASUPERIOR
Antonia Medrano Disla'
Introducción
Cada día es más común que los profesoresintegremosla
tecnologíaa las clasesde matemática.
La calculadoragráfica Tl-92, HP, así como otras similares
ponenal estudianteal nivel de la tecnología.Recordemosque
es la épocade la telemática.
La Calculadora como instrumento de trabajo
.
Optimiza el tiempo en los cálculos.
.
Minimiza los errores.
.
Evita la fatiga frente a cálculoscomplicados.
.
Evita bloqueospor la fobia a la simbólicamatemática.
Estánpresenteslos soportes;verbales,simbólico-matemático y gráficos.
* Facultad de Ciencias, Escuelade Matemáticas,UniversidadAutónoma de Santo Domingo.
621
El aprendizajede la matemáticacon calculadorapermite
visualizar,geneal estudianteen ciertamedida,experimentar,
ralizary plantearconjeturas,así como mantenerel interés.
¿Quéharemos?
l. ¿Cómousar la calculadora?Teclas-funciones.
2. Solución de sistemasde ecuacioneslineales. Algoritmo de solución.
3. Soluciónde ecuacionescon determinantes.
4. Operacionescon matrices.
5. Resultadosdudososde la calculadoraque lleva al usuario a desanollaruna actitudcrítica hacialos resultados.
Importanciade los contenidosconceptuales.
6. Resolverecuacionesde raícesracionalese irracionales.
¿En cuáles temas de Álgebra podemos trabajar con la
calculadora Tl-92?
I- Operacionescon matrices.
1.1) Sumade matrices.
1.2) Multiplicacionesde matrices.
1.3) Inversade una matriz.
matriciales.
1.4) Soluciónde ecuaciones
622
II- Sistemasde ecuacioneslineales.
III- Determinantes.
3.1) Cálculode determinantes,
3.2) Soluciónde ecuacionescon determinantes.
IV-Teoría general de ecuaciones.
4. l) Evaluarpolinomios.
4.2) Factorizarexpresionesalgebraicas.
4.3) Resolverecuacionesde raícesracionalese irracionales.
1. Resolución de sistemas de ecuacioneslineales.
=
(x+ y+2 2 9
=|
l2x+4V-32
=0
[ 3x+6y-52
por el métododeeliminaciónGaussiana.
Lo resolveremos
623
l' La Matriz ampliada:A'= [A:b], ya que todo sistema
puedeserescritocomo un productomatricialde la forma:Ax
= b; es decir:
fr I zt f^l f'l
lz4 3l.lrl=l'l
/ 3 6 - 5J L , J L o l
/
Matriz dc coeficientcs
t
Matriz de las incógnitas
\
Matriz de téminos independientes
r l iI . : ]
2o Hacer reduccionesen A'para convertirlaen una Matriz
escalonada:
tz e\
*' (:iÍÍ): (::i':)
l:::;l
e\
l t t z s l _ z ¡ *l rr t, z
3oSistemareducido:
Er:x+y+2r=9
E2:2y-7'=-17
E3: -r=-3
624
lr
4' Sustitución
haciaatrás:
En E3 multiplicamos
por (-l);Z=3
2Y-7{3)=-17
Sustituimos
z enE2: 2y = -17+2l
Y=2
=9
x+2+2(3)
Sustituimos
z,y enEl: x=9-8
x=l
S o l u ci ó n:
{ ( 1,2,3) }
Algoritmo para Ia Ti-922
t r @ t r t r t r @t r t r t r t r
tr tr@EtrtrtrtrEtr
@trtrtrtrt¡trtr@tr
tr@trtr@trtr@trE
@trD@
625
Se visualizacomo:( [A], [B])
Solución:(^=l)
{,
= ,[
lr=t)
f2x+4V+62=t8
sistemapropuesto I 4x+5y+62=24
Solución:{(4
,-2,3)l
I
l3x+y-22=4
2. Resolverecuacionescon determinantes:
il='
l:'
3(x-2)-10=5
3x-6-10-=5
solución: 3x=5+16
3x=21
x='l
como,orrr(o"r([Conla Tl-gzlntroducir
*'.)
; I )
\
trE@@trtrtr@trtr
trAtrtr@8tr'trtr
@EDTtrt¡EE@
Solución: X = 7
626
;':l
1 8 7
2 - r 6;
solución
3 1 3
3(x-2)-I 0=-3+14+lM+21-48
3x-6-10=122
3 x=1 3 8
x=46
Con la TI-92:
EE@@trtrtr@trtr
trtrt¡tr@trtrEtr@
trtrtr@trtrtr@trtr
t r t r t r t r @ 8 t r t r Ot r t r
t r @ E t r t r t r t r t r @t r
trtrtrD@
627
Se visualizacomo:
'",f.,([i
:l)=
lil))
8
-t
,o,r"(o"rI*'
\
\r 2
I
Propuestos:Determinaa x en cadacaso
x
r
s
2
6
-r
nl=o
7l
lr
-r
2l l
a)
t
b)l3x
r
lo
t
r
t
-2
l
4l=25
l
sl
l
Propósitos
. Realizaroperaciones
matriciales:
suma,resta,multiplicacióne inversade unamatriz.
. Resolverecuaciones
deraícesracionales
e irracionales.
Inversade una Matriz:
En álgebrade matricesno se definela divisiónde forma
directa,sinoa partirde la multiplicación.
Si A esunamatrizcuadrada,
suinversaserádel mismoordeny sedesignapor A'' y el productodeA x A'' = L
628
Aplicación de matriz inversa:
La utilizamosparaescribirÁlgebraesde la formaAX = B.
Algebra de los números
=J
Álgebra de matrices
AX=B
1tt2¡zx={rt2¡s
x=512
A . , A X= A . ' B
IX=A''B
X=A'rB
Existendiferentesmétodospararesolverinversade una
matriz.Veremosalgunos.
lz -t1
Ej. Si M = |
|
LI - l l
calculeM'r=?
Solución:
'l
M x B =I.
SeaB la matrizinversa;,= |'o
"nron.r,
d
)
Ic
[?1][.:]=[;I
l z a - t c2 b - 3 d l _ l 'q
l
L u - . b - d . J - Lr o
Escrito comosistema:
El 2 a - 3 c = l
E2 2 b - 3 d = 0
E3 a - c = 0 - > a = c
E4 b - d = 1
629
S u s t i t u y o a e n E: 2, c - 3 c= I = > c = - l y a = - l
-3Eo+8, = -3b+3d = -3
2b-3d= 0
-b)=-3=>b=3
Sust:b en Eo:
-d = l-b
d = b-l =>d=2
t 3l
Porlo tanrola inversa f"r' L - l 2 )
It 231
E" i 2 :S e a nt= lI 3 3 l =
l >A.'=?
Ll 24)
o Cofactores
deA.
Solución:porlosadjuntos
A'' = I
[Aü]'
det A
= I * 0 es no singulary tiene
1. Det.A = 12+6+6-9-6-8
inversa.
630
'l: .[l
il tlil
l:il.[iil tl
.[l
ll
.[i1]tt
')
,)
2. A= [Arj]'=
,)
L:lil
3. A' = [A]'
li1il
631
Otro métodoparaencontrarA',
1. Hacemosla matrizampliada [A : I]
2. Hacemos reduccioneshasta convertir la matriz A en
una unidady la de la izquierdaserála inversa.
lhl=li ll'
li: ll",[ : ; ? , 1 ; : l
=,
A'=fl :11
2 3 1 0
2 3
3 3:0 I
I 0:-l I
2 4 0
0 l - l 0
0
3:3
-2
0:-l
I
l:-l
0
1
0
ft o 3:6 -2 -3.|
En estos procedimientostediososes que la calculadora
ayudaa optimizar el tiempo.
632
:
ActividadesPropuestas
l. Encuentre
lasinversas
de:
^=ll
"=l:1]
: l]='^=,
2. Calculary escribiralgoritmoparaOperacionescon matrices:
2.1) Sumade matrices.
2.2) Multiplicacionesde matrices.
2.3) Inversade una matriz.
2.4) Soluciónde ecuacionesmatriciales.
Resolverecuacionesde raícesracionales
sol =
3.1) f(x)=4xo-4x3-25x2+x+6=O
xz= tlz
xt = 'tlz
X¿=3
633
-;=1'1
3.2) f(x)= xt - x4lz+ 3x3-3lzx2-4x+2=Osol =
i',,=i,l
De raícesirracionales:
*,- ' .6i8...
f 0.17759...1
l
sol=
+2x+6=O=>
f(x)=¡r-5¡z
1*r=
=-o'gssse
[*"
J
4. f(x) = 4xn-4x3-25x' +x+6=O
Después de encender el calculador debo situarme en
álgebra:
F""'"ió;l*[-l.*E *
I Ftl*l E'*".|.--*
Primer Momento: Elaboraciónde algoritmosen equipos
de trabajo.
SegundoMomento:Verificare intercambiarcon otro equipo de trabajo.
TercerMomento: socializacióncon todo el curso, de los
diferentesalgoritmos.
634
Algunas reflexiones:
El estudianteantesque todo debetenerel dominioconceptual. Las calculadoras,lossoftwaresonhenamientasque agilizan los cálculos,los procedimientos.
Veamosalgunoscasos.
,
^=[;
;],
g=
[:]l
entonceses PosibleA*B=?
eldererminanre:
2. Encuenrre
l]
l:
3,
lossistemas:
Resolver
xr+xr2xr+ x¿=10
2xr+2xr+3x.-xn=-l
, , , {
3x,+3x,*x3*xo=7
x,+3x,-5xr+xo=4
, r r {2xr+5xr-2xr+4xu=$
4xr+4xr-xr+7xn=17
63s
Si nos detenemosen lo conceptual:
Caso 1: Se ve que es imposibleA *B porqueno son conformes.Aunque el calculadorle recuerdala información.
Caso 2: Esteen especificose ve por simpleinspecciónque
Caso 3: El sistema3.1 tienedoscolumnascon los mismos
coeficientes;es decir, tiene dos líneas dependientes,por lo
que ya no seráde 4x4 ni tendrásoluciónúnica.
Es evidente que en el 3.2 hay mas incógnitas que
ecuaciones.
Estos sistemas se resuelven aplicando eI teorema de
Rouché Frobenius.
"Es condición necesariay suficiente que el sistema de
ecuacionesadmita una solución(al menosque la característica o rango de la matriz de los coeficientesA y de la matriz
ampliada A' sean iguales" Consecuenciasdel teorema de
Rouché-Frobenius.
l . Si r(A) - 4A') y r = n, el sistemaes compatiblecon solución única.
2. Si. r(A) = r(A') y r < n, el sistemaes indeterminadocon
infinitassoluciones.
Tenemosque darlesvaloresarbitrariosa algunasvariables; para obtener solucionesparticulares.Se calcula:
n-r y el resultadoserán las incógnitasno principales
que asumenvaloresarbitrarios.
636