Download 2 Clases de división entera - matemática

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CENTRO PREUNIVERSITARIO
NÚMEROS NATURALES Y
NÚMEROS ENTEROS
Ejemplo:
o
* 24  4, porque 24  4 (6)
o
r
o
* a x b  a  b , si a y bZ 
Observaciones:
 D= d xq + r
q
o
o
A  B  B( K )  B
1 División entera
D d
MATEMÁTICA I
o
Algoritmo de la
Divisió entera
1) B  B
;
BZ 
o
;
K Z 
2) 0  K
4. Criterios de divisibilidad
a) Por 2n 5n : Un número es divisible por 2n o 5n ,
si y sólo si el bloque formado por sus “n” últimas
cifras es divisible por 2n o 5n respectivamente, en
caso contrario el bloque nos dará el residuo.
Nota :
D, d, q,Z(d  0)
r Z0
2 Clases de división entera
 División Exacta (r = 0)
Ejemplo:
o
56 7
N  10  e
 56 = 7 x 8
0 8
o
o
o
o
Será N  2  e  2
En general:
D d
Será N  5  e  5
 D= d xq
o
N  abcde
0 q
N  100  de
o
o
Será N  4  de  4
 División inexacta (r  0)
Por defecto
Por exceso
51
8
51
8
3
6
5
7
o
o
Será N  25  de  25
o
N  1000  cde
o
51 = 8(6) + 3
D d
D d
r
r q+1
e
q
D = dq + r
D = d(q + 1) - r
o
Será N  8  cde  8
51 = (7) - 5
o
o
Será N  125  cde  125
b) Por 3 ó 9: Un número es divisible por 3 ó 9, si y
e
o
Nota :
En toda división entera inexacta (r  0), se cumple :
i. 0  residuo  d
ii. rmínimo  1
rmáximo  d  1

iii. r  re  d
o
3456  9
o
(Suma de cifras es 18 = 9 )
3 Divisibilidad:
Un número entero A es divisible entre otro número
positivo “B”, si al dividir “A” entre “B” la división es
entera y exacta.
En general:
Sean: A  Z , B  Z  , k  Z
Como:
o
sólo si la suma de sus cifras es un 3 ó 9
respectivamente. En caso contrario nos dará el
residuo.
Ejemplo:

o
5557 = 9 +4
o
(Suma de cifras es 22 = 9 + 4)
En general:
N  abcde
o
o
o
o
B
* Será N  9  a  b  c  d  e  9
0 k
* Será N  3  a  b  c  d  e  3
A
Luego se afirma que: “A” es divisible entre “B” (“B”
es divisor de “A”)
Notación: Si “A” es múltiplo de “B”
CICLO PREPARATORIO
Pág. 1
c) Por 11: Un número es divisible por 11, si y sólo
si la suma de sus cifras de lugares impares menos
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la suma de cifras de lugares pares contabilizando
de derecha a izquierda nos da un múltiplo de 11,
en caso contrario nos dará el residuo.
Ejemplo:

o
73513  11  (3  5  7)  (1  3)




Si:
o
AxB= n
donde “A” y “n” no tienen divisores en común,
aparte de la unidad, entonces:
o
Bn
o
11
o
 73513  11
d) Por 7: Un número es divisible por 7, si y sólo si
al multiplicar sus cifras por las constantes 1, 3, 2, 1, - 3, - 2, 1, 3, 2, -1, - 3, - 2, ... a partir de la cifra
de menor orden y sumar los resultados se obtiene
una cantidad múltiplo de 7, en caso contrario nos
dará el residuo
Ejemplo:

6 4 418 2
Ejemplos:
o
o
o
 A  21
6. Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton
o
o
( n r ) k  n r k
; k Z

Ejemplo:
o
o
o
o
(13 2) 2  (13 2)(13 2)  13 2 2
En general:
o
a - r n ; n : impar
o
o
 644182  7
e) Por 13: Un número es divisible por 13 si al
multiplicar sus cifras por las constantes 1, - 3, - 4,
- 1, 3, 4, 1, - 3, - 4, - 1... a partir de la cifra de
menor orden y sumar los resultados se obtiene
una cantidad múltiplo de 13, en caso contrario nos
dará el residuo.
Ejemplos:

3 6 418 2 0
1
4 3 1
4 31
o
(13 - r) n
o
a+r
n
; a ,r, n Z +
; n : par
NÚMEROS PRIMOS
1. Divisor propio:
Es todo aquel divisor de N, menor que dicho
número.
Ejemplo:
6  1, 2, 3, 6

o
: 3  24  12  1 32  6  0  0  13
o
 3641820  13
f) Por 33 ó 99: Un número es divisible por 33 ó
99, si al descomponer el número en bloques de
dos cifras a partir del menor orden y sumarles el
resultado sea múltiplo de 33 ó 99.
Ejemplos:
303171

o
30 + 31 + 71 = 132 = 33
o
 303171  33
Observación: Si un número es múltiplo entre
varios módulos, entonces, será múltiplo del menor
número que contenga a dichos módulos.
En general:
o
A  a
o

A  b
o
A  c


2. 8 x A  21
 N  13

 12  12  4  2  24  2  0  7

o
1. 5 x N  13
2
312
31



MATEMÁTICA I
Divisores
Divisores propios: 1; 2; 3
2. Número primo
Es aquel número que tiene únicamente 2
divisores: el mismo y la unidad.
1
2 1 ;3 1 ;....; P
2
P
3
P: número primo (# primo absoluto)
Observación:
1. No existe fórmula
para hallar todos los
números primos.
2. La serie de los números primos es ilimitada,
ósea que por más grande que sea un número
primo, siempre hay otro número primo mayor.
3. Si “P” es un número mayor que 2.
o
P= 4 1
4. Si “P” es un número primo mayor que 3.
o
P = 6 1
5. Número simple:
o
A  n , donde " n" es el menor número que
1, 2, 3, 5, .......
contiene " a" , " b" y " c"
Números primos.
6. Número compuesto: Es aquel número que tiene
más de 2 divisores.
Ejemplo:
5. Principio de Arquímedes
CICLO PREPARATORIO
Pág. 2
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4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; . . . .
6

1; 2; 3; 6
Unidad
MATEMÁTICA I
Primos
D(24) = 8
DP = 2
Compuestos
DC = 5
Divisores
(6 posee 4 divisores)
7. Todo número primo que divide a un producto
de varios factores, divide por lo menos a uno de
los factores.
3. Números primos relativos o primos entre sí
(PESI)
Son dos o más números que tienen como único
divisor común a la unidad.
Ejemplo:
Número
Divisores
10
1 ; 2 ; 5 ; 10
21
1 ; 3 ; 7 ; 21
 10 y 21 son PESI
4. Números primos entre sí dos a dos
(PESI 2 a 2)
Un conjunto de números resultará ser PESI 2 a 2
si precisamente al tomarlos en pareja resultan ser
primos entre sí.
Ejemplo:
¿Son 8; 9 y 25 PESI 2 a 2?
Solución:
8 : 1 ; 2 ; 4 ; 8
9 : 1 ; 3 ; 9
Observación:
a) Dos números enteros consecutivos siempre
son PESI.
Ejemplo:
16  1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16
17  1 ; 17
Divisores
Luego: 16 y 17 son PESI
Regla para determinar los divisores de un
número
a) Se descompone el número en factores primos.
b) Se escribe el 1 (que es divisor de todo número)
y a continuación se pone las diversas potencias
del primer factor primo.
c) Se multiplica los divisores hallados por las
diferentes potencias del segundo factor primo.
d)Se multiplica todos los factores hallados
anteriormente por las diferentes potencias del
tercer factor y así sucesivamente. El último divisor
hallado al formar éstos productos es el número
dado.
Tabla de divisores de 240
1
2
4
8
16
3
6
12
24
48
x3
5
10
20
40
80
x5
15
30
60
120 240 3x5
240 posee 20 divisores de los cuales 3 son
divisores primos ( 2 ; 3 ; 5 ).
Ejemplo:
24  1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
La
Divisores
CICLO PREPARATORIO
Número de
Divisores
divisores de 24 primos de 24
de 24
 D24  DP  DC  1  2  5  1 8
Sea “N” un número compuesto.
Divisores
compuestos
D(N)  DP  DC  1
5. Descomposición
canónica (Teorema
fundamental de la aritmética o Teorema de
Gauss)
Sea “N” el número compuesto.
N = A x B x C
Donde:
A, B, C  Factores primos.
, ,   Exponentes (números enteros
positivos)
Observación
Número
Divisores
A
B
C
1; A ; A2 ; A3 ; . . . ; A
1; B ; B2 ; B3 ; . . . ; B
1; C ; C2 ; C3 ; . . . ; C
Total
de
divisores
(+1)
(+1)
(+1)
Por el principio de combinaciones
D(N) = ( + 1) ( + 1) ( + 1)
6. Suma de divisores [SD(N)]
SD(N) 
A 1  1 B  1  1 C  1  1
x
x
A 1
B 1
C 1
Ejemplo:
240 = 24 x 3 x 5
Tenemos:
Entonces:
SD (240) 
2 41 - 1 311 - 1 511 - 1
x
x
 744
2 -1
3 -1
5 -1
SD(240) = 744
AUTOEVALUACIÓN
1. A un Congreso de Informática asistieron
personalidades europeas y americanas. De los
europeos, 2/7 son médicos, 5/4 son ingenieros y
los 8/15 son abogados. ¿Cuántos americanos se
presentaron, si en total asistieron 348
personalidades?
a) 138
b) 210 c) 238 d) 100 e) 48

2. Si: 4abc  21 8 ¿Cuál es el menor número
que se le debe sumar al número abc4 para que

sea 21 ?
a) 6
b)2
c) 16
d) 10
e) 4
3. Hallar el residuo de dividir el número 373737 ....
(200 cifras) entre 32
a) 3 b) 4
c) 9
d) 8 e) 2
4. Encontrar el número de 3 cifras tal que sea
igual a 5 veces el producto de sus cifras.
a) 125 b) 575 c) 525 d) 175 e) 315
Divisores
Pág. 3
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21. Si M  36 . 36 ...... 36 . Hallar “n”, para que M
o
5. Si:
a) 9
1a 2aa5  11 . Hallar “a”.
b) 3
c) 1
d) 2

 

"n" factores
e) 5
6. Si el número de la forma: (a  1)( a  1)aa es
divisible entre 13. Hallar “a”.
a) 7
b) 3
c) 1 d) 2 e) 6
6. Sabiendo que: 4ab58a 
a) 12
b) 9 c) 6
d) 8
o
56 . Hallar: “a + b”.
e) 5
7. Si N = mn(2m)( 2m) , ¿por qué número será
siempre divisibles?
b) 2n c) m3 d)
a) nm
3n
e) mn
8. Hallar el valor de “a”, si le número 13a 372 es
divisible entre 7.
a) 2
b) 3 c) 4
d) 5 e) 1
9. Calcular el residuo de dividir N entre 7.
o
o
o
o
o
N = 7 +2 + ( 7 +5)( 7 +3) + ( 7 -2)( 7 +3)
a) 1
b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10. Hallar el residuo de dividir 436543 entre 8
a) 2
b) 3 c) 4
d) 5 e) 1
o
11. Si:
aa ... a  9  2 . Hallar “a”

40 cifras
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 6
o
12. Hallar “a” si: 3aaa2a5  11  4
a) 7
b) 4 c) 3
d) 2
e) 6
o
13. Hallar “n”, si: n32n1n  7  5
a) 5
b) 4 c) 3
d) 2 e) 6
14. En una división inexacta se tiene que el
o
o
dividendo = 15 5 , el cociente = 15 9
y el
o
divisor = 15 3 . Por tanto el resto será:
a) 7
b) 8 c) 9
d) 2 d) 1 e) 6
15. Hallar x, si: 513 X (8)  13 X 5(8)
a) 5
b) 4 c) 3
d) 2 e) 6
o
8
o
16. Si N  7 3 , entonces el valor de N 3 será:
o
o
o
o
o
a) 7 3 b) 7 3 c) 7 6 d) 7 6 e) 7 5
17. La suma de los números de tres cifras
diferentes que se puede formar con las cifras a, b,
c; siempre será divisible entre:
a) 7
b) 8 c) 9
d) 2 d) 1 e) 10
18. El número de alumnos de un aula es menor
de 240 y mayor que 100. Si 2/7 del total usan
anteojos y los 5/13 son asmáticos. ¿Cuántos
alumnos son asmáticos?
a) 182
b) 100
c) 90
d) 70 e) 50
19. ¿Cuántos ceros tiene el número N= 200..00,
para que admita 56 divisores?
a) 5
b) 4 c) 3
d) 2 e) 6
20. ¿Cuántos divisores de dos cifras tiene el
número 720?
a) 15
b) 14 c) 13
d) 12 e) 16
CICLO PREPARATORIO
MATEMÁTICA I
Pág. 4
a) 5
b) 4 c) 3
d) 2 e) 6
22. ¿Cuántos números naturales son menores y
pesi con 720?
a) 195
b) 194 c) 193
d) 192 e) 196
23. ¿Cuántos divisores múltiplos de cinco tiene el
número 220 500?
a) 85
b) 84 c) 83
d) 82 e) 81
24. Hallar la suma de todos los divisores del
número 1020 son pesi con 187.
a) 170
b) 164 c) 150
d) 160 e) 168
25. Hallar el valor de “n”, si el número 6n . 15 tiene
84 divisores.
a) 5
b) 4 c) 3
d) 2 e) 6
26. Hallar la suma de todos los divisores del
número 660.
a) 2016 b) 2015 c) 2550
d) 2050 e) 2030
27. Cuántos números menores y pesi con 300
existen?
a) 50
b) 60 c) 90
d) 70 e) 80
28. Hallar “a”, si el número 21.15a tiene 20
divisores compuestos.
a) 5
b) 4 c) 3
d) 2 e) 6
29. Si 16n tiene “p” divisores. ¿Cuántos divisores
tendrá 256n?
a) 2p  1
b) p  1
c) 3p  1
d) p  1
e) 2p  1
30. Si 42n tiene 81 divisores. Hallar “n”.
a) 20
b) 15
c)25
d) 30
e)35
31. ¿Cuántos divisores de 90 000 son números
cuadrados perfectos?
a) 10 b) 18 c) 20
d) 24
e) 30
32. Si: M = 30. 30. 30. …30 tiene 343 divisores.
m factores
Hallar “m”
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8 e) 9
33. Si: N = 13k+2 - 13k tiene 75 divisores
compuestos. Hallar “k”
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
34. ¿Cuántos divisores tiene el número 72000 ?
a) 72 b) 76 c) 80
d) 84
e) 96
35 .¿Cuántos divisores de 2 cifras tiene el número
360?
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14
e) 7
36. ¿Cuántos ceros debe tener: N = 2000…00
para que el resultado tenga 56 divisores?.
a) 4
b) 6
c) 5
d) 7
e) 8
37. Calcular la cantidad de divisores de 18n, si:
16n tiene 28 divisores menos que 20n.
a) 27 b) 36 c) 45
d) 63 e) 54
38. Si 8n tiene "k" divisores, ¿Cuántos divisores
tiene 32n?
a) (5k-1)/3
b) (4k-2)/3
c) (5k-2)/3
d) (5k+2)/3
e) (4k-1)/2
39. ¿Cuántos ceros se deben poner a la derecha
de 9 para que el resultado tenga 243 divisores
compuestos?
a) 6
b) 8
c) 9
d) 5
e) 4
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