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1 Matemáticas 0. Álgebra elemental OPERACIONES CON FRACCIONES Lo primero que debe saberse es el significado del signo = entre dos fracciones. El significado es: a c ⇔ ad = bc → Los productos cruzados valen lo mismo. = b d Las fracciones iguales también se llaman equivalentes. Para obtener fracciones equivalentes a otra dada, basta con multiplicar o dividir sus términos por un mismo número distinto de cero. • Simplificar una fracción es hallar otra equivalente a ella pero con sus términos más pequeños. Cuando una fracción no puede simplificarse se llama irreducible. Suma y resta En el siguiente cuadro se indican los casos más frecuentes. Casos a c ad + cb • + = b d bd a c ad − cb • − = b d bd c ad ± c • a± = d d a a ± cb • ±c = b b Ejemplos 3 1 24 + 5 29 • + = = 5 8 40 40 7 8 21 − 32 − 11 • − = = 4 3 12 12 4 35 + 4 37 • 5+ = = 7 7 7 4 4 − 99 95 • − 11 = =− 9 9 9 En la práctica es conveniente hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores; así se obtienen resultados más simples. Producto a c ac · = b d bd c ac Fracción por número: a· = d d Fracción por fracción: 2 − 4 −8 · = 5 3 15 4 20 Ejemplo: 5· = 7 7 Ejemplo: División Los casos más frecuentes son: Casos a c ad • : = b d bc a b = ad (es lo mismo que antes) • c bc d c ad • a: = d c www.matematicasjmmm.com Ejemplos 6 −2 30 15 • : = =− 7 5 − 14 7 5 9 = 15 = 5 • 2 18 6 3 3 20 • 4: = 5 3 José María Martínez Mediano 2 Matemáticas 0. Álgebra elemental • • • a ad (es lo mismo que antes) = c c d a a :c = b bc a b = a (es lo mismo que antes) c bc • • • 1 4 =− 3 3 − 4 2 2 :3 = 5 15 5 6 = 5 9 54 Operaciones combinadas Cuando las operaciones aparecen combinadas, primero se resuelven los paréntesis, después las multiplicaciones y divisiones; por último, las sumas y restas. Ejemplos: En las expresiones que siguen los números son los mismos, pero varía la colocación de los paréntesis. El resultado será diferente. 2 1 3 7 a) Para hallar − ⋅ − , la prioridad es: 1) paréntesis; 2) multiplicación; 3) resta. 5 3 2 4 2 1 3 7 2 1 6 7 2 1 1 2 1 24 5 29 ; = + = − ⋅ − = − ⋅ − = − · − = + 5 3 2 4 5 3 4 4 5 3 4 5 12 60 60 60 2 1 3 7 b) Para hallar − ⋅ − , la prioridad es: 1) paréntesis; 2) multiplicación. 5 3 2 4 1 2 1 3 7 6 5 6 7 1 1 − ⋅ − = − ⋅ − = · − = − 60 5 3 2 4 15 15 4 4 15 4 2 1 3 7 c) Para hallar − ⋅ − , la prioridad es: 1) multiplicación; 2) restas. 5 3 2 4 2 1 3 7 2 3 7 24 30 105 111 − ⋅ − = − − = − − =− 5 3 2 4 5 6 4 60 60 60 60 2 1 3 7 d) Para hallar − ⋅ − , la prioridad es: 1) paréntesis; 2) multiplicación; 3) resta. 5 3 2 4 99 2 1 3 7 6 5 3 7 1 3 7 3 7 6 105 − = − =− − ⋅ − = − · − = · − = 60 5 3 2 4 15 15 2 4 15 2 4 30 4 60 60 Uso de calculadora La mayoría de las calculadoras operan con fracciones. La tecla asociada es ab/c . 5 11 Por ejemplo, la suma se hace así: 5 ab/c 18 + 11 ab/c 24 = 53/72 + 18 24 4 1 3 De manera análoga se haría para las demás operaciones. Así, para calcular − 5· + se teclea 5 3 2 como sigue: 4 ab/c 5 − 5 * ( 1 ab/c 3 + 3 ab/c 2 ) = −8/11/30 SHIFT ab/c −251/30 En la operación anterior es determinante el uso del paréntesis en el orden adecuado. Si no se hubiese utilizado el paréntesis, el resultado será: 4 ab/c 5 − 5 * 1 ab/c 3 + 3 ab/c 2 = 19/30, que evidentemente es incorrecto. www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 3 Matemáticas 0. Álgebra elemental Pequeños retos Puede ser útil realizar (con y sin calculadora) las operaciones siguientes: 4 4 1 3 1 3 4 1 3 4 1 3 a) − 5· + b) − 5· + c) − 5 · + d) − 5 · + 5 5 3 2 3 2 5 3 2 5 3 2 Soluciones: 251 19 1 77 a) − ; b) ; c) ; d) − 30 30 10 10 www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano