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CEPRE-UNAM-2015 - ARITMÉTICA JUEVES 20-11-14 _____________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ Teniendo en cuenta su cantidad de divisores, los Ejemplo: números enteros positivos se clasifican en: Nro. Compuesto El uno (1) tiene un solo divisor Los números primos tienen solo 2 divisores Z+ NÚMEROS SIMPLES Los números compuestos tienen más de 2 divisores 3. Divisores 4 1, 2, 4 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 25 1, 5, 25 40 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI) Es aquel conjunto de dos o más 1. números, cuyo único divisor en común NÚMEROS PRIMOS es la unidad. Son aquellos que tienen solo 2 divisores. Ejemplo: Ejemplo: Números Primos 2. Números Divisores 2 1, 2 3 1, 3 5 1, 5 7 1, 7 11 1, 11 13 1, 13 : : NÚMEROS COMPUESTO Divisores 6 1 , 2, 3, 6 15 1 , 3, 5, 15 20 1 , 2, 4, 5, 10, 20 Único divisor en común Para que 2 ó + números, sean PESI solo deben tener en común a la unidad como divisor. Son todos aquellos números que tienen más de 2 divisores. _____________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Prof. Roberto W. Ramirez Q. WEB: MATEMATICAFACILRR.JIMDO.COM CEPRE-UNAM-2015 - ARITMÉTICA JUEVES 20-11-14 _____________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 4. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA Cualquier número compuesto puede ser expresado como indicada de elevados a sus la multiplicación factores exponentes Para la cantidad total de divisores aumentamos una unidad a cada exponente de su descomposición canónica primos enteros y positivos (Descomposición Polinómica). Ejemplo: NOTA: Descomponer 1600 canónicamente. Total de divisores = Div. Primos + Div. Compuestos + 1 1600 2 800 2 400 2 200 2 Factores primos de 1600 100 2 1600 = 26 x 52 50 2 25 5 Para este caso utilizaremos 5 5 fórmula: de un número 6. SUMA DE DIVISORES DE UN NÚMERO (SD) la siguiente 1 A 1 1 B 1 1 C 1 1 SD(N) = A1 B1 C 1 5. CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO (CD) Un método práctico para determinar la cantidad de divisores de un número es utilizando su descomposición canónica. Veamos: Hallar la cantidad de divisores de 120 3 x31x51 120 2 120 = 2 60 2 Luego: 30 2 CD(120) = 4 x 2 x 2 15 3 CD(120) = 16 5 5 1 1. 2. ¿Qué grupo de números son PESI? a) 12, 15, 16 b) 21, 70, 105 d) 20, 27, 49 e) 100, 13, 17 c) 7, 13, 39 Indicar cuál de los siguientes números tiene mayor cantidad de divisores. I. 240 II. 72 a) Solo I b) Solo II d) Solo I y II e) Solo I y III III. 128 c) Solo III _____________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Prof. Roberto W. Ramirez Q. WEB: MATEMATICAFACILRR.JIMDO.COM CEPRE-UNAM-2015 - ARITMÉTICA JUEVES 20-11-14 _____________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 3. Indicar la suma de la cantidad de divisores de 24 y 60. 10. Sea: A = Cantidad de divisores de 36 B = Cantidad de divisores de 30 4. a) 16 b) 18 d) 24 e) 12 2 c) 20 3 Dado el número N = 2 x 3 x 5 1 Calcular la cantidad de divisores de A + B a) 3 b) 2 d) 5 e) 6 c) 4 ¿Cuántos divisores tiene? 11. ¿Qué a) 20 b) 22 d) 36 e) 30 c) 24 número tiene mayor cantidad de divisores? A = 22 x 33 x 5 1 B = 24 x 3 2 x 72 5. Del problema anterior, ¿Cuántos divisores C = 2400 simples tiene N? a) 2 b) 3 d) 4 e) 1 c) 8 a) A b) B d) A y B e) A y C 12. Si: 6. ¿Cuántos divisores más tiene el número 360 que c) C A = 2n x 33 x 54 tiene 100 divisores, calcular “n” el número 100? a) 15 b) 10 d) 13 e) 14 c) 12 a) 4 b) 6 d) 9 e) 2 c) 8 13. Si N = 24 x 3n x 51 x 71 tiene 48 divisores. 7. Sea: Calcular el valor de “n” A : Cantidad de divisores de 20. 8. B : Cantidad de divisores de 42. a) 1 b) 2 Hallar “A + B” d) 4 e) 5 a) 18 b) 16 d) 14 e) 10 c) 12 b) 85 d) 79 e) 84 14. Si M = 23 x 71 x 114n tiene 40 divisores. Hallar “n” Calcular la suma de divisores compuestos de 36. a) 80 c) 3 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 c) 3 c) 81 15. Si P = 74 x 16 x 9n tiene 171 divisores compuestos. Calcular “n” 9. La edad de Juanita es la suma de todos los divisores de 36. ¿Cuál es la edad de Juanita? a) 36 b) 25 d) 90 e) 100 a) 1 b) 2 d) 4 e) 6 c) 3 c) 91 _____________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Prof. Roberto W. Ramirez Q. WEB: MATEMATICAFACILRR.JIMDO.COM CEPRE-UNAM-2015 - ARITMÉTICA JUEVES 20-11-14 _____________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 8. Si N = 42 . 3n tiene 3 divisores menor que 900 hallar dicho número y dar como respuesta la suma de sus cifras. 1. a) 27 b) 24 d) 18 e) 9 c) 21 Hallar el número total de divisores que tiene el producto de los 3 primeros números capicúas de dos cifras. 9. Si M = 12 . 20n tiene 24 divisores más que 672 280. Hallar el valor de “n” a) 10 b) 12 d) 16 e) 18 c) 14 a) 2 b) 3 d) 5 e) 6 c) 4 10. Si A = 12 . 30n tiene el doble de la cantidad de 2. Si 4 2n tiene 81 divisores, hallar el valor de “n” a) 20 b) 10 d) 25 e) 30 c) 15 divisores dará B = 12n . 30. Halla el valor de n. a) 3 b) 4 d) 6 e) 7 c) 5 11. ¿Cuántos divisores tendría: 3. Hallar el valor de “n” para que el número N = 36 x 362 x 363 x 364 x … x 36n? n N = 9 x 12 tenga 150 divisores. a) 2n2 + 2n + 1 a) 4 b) 5 d) 7 e) 8 c) 6 b) n2 + n + 1 c) (2n2 + 2n + 1)2 d) (n2 + n + 1)2 4. Si 4 k+2 k – 4 tiene 92 divisores. Hallar el valor e) (n2 +1)2 de “k -1” 12. Calcular el valor de P si M = 180 x 12p x 452 5. a) 3 b) 10 d) 12 e) 13 c) 11 tiene 88 divisores divisible por 8 pero no por 5. a) 2 b) 3 d) 5 e) 6 c) 4 Si N = 15 x 30n tiene 294 divisores. Hallar el valor de “n” 13. ¿Cuántos divisores del número N = 174 636 000 son primos con 12? 6. a) 3 b) 4 d) 6 e) 8 c) 5 a) 18 b) 20 d) 30 e) 36 c) 24 Hallar un número N = 12n . 15n sabiendo que tiene 75 divisores. Dar como respuesta la suma de cifras de “N” 14. ¿Cuántos ceros se deben poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos? 7. a) 18 b) 15 d) 27 e) 21 c) 9 Hallar el valor de “n” sabiendo que 15n . 75 tiene (7n + 174) divisores. a) 6 b) 8 d) 5 e) 4 c) 9 15. Si se multiplica los 200 primeros números primos y el resultado se dividen entre cuatro. ¿Cuál será el resto? a) 11 b) 12 d) 14 e) 15 c) 13 a) 0 b) 1 d) 3 e) 4 c) 2 _____________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Prof. Roberto W. Ramirez Q. WEB: MATEMATICAFACILRR.JIMDO.COM