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EDUCACIÓN PLÁSTICA Y VISUAL
1º DE LA E.S.O.
TEMA 6: LAS FORMAS POLIGONALES
Los polígonos son formas muy atractivas para realizar composiciones plásticas. Son la
base del llamado arte geométrico, desarrollado por artistas de
diferentes culturas y épocas. Los polígonos estructuran también las
plantas y las fachadas de los edificios clásicos y modernos. Asimismo
el diseño gráfico actual recurre
constantemente a las formas poligonales.
En estas imágenes podéis ver
ejemplos de decoraciones basadas en
formas poligonales como las que
podríamos encontrar en los palacios
árabes de la Alhambra de Granada.
1.- LOS POLÍGONOS
a. Elementos de un polígono
Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por segmentos de rectas, llamados
lados. Los lados se cortan en puntos denominados vértices. Los ángulos de un polígono son
las porciones de plano limitadas por dos lados
consecutivos.
Los vértices se nombran con letras mayúsculas
(A, B...), y los lados, mediante sus dos vértices; por
ejemplo, lado AB, o por una letra minúscula, por
ejemplo, lado c. Para nombrar un polígono se emplean
las letras de sus vértices; por ejemplo, en el caso de un
triángulo, ABC.
Las diagonales de los polígonos son segmentos que
unen un vértice con otro no consecutivo. Por eso el triángulo no
tiene diagonales, mientras que un cuadrado tiene dos.
b. Clasificación de polígonos
Según la medida de sus lados y ángulos, un polígono puede ser regular o irregular.
Los polígonos regulares tienen sus lados iguales. Sus ángulos también miden lo mismo.
Los polígonos irregulares tienen, sin embargo, lados y ángulos diferentes.
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Según el número de lados, los polígonos pueden ser: triángulos, cuadriláteros,
pentágonos, etc.
Observa algunos de los polígonos que se pueden construir en función del número de lados.
Los polígonos son figuras geométricas planas, limitadas por segmentos de recta,
llamados lados. Pueden ser regulares (lados y ángulos iguales) o irregulares (lados y
ángulos diferentes)
2.- TRIÁNGULOS
El triángulo es un polígono de tres lados y, por tanto, tres vértices. Existen diferentes
clases de triángulos según la relación de igualdad o desigualdad que haya entre sus lados o
entre sus ángulos.
a. Clasificación de los triángulos
Dependiendo de la medida de sus lados, los triángulos pueden ser escalenos,
isósceles y equiláteros.
El triángulo escaleno no tiene ningún
lado igual.
El triángulo isósceles tiene al menos
dos lados iguales.
El triángulo equilátero tiene sus lados
y ángulos iguales.
El triángulo equilátero es también isósceles, y es el único triángulo regular.
Dependiendo de la clase de ángulos que posean, los triángulos pueden ser:
rectángulos, obtusángulos y acutángulos.
El triángulo rectángulo tiene un
ángulo recto (90°). Los dos lados
perpendiculares se llaman catetos, y el
tercero, hipotenusa.
El triángulo obtusángulo es el que
tiene un ángulo obtuso (mayor de
90º)
El triángulo acutángulo es el que
tiene los tres ángulos agudos
(menores de 90º)
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3.- RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
En un triángulo existen rectas características: mediatrices, bisectrices, medianas y
alturas. Estas rectas se cortan en los denominados puntos notables.
Las mediatrices de los lados son las rectas
perpendiculares a estos, trazadas por su
punto medio. Las tres mediatrices se cortan
en un punto llamado circuncentro: Cc.
El circuncentro es el centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo.
Las medianas de un triángulo son los
segmentos trazados desde los vértices
hasta el punto medio del lado opuesto. Las
tres medianas se cortan en un punto
llamado baricentro: Bc.
El baricentro es el centro de gravedad del
triángulo: si atamos una cuerda vertical a
este centro, todo el triángulo quedaría
horizontal.
Las bisectrices son las rectas que bisecan los
ángulos. El punto de intersección de las tres
bisectrices se llama incentro: lc.
El incentro equidista de los tres lados de!
triángulo y por ello es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo.
Las alturas son los segmentos perpendiculares
a los lados, trazados hasta el vértice opuesto.
En un triángulo obtusángulo, la altura
correspondiente al lado del ángulo obtuso cae
fuera del triángulo. Las tres alturas se cortan en
un punto llamado ortocentro: Oc.
4.- CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS
Existen distintos procedimientos para construir triángulos, dependiendo de los datos que
conozcamos.
a. Construcción de un triángulo equilátero dado el lado
Se traza un segmento con la medida del lado.
Con centro en sus extremos A y B, se dibujan dos
arcos de radio igual al lado. Al cortárselos arcos
tenemos el vértice C, opuesto al lado AB. Uniendo AC
y BC obtenemos el triángulo buscado.
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b. Construcción de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio
dado
1. Se dibuja la circunferencia de radio conocido
AO.
Con centro en el extremo D del diámetro AD, y el
mismo radio, se traza un arco.
Este arco corta a la circunferencia en dos puntos,
B y C.
2. Los puntos B y C son dos de los vértices del
triángulo buscado. El tercer vértice es A.
Uniendo A, B y C, tendremos el triángulo inscrito.
c. Construcción de un triángulo isósceles conociendo el lado desigual y un ángulo
igual
1. Se parte del lado b y sobre sus extremos, A
y C, se transporta, usando el compás, el
ángulo dado Â.
2. Se prolongan los lados c y a hasta que se
corten en el vértice B.
Con los tres vértices se puede trazar el
triángulo isósceles buscado.
d. Construcción de un triángulo rectángulo dados su hipotenusa y un cateto
1. Se parte del segmento AB con la longitud
del cateto dado, c.
Sobre el punto A, se eleva una perpendicular a
AB.
2. Con B como centro y radio a, se traza un
arco que corte a la perpendicular en el tercer
vértice, C.
Para terminar, se une C con B.
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e. Construcción de un triángulo cualquiera dados dos lados y el ángulo
comprendido
1. Se traza uno de los lados conocidos, por
ejemplo el BC, y en el vértice B se transporta
mediante el compás el ángulo B.
2. Sobre el lado obtenido se construye un
segmento igual al otro lado conocido, BA.
Finalmente, se une A con C para completar el
triángulo.
5.- CUADRILÁTEROS
El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Existen tres clases de cuadriláteros:
paralelogramos, trapecios y trapezoides.
a. Paralelogramos
Son los cuadriláteros que tienen los lados opuestos paralelos dos a dos. Pueden ser:
cuadrados, rectángulos, rombos y romboides.
El cuadrado es un paralelogramo que tiene
los cuatro lados iguales y ángulos rectos (90°).
Las diagonales son también iguales y se
bisecan, es decir, se cortan en el punto medio,
y son perpendiculares.
El rectángulo es un paralelogramo que tiene
los lados iguales dos a dos y los ángulos
rectos. Las diagonales son iguales y se
bisecan, pero son, a diferencia del caso del
cuadrado, oblicuas; es decir, no forman ángulo
recto.
El rombo es un paralelogramo que tiene los
cuatro lados iguales, pero los lados
consecutivos son oblicuos. Las diagonales son
desiguales, se bisecan y son perpendiculares.
El romboide es un paralelogramo que tiene
los lados iguales dos a dos y oblicuos los
lados consecutivos. Las diagonales son
desiguales y se bisecan, pero son oblicuas.
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b. Trapecios
Son los cuadriláteros que tienen solo dos lados paralelos. Pueden ser: trapecio
rectángulo, trapecio isósceles y trapecio escaleno.
El trapecio rectángulo tiene
dos lados paralelos y dos
ángulos rectos. Las
diagonales son desiguales,
oblicuas, y no se bisecan.
El trapecio isósceles tiene
dos lados paralelos y los
ángulos ¡guales dos a dos.
Las diagonales son iguales,
oblicuas, y no se bisecan.
El trapecio escaleno tiene
dos lados paralelos y los
cuatro ángulos desiguales.
Las diagonales son
desiguales, oblicuas, y no se
bisecan.
c. Trapezoides
El trapezoide es el cuadrilátero que no
tiene ningún lado paralelo y que tiene tanto los
lados como los ángulos diferentes. Las
diagonales son desiguales, oblicuas, y no se
bisecan.
6.- CONSTRUCCIÓN DE CUADRILÁTEROS
El trazado geométrico de los cuadriláteros puede realizarse de varias maneras. Observa
con atención los diferentes procedimientos que te mostramos en estas páginas.
a. Construcción de un cuadrado dado el lado
Se traza un segmento con la
medida del lado, AB.
Sobre sus extremos se levantan
las perpendiculares I y m, y sobre
estas, se transporta con el
compás la medida del lado. Para
ello, con centros en A y B, se
trazan dos arcos que cortan a I y
m en los puntos C y D.
Al unir C y D, se obtiene el
cuadrado buscado.
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b. Construcción de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio dado
1. Se dibuja la circunferencia de radio
conocido AO.
Se traza un diámetro, con extremos A y B.
2. Se traza otro diámetro, CD, perpendicular al
anterior.
A, B, C y D son los vértices del cuadrado
buscado.
c. Construcción de un rectángulo conociendo la diagonal y un lado
1. Se traza la diagonal AC y, haciendo centro
en su punto medio O, se traza la
circunferencia de radio OC.
Con centro en C y radio igual al lado, se traza
un arco que corta a la circunferencia en el
vértice B.
2. Al unir B con A y C se tienen los dos
primeros lados.
Se traza, usando las plantillas, una paralela a
BC que pase por A.
Esta paralela corta a la circunferencia en el
punto D, el último vértice del rectángulo.
d. Construcción de un rombo dadas las dos diagonales
1. Se dibuja la primera diagonal AC y se traza
su mediatriz, que corta a AC en el punto O.
2. A partir de O, se lleva sobre la mediatriz la
mitad de la segunda diagonal BD en los dos
sentidos, OB y OD.
Al unir los vértices, se obtiene el rombo ABCD.
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e. Construcción de un trapecio rectángulo dadas las bases y la altura
1. Se dibuja la base mayor AB, y por su
extremo A, se traza una perpendicular.
Sobre ésta, se levanta la altura AC.
2. Seguidamente, se traza la paralela a AB
que pasa por C.
Sobre ella, se transporta el segmento CD.
Al unir D con B se obtiene el trapecio ABCD.
7.- POLÍGONOS REGULARES DE ÁNGULOS CONVEXOS
Aunque existen diferentes métodos para construir polígonos regulares de más de cuatro
lados, en este curso se presenta un método general, a partir del cual puedes trazar polígonos
de cualquier número de lados.
Método general de construcción de polígonos regulares
Se quiere, por ejemplo, construir un polígono de cinco lados:
Se dibuja un segmento AQ, de 5 cm de
longitud, al que hacemos cinco divisiones
iguales.
En la mitad del segmento se sitúa el centro de
una circunferencia cuyo radio abarca hasta los
extremos de AQ.
Se traza la circunferencia.
Sobre el extremo A y con radio AQ, se traza
un arco.
Se repite la misma operación haciendo centro
en el extremo Q.
Llamamos P a la intersección de ambos arcos.
Se une con una recta el punto P, y la segunda
división del segmento AQ.
Prolongando la recta hasta la circunferencia,
se obtiene el punto B sobre esta.
El segmento AB es el primer lado del
pentágono buscado.
Con ayuda del compás se transporta esta
distancia cinco veces sobre la circunferencia,
pinchando sucesivamente en cada nuevo
vértice hasta volver al punto A.
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8.- POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS
Los polígonos estrellados son polígonos con ángulos cóncavos que tienen forma de
estrella. Para construir estos polígonos también se puede usar un método general.
a. Polígono estrellado de cinco puntas
Se dibuja un pentágono regular por el método general y se
borra el trazado auxiliar inicial. Se van uniendo los vértices,
dejando, entre cada dos, uno sin unir. Al dar dos vueltas a la
circunferencia se cierra el polígono.
b. Polígono estrellado de seis puntas
Este polígono se consigue dibujando dos triángulos
equiláteros invertidos, inscritos en una circunferencia,
borrando los trazados auxiliares iniciales.
c. Polígono estrellado de siete puntas
Existen dos posibilidades. En ambas se parte del heptágono regular convexo.
Para trazar el primero se unen los vértices de
dos en dos, es decir, dejando, entre cada dos
que se unen, uno en medio sin unir.
En este caso se unen los vértices del
heptágono, dejando, entre cada dos, dos sin
unir. Al dar tres vueltas al heptágono, se
cierra el polígono.
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