Download Campo vectorial

Matemáticas para ingeniería I
Ingeniería en Mecatrónica
Lilia Meza Montes – IFUAP
Otoño 2016
Concepto de campo vectorial.
Producto por escalar, producto
interior y vectorial de campos
vectoriales. Ejemplos
Repaso Algebra vectorial
Campos vectoriales
Escalares y Vectores
•  Escalar: definido solo por magnitud
Notación: letras comunes
Ejemplo: masa (m), temperatura (T), longitud (l)
•  Vector: magnitud y dirección
Notación: negritas, letras con flecha encima
Ejemplo: velocidad (v, v) , fuerza (F, F)
Representación gráfica
Una flecha
Vector PQ
También A
P
Punto inicial
Q
Punto final
Magnitud: tamaño del vector
Notación: A, |A|, |A|
Reglas del álgebra de vectores
•  Igualdad de vectores
A y B son iguales (A = B) si tienen la misma
dirección y magnitud sin importar sus
puntos iniciales
A
B
Reglas del álgebra de vectores 2
•  -A
-A tiene la misma magnitud de A pero
dirección opuesta
A
-A
Suma geométrica de dos vectores
A
C=A + B
B
Regla del paralelogramo
Diferencia de dos vectores
A - B es el vector C tal que la suma de C y B da como resultado A
C= A - B à C+B=A
A
C=A-B
B
A=C+B
Diferencia de dos vectores
Equivalentemente, A - B = A + (-B)
A
C = A +(- B)
-B
C=A-B
B
Vector Nulo
•  Si A=B, A-B es el vector nulo
•  Magnitud cero
•  Dirección indefinida
Multiplicación por un escalar
Vector A y escalar mà mA tiene
magnitud: |m| veces la magnitud de A
Dirección: misma si m>0
opuesta si m<0
Si m=0, tenemos el vector nulo
A
2A
-2A
m=2
m=-2
Leyes del álgebra de vectores
Si A, B y C son vectores y m y n son escalares, entonces:
1.  Ley conmutativa de la adición de vectores:
A + B = B + A.
2. Ley asociativa de la adición de vectores:
A + (B + C) = (A + B) + C.
3. Ley asociativa de la multiplicación de vectores:
m(nA) = (mn)A = n(mA).
4. Ley distributiva de vectores:
(m + n)A = mA + nA
y
m(A + B) = mA + mB.
Vectores Unitarios
•  magnitud es la unidad
•  Vectores unitarios rectangulares: tienen la
dirección positiva de los ejes de un sistema
cartesiano de coordenadas
z
k
x
i
j
|i|=|j|=|k|=1
y
Componentes de un vector
z
A
A1i+ A2j
Punto final de A
(A1,A2,A3)
A3k
A1i
x
A2j
y
A1 componente x
A2 componente y
A3 componente z
A = A1i+ A2j+A3k
Álgebra de vectores.
Componentes
A = A1i+ A2j+A3k
magnitud
A=
A12 + A22 + A32
Ejemplo: Vector de posición, va del origen a (x,y,z)
r = xi+ yj+zk
r = x2 + y2 + z2
Leyes del álgebra de vectores
A = A1i + A2j + A3k , B = B1i +B2j + B3k,
Suma
A + B = A1i + A2j + A3k + B1i + B2j + B3k
= A1i + B1i + A2j + B2j + A3k + B3k
= (A1 + B1)i + (A2 + B2)j + (A3 + B3)k
Producto por escalar
nA = n(A1i + A2j + A3k)
= nA1i + nA2j + nA3k
Producto escalar o producto punto
A·B= AB cos θ
0≤ θ ≤π
Cantidad escalar
A
θ
Si θ =π/2 à cos θ=0
Los vectores son perpendiculares entre sí
si su producto punto es cero
B
Si queremos saber si dos vectores son perpendiculares,
calculamos su producto punto
Leyes del producto punto
1. A · B = B · A, conmutativa.
2. A · (B + C) = A · B + A · C, distributiva.
3. m(A · B) = (mA) · B = A · (mB) = (A · B)m,
donde m es un escalar.
4. i · i = j · j = k · k = 1, paralelos.
5. i · j = j · k = k · i = 0 perpendiculares (ortogonales) entre sí.
6. Si A = A1i + A2j + A3k y B = B1i + B2j + B3k, entonces
A · B = A1B1 + A2B2 + A3B3
2
2
2
2
A
+
A
+
A
A·A=A = 1
2
3 magnitud al cuadrado
7. Si A · B = 0, A y/o B no son el vector nulo, entonces A y B
son perpendiculares.
Producto Vectorial o Producto Cruz
A ×B = AB sen θ u
u
B
θ
A
u es un vector unitario perpendicular a A y B
Dirección: Regla de la mano derecha o del
tornillo
Si θ =0 à sen θ=0
Si A = B o si A es paralelo a B,
entonces A × B = 0.
Si queremos saber si dos vectores son paralelos,
calculamos su producto cruz
Leyes del producto cruz
1.  A × B = -B × A. No es conmutativo
2. A × (B + C) = A × B + A × C, distributiva.
3. m(A × B) = (mA) × B = A × (mB) = (A × B)m,
donde m es un escalar.
4. i × i = j × j = k × k = 0.
5. i × j = k
j×k=i
k×i=j
Leyes del producto cruz
6. Si A = A1i + A2j + A3k y B = B1i + B2j + B3k, entonces
i
A × B = A1
j
A2
k
A3
B1
B2
B3
A1
A3
=
A2
A3
B2
B3
i−
B1
A1
j+
B3
B1
A2
k
B2
Leyes del producto cruz
7. |A × B| = área del paralelogramo con lados A y B
B
h
θ
A
h= Altura del paralelogramo
h=Bsen θ
Area=base×altura
=ABsenθ
8. Si A× B = 0 y A y/o B no son el vector nulo,
entonces A y B son paralelos (θ=0).
Leyes de productos triples
1. En general (A · B) C ≠A (B · C).
2. A · (B × C) = C ·(A × B) = B · (C × A)
AxB
α
B
C
θ
Permutación cíclica
Volumen=Área de base×altura
= (ABsenθ)×C cosα
= |AxB| × |C| cos α
= (AxB)·C
A
Triple producto escalar = volumen del paralelepípedo con
A, B y C como ejes.
Leyes de productos triples
3. Si A = A1i + A2j + A3k,
B = B1i + B2j + B3k y
C = C1i + C2j + C3k, entonces
A · (B × C) =
A1
A2
A3
B1
B2
B3
C1 C2 C3
Triple producto escalar
Permutación cíclica de renglones no modifica el determinante
leyes de productos triples
4. A × (B × C) ≠ (A × B) × C. No es asociativo
5. A × (B × C) = (A · C)B - (A · B)C
y
(A × B )× C = (A · C)B - (B · C)A.
6. A · (B × C) = (A × B) · C.
Observar siempre que ambos miembros sean del mismo
tipo (escalares o vectores)
CAMPO VECTORIAL
Campo vectorial
•  Vector: Una magnitud física que requiere,
además de magnitud, la dirección para su
caracterización
•  Campo vectorial: asocia un vector a un
punto en el espacio
•  Sean f,g, h funciones reales definidas en R3,
la función vectorial depende de x,y,z
R (x,y,z) = f(x,y,z) i + g(x,y,z) j + h(x,y,z) k
Ejemplos
Campo vectorial: velocidades en
fluidos
Este campo depende también del tiempo t
Flujo en fluido:
diferente viscosidad à campos de
velocidades distintos
Velocidad del viento
Campo eléctrico
•  Fuerza ejercida por la atracción o repulsión
sobre una carga unitaria positiva
•  Ley de Coulomb:
Fuerza sobre q=1, carga unitaria situada (x,y,z),
debida a carga Q en el origen
!
Q
F ( x, y, z ) = k 2 rˆ
r
r
r̂
r̂
q =1
!
F
Q
Distancia entre cargas
Vector unitario a lo largo de línea que une las cargas
k constante que depende del sistema de unidades
r
Ejemplo: cargas puntuales
La dirección es radial
Carga Positiva:
Fuerza es repulsiva
Líneas de fuerza
Líneas paralelas
al campo
Carga negativa:
Fuerza atractiva
Campo de un dipolo eléctrico
Un dipolo es un par de cargas de igual magnitud pero de
signo diferente, separados por una distancia d
Flechas indican
dirección del campo
Curva: potencial
toma un valor
constante
Campos eléctricos
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/electrico/
cElectrico.html#Campo%20el%C3%A9ctrico%20y%20potencial
%20de%20una%20carga%20puntual