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LICEO MARTA DONOSO ESPEJO
REPASO
Sistema de numeración decimal
Anotemos una escala que sirve para representar lo fundamental del sistema de
numeración decimal.
100.000.000
cM
Centena de
Millón
10.000.000
dM
Decena de
Millón
1.000.000
uM
Unidad de
Millón
100.000
Cm
10.000
Centena
de Mil
dm
Decena de
Mil
1.000
um
Unidad de
Mil
100
c
Centena
10
d
Decena
1
u
Unidad
Vemos que las unidades de los distintos órdenes se agrupan de diez en diez.
Diez unidades de un orden forman una unidad de orden superior.
Ejemplo: Analicemos el orden de unidades y el valor posicional del número
7 : Su orden es unidades de mil y su valor de posición 7.000
3 : Su orden es centenas y su valor de posición 300.
8 : Su orden es decenas y su valor de posición 80.
5 : Su orden es unidades y su valor de posición 5.
O sea 7385 = 7.000 + 300 + 80 + 5.
7385.
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CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un número es divisible por 2 cuando es par o termina en 0, 2, 4, 6, ó 8.
Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo
de 4.
Un número es divisible por 5 cuando terminan en 0 ó en 5.
Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.
Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola
por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o
múltiplo de 7.
Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo
de 8.
Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.
Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de
sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de
derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.
Un número es divisible por 13 cuando separando la primer cifra de la derecha,
multiplicándola por 9, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así
sucesivamente, da cero o múltiplo de 13.
Un número es divisible por 17 cuando separando la primera cifra de la derecha,
multiplicándola por 5, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así
sucesivamente, da cero o múltiplo de 17.
Un número es divisible por 19 cuando separando la primera cifra de la derecha,
multiplicándola por 17, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así
sucesivamente, da cero o múltiplo de19.
Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo
de 25.
Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo
de 125.
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Números primos
Un número, mayor o igual a 2, es primo cuando es divisible solamente por 1 y por sí
mismo.
Por ejemplo: El 3 es primo ya que sólo es divisible por 1 y por 3.
El 12 no es primo ya que es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6 y por 12 . El 12
es un número compuesto.
El 2 es el único número primo que es par.
La Criba de Eratóstenes
La Criba de Eratóstenes consiste en eliminar los números que no sean primos y que
por tanto sean múltiplos de algún número.
Si quieres obtener los 150 primeros números primos, en la siguiente tabla, sigue los
pasos indicados:
Tacha el número 1, ya que no se considera primo ni compuesto.
Encierra el número 2 y tacha sus múltiplos. o sea, el 4, el 6, el 8, etc.
Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 3, y tacha sus
múltiplos.
Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 5, y tacha sus múltiplos.
Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los números.
Los números encerrados son los números primos.
Los restantes corresponde a los números compuestos, con exepción del 1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
33
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131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
FACTORES PRIMOS DE UN NÚMERO
Todos los números naturales se pueden descomponer en una factorización única de
números primos.
Ejemplo: Encontremos los factores primos de 48.
48
:2
24
:2
12
:2
6
:2
3
:3
1
Luego 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 =
También se puede utilizar un diagrama de árbol.
Utilicemos este método para obtener los factores primos de 8.
Por lo tanto 8 = 2 x 2 x 2 =
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m)
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los
múltiplos que es común a cada una de estas cantidades. Calculemos por medio de una
tabla, donde vamos dividiendo por los números primos. Cuando el número no sea
divisible se conservará.
Ejemplos: Determinemos el m.c.m. de 12 y 18
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12
18
:2
6
9
:2
3
9
:3
1
3
:3
1
El m.c.m. entre 12 y 18 es 2 · 2 · 3 · 3 =
= 36
Obtengamos ahora el m.c.m entre 8, 12, y 15
8
12
15
:2
4
6
15
:2
2
3
15
:2
1
3
15
:3
1
5
:5
1
El m.c.m. es 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120.
Otro método para obtenerlo es determinando los múltiplos de cada número y después
ver los que son comunes y de ellos elegir el menor.
Múltiplos de 12: {12, 24, 36, 48 ...}
Múltiplos de 18: {18, 36, 54, ...}
El menor múltiplo común de 12 y 18 es 36.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m. c. d.)
El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el número mayor que
los divide. Se calcula obteniendo los divisores de cada uno de los números y luego, de los
divisores comunes, se elige el mayor de ellos.
Ejemplos: Obtengamos el m.c.d entre 12 y 18
Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
El mayor divisor común de 12 y 18 es 6
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PRIMOS RELATIVOS
Dos números naturales se llaman primos relativos si el máximo común divisor entre ellos es
1.
Los números 6 y 9 NO son primos relativos ya que los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6. Los
divisores de 9 son 1, 3 y 9. Por lo tanto el máximo común divisor es 3.
Los números 9 y 14 son primos relativos ya que los divisores de 9 son 1, 3 y 9, mientras que
los divisores de 14 son 1, 2, 7 y 14. Por lo tanto el máximo común divisor es 1.
Tablas de doble entrada
¿Qué ocurre si nuestro conjunto numérico es de sólo cuatro números: {0, 1, 2, 3}?
¿Cómo operaríamos con ellos al sumar y/o multiplicar?. Veamos.
Para la suma elaboremos la siguiente tabla de doble entrada:
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
Extraña, ¿verdad?, pero está correcta, aunque no te suene para nada que 2 + 2 es
0.
Para obtenerla se debe efectuar lo siguiente. sabemos que en IN 2 + 2 es 4, pero en
el conjunto dado el 4 no existe, por lo que al llegar al 3, volvemos al comienzo y de ahí
que el resultado sea 0.
Elaboremos ahora la tabla para la multiplicación:
·
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
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Comprobemos en ambas tablas si se cumplen algunas propiedades, como ser la
asociatividad.
verifiquemos primero si (2 + 1) + 3 = 2 + (1 + 3)
3+3=2+0
2 = 2, se cumple
ahora con la multiplicación: (3 · 2) · 1 = 3 · (2 · 1)
2·1=3·2
2 = 2, se cumple.
¿Tendrán estas tablas elemento neutro?. Investígalo.
Ah, y lo más importante ¿sirve para algo lo visto?
Tal vez un entendido en computación podría darte esa respuesta. Pregúntale por los
sistemas binarios.
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor decimal. Las
fracciones equivalentes representan la misma parte de una cantidad.
Si las representamos en la recta numérica, corresponden al mismo punto.
Representemos las fracciones equivalentes
y
Vemos que ambas fracciones representan la misma parte.
Para obtener fracciones equivalentes se debe amplificar o simplificar la fracción.
Por amplificar se entiende multiplicar el numerador y el denominador de una
fracción por el mismo número.
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Ejemplo: Amplifiquemos la fracción
Luego las fracciones
y
por 6 para obtener una fracción equivalente.
son equivalentes.
Por simplificar, se entiende dividir el numerador y el denominador de una fracción
por el mismo número.
Ejemplo: Simplifiquemos la fracción
Luego las fracciones
por 3 para obtener una fracción equivalente.
son equivalentes.
y
Comparar fracciones
Para comparar fracciones con igual denominador, basta con comparar los
numeradores para definir cuál es mayor o menor.
Resulta mayor la que tiene mayor numerador.
Resulta menor la que tiene menor numerador.
Ejemplo: Comparemos
. La primera es mayor ya que 5 > 2.
Para comparar fracciones con diferente denominador, se deben buscar fracciones
equivalentes con denominador común.
Ejemplo: Comparemos las fracciones
y
Para compararlas debemos reducir estas fracciones a un denominador común, a
través de la amplificación.
La fracción
la amplificaremos por 4 y la fracción
obteniéndose respectivamente,
y
.
la amplificaremos por 3,
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Como 9 > 8, la fracción mayor es
o sea
>
.
Fracciones a decimales
Para transformar una fracción a la forma decimal, se divide el númerador por el
denominador.
Así si queremos convertir
a decimal tenemos que efectuar la división 1 : 8
1 : 8 = 0,125 o sea un decimal exacto
Efectuemos ahora la transformación de
a forma decimal.
2 : 3 = 0,66666... o sea un decimal periódico
Convirtamos a decimal la fracción
1 : 6 = 0,166666... o sea un decimal semi periódico
Multiplicación de decimales
Al multiplicar dos números decimales, lo más conveniente es efectuarla como si
fueran números enteros y luego, en el resultado, separar tantos dígitos como cifras
decimales había en total en los factores.
Ejemplo:
0,07365 · 0,053 lo vamos a multiplicar como si fuera 7.365 · 53 lo cual da 390.345.
Ahora contamos la cantidad de cifras decimales de los factores 0,073365 y 0,053,
siendo de 5 y 3, respectivamente, o sea en total 8 cifras decimales.
Al aplicar la cantidad de cifras obtenidas al resultado 390.345, obtenemos como
resultado final 0,00390345.
La explicación de este procedimiento es el siguiente:
0,07365 =
y 0,053 =
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Efectuemos el producto
·
=
= 0,00390345
Se debe tener especial cuidado al multiplicar cantidades que terminan en cero ya
que no nos debemos olvidar de agregar, al resultado final, los ceros que contiene la
cifra.
Ejemplo 0,0582 · 7300
582 · 73 = 42.486
Agregamos los ceros al resultado obtenido, resultando 4.248.600.
Ahora contamos la cantidad de cifra decimales contenidas en el ejercicio, siendo 4
cifras.
Luego el resultado final es 424,8600; o mejor 424,86.
Esto tiene la siguiente justificación:
0,0582 =
y 7300 = 73 · 100
Luego 0,0582 · 7300 =
424,86
· 73 · 100 = 582 · 73·
= 42.486 ·
=
=
División de decimales
Para dividir números decimales tendremos que utilizar generalmente la amplificación
Efectuemos la división 36 : 0,5
Esto es lo mismo que decir
que 0,5 tiene un solo decimal).
, fracción que podemos amplificar por 10 (basados en
Resulta, entonces,
Efectuamos esta sencilla división 360 : 5 . Luego el resultado final de 36 : 0,5 es 72.
Si queremos comprobar que nuestro resultado está bién, debemos multiplicar 72 ·
0,5 y obtenet 36.
Otro ejemplo:
3764 : 0,04
En este caso debemos amplificar por 100, ya que 0,04 tiene dos decimales.
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Ya no es necesario transforma la expresión en fracción, para darse cuenta de que la
división a efectuar es 376.400 : 4, dando como resultado 94.100.
Pero, ¿cómo debemos operar cuando ambos son decimales?
Dividamos 0,512 : 1,6.
Para amplificar debemos observar cuál de las dos cantidades tiene mayor cantidad
de decimales. En este caso es el 0,512 y él es el que determina que se debe amplificar
por 1.000. (3 decimales, 3 ceros)
Al amplificar resulta 512 : 1600, cuyo resultado es 0,32.
Las divisiones con decimales tiene mucha aplicación en la vida cotidiana, como en lo
siguiente:
Se tiene una barra de fierro de 1,5 metros de largo y de ella se quieren obtener
pernos de 0,075 metros de largo. ¿Cuántos pernos salen? (Resp. 20)
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
Es el conjunto de medidas que se derivan del metro.
Es un sistema, porque es un conjunto de medidas; métrico, porque su unidad
fundamental es el metro; decimal, porque sus medidas aumentan y disminuyen
como las potencias de 10.
Hay cinco clases de medidas: de longitud, de superficie, de volumen, de
capacidad y de masa (peso).
1. Unidades de Longitud.
La unidad de las medidas de longitud es el metro, que se representa por m.
Los múltiplos del metro se forman anteponiendo a la palabra metro, las palabras
griegas Deca, Hecto y Kilo, que significan diez, cien y mil respectivamente, y los
submúltipos que se forman anteponiendo las palabras griegas deci, centi y mili,
que significan décima, centésima y milésima parte respectivamente.
Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez.
Los múltiplos y submúltiplos del metro son:
Kilómetro
Hectómetro
Decámetro
metro
decímetro
centímetro
milímetro
Km.
Hm.
Dm.
m.
dm.
cm.
mm.
1.000 m.
100 m.
10 m.
1 m.
0,1 m.
0,01 m.
0,001 m
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2. Unidades de Superficie.
La unidad de las medidas de superficie es el metro cuadrado, que corresponde a
un cuadrado que tiene de lado un metro lineal y se representa por m2.
Estas medidas aumentan y disminuyen de cien en cien.
Los múltiplos y submúltiplos del m2 son:
Kilómetro cuadrado
Hectómetro cuadrado
Decámetro cuadrado
metro cuadrado
decímetro cuadrado
centímetro cuadrado
milímetro cuadrado
Km2
Hm2
Dm2
m2
dm2
cm2
mm2
1.000.000 m2
10.000 m2
100 m2
1 m2
0,01 m2
0,0001 m2
0,000001 m2
3. Unidades de Volumen.
La unidad de estas medidas es el metro cúbico, que es un cubo que tiene de
arista un metro lineal y se representa por m3.
Estas medidas aumentan y disminuyen de mil en mil.
Los múltiplos y submúltiplos del m3 son:
Kilómetro cúbico
Hectómetro cúbico
Decámetro cúbico
metro cúbico
decímetro cúbico
centímetro cúbico
milímetro cúbico
Km3
Hm3
Dm3
m3
dm3
cm3
mm3
1.000.000.000 m3
1.000.000 m3
1.000 m3
1 m3
0,001 m3
0,000001 m3
0,00000000 m3
4. Unidades de Capacidad.
La unidad de estas medidas es el litro.
Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez.
Los múltiplos y submúltiplos del litro son:
Kilólitro
Hectólitro
Decálitro
litro
decílitro
centílitro
milílitro
Kl.
Hl.
Dl.
l.
dl.
cl.
ml.
5. Unidades de Peso.
La unidad de estas medidas es el gramo.
1.000 l.
100 l.
10 l.
1 l.
0,1 l.
0,01 l.
0,001 l.
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Las medidas de peso aumentan y disminuyen de diez en diez.
Los múltiplos y submúltiplos del gramo son:
Kilógramo
Hectógramo
Decágramo
gramo
decígramo
centígramo
milígramo
Kg.
Hg.
Dg.
g.
dg.
cg.
mg.
1.000 g.
100 g.
10 g.
1 g.
0,1 g.
0,01 g.
0,001 g.
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POTENCIAS:
Recuerda:
- Los elementos que intervienen son la Base y el Exponente
o El exponente indica la cantidad de veces que se
multiplica la base
o Ej. ab = a*a*a*a*………. b veces
PROIEDADES
Potencias de exponente 0
a0 = 1
50 = 1
Potencias de exponente 1
a1 = a
51 = 5
Potencias de exponente entero negativo
Multiplicación de potencias con la misma base
Se conserva la base y se SUMAN los exponentes
am · a n = am+n
25 · 22 = 25+2 = 27
División de potencias con la misma base
Se conserva la base y se RESTAN los exponentes.
am : a n = am - n
25 : 22 = 25 - 2 = 23
Potencia de un potencia
Se conserva la base y se Multiplican los exponentes
(am)n=am · n
(25)3 = 215
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Multiplicación de potencias con el mismo exponente
Se multiplican las bases y se conserva el exponente
an · b n = (a · b) n
23 · 43 = 83
División de potencias con el mismo exponente
Se dividen las bases y se conserva el exponente.
an : b n = (a : b) n
63 : 33 = 23
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GEOMETRIA
CONTENIDOS SOBRE ÁNGULOS
-
Definición de un ángulo: en geometría, se define como el conjunto de
puntos determinados por dos semirrectas, que tienen el mismo punto de
partida. También se puede definir a un ángulo como dos segmentos finitos
con un punto extremo común.
A
C
B
-
AB es una semirrecta
BC es una semirrecta
B es el punto de partida
Modo de nombrar un ángulo:
Un ángulo se designa en cualquiera de las siguientes formas:
o Con la sola letra del vértice si hay únicamente un ángulo que tenga tal
vértice. Por ejemplo B
B
o Con una letra minúscula o un número que se coloca los lados del
ángulo en las cercanías del vértice; por ejemplo, a o < 1
a
1
o Por medio de 3 letras mayúsculas, las cuales la del vértice se halla en
el centro y se nombra entre las otras dos, que se colocan sobre lados
del ángulo.
B es donde esta el ángulo y
siempre va al centro
A
B
C
El ángulo de nombra asi:
<A B C
Vértice
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Clases de ángulos:
Ángulo agudo: es menor de 90º
B
Ángulo recto: tiene 90º
90º
Ángulo obtuso : es mayor que 90º pero menor de 180º.
Ángulo llano o plano: mide 180º.
180º
Ángulo cóncavo o entrante: es mayor que 180º pero menor que 360º.
OTROS ASUNTOS SOBRE ÁNGULOS
Ángulos iguales: son los que tienen el mismo número de grados.
90º
90º
A
<A = <B
B
Recta bisectriz: divide al ángulo en dos partes iguales
1
A
<1 = < 2
2
Recta perpendicular: corta a una recta y la divide en dos ángulos rectos.
90º 90º
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Mediatriz
Si una recta biseca (corta) a un segmento, y además, es perpendicular a él
se llama mediatriz. Mediatriz es, la perpendicular a un segmento en su
punto medio.
GH es mediatriz porque:
G
GH biseca (corta) al segmento EF
90º
GH es perpendicular a EF
90º
E
F
M
Entonces
< EMG y < EMF son ángulos rectos y
M es el punto medio de EF
H
Ángulos complementarios son los que sumados dan 90º.
60º + 30º = 90º
60º
30º
Ángulos suplementarios son los ángulos que sumados dan 180º.
140º
40º
140º + 40º = 180º
Igualdad de ángulos entre paralelas:
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.
L
L1
L2
2 1
3 4
6 5
7 8
L1 y L2 son // paralelas
L es trasversal
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Tipos de ángulos formados
Ángulos correspondientes entre paralelas son iguales.
L
1= 5
2=6
2 1
L1
3=7
3 4
4=8
6 5
L2
7 8
Ángulos alternos entre paralelas son iguales.
L
2 1
3 4
L1
L2
6 5
7 8
1=7
2=8
3=5
4=6
Ángulos alternos opuestos por el vértice son iguales.
L
1
L
L2
2 1
3 4
6 5
7 8
1=3
2=4
6=8
5=7
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Triángulos
Los triángulos son polígonos de tres lados.
Las propiedades fundamentales del triángulo son:
1) La suma de sus ángulos interiores es 180º.
2) La suma de sus ángulos exteriores es 360º.
3) Cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes.
Los triángulos se clasifican:
Según sus lados en:
Equilateros: Tienen sus tres lados iguales.
Isósceles: Tienen dos lados iguales.
Escalenos: Tienen sus tres lados desiguales.
Según sus ángulos en:
Acutángulos: Tienen todos sus ángulos agudos.
Rectángulos. Tienen un ángulo recto.
Obstusángulos: Tienen un ángulo obstuso.