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34LOS POLIGONOS REGULARES. PROPIEDADES Y CONSTRUCCIONES.
POLÍGONOS: CUESTIONES PREVIAS:
• Definición de polígono Polígonos convexos y cóncavos. Inscritos y circunscritos. Cruzados.
Polígonos estrellados (concepto de especie).
• Condición de regularidad: lados y ángulos iguales. Equiángulo. Equilátero.
semirregulares aquellos polígonos que son únicamente equiángulos o equiláteros.
Son
• Nomenclatura de los polígonos según el lado. Nomenclatura de vértices (letras mayúsculas)
y lados (minúsculas / opuestos al vértice del mismo nombre).
• Centro. Vértice. Lado. Perímetro. Diagonal. Apotema. Radio.
• Angulo central. El ángulo central es siempre 360°/ nº lados; A. interno o interior de cada
vértice. A. exterior o adyacente al interior.
• Areas (perímetro por apotema partido por dos).
TRIÁNGULOS:
• Definición. Clasificaciones según lados (equilátero, isósceles y escaleno) y ángulos
(rectángulo, acutángulo y obtusángulo).
• Propiedades referentes a los lados y a los ángulos.
• Nomenclatura de lados, ángulos, vértices y rectas notables.
• Segmentos notables: alturas (h), medianas (m), bisectrices (b) y mediatrices.
• Puntos notables: ortocentro (H), baricentro (G), circuncentro (O), incentro (I) y exincentros.
• Triángulos órtico, complementario, suplementario y podar.
• Curiosidades: segmento y circunferencia de Euler, circunferencia de Taylor, Punto de
Lemoine o de Greve, punto de Gergonne, recta ceviana, ceviana isogonal, simediana...
Carecen de verdadero interés para nuestros fines.
• Área: es igual a la mitad del producto de un lado por su altura.
RESOLUCIÓN DE ALGUNOS TRIÁNGULOS DE MENOR INTERÉS O MAYOR DIFICUTAD:
Rectángulo c1, mc2
Isósceles a y radio
Escalenos a, ha, hb
ha, hb, hc
A, ha, a
a, ma, ha
B, ha, hb
a, mb, mc
arco con 2/3 de las medianas
Los lados por potencia + semejanza
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TEMA 34: LOS POLÍGONOS REGULARES
TRIÁNGULOS: CONSTRUCCIONES FUNDAMENTALES:
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dado el lado
dada la altura u otro segmento notable
1/3 h
con a y b
a y ha (altura del vértice A sobre el lado a)
b y ha
EQUILÁTEROS
ISÓSCELES
A y h+b
byA
ayB
byB
A/4
a y A (por resta de ángulos o por arco capaz)
RECTÁNGULOS
Semiperimetro y ha
hipotenusa y cateto
cateto y ángulo opuesto
cateto y áng. adyacente
hipotenusa y suma o
diferencia catetos
Ángulo y mediana
Mediana h y med. cateto
catetos
hipotenusa y áng. agudo
45°
a, b y c
a, b y C
a, B y C
a, A y B
a, b y A
a, b y ha
A, B y ha
a, b y ma
ma, mb y mc
ma, mb y mc
a, ma y ha
ESCALENOS
a, b y mc
2mc
2x
2/3
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TEMA 34: LOS POLÍGONOS REGULARES
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CUADRILÁTEROS:
• Definición.
• Clasificación: paralelogramos (lados paralelos dos a dos) [cuadrado, rectángulo, rombo y romboides],
trapecios (sólo dos lados paralelos) [trapecios rectángulos, isósceles y escalenos], trapezoides
(rectángulo, biisósceles, escaleno). Cuadro con relación entre lados
• En todo paralelogramo se cumplen las siguientes propiedades:
Tienen iguales sus lados opuestos. Tienen iguales sus ángulos opuestos. Dos ángulos consecutivos
cualquiera son complementarios. Las diagonales al cortarse se bisecan, es decir, se cortan en sus puntos
medios. Cada diagonal divide al paralelogramo en dos triángulos iguales.
•
RECTÁNGULO
CUADR
ADO
El área de un rectángulo es el producto de su base por su altura. Como consecuencia, el área de un
cuadrado es igual al cuadrado de su lado o igual a la mitad del cuadrado de la diagonal.
• El área de un paralelógramo es igual al producto de la base por la altura.
• El área de un rombo es igual a la mitad del producto de las diagonales.
• El área del trapecio es igual a la semisuma de las bases multiplicada por la altura.
CUADRILÁTEROS: CONSTRUCCIONES FUNDAMENTALES:
dado el lado
la diagonal
45°
ROMBO
ROMBOIDE
TRAPECIO
diagonal – lado
(por semejanza)
d–l
45°/2
relacionar con la construcción de un triángulo rectángulo con los mismos datos
los lados desiguales a y b
diagonal y un lado
a y su ángulo con la
diagonal
diagonal y ángulo de ésta
con un lado
a y ángulo entre diagonales
suma o diferencia de lados
desiguales
Lado y diagonal + otro lado
45°
D/2
TRAPEZOIDE
diagonal + lado
(también por
semejanza)
el lado y un
ángulo
el lado y diagonal
Diag. y un áng.
op.
las diagonales
l y d1 + d2
Diag. y altura
45°
180° lados y áng. entre
ellos
los lados y la altura
lado, ángulo y altura
los lados y diagonal
diagonales y su
ángulo
rectángulo: dadas las
bases y la altura
rectángulo: dada
base,
la altura y la diagonal
rec.: base, lado
oblicuo y ángulo entre
ellos
isósceles: dadas las
bases y la altura
isósceles: dada base,
la altura y una
diagonal
escaleno: dados los
cuatro lados
Esc.:bases y áng. de
lados con una de
ellas
escaleno: dadas las
bases y las
diagonales
Esc.: base, ángulos y
una diagonal
Esc.: dada la base, la
altura y las diagonales
biisósceles lados
desi-guales y la diag.
ó 1 de los áng. que
forman
trapezoide dado los
cuatro lados y una
diagonal
dados dos lados
opuestos, las
diagonales y la altura
dado los cuatro lados
y una altura
2 lados opuestos,
diagonales y altura
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TEMA 34: LOS POLÍGONOS REGULARES
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POLÍGONOS REGULARES DE MÁS DE CUATRO LADOS:
CONSTRUCCIONES FUNDAMENTALES CONOCIDO EL LADO:
3 pentágono
hexágono
Heptágono
Heptágono
Ángulo
7 lados
l=r
30°
4
octógono 2x4
Decágono 2x5
Decágono: sección aurea
Hexá-Dodecá-gono: 2x6
CONSTRUCCIONES FUNDAMENTALES POR DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA:
3
pentágono
hexágono
heptágono
octógono
Lado
4
eneágono
pentágono
decágono
dodecágono
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CONSTRUCCIONES POR SEMEJANZA U HOMOTECIA: PERMITEN PASAR DE UN BLOQUE
ANTERIOR AL OTRO.
Procedimiento general de división Procedimiento general dado el Procedimiento por semejanza u
homotecia que permite obtener un
lado. Traslación.
de la circunferencia (aproximado)
polígono con datos dados de otro
semejante genérico.
Siempre por
la 2ª de n
POLÍGONOS ESTRELLADOS:
Su trazado; número de ellos según número de lados (cifras primas con él menores que
su mitad) . El polígono que surge en el interior de un polígono estrellado se llama núcleo y cada
uno de sus vértices se conoce como nodos.
Copia de polígonos irregulares:
Por ángulos, por coordenadas, por ángulos centrales.
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