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TEMA 1. VECTORES Y MATRICES
1.4. APLICACIONES
1. VECTORES Y MATRICES
1.4. APLICACIONES
1.4.1. Cálculo del rango de una matriz.
1.4.2. Cálculo de la inversa de una matriz.
1.4.3. Resolución de ecuaciones matriciales.
1.4.4. Discusión y resolución de sistemas lineales
1. VECTORES Y MATRICES
1.4. APLICACIONES
1.4.1. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ
MENOR DE ORDEN r DE UNA MATRIZ
Dada una matriz A de orden m n , si se eligen r-filas y r-columnas de A
(r  m, r  n) , y consideramos los elementos que pertenecen
CONJUNTAMENTE a dichas filas y columnas obtenemos una submatriz
cuadrada de orden r. Al determinante de dicha submatriz se le denomina
menor de orden r de la matriz A.
EJEMPLO:
1) Dada la matriz
2

A1
4

orden 2 y de orden 3.
2
2) Dada la matriz

A3
9

orden 2.
 1 2  obtener todos sus menores de orden 1, de

2 3
 2 1
1

0
1
obtener todos sus menores de orden 1 y de
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1.4. APLICACIONES
1.4.1. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ
RANGO DE UNA MATRIZ
Se define el rango de una matriz A , como el máximo número de vectores fila o
vectores columna que son linealmente independientes.
CARACTERIZACIÓN DEL RANGO DE UNA MATRIZ
Utilizando la propiedad 9 de los determinantes podemos garantizar que si una matriz
cuadrada tiene determinante no nulo, entonces sus vectores fila o sus vectores columna
son linealmente independientes.
El rango de una matriz A es el orden del mayor menor no nulo que contiene dicha
matriz. Se denota por rg (A) .
EJEMPLO.
Calcula el rango de las siguientes matrices:
1 0
2


 1 3
A
 B   1 1 2
 2 0
5
1 2 

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1.4. APLICACIONES
1.4.1. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ
MÉTODOS PARA OBTENCIÓN DEL RANGO
Método de menor a mayor rango
Consideremos el método general a partir del siguiente ejemplo:
 3 5 3 1


1
1
1
1


Calcular el rango de la matriz B  
.
0  1 0 1


 3 5 3 3
PASO 1: Menores de orden 1. Como existe un menor no nulo de orden 1 entonces
rg ( A)  1.
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1.4.1. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ
PASO 2: Menores de orden 2. Buscamos un menor no nulo de orden 2 no nulo que
3 5
 3  5  2  0 . Por tanto,
contenga los elementos del menor anterior. El menor
1 1
rg ( A)  2
Si todos los menores de orden 2 hubieran sido nulos el rango de la matriz habría sido 1.
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1.4.1. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ
PASO 3: Menores de orden 3. Buscamos algún menor de orden 3 no nulo que contenga
los elementos del menor no nulo anterior. Considerando las tres primeras filas de la
matriz B , teniendo en cuenta que los menores que buscamos deben contener las
columnas 1ª y 2ª, obtenemos dos menores
Considerando las filas 1ª, 2ª (que contienen el menor anterior) y la fila 4ª, se
obtienen otros dos menores de orden 3
Por tanto, rg ( A)  3 .
Si todos los menores de orden 3 obtenidos por este procedimiento hubieran sido
nulos entonces el rango de la matriz hubiese sido 2.
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1.4.1. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ
PASO 4: Menores de orden 4. Buscamos algún menor de orden 4 no nulo que
contenga el menor no nulo de orden 3 anterior. En este caso, como la matriz es de
orden 4, el único menor de orden 4 es el determinante de la matriz B :
Por tanto, el rango de la matriz B es 3.
3 5 3 1
3 6 3 1
3 6 3
1
1 1 1
1 2 1 1


 1 2 1 0
0  1 0 1 C2 C2 C4 0 0 0 1 desarrollando
por adjuntos 3 8 3
3 5 3 3
3 8 3 3 de la 3ª fila
EJEMPLO:
Calcula el rango de la matriz:
3

2
B
0

1
4 5 1 2

0 1 0 0
8 7 2 4

1 1 0 1
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1.4.1. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ
2) Método cálculo del rango: de rango mayor posible a menor
Para matrices constante no es útil.
3 5

1 1
EJEMPLO: Calcular el rango de la matriz B  
0 1

3 5
3 1

1 1
0 1

3 3 
Es útil para calcular el rango en función de parámetros.
2
 a

EJEMPLO: Calcular el rango de la matriz B   0  a
 1  5

EJEMPLOS: Calcular el rango de las matrices:
0 7 1
1 0


A  0 1
2 1 1 y
 2  1  2 13 1


0
a
2 0


B 3 a
2
5
 a  1  2  3


5

3
4 
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1.4.1. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ : EJERCICIOS
1) Calcula el rango de las matrices:
 1 1 0 2 
 1 2 




a) A   2  3  b) B   0
2 1 1 
 2 8 3  7
0
1 



2
3
4 
 1


c) C   5
6  4  3
  2 1 0 1


2 Calcula el valor del parámetro “ x ” para que el rango de la matriz A sea 2:
 1 x 1


A   x  x 1
 x 1 1


EJERCICIOS: “Problemas y cuestiones
de álgebra lineal”, P. Ortega.
Págs 181-187
Ejercicios 17,18,19,20,21
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1.4. APLICACIONES
1.4.2. CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ
Sea A una matriz cuadrada de orden n se define la matriz adjunta o adjunta
de A y se escribe Adj (A) a la matriz formada por los adjuntos de los
elementos de la matriz A :
 A11 A12 A13  A1n 


A
A
A

A
 21
22
23
2n 
Adj ( A)   A31 A32 A33  A3n 









A

 n1 An 2 An 3  Ann 
 1 0 2


A


1
2
8
Por ejemplo, si

 entonces la adjunta de esta matriz es:
 2 3 1


 2

 3
 0
Adj ( A)   
 3
 0

 2
1 2 

1
2 1
2 3
17  7 
  22

2
1 2
1 0 

   6  3  3 .
1
2 1
2 3 
 4  10
2 

2
1 2
1 0


8
1 8 1 2 
8

1 8
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1.4.2. INVERSA DE UNA MATRIZ
Sea A una matriz cuadrada de orden n que tiene inversa ( | A | 0 ). Entonces:
1
A 
( Adj ( A))t
| A|
1
Por ejemplo, para obtener la inversa de la matriz A del ejemplo anterior,
calculamos en primer lugar el determinante de la misma para comprobar si
tiene inversa: A  36  0 , por tanto existe la inversa de .
Aplicando la regla y aprovechando que en el ejemplo anterior hemos calculado
la adjunta de la matriz A:
t
6  4
  22
17  7 
  22




1
1
1


17

3

10
A    6  3  3

.
36
36 
 7 3


2

4

10
2




EJEMPLO. Calcula la inversa de las siguientes matrices:
 1 3 1


 2 7
A

B

5
0
2


a)
b)



1
5


 1 3 2


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1.4. APLICACIONES
1.4.2. INVERSA DE UNA MATRIZ: EJERCICIOS.
 1 1 2


1) Sea la matriz: A   0  1 1
3 4 a


a) Determina para qué valores de a la matriz tiene inversa.
b) Calcula si es posible la inversa de A para a  0
2) Calcula en cada caso la matriz inversa:
 1 2 0 
 2 1 4
1 1 1






a) A    2 1  2  b) B   5 2 4  c) C   2 3 4 
 1 3 1 
 3 1 0
1 1 2






EJERCICIOS: “Problemas y cuestiones
de álgebra lineal”, P. Ortega.
Págs. : 189, 192
Ejercicios 22, 23
1. VECTORES Y MATRICES
1.4. APLICACIONES
1.4.3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MATRICIALES.
Diremos que una ecuación es matricial si su incógnita o incógnitas son matrices.
Para el tratamiento de las ecuaciones matriciales, debemos considerar las propiedades de
las matrices.
ALGUNOS TIPOS DE ECUACIONES MATRICIALES:
1) Ecuaciones matriciales del tipo k  X  A, donde X , A son matrices de orden m n y k es un número
real no nulo. Entonces X  1k  A .
Por ejemplo,
 3 1


3  X   2  1
 4 2


2) Ecuaciones matriciales de la forma A  X  B , donde A, B, X son matrices
del mismo orden. Entonces X  B  A .
 1 2
 5  3
Por ejemplo, 
 X 


1
3
1
0




1. VECTORES Y MATRICES
1.4. APLICACIONES
1.4.3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MATRICIALES.
3) Ecuaciones matriciales de la forma A  X  B , donde A, B, X son matrices cuadradas
de orden n. Entonces, si existe A1 se verifica que:
A1  A  X  A1  B  X  A1  B . En caso de no existir la inversa de A , la ecuación no
tiene solución.
1
3
 1 2
Por ejemplo: A  X  
 , siendo A  
.
2

1
0
3




4) Ecuaciones matriciales de la forma X  A  B , donde A, B, X son matrices cuadradas
de orden n. Si existe A1 se verifica que:
X  A  A1  B  A1  X  B  A1 . En caso de no existir inversa de A , la ecuación no
tiene solución.
1
3
 1 2
Por ejemplo, X  A  
 , siendo A  
.
2

1
0
3




1. VECTORES Y MATRICES
1.4. APLICACIONES
1.4.3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MATRICIALES.
A continuación mostramos algunos esquemas de ecuaciones matriciales y el
método de resolución:
1) A  X  B  C  A  X  C  B si existe A1  X  A1 (C  B) .
2) X  A  B  C  X  A  C  B si existe A1  X  (C  B)  A1 .
3) A  X  B  X  C  D  ( A  B)  X  C  D  ( A  B)  X  D  C
si existe ( A  B)1  X  ( A  B)1  ( D  C ) .
4) ( X  A)  B  C si existe B 1  X  A  C  B1  X  A  C  B1
5) A  X  B  C . Si existen A1 , B 1  X  A1  C  B 1 .
6) AX  X  B  AX  IX  B  ( A  I ) X  B
si existe ( A  I ) 1  X  ( A  I )1 B
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1.4. APLICACIONES
1.4.3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MATRICIALES: EJERCICIOS
1) Resuelve la siguiente ecuación matricial: A  X  2  B  C ,
siendo:
 2 0
 1 2
 2 1
A
, B  
, C  

1
3

1
3
7
6






2) Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales:
a) 4 X  AX  3B  C b) BX  C c) XC  B
 1 3
 3 5
  3  27 
, B  
, C  

con A  
2
1

1
3
0
3






3) Resuelve la ecuación: AX  B  C  AX si
 1 1 0
 3 1 1
11 11 5 






A   0 1 1, B   1 0 0 , C   3 4 6 
 1 0 1
 0 2 1
 6 8 7






EJERCICIOS: “Problemas y cuestiones
de álgebra lineal”, P. Ortega.
Pág. 193Ejercicios 24,25,26
1. VECTORES Y MATRICES
1.4. APLICACIONES
1.4.4. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES.
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m
ecuaciones lineales en las n-variables comunes a todas las ecuaciones denominadas
incógnitas. En general, los sistemas se suelen representar por medio de sus
ecuaciones de la siguiente forma:
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2



am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
aij con j  1,...,n, i  1,....,m son los coeficientes del sistema y
Los términos
b j j 1,...,m los términos independientes.
FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA
A x  b
 a11
 a11 a12 ... a1n 
 x1 
 b1 



 
 
a
a
...
a
x
b
 a21

 2
 2 *
22
2n 
b

A   21
x

A

A
|
b

  
 
 

 

 


 



a



a
b
 m
 m1 am 2  amn 
 xn 
 m1
 
a12
...
a1n
a22

... a2n
 
am 2  amn
b1 

b2 
 

bm 
1. VECTORES Y MATRICES
1.4. APLICACIONES
1.4.4. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES.
Sea un sistema de m-ecuaciones con n-incógnitas determinado por A  x  b
donde A es la matriz de coeficientes del sistema de orden m n , x es el vector
de incógnitas y b el vector de términos independientes. Diremos que el vector
s  R n es un vector solución del sistema si verifica que A  s  b .
 x
1
8
0

  11
Por ejemplo, dado el sistema 
 y     ,
1
2
4

   9 
z
 3
 
el vector s   1  es solución
1
 
EJERCICIOS: “Problemas y
cuestiones de álgebra lineal”, P.
Ortega
Pág. 219; ejercicios 3, 4
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS SEGÚN SUS SOLUCIONES:
SISTEMAS INCOMPATIBLES: son sistemas de ecuaciones que no tienen solución.
SISTEMAS COMPATIBLES: son sistemas de ecuaciones lineales con solución.
Los sistemas compatibles a su vez, se pueden clasificar en:
SISTEMAS COMPATIBLES DETERMINADOS cuando tienen una única solución.
SISTEMAS COMPATIBLE INDETERMINADOS cuando tienen infinitas soluciones.
1. VECTORES Y MATRICES
1.4. APLICACIONES
1.4.4. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES.
DISCUSIÓN DE SISTEMAS:
Teorema de Rouché-Fröbenius
Sea el sistemas de ecuaciones lineales A  x  b , siendo A matriz de coeficientes de orden
m n , x el vector de n-incógnitas y b el vector de m-términos independientes. Si
A*  ( A | b) es la matriz ampliada del sistema, se verifica:
a) El sistema es incompatible  rg ( A)  rg ( A* ) .
b) El sistema es compatible  rg ( A)  rg ( A* ) ; y en este caso:
i) El sistema es compatible determinado  rg ( A)  n  nº incógnitas.
ii) El sistema es compatible indeterminado  rg ( A)  n  nº incógnitas.
EJEMPLO:
Discute los siguientes sistemas utilizando el Teorema de Rouché-Fröbenius:
2 x  3 y  z  1
 2 x  y  z  4
4 x  2 y  z  5



a)  4 x  y  z  9
b)  x  y  2 z  2
c)  x  y  z  2
 x yz 2
4 x  5 y  7 z  8
 x  5 y  4z  2



EJERCICIOS: “Problemas y cuestiones de
álgebra lineal”, P. Ortega.
Pág. 221, ejercicio 5
1. VECTORES Y MATRICES
1.4. APLICACIONES
1.4.4. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES.
DISCUSIÓN DE SISTEMAS EN FUNCIÓN DE PARÁMETROS:
EJEMPLO:
Discute los siguientes sistemas en función de los valores del parámetro a :
 4 x  ay  z  5
2 x  2 y  a
2 x  3 y  az  1


a) 
b)  x  2 y  4 c)  x  2 y  z  1
 x yz 3
2 x  3 y  3z  3
  x  y  5


EJERCICIOS: “Problemas y cuestiones de
álgebra lineal”, P. Ortega.
Págs. 224-230; 237; 244-256
Ejercicios 6, 7, 13, 18
1. VECTORES Y MATRICES
1.4. APLICACIONES
1.4.4. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:
A) REGLA DE CRAMER
Sea el sistema de n-ecuaciones y n-incógnitas dado por :
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 a11 a12 ... a1n 


a x  a x  ...  a x  b
a
a
...
a
 21 1 22 2
 21
2n n
2
22
2n 
, con A  

 la matriz de coeficientes








an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn
 an1 an 2  ann 
del sistema. Si | A | 0 y, consideramos para cada i=1,…,n, la matriz que se obtiene
sustituyendo la columna i-ésima de la matriz A por el vector de términos
independientes del sistema:
 a11 a12 ... a1i 1 b1 a1i 1 ... a1n 


a
a
...
a
b
a
...
a

22
2 i 1
2
2 i 1
2n 
, entonces se verifica que:
Bi   21

 
 
 



a
a
...
a
b
a
...
a
 n1 n 2
ni 1
n
ni 1
nn 
xi 
Bi
A
, i  1,..., n
1. VECTORES Y MATRICES
1.4. APLICACIONES
1.4.4. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS COMPATIBLES DETERMINADOS CON LA REGLA DE CRAMER:
2 x  y  z  1

EJEMPLO: Resolver:  x  y  3z  12
x  2 y  z  0

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS COMPATIBLES INDETERMINADOS CON LA REGLA DE CRAMER:
2x  3 y  z  t  4

EJEMPLO: Resolver: 4 x  2 y  z  t  2
 8 y  3 z  3t  6

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS HOMOGÉNEOS CON LA REGLA DE CRAMER:
EJEMPLO:
 x  5y  z  0

1)  2 x  y  z  0
4 x  2 y  z  0

2 x  y  5 z  0
 x yz 0

2) 
5 x  y  9 z  0
 x  4 y  8 z  0
1. VECTORES Y MATRICES
1.4. APLICACIONES
1.4.4. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES.
Diremos que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen las
mismas soluciones.
TRANSFORMACIONES DE GAUSS PARA OBTENER SISTEMAS EQUIVALENTES:
1) Si sustituimos una ecuación por el producto de esta ecuación por un número real,
el sistema resultante es equivalente:
3x  4 y  1
 3 x  4 y  1
Por ejemplo, el sistema 
es equivalente a 
hemos
x

4
y

5
x

4
y

5


multiplicado los dos miembros de la primera ecuación por (-1).
2) Si intercambiamos de orden dos ecuaciones, el sistema resultante es equivalente:
3x  4 y  1
 x  4y  5
Por ejemplo, el sistema 
es equivalente a 
x

4
y

5

3x  4 y  1
3) Si sustituimos una ecuación por la suma de esta ecuación con una combinación
lineal de las restantes, el sistema que se obtiene es equivalente:
3x  4 y  1
3x  4 y  1
Por ejemplo, el sistema 
es equivalente a 
; hemos
x

4
y

5
4
x

4


sustituido la segunda ecuación por la suma de ésta con la primera.
1. VECTORES Y MATRICES
1.4. APLICACIONES
1.4.4. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE GAUSS
El método de resolución de sistemas de Gauss, consiste en transformar el sistema de ecuaciones
en otro equivalente y escalonado, utilizando las transformaciones elementales admisibles.
Una vez obtenida la matriz escalonada por el método de Gauss:
 ... ... ... ... ...

 Si b  0 entonces el sistema es incompatible
0
0
...
0
b


 ... ... ... ... ...

 si a  0 y el número de filas es igual al de incógnitas entonces SCD
0
0
...
a
b


...
 ... ... ... ...

 , ak  0, ak 1  0 y el número de filas es menor que el número de incógnitas
0
0
...
a
a
b
k
k 1


entonces el sistema es compatible indeterminado.
 x  y  z  6
2 x  3 y  z  1
 2 x  y  z  4 4 x  2 y  z  5




EJEMPLOS: 1)  2 y  z  4
2)  4 x  y  z  9 3)  x  y  2 z  2 4)  x  y  z  2

 x yz 2
4 x  5 y  7 z  8  x  5 y  4 z  2
z2




1. VECTORES Y MATRICES
1.4. APLICACIONES
1.4.4. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES. EJERCICIOS.
1) Discute y resuelve los siguientes sistemas de tres ecuaciones
aplicando el método de Gauss:
3 x  y  z  3
 x  3 y  2 z  3 2 x  y  z  1



a)  x  y  3
b)  y  3 z  1
c) 4 x  2 y  3 z  13
d)
2 x  y  0
 y  2z  4
2 x  5 y  6 z  0



con tres incógnitas
3 x  y  z  3

x  2 y  z  5
 x  5 y  3 z  13

2) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la regla de Cramer:
 x  y  z  1
3 x  y  z  2
2 x  y  z  2
2 x  y  z  4



a) 
b) 2 x  y  z  7
c)  x  3 y  z  6
d)  x  z  1
3x  y  z  5
 3 x  y  z  3 4 x  z  0
2 x  2 y  0



3) Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m y resuélvelos cuando
sean compatibles determinados:
 x  y  z  1
x  y  z  2


a) 4 x  2 y  2 z  2m
b) 2 x  3 y  z  3
 3 x  2 y  mz  4
mx  10 y  4 z  11


4) Discute y resuelve según los valores del parámetro m, los siguientes sistemas
homogéneos:
x  y  z  0
mx  2 y  mz  0
EJERCICIOS: “Problemas y cuestiones


a) 10 x  y  5 z  0 b) 2 x  y  z  0
de álgebra lineal”, P. Ortega
3 x  y  mz  0
4 x  3 y  z  0


p. 239- , ejercicios 15, 18 y 19
p. 262- ; ejercicios 22,22 y 23