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Matemáticas para ingeniería I Ingeniería en Mecatrónica Lilia Meza Montes – IFUAP Otoño 2016 Concepto de campo vectorial. Producto por escalar, producto interior y vectorial de campos vectoriales. Ejemplos Repaso Algebra vectorial Campos vectoriales Escalares y Vectores • Escalar: definido solo por magnitud Notación: letras comunes Ejemplo: masa (m), temperatura (T), longitud (l) • Vector: magnitud y dirección Notación: negritas, letras con flecha encima Ejemplo: velocidad (v, v) , fuerza (F, F) Representación gráfica Una flecha Vector PQ También A P Punto inicial Q Punto final Magnitud: tamaño del vector Notación: A, |A|, |A| Reglas del álgebra de vectores • Igualdad de vectores A y B son iguales (A = B) si tienen la misma dirección y magnitud sin importar sus puntos iniciales A B Reglas del álgebra de vectores 2 • -A -A tiene la misma magnitud de A pero dirección opuesta A -A Suma geométrica de dos vectores A C=A + B B Regla del paralelogramo Diferencia de dos vectores A - B es el vector C tal que la suma de C y B da como resultado A C= A - B à C+B=A A C=A-B B A=C+B Diferencia de dos vectores Equivalentemente, A - B = A + (-B) A C = A +(- B) -B C=A-B B Vector Nulo • Si A=B, A-B es el vector nulo • Magnitud cero • Dirección indefinida Multiplicación por un escalar Vector A y escalar mà mA tiene magnitud: |m| veces la magnitud de A Dirección: misma si m>0 opuesta si m<0 Si m=0, tenemos el vector nulo A 2A -2A m=2 m=-2 Leyes del álgebra de vectores Si A, B y C son vectores y m y n son escalares, entonces: 1. Ley conmutativa de la adición de vectores: A + B = B + A. 2. Ley asociativa de la adición de vectores: A + (B + C) = (A + B) + C. 3. Ley asociativa de la multiplicación de vectores: m(nA) = (mn)A = n(mA). 4. Ley distributiva de vectores: (m + n)A = mA + nA y m(A + B) = mA + mB. Vectores Unitarios • magnitud es la unidad • Vectores unitarios rectangulares: tienen la dirección positiva de los ejes de un sistema cartesiano de coordenadas z k x i j |i|=|j|=|k|=1 y Componentes de un vector z A A1i+ A2j Punto final de A (A1,A2,A3) A3k A1i x A2j y A1 componente x A2 componente y A3 componente z A = A1i+ A2j+A3k Álgebra de vectores. Componentes A = A1i+ A2j+A3k magnitud A= A12 + A22 + A32 Ejemplo: Vector de posición, va del origen a (x,y,z) r = xi+ yj+zk r = x2 + y2 + z2 Leyes del álgebra de vectores A = A1i + A2j + A3k , B = B1i +B2j + B3k, Suma A + B = A1i + A2j + A3k + B1i + B2j + B3k = A1i + B1i + A2j + B2j + A3k + B3k = (A1 + B1)i + (A2 + B2)j + (A3 + B3)k Producto por escalar nA = n(A1i + A2j + A3k) = nA1i + nA2j + nA3k Producto escalar o producto punto A·B= AB cos θ 0≤ θ ≤π Cantidad escalar A θ Si θ =π/2 à cos θ=0 Los vectores son perpendiculares entre sí si su producto punto es cero B Si queremos saber si dos vectores son perpendiculares, calculamos su producto punto Leyes del producto punto 1. A · B = B · A, conmutativa. 2. A · (B + C) = A · B + A · C, distributiva. 3. m(A · B) = (mA) · B = A · (mB) = (A · B)m, donde m es un escalar. 4. i · i = j · j = k · k = 1, paralelos. 5. i · j = j · k = k · i = 0 perpendiculares (ortogonales) entre sí. 6. Si A = A1i + A2j + A3k y B = B1i + B2j + B3k, entonces A · B = A1B1 + A2B2 + A3B3 2 2 2 2 A + A + A A·A=A = 1 2 3 magnitud al cuadrado 7. Si A · B = 0, A y/o B no son el vector nulo, entonces A y B son perpendiculares. Producto Vectorial o Producto Cruz A ×B = AB sen θ u u B θ A u es un vector unitario perpendicular a A y B Dirección: Regla de la mano derecha o del tornillo Si θ =0 à sen θ=0 Si A = B o si A es paralelo a B, entonces A × B = 0. Si queremos saber si dos vectores son paralelos, calculamos su producto cruz Leyes del producto cruz 1. A × B = -B × A. No es conmutativo 2. A × (B + C) = A × B + A × C, distributiva. 3. m(A × B) = (mA) × B = A × (mB) = (A × B)m, donde m es un escalar. 4. i × i = j × j = k × k = 0. 5. i × j = k j×k=i k×i=j Leyes del producto cruz 6. Si A = A1i + A2j + A3k y B = B1i + B2j + B3k, entonces i A × B = A1 j A2 k A3 B1 B2 B3 A1 A3 = A2 A3 B2 B3 i− B1 A1 j+ B3 B1 A2 k B2 Leyes del producto cruz 7. |A × B| = área del paralelogramo con lados A y B B h θ A h= Altura del paralelogramo h=Bsen θ Area=base×altura =ABsenθ 8. Si A× B = 0 y A y/o B no son el vector nulo, entonces A y B son paralelos (θ=0). Leyes de productos triples 1. En general (A · B) C ≠A (B · C). 2. A · (B × C) = C ·(A × B) = B · (C × A) AxB α B C θ Permutación cíclica Volumen=Área de base×altura = (ABsenθ)×C cosα = |AxB| × |C| cos α = (AxB)·C A Triple producto escalar = volumen del paralelepípedo con A, B y C como ejes. Leyes de productos triples 3. Si A = A1i + A2j + A3k, B = B1i + B2j + B3k y C = C1i + C2j + C3k, entonces A · (B × C) = A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 Triple producto escalar Permutación cíclica de renglones no modifica el determinante leyes de productos triples 4. A × (B × C) ≠ (A × B) × C. No es asociativo 5. A × (B × C) = (A · C)B - (A · B)C y (A × B )× C = (A · C)B - (B · C)A. 6. A · (B × C) = (A × B) · C. Observar siempre que ambos miembros sean del mismo tipo (escalares o vectores) CAMPO VECTORIAL Campo vectorial • Vector: Una magnitud física que requiere, además de magnitud, la dirección para su caracterización • Campo vectorial: asocia un vector a un punto en el espacio • Sean f,g, h funciones reales definidas en R3, la función vectorial depende de x,y,z R (x,y,z) = f(x,y,z) i + g(x,y,z) j + h(x,y,z) k Ejemplos Campo vectorial: velocidades en fluidos Este campo depende también del tiempo t Flujo en fluido: diferente viscosidad à campos de velocidades distintos Velocidad del viento Campo eléctrico • Fuerza ejercida por la atracción o repulsión sobre una carga unitaria positiva • Ley de Coulomb: Fuerza sobre q=1, carga unitaria situada (x,y,z), debida a carga Q en el origen ! Q F ( x, y, z ) = k 2 rˆ r r r̂ r̂ q =1 ! F Q Distancia entre cargas Vector unitario a lo largo de línea que une las cargas k constante que depende del sistema de unidades r Ejemplo: cargas puntuales La dirección es radial Carga Positiva: Fuerza es repulsiva Líneas de fuerza Líneas paralelas al campo Carga negativa: Fuerza atractiva Campo de un dipolo eléctrico Un dipolo es un par de cargas de igual magnitud pero de signo diferente, separados por una distancia d Flechas indican dirección del campo Curva: potencial toma un valor constante Campos eléctricos http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/electrico/ cElectrico.html#Campo%20el%C3%A9ctrico%20y%20potencial %20de%20una%20carga%20puntual