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Índice General
3 El potencial eléctrico 1
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Energía potencial eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Trabajo electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Carácter conservativo del campo electrostático . . . . . . . . . . .
3.2.3 Energía potencial electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Cálculo directo del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Potencial debido a distribuciones discretas de carga . . . . . . . .
3.4.2 Potencial debido a distribuciones continuas de carga . . . . . . . .
3.5 Cálculo del potencial a partir del campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial. Gradiente del potencial
3.6.1 Significado del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Energía electrostática de formación de distribuciones de carga . . . . . . .
3.7.1 Energía de formación de una distribución discreta de carga . . . .
3.7.2 Energía de formación de distribuciones continuas de carga . . . . .
3.8 ¿Quién fue quién en Electromagnetismo?. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 James Clerk Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Versión
2010
1
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2
2
2
2
4
4
6
7
7
7
8
11
14
16
17
17
19
20
20
Tema 3
El potencial eléctrico 1
3.1
Introducción
Trabajo a través de un camino circular:
Consideramos el camino circular de la figura 3.1.
En este caso, el trabajo entre los puntos A y B
vale:
Como ya sabemos, una distribución de carga produce en el espacio que la circunda un campo eléctrico.
En este tema introduciremos otro tipo de campo
llamado potencial eléctrico, o simplemente potencial.
se define como la fuerza por
El campo eléctrico E
unidad de carga y la fuerza es un vector, por tanto
es un campo vectorial. En este tema definiremos
E
el potencial V como la energía potencial por unidad de carga y, como la energía es un escalar, el
potencial resultará ser un campo escalar. Debido
a su naturaleza escalar, muchas veces es más aconsejable trabajar con el potencial que directamente
con el campo. En este tema veremos la relación
así como la forma de calcular uno a
entre V y E,
partir del otro.
3.2
3.2.1
WA→B =
B
A
· d = q
F
A
· d
E
= 0.
r
E
q
r
RB
r
R
r
dl
q'
A
r
RA
Supondremos una carga puntual fuente q fija y otra
carga puntual de prueba q. Nuestro interés inicial
es calcular el trabajo W realizado por la fuerza eléctrica cuando la carga q se desplaza desde un punto
origen A hasta otro punto destino B:
WA→B =
A
B
Trabajo electrostático
B
B
El trabajo resultante es nulo ya que el campo creado por q es perpendicular al camino.
Energía potencial eléctrica
Figura 3.1: Camino circular.
Trabajo a través de un camino radial:
· d.
F
En este caso, considerando el camino de la figura
3.2 tenemos
Antes de considerar un desplazamiento general
de la carga q, estudiaremos algunas trayectorias
particulares.
WA→B =
B
A
2
· d = q
F
B
A
· d
E
,
3.2 Energía potencial eléctrica
3
y teniendo en cuenta que el campo creado por q vale
= 1 q R̂,
E
4π0 R2
el trabajo resulta
B
1 q
WA→B = q
R̂ · dR R̂
4π0 R2
A
RB
RB
qq
1
qq 1
=
dR
=
−
4π0 RA R2
4π0
R RA
qq
1
1
=
−
.
4π0 RA
RB
r
E
r
dl
RA
q'
A
Esto es cierto con independencia del número de
tramos radiales y circulares que conformen el camino.
B
r
dl
RB
D
q
RD
B
RC
q'
q
r
dl
RA
A
r
dl
C
RB
Figura 3.3: Camino radial-circular-radial.
Figura 3.2: Camino radial
Trabajo a través de un camino radialcircular-radial:
El trabajo realizado por la fuerza eléctrica a lo largo Trabajo electrostático a través de una trayectoria arbitraria:
del camino mostrado en la figura 3.3 es
B
· d
WA→B =
F
A
Cualquier camino arbitrario puede descomponerse
C
D
B
en un número infinito de tramos radiales y circula · d +
· d +
=
F
F
F · d
res, como se ilustra en la figura 3.4.
A
D
C =0
El trabajo realizado en los tramos circulares es
qq
1
1
nulo, por tanto el trabajo total es la suma de las
−
=
4π0 RA
RC
contribuciones de los tramos radiales.
qq
1
1
+
−
,
Al realizar esta suma, los términos que dependen
4π0 RD
RB
de distancias distintas de RA y RB se cancelan eny como RC = RD , queda
tre sí. Por tanto el trabajo realizado al recorrer un
camino de forma arbitraria entre A y B es
qq
1
1
WA→B =
−
.
4π0 RA
RB
El trabajo realizado por la fuerza eléctrica depende únicamente de las posiciones inicial (RA ) y
final (RB ) de la carga de prueba q.
WA→B =
B
A
· d = qq
F
4π0
1
1
−
RA
RB
.
3.2 Energía potencial eléctrica
4
B
RB
r
dl
C
q
q'
Figura 3.5: Camino cerrado.
RA
A
3.2.3
Energía potencial electrostática
El trabajo realizado por una fuerza conservativa
Figura 3.4: Descomposición de una trayectoria arpuede expresarse como la diferencia de energías pobitraria en caminos circulares y radiales.
tenciales entre el punto destino y el punto origen
cambiado de signo, luego para la fuerza eléctrica
3.2.2 Carácter conservativo del cam- podemos escribir
po electrostático
Según hemos visto, el trabajo realizado por la fuerza eléctrica es dependiente sólo de las posiciones
inicial y final de la carga, siendo independiente del
camino seguido. Decimos entonces que la fuerza
eléctrica es una fuerza conservativa y por tanto
el campo eléctrico es un campo conservativo. Si
hacemos coincidir el punto inicial A y el final B resulta un camino cerrado y el trabajo total realizado
a lo largo de este camino será nulo, esto es
· d = q
· d = 0,
WA→B=A =
F
E
∆U = UB − UA = −WA→B = −
B
A
· d.
F
Para el caso de una carga fuente puntual, la expresión anterior vale
qq
1
1
∆U = UB − UA =
−
.
4π0 RB
RA
De las expresiones anteriores, se desprende que sólo
las variaciones de energía potencial tienen sentido
físico. Es conveniente, no obstante, seleccionar un
punto del espacio como origen de energía potencial
C
C
y asignar a una carga que esté en dicho punto una
energía potencial nula. Esto nos permite referirnos
de donde podemos poner
a la energía potencial de una carga como la ener
gía potencial en la posición que ocupa y referida
· d = 0,
E
al origen de energías potenciales. Siempre que no
C
existan cargas fuente en el infinito, suele tomarse
es decir, la circulación del campo electrostático es este lugar como origen de energías potenciales, esto
es
nula.
U∞ = 0,
La expresión anterior junto con la ley de Gauss,
estudiada en el tema anterior, constituyen las ecua- ya que se considera que en este caso las cargas esciones fundamentales de la electrostática. A media- tán lo suficientemente separadas entre sí como para
dos del siglo XIX Maxwell unificó las teorías de la que los efectos eléctricos entre ambas sean despreelectricidad y del magnetismo y las generalizó para ciables. Según esto, la energía potencial de una
el caso fenómenos variables con el tiempo, dando carga q en un punto genérico P será la diferencia
lugar al electromagnetismo. Si bien la ley de Gauss de energía entre dicho punto y el origen de energías,
sigue siendo válida para fenómenos variables con el luego podemos escribir
debe ser
tiempo, la ecuación de la circulación de E
P
P
modificada. Este punto será ampliamente discutido
· d,
U
−
U
=
−
F
·
d
=
−q
E
P
∞
en el tema de inducción electromagnética.
∞
∞
3.2 Energía potencial eléctrica
5
y como U∞ = 0,
UP = −q
P
∞
q'
· d
E
creado por una carga puntual q Para un campo E
resulta
qq 1
U=
.
4π0 R
r
R
q
P
Figura 3.6: Pareja de cargas puntuales separadas
una distancia R.
Veamos cual es el signo de U en función del signo
Interpretación física de la energía potende qq y sus implicaciones:
cial electrostática de una carga puntual q en un
punto P: es el trabajo que deben realizar las fuer• Si qq < 0 entonces U < 0.
zas externas para llevar la carga q desde el origen
En este supuesto la carga fuente q ejerce una de energía potencial hasta el punto P.
fuerza atractiva sobre la carga de prueba q.
Existe por tanto una “tendencia natural” a que
q se desplace desde el infinito hasta el punto Ejemplo 1 Una carga puntual q = 1C está situada
en
el
origen
de
coordenadas.
Otra carga pundestino P. El trabajo es, por tanto, realizado
tual
q
=
2C
es
desplazada
desde
el infinito hasta
por la fuerza eléctrica, es decir,
el punto P(3, 0, 0). Calcular el trabajo necesario pa P
ra realizar este desplazamiento. ¿Quién realiza este
· d > 0.
F
trabajo, el campo o las fuerzas externas?. Razona
∞
la respuesta.
• Si qq > 0 entonces U > 0.
Ahora la carga fuente q repele a la carga de
prueba q. Para llevar entonces la carga q desde
el infinito hasta el punto P es necesario que ac ext . Esta fuerza debe
túe una fuerza externa F
oponerse a la fuerza eléctrica, por tanto
ext = −F
F
y
q'
O
r
R
∞
q
P
x
Figura 3.7:
ext será positivo,
y el trabajo realizado por F
luego
Solución:
P
P
El trabajo realizado por la fuerza eléctrica es
· d > 0,
F
F ext · d = −
P
∞
∞
P
· d = −∆U = − (UP − U∞ )
W∞ =
F
∞
alternativamente, el trabajo realizado por la
fuerza eléctrica es negativo, ya que
donde UP es la energía potencial de la carga q en
el punto P, que viene dada por
P
F · d < 0.
1 qq
UP =
∞
4π0 R
En resumen, cuando el trabajo es realizado por con r = 0, r = 3x̂ y R = |r − r | = 3. Teniendo en
fuerzas externas, en contra del campo eléctrico exis- cuenta que U∞ = 0, resulta
tente, se produce un aumento en la energía poten1 qq
P
cial del sistema de cargas. Por el contrario, si el
W∞
= −UP = −
4π0 R
trabajo es realizado por la fuerza eléctrica, la energía potencial del sistema de cargas disminuye.
= −6 × 109
[J],
3.3 Potencial eléctrico
6
Es trabajo resulta negativo, por tanto lo realizan Definición de potencial:
las fuerzas externas.
De forma análoga a la diferencia de potencial, podemos definir el potencial V en un punto P de observación como la energía potencial por unidad de
carga positiva:
3.3 Potencial eléctrico
U
V =
En el tema anterior introdujimos el campo eléctriq
co a partir de la fuerza culombiana que actúa sobre
una carga de prueba. Partiendo ahora de la energía potencial, introduciremos dos conceptos de gran
U∞ = 0
r WA→ B
importancia dentro de la teoría del campo eléctri∆U
U
F
co: la diferencia de potencial eléctrico ∆V y
1
1
1
el potencial eléctrico V .
q
q
q
Consideremos una carga puntual de prueba q po
r
sitiva situada en el seno de un campo eléctrico E.
∆V
V
E
Según hemos visto en apartados anteriores, cuanV∞ = 0
do la carga q se desplaza desde un punto inicial A
hasta otro punto final B, siguiendo una trayectoria
arbitraria, la variación de energía potencial vale
Figura 3.8: Relacion conceptual entre la fuerza
B
eléctrica, el campo, la energía potencial y el po · d.
∆U = UB − UA = −q
E
tencial.
A
Introduciremos ahora el concepto de diferencia de Potencial debido a una carga puntual:
potencial entre dos puntos ∆V como la diferencia
Según la definición de potencial anterior, el potende energía potencia por unidad de carga positiva
cial creado por una carga puntual q vale
∆U
∆V =
U
q 1
q
V =
=
,
q
4π0 R
Teniendo en cuenta la expresión anterior, podemos
escribir
B
z
· d
∆V = VB − VA = −
E
A
La unidad de diferencia de potencial en el SI es julio
dividido por culombio, que se denomina voltio (V).
1V =
1J
.
1C
P'
q'
r
R
r
r'
P
V
r
r
y
O
Así pues, diremos que la diferencia de potencial entre dos puntos es de 1 V cuando las fuerzas externas
x
deben realizar un trabajo de 1 J para trasladar una
carga positiva de valor 1 C entre dichos puntos, siguiendo una trayectoria arbitraria.
en en punto P debido a una
Si la diferencia de potencial entre dos puntos es Figura 3.9: Potencial
carga
puntual
q
situada
en el punto P .
conocida, la diferencia de energía potencial para
una carga puntual q se calcula simplemente como
Teniendo en cuenta la definición de U para un
podemos escribir el potencial en
∆U = q∆V.
campo general E,
3.4 Cálculo directo del potencial
un punto P como
VP = −
P
∞
· d.
E
7
El potencial creado por una carga puntual de valor q es
q
V =
.
4π0 R
Las superficies equipotenciales verificarán
Interpretación física del potencial electrostático:
El potencial electrostático puede interpretarse de la
siguiente manera:
“El potencial en un punto P es el trabajo
que deben realizar la fuerzas externas para
trasladar una carga positiva de valor unidad
desde el infinito (origen de potenciales) hasta el punto P”
Al igual que para la diferencia de potencial, la
unidad de medida del potencial en el SI es el voltio.
Análogamente al caso de la diferencia de energía potencial, la diferencia de potencial entre dos
puntos A y B puede expresarse como
q
= V0
4π0 R
donde V0 = cte. Despejando ahora R se obtiene
R=
q
= cte.
4π0 V0
En consecuencia, las superficies equipotenciales son
esferas centradas en la posición de la carga y con
radio 4πq0 V0 . Dando valores a V0 se van obteniendo
las distintas esferas equipotenciales.
V>V>V
r
E
∆V = VB − VA .
3.3.1
Superficies equipotenciales
+
Un campo escalar puede representarse gráficamente mediante superficies. Cada una de estas superficies representa el lugar geométrico de puntos en
los cuales el campo escalar tiene el mismo valor.
Si la función escalar es el potencial, las superficies
así construidas se denominan superficies equipotenciales.
q' > 0
En general el potencial es función de la tres variables espaciales, por tanto las superficies equipotenciales se representan mediante la ecuación
Figura 3.10: Líneas de campo y superficies equipoV (x, y, z) = V0 = cte. Si estamos considerando
tenciales de una carga puntual positiva y aislada.
un problema bidimensional, el potencial será sólo
función de dos variables y los lugares geométricos
de los puntos de igual potencial serán líneas.
El potencial no puede cambiar bruscamente en
un punto ya que su valor es sólo función de la distancia a las cargas fuente. En consecuencia, las
3.4 Cálculo directo del potensuperficies equipotenciales son cerradas.
cial
Ejemplo 2 Calcular las superficies equipotencia- 3.4.1 Potencial debido a distribucioles para una carga puntual. Dibujar dichas superfines discretas de carga
cies así como las líneas de campo de la carga.
En apartados anteriores hemos visto que el potenSolución:
cial en un punto P creado por una carga puntual q 3.4 Cálculo directo del potencial
8
y
situada en el punto P vale
q 1
q
1
V =
=
4π0 R
4π0 |r − r |
l
P
q3 '
l
Consideraremos ahora una distribución formada
por N cargas fuente. Cada una de ellas de valor
qn y vector de posición rn . El potencial que esta
distribución crea en un punto P, de vector de pox
q2 '
q1 '
sición r, puede obtenerse simplemente teniendo en
cuenta el potencial creado por cada carga puntual
y el principio de superposición. En efecto, el po- Figura 3.12: Distribución discreta de carga formatencial V creado por la distribución será la suma da por tres cargas puntuales situadas en los vértices
de los potenciales Vn creados por cada una de las de un cuadrado de lado .
cargas individuales:
Solución:
El potencial en el punto P debido a las tres cargas
N
N
1 qn
puntuales
es:
V =
Vn =
4π0 n=1 |r − rn |
n=1
3
1
qn
V =
4π0 |r − rn |
n=1
1
q1
q2
q3
=
+
+
,
4π0 |r − r1 | |r − r2 | |r − r3 |
z
q2 '
r
q1 ' r2 '
r
r1 '
O
donde
qN '
r
rN '
y
N
r
r
V = ∑Vn
P
por tanto
n
y
|r − r1 | = |r − r3 | = ,
|r − r2 | =
V =
√
2 + 2 = 2,
1
q
q1 + √2 + q3 ,
4π0 2
que sustituyendo los valores numéricos resulta
9 × 109
51
V =
33 − √ + 47 × 10−9
93 × 10−3
2
Figura 3.11: Potencial en el punto P debido a una
=
4252
[
].
V
distribución discreta de carga.
x
3.4.2
Ejemplo 3 Calcular el potencial en el punto P de
la figura, donde las cargas tienen los valores q1 = 33
n C, q2 = −51 n C y q3 = 47 n C, y el cuadrado
tiene de lado = 93 mm .
Potencial debido a distribuciones continuas de carga
Análogamente al caso de una distribución discreta,
para calcular el potencial creado por una distribución continua de carga (lineal, superficial o volúmica) emplearemos el principio de superposición, si
3.4 Cálculo directo del potencial
9
bien en este caso, debido al supuesto carácter continuo de la carga, el proceso de suma debe reemplazarse por el de integración.
z
dq' = ρ ldl'
z
P'
r
R
r
r'
dq'
P
dV
r
r
r r r
R = r − r'
r
r'
L'
ρl
dV
y
O
P
r
r
x
y
O
Figura 3.14: Potencial en el punto P debido a un
elemento lineal de carga dq = ρ d .
x
Figura 3.13: Potencial en el punto P debido a un Ejemplo 4 Calcular el potencial creado por un
anillo de radio a cargado uniformemente con una
elemento de carga dq situado en el punto P .
densidad lineal de carga ρ en un punto arbitrario
Consideremos una distribución continua de car- de su eje.
ga, como la mostrada en la figura 3.13 y dentro Solución:
de ella un elemento de carga dq , localizado en un
Para calcular el potencial pedido emplearemos la
punto arbitrario P dentro de la distribución. El
expresión
potencial dV creado por dq en un punto de obser
1
ρ
vación P cualquiera es
V =
d .
|
4π
|
r
−
r
0
L
1
dq dV =
.
4π0 |r − r |
z
Potencial debido a distribuciones lineales de
carga:
dV ( z )
Para el caso de una distribución lineal como la mostrada en la figura 3.14, podemos expresar dq en
función de la densidad lineal de carga como
r
r = zzˆ
r
R
ρl
dq = ρ d ,
a
por tanto
P(0,0, z )
r
r ' = aρ̂
y
1 ρ d
.
dV =
4π0 |r − r |
dq ' = ρ l ad φ '
x
Integrando ahora a toda la curva donde exista
carga fuente, obtenemos el potencial creado por toFigura 3.15: Potencial en P(0, 0, z) debido a un eleda la distribución
mento
de carga situado en un anillo cargado.
1
ρ
V =
d .
El elemento de línea d se corresponde con un
4π0 L |r − r |
elemento de arco, luego podemos poner
d = adφ ,
3.4 Cálculo directo del potencial
10
y los vectores de posición valen
r = zẑ,
r = aρ̂,
|r − r | =
z 2 + a2 .
luego
e integrando a todo el área de la distribución resulta
1
ρs
V =
dS .
4π0
r − r |
S |
Ejemplo 5 Determinar el potencial en un punto
Sustituyendo estas cantidades en la expresión del de coordenadas P(0, 0, z) situado en el eje de un
disco de radio a cargado uniformemente con una
potencial queda
densidad superficial de carga ρs .
2π
1
aρ
Solución:
√
dφ ,
V (z) =
4π0 z 2 + a2 0
La expresión general para calcular el potencial
creado por una distribución superficial de carga es
que integrando resulta
1
ρs
dS ,
V
=
1
aρ
|
4π
|
r
−
r
0
S
√
V (z) =
[V].
20 z 2 + a2
donde
dS = ρ dρ dφ ,
r = zẑ,
luego
z
ρs
r
r'
O
dq' = ρ s dS '
r
R
S'
|r − r | =
z
P
dV
dV ( z )
r = ρ ρ̂,
ρ2 + z 2 .
P(0,0, z )
r
r
y
x
Figura 3.16: Potencial en el punto P debido a un
elemento superficial de carga dq = ρs dS .
r
r = zzˆ
a
r
R
r
r ' = ρ ' ρˆ y
dq' = ρ s ρ ' dρ ' dφ '
x
Potencial debido a distribuciones superficia- Figura 3.17: Potencial en P(0, 0, z) debido a un eleles de carga:
mento de carga situado en un disco cargado.
En el caso de una distribución superficial de carPara barrer todo el disco los límites de integraga como la mostrada en la figura 3.16, el elemento
ción deberán variar entre 0 y a para el radio, y
de carga dq se expresa, en función de la densidad
entre 0 y 2π para el ángulo φ . Teniendo todo esto
superficial de carga ρs , como
en cuenta el potencial resulta
2π
a
dq = ρs dS .
ρs
ρ dρ
V (z) =
dφ
4π0
ρ2 + z 2
0
0
Escribiendo el potencial creado por este elemento
a
ρs
de carga como
=
ρ2 + z 2
20
0
√ 1 ρs dS
ρs 2
dV =
,
=
a + z2 − z2 .
4π0 |r − r |
20
3.5 Cálculo del potencial a partir del campo eléctrico
11
√
En esta expresión el valor de z 2 debe ser siempre Integrando a todo el volumen ocupado por la dispositivo ya que físicamente representa una distan- tribución da como resultado el potencial buscado:
cia. Por otra parte z es un punto arbitrario del eje z
1
ρτ
y por tanto puede ser positivo o negativo. Teniendo
V =
dτ .
|
4π
|
r
−
r
0
esto en cuenta podemos poner
τ
√
z
si z ≥ 0
z2 =
,
3.5 Cálculo del potencial a
−z si z < 0
partir del campo eléctrico
o alternativamente
√
z 2 = |z|,
Según vimos en el apartado 3, podemos escribir el
potencial en un punto P como
Entonces la expresión para el potencial finalmente
queda,
ρ 2
a + z 2 − |z|
V (z) = s
20
y en función de la carga total del disco
V (z) =
√
q
a2 + z 2 − |z|
2πa2 0
z
τ'
dq' = ρτ dτ '
r
R
r
r'
O
ρτ
[V].
P
dV
r
r
y
x
Figura 3.18: Potencial en el punto P debido a un
elemento volúmico de carga dq = ρτ dτ .
Potencial debido a distribuciones volúmicas
de carga:
Considerando una distribución de carga, como la
mostrada en la figura 3.18, contenida un volumen
τ y caracterizada por una densidad volúmica de
carga ρτ , el potencial creado por un elemento de
carga será
1 ρτ dτ dV =
,
4π0 |r − r |
VP = −
P
∞
· d
E
.
Esta expresión permite calcular el potencial cuando el campo eléctrico se conoce previamente. Este
procedimiento de cálculo del potencial se emplea
cuando el problema presenta unas propiedades de
simetría tales que resulta más sencillo calcular directamente el campo, mediante la ley de Gauss, que
calcular directamente el potencial.
La expresión anterior nos permite calcular el potencial mediante una simple integral de línea. Ilustraremos esta idea con varios ejemplos.
Ejemplo 6 Determinar el potencial electrostático
debido a una esfera de radio a, uniformemente cargada con densidad volúmica de carga ρτ . Según
se obtuvo en el tema anterior aplicando la ley de
Gauss, el campo eléctrico creado por esta esfera viene dado por
 ρ r
τ

r̂
para r < a

3
0
=
E
.
3
ρ a

 τ 2 r̂
para r > a
30 r
r
r
P
ρτ
O
a
Figura 3.19: Volumen esférico cargado.
3.5 Cálculo del potencial a partir del campo eléctrico
Solución:
Conocido el campo eléctrico, el potencial en un
punto P se calcula mediante la expresión
V =−
P
∞
· d.
E
Como el campo eléctrico tiene una expresión distinta para puntos exteriores e interiores de la esfera,
deberemos calcular el potencial, de forma independiente, para cada una de estas dos regiones.
a) Región exterior a la esfera de carga (r > a):
12
Además, teniendo en cuenta que d = drr̂ y susti int , resulta
tuyendo la expresión para E
r
ρτ r
r̂ · drr̂
Vint = Vext (a) −
a 30
ρτ a2
ρ r
=
− τ r 2 a
30
60
ρτ a2
ρ + τ a2 − r2
=
30
60
ρτ 2
=
3a − r2
60
Recopilando los resultados obtenidos, el potenConsideremos un punto P arbitrario situado en
cial
producido por la esfera cargada vale
el exterior de la esfera de carga. Tomando el origen
 ρ de potenciales en el infinito, el potencial en P se
τ

3a2 − r2
para r < a

calcula mediante la expresión
60
.
V (r) =
3
ρ a 1
P

 τ
para r > a
ext · d
30 r
Vext = −
E
∞
Se observa que el potencial es continuo en r = a,
ext es el campo eléctrico para r > a. Ele- ya que
donde E
giremos como camino de integración una semirecta
Vint (a) = Vext (a).
con dirección radial, luego d = drr̂. Llamando r
a la distancia del centro de la esfera al punto P, la
integral anterior resulta
r
ρτ a3
ρτ a3 r dr
Vext = −
r̂
·
drr̂
=
−
2
30 ∞ r2
∞ 30 r
r
ρτ a3 1 ρ a3 1
Ejemplo 7 El campo eléctrico debido a una super= τ
=
30
r ∞
30 r
ficie esférica de radio a uniformemente cargada con
una carga total Q viene dado por

b) Región interior a la esfera de carga (r < a):
0

para r < a
=
Consideremos ahora un punto P arbitrario situaQ
.
E
r̂
para r > a

do a una distancia r < a del centro de la esfera. Al
4π0 r2
igual que en el cálculo anterior, tomamos el origen
de potenciales en el infinito. El camino de inte- Calcular la función potencial en todo punto del esgración será una semirecta radial que va desde el pacio.
infinito hasta P. Para realizar la integral de línea
debemos partirla en dos: una desde el infinito hasρs
ta a y otra desde a hasta r, luego
r
a
r
· d = −
ext · d −
int · d
a
O
Vint = −
E
E
E
∞
∞
a
La primera de la integrales se corresponde con el
potencial en r = a, es decir
a
2
ext · d = Vext (a) = ρτ a .
−
E
30
∞
Figura 3.20: Superficie esférica cargada.
3.5 Cálculo del potencial a partir del campo eléctrico
13
Solución:
Ejemplo 8 Calcular el potencial debido a un plaEl potencial en un punto P, conocido el campo no infinito que coincide con el plano x-y y tiene
una densidad de carga uniforme ρs sabiendo que el
eléctrico, viene dado por
campo eléctrico creado por dicho plano vale
P
· d.
= ρs z ẑ
E
V =−
E
20 |z|
∞
El campo eléctrico tiene distinta expresión dentro Calcular la función potencial en todo punto del esy fuera de la esfera, por tanto consideraremos cada pacio.
caso por separado.
z
a) Región exterior a la superficie de carga
(r > a):
Al igual que en ejemplo anterior, tomando d =
drr̂, tenemos
Vext
= −
= −
P
∞r
∞
ext · d
E
ρs > 0
Q
Q
r̂ · drr̂ =
4π0 r2
4π0 r
y
x
b) Región interior a la superficie de carga
(r < a):
El potencial en un punto arbitrario del interior
Figura 3.21: Plano cargado.
de la esfera vale
r
P
a
Solución:
ext · d −
int · d
· d = −
E
Vint = −
E
E
Al tratarse de una distribución de carga de taa
∞
∞
maño no finito, no podemos tomar el origen de poTeniendo en cuenta que
tenciales en el infinito. En estos casos, el origen de
a
potenciales se toma en un punto fijo arbitrario. En
ext · d = Vext (a) = Q
este problema tomaremos el origen de potenciales
−
E
4π0 a
∞
en el origen de coordenadas, luego
resulta
Q
−
4π0 a
V (0) = 0.
r
0 · d =
Q
4π0 a
Teniendo esto en cuenta, calcularemos el potencial
mediante la expresión
P
Por tanto, el potencial debido a una superficie es · d.
férica vale
V =−
E
Vint =



Q
4π
0a
V (r) =
Q


4π0 r
a
origen
para r ≤ a
para r ≥ a.
a) Región (z > 0):
V =−
z
0
ρs
ρ
ρ
ẑ · dzẑ = − s (z)z0 = − s z
20
20
20
Se observa que el potencial es constante en el inteb) Región (z < 0):
rior de la esfera y continuo en r = a.
V =−
0
z
−
ρs
ρ
ρ
ẑ · dz ẑ = s (z)z0 = s z
20
20
20
3.6 Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial. Gradiente del potencial
Teniendo en cuenta que
|z| =
r
ρ Rˆ
E = K e ∫∫∫ τ 2 dτ '
τ' R
para z > 0
para z < 0
z
−z
r
E
podemos expresar el potencial debido a un plano
infinito como
V (z) = −
ρs
|z|
20
∀z
14
ρτ
ρ
V = K e ∫∫∫ τ dτ '
τ' R
r
P r
VP = − ∫ E ⋅ d l
∞
V
r
E = ??
Figura 3.24: Caminos para el cálculo del campo
y del potencial utilizando expresiones de tipo integral. El problema del cálculo del campo a partir
del potencial se trata en el apartado 3.6.
V (z )
3.6
z
Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial.
Gradiente del potencial
El cálculo del potencial es, en general, más sencillo
que el cálculo del campo eléctrico. Esto se debe a
que el potencial es un campo escalar, mientras que
Figura 3.22: Variación con la distancia del poten- el campo eléctrico es un campo vectorial. Resulta,
cial eléctrico creado por un plano cargado situado por tanto, de gran interés obtener una expresión
que nos permita calcular el campo eléctrico creado
en z = 0 .
por una distribución de carga a partir del potencial.
El procedimiento inverso, el cálculo del potencial a
partir del campo, ha sido ya tratado en este tema.
r
En concreto, la diferencia de potencial entre dos
E
puntos se calcula a partir de campo eléctrico como
V
ρs > 0
y
VB − VA = −
B
A
· d,
E
que es una expresión de tipo integral, ya que aparece la integral de línea del campo. Para calcular el
campo en función del potencial deberemos despejar
lo que nos conducirá a una expresión en la que
E,
aparecerán derivadas, es decir, a una expresión de
tipo diferencial.
Para obtener la forma diferencial buscada comenFigura 3.23: Líneas de campo eléctrico y superficies
zaremos haciendo un estudio de la expresión inteequipotenciales creadas por un plano cargado.
gral anterior para varios casos particulares.
Supondremos en primer lugar que el camino de
integración es paralelo al eje x con los puntos inicial y final muy próximos, tal como se muestra en
la figura 3.25. Podemos expresar los vectores de
3.6 Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial. Gradiente del potencial
posición a dichos puntos como
= x x̂ + y ŷ + z ẑ,
= (x + ∆x) x̂ + y ŷ + z ẑ.
rA
rB
y
A = P ( x, y , z )
B = P( x + ∆ x , y, z )
r
∆x
rA
r
rB
x
O
15
del camino de integración estén infinitamente próximos. Para ello simplemente tendremos que calcular
el límite de la expresión anterior cuando la longitud
del camino tiende a cero, esto es
V (x + ∆x, y, z) − V (x, y, z)
.
Ex = − lim
∆x→0
∆x
En esta ecuación, el miembro de la derecha (salvo
el signo menos) es por definición la derivada parcial
de V respecto de la coordenada x:
V (x + ∆x, y, z) − V (x, y, z)
∂V
lim
≡
,
∆x→0
∆x
∂x
luego hemos llegado al resultado
Figura 3.25: Desplazamiento finito según la dirección x.
Ex = −
∂V
.
∂x
Esta expresión nos permite calcular la componente
x del campo eléctrico a partir del potencial.
El diferencial de longitud para este camino seRepitiendo el proceso anterior para caminos de
rá d = dx x̂, y el campo eléctrico se expresa en
integración paralelos los ejes y y z, llegamos a las
coordenadas cartesianas como
siguientes expresiones, respectivamente
= Ex x̂ + Ey ŷ + Ez ẑ
E
∂V
∂V
Ey = −
, Ez = −
.
∂y
∂z
luego
V (x + ∆x, y, z) − V (x, y, z)
x+∆x
= −
(Ex x̂ + Ey ŷ + Ez ẑ) · dx x̂
= −
x
x+∆x
Ex dx.
Podemos entonces escribir el campo eléctrico en
función del potencial, en forma vectorial, como
= − ∂V x̂ + ∂V ŷ + ∂V ẑ .
E
∂x
∂y
∂z
Esta expresión puede escribirse de forma más compacta empleando el operador vectorial nabla, que
Resolveremos esta integral de forma aproximada. en coordenadas rectangulares se define como
Para ello, teniendo en cuenta que los puntos inicial y final están muy cercanos, supondremos que
∂
∂
∂
∇≡
x̂ +
ŷ +
ẑ,
el campo es constante a lo largo del camino de in∂x
∂y
∂z
tegración, lo cual nos permitirá sacarlo fuera de la
con lo cual
integral obteniendo
= −∇V.
E
V (x + ∆x, y, z) − V (x, y, z) −Ex ∆x.
Por tanto, el campo eléctrico se obtiene aplicando
Obsérvese que, en la expresión anterior, hemos sus- el operador nabla al potencial y cambiando el sigtituido el símbolo de igualdad por el símbolo “
”, no del resultado. Como ya sabemos, el potencial
lo cual indica que la expresión es aproximada. Des- eléctrico es un campo escalar.
pejando ahora Ex tenemos
La aplicación del operador nabla a un campo escalar recibe el nombre de gradiente del escalar y
V (x + ∆x, y, z) − V (x, y, z)
suele escribirse como grad V . Diremos entonces que
Ex −
∆x
el campo eléctrico es el gradiente del potencial camPodemos ahora recobrar la igualdad en la expre- biado de signo.
sión anterior haciendo que los puntos inicial y final
x
3.6 Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial. Gradiente del potencial
16
Ejemplo 9 Calcular el campo eléctrico en el eje de 3.6.1 Significado del gradiente
un anillo de radio a con densidad de carga uniforme
Como ya conocemos, la diferencia de potencial enρ a partir de su potencial
tre dos puntos se expresa en función del campo co1
aρ
mo
√
V (z) =
20 z 2 + a2
B
· d,
E
V
−
V
=
−
B
A
Repetir el ejercicio para el caso de un disco de radio
A
a y densidad superficial ρs constante, cuyo potencial en el eje vale
Escribiendo el primer miembro en la forma
ρs 2
V (z) =
a + z 2 − |z|
B
20
VB − VA =
dV,
A
Solución:
Debido a la simetría, las componentes Ex y Ey
del campo eléctrico son nulas. Para obtener Ez Podemos poner entonces
basta evaluar la expresión
B
B
· d,
dV = −
E
dV
Ez = −
.
A
A
dz
Para el anillo, resulta
d aρ
1
√
Ez = −
dz 20 z 2 + a2
−1/2 aρ d 2
= − z + a2
20 dz
−3/2
aρ 1 2
2z
=
z + a2
20 2
aρ
z
=
.
2
20 (z + a2 )3/2
Igualando los integrandos resulta
· d.
dV = −E
= −∇V , la relación anTeniendo en cuenta que E
terior se transforma en
dV = ∇V · d
.
Considérese ahora un punto localizado en la superficie
equipotencial V (x, y, z) = V1 , tal como se
d ρs 2
muestra
en la figura 3.26. Mediante un desplazaa + z 2 − |z|
Ez = −
miento d1 , nos movemos desde este punto a otro
dz 20
punto localizado en la misma superficie equipotenLa función |z| es discontinua en z = 0, por lo que cial. Al realizarse el desplazamiento sobre una sucalcularemos Ez para z > 0 y para z < 0.
perficie equipotencial, no hay variación en el valor
Para z > 0
del potencial, esto es, dV = 0. Entonces
d ρs 2
Ez = −
a + z2 − z
dz 20
∇V · d1 = 0,
ρ
z
−1
= − s √ 2
por tanto ∇V y d1 son vectores perpendiculares,
20
a + z2
lo que significa que el gradiente es un vector perPara z < 0
pendicular a la superficie equipotencial. Además,
= −∇V también se verifica
como E
d ρs 2
Ez = −
a + z2 + z
dz 20
· d1 = 0,
E
ρs
z
√
= −
+
1
20
a2 + z 2
es decir, el campo eléctrico también es perpendicular a las superficies equipotenciales.
Para el disco
3.7 Energía electrostática de formación de distribuciones de carga
17
z
∇V
q2
r
dl1
V2
r
E
qN
q1
V1
y
O
x
V2 > V1 > V0
V0
Figura 3.28: Distribución discreta de cargas.
Figura 3.26: Despazamiento sobre una superficie
equipotancial.
3.7
Energía electrostática de
formación de distribuciones de carga
Consideremos ahora, tal como se ilustra en la
figura 3.27, varios desplazamientos d , d , d en
direcciones distintas, pero de igual longitud, esto
En apartados anteriores determinamos la energía
es,
potencial de una carga puntual de prueba en un
|d | = |d | = |d | = d0 .
campo electrostático. Nuestro propósito ahora es
El cambio en el potencial debido a estos desplaza- calcular la energía de formación de una distribución
mientos es
de carga, lo cual puede interpretarse como la cantidad de trabajo que deben hacer las fuerzas externas
dV = ∇V · d = |∇V |d0 cos α,
para formar la distribución de carga. El origen de
este trabajo radica en que las fuerzas externas desiendo α el ángulo entre ∇V y d. El valor de dV ben trasladar la carga desde el origen de energías
será distinto para cada desplazamiento y será máxi- potenciales (el infinito) hasta la posición que ocupa
mo cuando α = 0, es decir, cuando ∇V y d sean dentro de la distribución.
paralelos. Esto significa que el gradiente tiene la
dirección según la cual el escalar tiene una mayor
variación, o en otras palabras, el gradiente es la 3.7.1 Energía de formación de una
distribución discreta de carga
derivada direccional máxima. Por otra parte, como
= −∇V la dirección de E
es aquella según la
E
Formaremos una distribución discreta de tres carcual el potencial disminuye más rápidamente.
gas trayendo cada una de las cargas individuales
r
dl'
r
dl' '
r
dl' ' '
desde el infinito. Posteriormente extenderemos la
expresión obtenida al caso de N cargas mediante
simple inducción.
Para traer la primera carga q1 no es necesario
realizar ningún trabajo, ya que no existe ningún
campo que se oponga al desplazamiento de q1 . Por
tanto la energía U1 de la carga q1 en ausencia de
las demás cargas es nula:
U1 = 0.
Para traer otra carga q2 desde el infinito hasta
un punto P2 localizado a una distancia R12 de q1
Figura 3.27: Desplazamientos de igual longitud y será necesario hacer un trabajo en contra del campo
distinta dirección.
creado por q1 . Según hemos visto a lo largo de este
3.7 Energía electrostática de formación de distribuciones de carga
18
tema, ese trabajo aumenta la energía del sistema
Si en vez de tres, trajéramos N cargas puntuales
desde el finito, la energía de la distribución resulen una cantidad
tante sería
q1
N
U2 = q2 V12 = q2
,
1 4π0 R12
q Vn .
Ue =
2 n=1 n
lo cual puede reescribirse como
U2
=
=
1 q2
1
q1
q1
+ q2
2 4π0 R21 2 4π0 R12
1 1
q1 V21 + q2 V12 .
2
2
donde hemos tenido en cuenta que R12 = R21 .
Si traemos una tercera carga puntual q3 hasta
el punto P3 localizado a distancias R13 y R23 de
P1 y P2 , respectivamente, la energía adicional del
sistema será
q2
q1
U3 = q3 (V13 + V23 ) = q3
+
,
4π0 R13 4π0 R23
Ejemplo 10 Calcular la energía electrostática de
una distribución de carga formada por tres cargas
puntuales de q1 = 10µ C, q2 = 15µ C y q3 = −5µ C
situadas en los vértices de un triángulo equilátero
de lado = 10 cm.
q3 '
l
l
que expresaremos como
U3
1 q3
1
q1
q1
+ q3
2 4π0 R31 2 4π0 R13
1
q3
1
q2
+ q2
+ q3
2 4π0 R32 2 4π0 R23
1 1
1
1
=
q1 V31 + q3 V13 + q2 V32 + q3 V23 .
2
2
2
2
La energía total del sistema de cargas será
Ue
= U2 + U3
1 1
1
=
q1 V21 + q2 V12 + q1 V31
2
2
2
1 1 1
+ q3 V13 + q2 V32 + q3 V23 ,
2
2
2
que puede organizarse como
Ue
q1 '
=
1 =
q (V21 + V31 )
2 1
1
1
+ q2 (V12 + V32 ) + q3 (V13 + V23 )
2
2
donde V1 representa el potencial creado, en la posición de q1 , por el resto de las cargas de la distribución. Los potenciales V2 y V3 se definen análogamente.
q2 '
Figura 3.29: Distribución discreta de carga formada por tres cargas situadas en los vértices de un
triángulo de lado .
Solución:
Resolveremos este problema por dos caminos diferentes: en primer lugar lo haremos calculando el
trabajo necesario para traer cada una de las cargas
desde el infinito (1), y posteriormente lo haremos
aplicando la fórmula directamente (2).
1. Para traer la carga q1 hasta su posición en ausencia de las demás cargas no es necesario realizar ningún trabajo, luego W1 = 0.
El trabajo necesario para traer q2 en presencia
de q1 será
o alternativamente
3
1
1
1
1
Ue = q1 V1 + q2 V2 + q3 V3 =
q Vn
2
2
2
2 n=1 n
l
W2 = q2 V12 =
q2 q1
q2 q1
=
.
4π0 R12
4π0 Por último, el trabajo necesario para traer q3
en presencia de q1 y de q2 es
W3
= q3 V13 + q3 V23
q3 q1
q3 q2
q3 (q1 + q2 )
=
+
=
,
4π0 R13 4π0 R23
4π0 3.7 Energía electrostática de formación de distribuciones de carga
19
La energía de la distribución será igual al trabajo total realizado, luego
C
1
Ue = W2 + W3 =
(q1 q2 + q1 q3 + q2 q3 ),
4π0 dl
dq = ρ l dl
ρl
(a )
que sustituyendo valores numéricos resulta
dq = ρ s dS
9 × 109
× 10−12
10−1
×(10 × 15 − 10 × 5 − 15 × 5)
=
Ue
=
dS
S
ρs
2. 25 [J].
( b)
2. Aplicando la fórmula directamente tenemos
3
donde Vi es el potencial en la posición de qi
creado por el resto de las cargas. Estos potenciales valen
=
V1
=
=
=
V2
=
=
=
V3
=
=
q2
q3
(q2 + q3 )
+
=
4π0 R21 4π0 R31
4π0 9 × 109
× 10−6 × (15 − 5)
10−1
9 × 105 [V],
q3
(q1 + q3 )
q1
+
=
4π0 R12 4π0 R32
4π0 9 × 109
× 10−6 × (10 − 5)
10−1
4.5 × 105 [V],
q1
q2
(q1 + q2 )
+
=
4π0 R13 4π0 R23
4π0 9 × 109
× 10−6 × (15 + 10)
10−1
22.5 × 105 [V].
La energía total resulta
Ue
τ
dτ
1
1
qi Vi = (q1 V1 + q2 V2 + q3 V3 ) ,
Ue =
2 i=1
2
dq = ρτ dτ
ρτ
(c )
Figura 3.30: Distribuciones discretas de carga. (a)
lineal, (b) superficial y (c) volúmica.
3.7.2
Energía de formación de distribuciones continuas de carga
El proceso que debemos seguir para formar una distribución continua de carga es análogo al realizado
en el caso de la distribución discreta. La única diferencia es que, en este caso, traeremos del infinito
elementos de carga ∆qn , en vez de cargas puntuales. Podemos entonces adaptar la expresión obtenida para cargas puntuales al caso distribuciones
continuas:
N
1
1
Ue = lim
∆q
V
=
V dq .
n n
2
∆qn
→0 2
n=1
N→∞
Escribiremos ahora esta fórmula según se trate de
1
distribuciones lineales, superficiales o volúmicas.
(q1 V1 + q2 V2 + q3 V3 )
2
1
=
× 10−6
Distribuciones lineales:
2
× (10 × 9 + 15 × 4. 5 − 5 × 22.5) × 105
En este caso dq = ρ d , luego
= 2. 25 [J].
1
Ue =
ρ V d .
2 C =
3.8 ¿Quién fue quién en Electromagnetismo?.
20
Distribuciones superficiales:
Q
r2
3− 2
8π0 a
a
V =

 Q
4π0 r



Ahora dq = ρs dS , por tanto
1
2
Ue =
S
ρs V dS .
Distribuciones volúmicas:
En una distribución volúmica dq = ρτ dτ, podemos
entonces escribir la energía como
Ue =
1
2
τ
r≤a
r≥a
La energía potencial de esta distribución será
1
ρτ V dτ ,
Ue =
2
esfera
donde ρτ = cte y se puede sacar de la integral.
Además, el potencial sólo depende de la variable r,
por tanto podemos tomar
ρτ V dτ .
En los casos anteriores las integrales se han exdτ = 4πr2 dr,
tendido a la región del espacio donde existe carga,
sin embargo, si fuera conveniente puede integrarse
a todo el espacio, ya que fuera de la distribución se e integrar a lo largo del radio, luego
a
supone que no hay carga y por tanto la contribución
ρ
ρ Q a
r2
de estas zonas a la integral es nula.
Ue = τ
V 4πr2 dr = τ
3 − 2 r2 dr.
2 0
40 a 0
a
r
ρ Rˆ
E = K e ∫∫∫ τ 2 dτ '
τ' R
r
E
Integrando resulta
ρτ
ρ
V = K e ∫∫∫ τ dτ '
τ' R
r
P r
VP = − ∫ E ⋅ d l
U e = ?? (Tema 4)
∞
r
E = −∇V
Ue
V
Ue =
ρτ Q
40 a
a
r5
ρ Qa2
r3 − 2
= τ
.
5a 0
50
Teniendo en cuenta ahora que ρτ =
Ue =
1
U e = ∫∫∫ ρτ Vdτ '
2 τ'
3.8
3 Q2
5 4π0 a
3Q
4πa3
resulta
[J].
¿Quién fue quién en Electromagnetismo?.
Figura 3.31: Caminos para el cálculo del campo, el
potencial y la energía. La forma de calcular la energía en función del campo se aborda en el siguiente 3.8.1 James Clerk Maxwell
tema.
James Clerk. Maxwell (Edimburgo, Escocia, 13 de
junio de 1831 — Cambridge, Inglaterra, 5 de noviembre de 1879)2 . Físico escocés conocido princiEjemplo 11 Determinar la energía de formación palmente por haber desarrollado la teoría electrode una distribución uniforme de carga en forma de magnética clásica. Nació en el seno de una familia
esfera de radio a y de carga total Q. Suponer que escocesa de la clase media. Con dieciséis años ingresó en la universidad de Edimburgo, y en 1850
el potencial es conocido.
pasó a la Universidad de Cambridge donde se graSolución:
duó cuatro años más tarde. En 1856, fue nombrado
El potencial creado por una esfera cargada se de2 http://es.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwel
terminó en un ejemplo anterior; su valor es:
http://www.bigrafiasyvidas.com/biografia/m/maxwell.htm
3.8 ¿Quién fue quién en Electromagnetismo?.
21
ró una teoría satisfactoria sobre la percepción cromática, desarrollando los fundamentos de la fotografía tricolor.
Maxwell fue una de las mentes matemáticas más
preclaras de su tiempo, y muchos físicos lo consideran el científico del siglo XIX que más influencia
tuvo sobre la física del siglo XX.
Figura 3.32: James C. Maxwell (1831-1879).
profesor de filosofía natural en el Marischal College
de Aberdeen. Dos años después se casó con Katherine Mary Dewar.
En 1860 obtuvo el puesto de profesor de filosofía
natural en el King’s College de Londres. En esta
época inició la etapa más fructífera de su carrera,
e ingresó en la Royal Society (1861). En 1871 fue
nombrado director del Cavendish Laboratory.
Sus aportaciones al campo del electromagnetismo lo sitúan entre los grandes científicos de la historia. Desarrolló la teoría electromagnética clásica, sintetizando en sus célebres ecuaciones todas
las anteriores observaciones, experimentos y leyes
sobre electricidad y magnetismo en una teoría consistente. Las ecuaciones de Maxwell demostraron
que la electricidad, el magnetismo y hasta la luz,
son manifestaciones del mismo fenómeno: el campo electromagnético.
Aplicó el análisis estadístico a la interpretación
de la teoría cinética de los gases, con la denominada función de distribución de Maxwell-Boltzmann.
Justificó las hipótesis de Avogadro y de Ampère;
demostró la relación directa entre la viscosidad de
un gas y su temperatura absoluta, y enunció la ley
de equipartición de la energía. Descubrió la birrefringencia temporal de los cuerpos elásticos translúcidos sometidos a tensiones mecánicas y elabo-