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Matemáticas 0. Álgebra elemental
OPERACIONES CON FRACCIONES
Lo primero que debe saberse es el significado del signo = entre dos fracciones. El significado es:
a c
⇔ ad = bc → Los productos cruzados valen lo mismo.
=
b d
Las fracciones iguales también se llaman equivalentes.
Para obtener fracciones equivalentes a otra dada, basta con multiplicar o dividir sus términos por un
mismo número distinto de cero.
•
Simplificar una fracción es hallar otra equivalente a ella pero con sus términos más pequeños.
Cuando una fracción no puede simplificarse se llama irreducible.
Suma y resta
En el siguiente cuadro se indican los casos más frecuentes.
Casos
a c ad + cb
•
+ =
b d
bd
a c ad − cb
•
− =
b d
bd
c ad ± c
• a±
=
d
d
a
a ± cb
•
±c =
b
b
Ejemplos
3 1 24 + 5 29
•
+ =
=
5 8
40
40
7 8 21 − 32 − 11
•
− =
=
4 3
12
12
4 35 + 4 37
• 5+
=
=
7
7
7
4
4 − 99
95
•
− 11 =
=−
9
9
9
En la práctica es conveniente hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores; así se
obtienen resultados más simples.
Producto
a c ac
· =
b d bd
c ac
Fracción por número: a· =
d
d
Fracción por fracción:
2  − 4 −8
·
=
5  3  15
4 20
Ejemplo: 5· =
7 7
Ejemplo:
División
Los casos más frecuentes son:
Casos
a c ad
•
: =
b d bc
a
b = ad (es lo mismo que antes)
•
c
bc
d
c ad
• a:
=
d
c
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Ejemplos
6 −2
30
15
•
:
=
=−
7 5
− 14
7
5
9 = 15 = 5
•
2
18 6
3
3 20
• 4:
=
5 3
José María Martínez Mediano
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Matemáticas 0. Álgebra elemental
•
•
•
a
ad
(es lo mismo que antes)
=
c
c
d
a
a
:c =
b
bc
a
b = a (es lo mismo que antes)
c
bc
•
•
•
1
4
=−
3
3
−
4
2
2
:3 =
5
15
5
6 = 5
9
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Operaciones combinadas
Cuando las operaciones aparecen combinadas, primero se resuelven los paréntesis, después las
multiplicaciones y divisiones; por último, las sumas y restas.
Ejemplos:
En las expresiones que siguen los números son los mismos, pero varía la colocación de los
paréntesis. El resultado será diferente.
2 1 3 7
a) Para hallar − ⋅  −  , la prioridad es: 1) paréntesis; 2) multiplicación; 3) resta.
5 3 2 4
2 1  3 7  2 1  6 7  2 1  1  2 1 24 5 29
;
=
+
=
− ⋅  −  = − ⋅  −  = − · −  = +
5 3  2 4  5 3  4 4  5 3  4  5 12 60 60 60
 2 1  3 7
b) Para hallar  −  ⋅  −  , la prioridad es: 1) paréntesis; 2) multiplicación.
 5 3  2 4
1
 2 1  3 7  6 5   6 7 1  1
 −  ⋅  −  =  −  ⋅  −  = · −  = −
60
 5 3   2 4   15 15   4 4  15  4 
2 1 3 7
c) Para hallar − ⋅ − , la prioridad es: 1) multiplicación; 2) restas.
5 3 2 4
2 1 3 7
2 3 7 24 30 105
111
− ⋅ − = − − =
−
−
=−
5 3 2 4
5 6 4 60 60 60
60
 2 1 3 7
d) Para hallar  −  ⋅ − , la prioridad es: 1) paréntesis; 2) multiplicación; 3) resta.
 5 3 2 4
99
 2 1  3 7  6 5  3 7 1 3 7 3 7 6 105
− =
−
=−
 −  ⋅ − =  − · − = · − =
60
 5 3  2 4  15 15  2 4 15 2 4 30 4 60 60
Uso de calculadora
La mayoría de las calculadoras operan con fracciones. La tecla asociada es ab/c .
5 11
Por ejemplo, la suma
se hace así: 5 ab/c 18 + 11 ab/c 24 = 53/72
+
18 24
4
1 3
De manera análoga se haría para las demás operaciones. Así, para calcular − 5· +  se teclea
5
3 2
como sigue:
4 ab/c 5 − 5 * ( 1 ab/c 3 + 3 ab/c 2 ) = −8/11/30 SHIFT ab/c −251/30
En la operación anterior es determinante el uso del paréntesis en el orden adecuado. Si no se
hubiese utilizado el paréntesis, el resultado será:
4 ab/c 5 − 5 * 1 ab/c 3 + 3 ab/c 2 = 19/30, que evidentemente es incorrecto.
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José María Martínez Mediano
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Matemáticas 0. Álgebra elemental
Pequeños retos
Puede ser útil realizar (con y sin calculadora) las operaciones siguientes:
4
4
1 3
1 3
4 1 3
 4 1 3
a) − 5· + 
b) − 5· +
c)  − 5 · +
d)  − 5 · + 
5
5
3 2
3 2
5
3 2
5
3 2
Soluciones:
251
19
1
77
a) −
; b) ; c)
; d) −
30
30
10
10
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José María Martínez Mediano