Download Teoria Electrostatica 2DO PARCIAL

FS-321 para Ing. Química
Electricidad y Magnetismo
UNAH
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE FISICA
QUIA DE ESTUDIO: ELECTROSTATICA
Fuente: http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/electro/intro_electro.html
INTRODUCCION:
La fuerza electromagnética es la interacción que se da entre cuerpos que poseencarga eléctrica. Es una de las cuatro
fuerzas fundamentales de la Naturaleza. Cuando las cargas están en reposo, la interacción entre ellas se
denomina fuerza electrostática. Dependiendo del signo de las cargas que interaccionan, la fuerza electrostática puede
ser atractiva o repulsiva. La interacción entre cargas en movimiento da lugar a los fenómenos magnéticos.
Históricamente los fenómenos eléctricos y magnéticos se descubrieron y estudiaron de forma independiente, hasta que
en 1861 James Clerk Maxwell unificó todos ellos en las cuatro ecuaciones que llevan su nombre. Por simplicidad, en
estas páginas trataremos por separado los fenómenos eléctricos y magnéticos.
En el Sistema Internacional, la unidad de carga eléctrica es el Culombio (C). Un Culombio es la cantidad de carga
que pasa por la sección transversal de un conductor eléctrico en un segundo, cuando la corriente eléctrica es de un
amperio.
La carga eléctrica es una propiedad fundamental de la materia que poseen algunas partículas subatómicas. Esta carga
puede ser positiva o negativa. Todos los átomos están formados por protones (de carga positiva) y electrones (de carga
negativa). En general, los átomos son neutros, es decir, tienen el mismo número de electrones que de protones. Cuando
un cuerpo está cargado, los átomos que lo constituyen tienen un defecto o un exceso de electrones.
La carga eléctrica es discreta, y la unidad elemental de carga es la que porta un electrón. En el Sistema Internacional, la
carga del electrón es:
La carga del electrón es una constante física fundamental. El protón tiene la misma cantidad de carga que un electrón
pero con signo opuesto.
La carga eléctrica está cuantizada, por lo que, cuando un objeto (o partícula, a excepción de los quarks) está cargado,
su carga es un múltiplo entero de la carga del electrón.
El concepto de electrón (carga elemental indivisible) fue introducido en el siglo XIX para explicar las propiedades
químicas de los átomos. Desde entonces hasta principios del siglo XX se propusieron distintos modelos atómicos. Tanto
en el modelo de Rutherford como en el de Bohr, los electrones son partículas que giran en torno al núcleo, por lo que el
átomo es un sistema solar en miniatura.
Con el descubrimiento de la mecánica cuántica se desarrolló una ecuación (laecuación de Schrödinger, equivalente a la
segunda ley de Newton en Mecánica Clásica) que permite calcular la función de onda asociada a un electrón. Éste ya no
es una partícula con una posición bien definida, sino que lo que podemos determinar es la probabilidad de encontrar un
electrón cerca de una cierta posición r del espacio. Esta probabilidad es el cuadrado de la función de onda.
Las soluciones de la ecuación de Schrödinger están cuantizadas, dependiendo sus soluciones de una serie de números
cuánticos relacionados con su energía, con su momento angular y con su spin.
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En la siguiente figura está representado el orbital 1s de un electrón en el átomo de hidrógeno, que es su estado de más
baja energía, denominado estado fundamental:
A lo largo de estas páginas trataremos los fenómenos asociados a dos tipos de objetos cargados: cargas puntuales y
distribuciones continuas de carga.

Una carga puntual es una carga eléctrica localizada en un punto sin dimensiones. Este concepto es una idealización,
y resultará muy útil a la hora de estudiar los fenómenos eléctricos.

Una distribución continua de carga es un objeto cargado cuyas dimensiones no son despreciables. Los fenómenos
eléctricos producidos por distribuciones de carga son más complicados de analizar, aunque trataremos algunos
sistemas sencillos.


Sean las dos cargas puntuales q1 y q separadas una distancia r, que se encuentran en reposo con respecto al
origen O del sistema de referencia inercial. La fuerza que la carga q1 ejerce sobre q se denomina fuerza
electrostática y viene dada por la ley de Coulomb:
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
donde K es una constante denominada constante electrostática que depende del medio y ε0 es la permitividad
eléctrica del vacío.
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El vector ur es un vector unitario que va desde la carga q1 a la carga q de modo que cuando ambas cargas tienen
distinto signo (figura (a)) la fuerza electrostática es de atracción, mientras que si tienen el mismo signo la fuerza
electrostática es de repulsión (figura (b)).
Al estudiar problemas de cargas en electrostática, se denomina carga fuente a la carga que ejerce la fuerza (en
este caso q1) y carga testigo o carga de prueba a la carga sobre la que se calcula la fuerza (q).
La fuerza electrostática cumple la tercera ley de Newton, por lo que la carga q1experimentará una fuerza de igual
módulo y sentido contrario que la que experimentaq.
Si la carga q1 se encontrase en presencia de N cargas puntuales, la fuerza total sobre ella sería la resultante de
todas las fuerzas que ejercen sobre ella las N cargas.
Energía potencial electrostática
La ley de Coulomb es formalmente igual a la ley de Gravitación Universal de Newton, que permite calcular la
fuerza de atracción entre dos masas. Al igual que esta última, la fuerza electrostática dada por la ley de Coulomb
es una fuerza conservativa. Por tanto, el trabajo es independiente de la trayectoria y se puede calcular a partir de
una función escalar denominada energía potencia electrostática U.
Supongamos que bajo la acción de la fuerza electrostática la carga de prueba q2 se desplaza desde un punto A a
un punto B, entonces el trabajo W realizado por la fuerza es:





Cuando se encuentra bajo la única acción de la fuerza electrostática la carga de prueba se moverá siempre en
el sentido en el que disminuye su energía potencial (UA > UB); de este modo el trabajo de la fuerza es positivo,
es decir, corresponde a una fuerza que va en el mismo sentido del movimiento.
Por otra parte, si aplicamos la definición de trabajo a la fuerza electrostática expresando ésta a partir de la Ley de
Coulomb, se obtiene:
Integrando:
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

lo que, comparando con la expresión inicial para el trabajo, nos permite identificar la variación de energía potencial.
De forma general se toma como origen para la energía potencial el infinito, de modo que cuando la distancia entre las dos cargas es
infinita, la energía potencial entre ambas es nula. Por tanto, la energía potencial de un sistema de dos cargas puntuales q1 y q2 que están
separadas una distancia r es:


Cuando una carga q se encuentra en presencia de N cargas puntuales, la energía potencial total se calcula a partir del sumatorio:


Conocida la expresión de la energía potencial se puede obtener la fuerza a partir del operador gradiente. Si lo
aplicamos al caso de dos cargas:


que es la expresión de la fuerza dada por la Ley de Coulomb.
Campo eléctrico. Líneas de campo
Una carga eléctrica puntual q (carga de prueba) sufre, en presencia de otra carga q1(carga fuente), una fuerza
electrostática. Si eliminamos la carga de prueba, podemos pensar que el espacio que rodea a la carga fuente ha sufrido
algún tipo de perturbación, ya que una carga de prueba situada en ese espacio sufrirá una fuerza.
La perturbación que crea en torno a ella la carga fuente se representa mediante unvector denominado campo eléctrico.
La dirección y sentido del vector campo eléctrico en un punto vienen dados por la dirección y sentido de la fuerza que
experimentaría una carga positiva colocada en ese punto: si la carga fuente es positiva, el campo eléctrico generado
será un vector dirigido hacia afuera (a) y si es negativa, el campo estará dirigido hacia la carga (b):
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Campo eléctrico creado en el punto P por una carga de fuente q1 positiva (a) y por una otra negativa (b).
El campo eléctrico E creado por la carga puntual q1 en un punto cualquiera P se define como:
donde q1 es la carga creadora del campo (carga fuente), K es la constante electrostática, r es la distancia desde la carga
fuente al punto P y ur es un vector unitario que va desde la carga fuente hacia el punto donde se calcula el campo
eléctrico (P). El campo eléctrico depende únicamente de la carga fuente (carga creadora del campo) y en el Sistema
Internacional se mide en N/C o V/m.
Si en vez de cargas puntuales se tiene de una distribución contínua de carga (un objeto macroscópico cargado), el
campo creado se calcula sumando el campo creado por cada elemento diferencial de carga, es decir:
Esta integral, salvo casos concretos, es difícil de calcular. Para hallar el campo creado por distribuciones contínuas de
carga resulta más práctico utilizar la Ley de Gauss.
Una vez conocido el campo eléctrico E en un punto P, la fuerza que dicho campo ejerce sobre una carga de
prueba q que se sitúe en P será:
por tanto, si la carga de prueba es positiva, la fuerza que sufre será paralela al campo eléctrico en ese punto, y si es
negativa la fuerza será opuesta al campo, independientemente del signo de la carga fuente.
En la siguiente figura se representa una carga fuente q1 positiva (campo eléctrico hacia afuera) y la fuerza que ejerce
sobre una carga de prueba q positiva (a) y sobre otra negativa (b):
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Fuerza que un campo eléctrico E ejerce sobre una carga de prueba q positiva (a) y sobre otra negativa (b).
El campo eléctrico cumple el principio de superposición, por lo que el campo total en un punto es la suma vectorial de los
campos eléctricos creados en ese mismo punto por cada una de las cargas fuente.
Líneas de campo
El concepto de líneas de campo (o líneas de fuerza) fue introducido por Michael Faraday (1791-1867). Son líneas
imaginarias que ayudan a visualizar cómo va variando la dirección del campo eléctrico al pasar de un punto a otro del
espacio. Indican las trayectorias que seguiría la unidad de carga positiva si se la abandona libremente, por lo que las
líneas de campo salen de las cargas positivas y llegan a las cargas negativas:
Las líneas de campo creadas por una carga positiva están dirigidas hacia afuera; coincide con el sentido que tendría la fuerza
electrostática sobre otra carga positiva.
Además, el campo eléctrico será un vector tangente a la línea en cualquier punto considerado.
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Líneas de campo causadas por una carga positiva y una negativa.
Las propiedades de las líneas de campo se pueden resumir en:
o
El vector campo eléctrico es tangente a las líneas de campo en cada punto.
o
Las líneas de campo eléctrico son abiertas; salen siempre de las cargas positivas o del infinito y terminan en el infinito
o en las cargas negativas.
o
El número de líneas que salen de una carga positiva o entran en una carga negativa es proporcional a dicha carga.
o
La densidad de líneas de campo en un punto es proporcional al valor del campo eléctrico en dicho punto.
o
Las líneas de campo no pueden cortarse. De lo contrario en el punto de corte existirían dos vectores campo eléctrico
distintos.
o
A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas están igualmente espaciadas y son radiales, comportándose
el sistema como una carga puntual.
Una carga eléctrica puntual q (carga de prueba) tiene, en presencia de otra carga q1(carga fuente), una energía potencial
electrostática. De modo semejante a la relación que se establece entre la fuerza y el campo eléctrico, se puede definir una
magnitud escalar, potencial eléctrico (V) que tenga en cuenta la perturbación que la carga fuente q1 produce en un punto
del espacio, de manera que cuando se sitúa en ese punto la carga de prueba, el sistema adquiere una energía potencial.
El potencial eléctrico creado por una carga q1 en un punto a una distancia r se define como:
por lo que una carga de prueba q situada en ese punto tendrá una energía potencial Udada por:
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El potencial depende sólo de la carga fuente y sus unidades en el Sistema Internacional son los voltios (V). El origen
para el potencial se toma en el infinito, para mantener el criterio elegido para la energía.
Para calcular el potencial en un punto generado por varias cargas fuente se suman los potenciales creados por cada una
de ellas, teniendo en cuenta que es una magnitud escalar y que será positivo o negativo dependiendo del signo de la
carga fuente.
El trabajo realizado por la fuerza electrostática para llevar una carga q desde un puntoA a un punto B se puede expresar
entonces en función de la diferencia de potencial entre A y B:
Bajo la única acción de la fuerza electrostática, todas las cargas tienden a moverse de modo que el trabajo de la
fuerza sea positivo, es decir, de modo que disminuye su energía potencial. Esto significa que:
.
las cargas de prueba positivas se mueven hacia donde el potencial eléctrico disminuye
y las cargas de prueba negativas se mueven hacia donde el potencial aumenta
Recordando la definición de trabajo de una fuerza:
Podemos obtener la relación entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial entre dos puntos:
De esta expresión se deduce que en una región del espacio en la que el campo eléctrico es nulo, el potencial es
constante.
Para calcular el campo eléctrico a partir del potencial se utiliza el operador gradiente, de modo análogo a cómo se
obtiene la fuerza a partir de la energía potencial:
Superficies equipotenciales
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Las superficies equipotenciales son aquellas en las que el potencial toma un valor constante. Por ejemplo, las
superficies equipotenciales creadas por cargas puntuales son esferas concéntricas centradas en la carga, como se
deduce de la definición de potencial (r = cte).
Superfices equipotenciales creadas por una carga puntual positiva (a) y otra negativa (b)
Si recordamos la expresión para el trabajo, es evidente que:
.
cuando una carga se mueve sobre una superficie equipotencial la fuerza electrostática
no realiza trabajo, puesto que la ΔV es nula.
Por otra parte, para que el trabajo realizado por una fuerza sea nulo, ésta debe ser perpendicular al desplazamiento, por
lo que el campo eléctrico (paralelo a la fuerza)es siempre perpendicular a las superficies equipotenciales. En la
figura anterior (a) se observa que en el desplazamiento sobre la superficie equipotencial desde el punto A hasta el B el
campo eléctrico es perpendicular al desplazamiento.
Las propiedades de las superficies equipotenciales se pueden resumir en:
o
Las líneas de campo eléctrico son, en cada punto, perpendiculares a las superficies equipotenciales y se dirigen hacia
donde el potencial disminuye.
o
El trabajo para desplazar una carga entre dos puntos de una misma superficie equipotencial es nulo.
o
Dos superficies equipotenciales no se pueden cortar.
Cuando una distribución de carga tiene una simetría sencilla, es posible calcular elcampo eléctrico que crea con ayuda de
la ley de Gauss. La ley de Gauss deriva del concepto de flujo del campo eléctrico.
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Flujo del campo eléctrico
El flujo del campo eléctrico se define de manera análoga al flujo de masa. El flujo de masa a través de una
superficie S se define como la cantidad de masa que atraviesa dicha superficie por unidad de tiempo.
El campo eléctrico puede representarse mediante unas líneas imaginarias denominadas líneas de campo y, por analogía
con el flujo de masa, puede calcularse el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie.
Conviene resaltar que en el caso del campo eléctrico no hay nada material que realmente circule a través de dicha
superficie.
Como se aprecia en la figura anterior, el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie
depende de la orientación de esta última con respecto a las líneas de campo. Por tanto, el flujo del campo eléctrico debe
ser definido de tal modo que tenga en cuenta este hecho.
Una superficie puede ser representada mediante un vector dS de módulo el área de la superficie, dirección
perpendicular a la misma y sentido hacia afuera de la curvatura. El flujo del campo eléctrico es una magnitud
escalar que se define mediante el producto escalar:
Cuando la superficie es paralela a las líneas de campo (figura (a)), ninguna de ellas atraviesa la superficie y el flujo es
por tanto nulo. E y dS son en este caso perpendiculares, y su producto escalar es nulo.
Cuando la superficie se orienta perpendicularmente al campo (figura (d)), el flujo es máximo, como también lo es el
producto escalar de E y dS.
Ley de Gauss
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El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la
carga q contenida dentro de la superficie, dividida por la constante ε0.
La superficie cerrada empleada para calcular el flujo del campo eléctrico se denomina superficie gaussiana.
Matemáticamente,
La ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, y está relacionada con el teorema de la divergencia, conocido
también como teorema de Gauss. Fue formulado por Carl Friedrich Gauss en 1835.
Para aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la dirección y el sentido de las líneas de campo
generadas por la distribución de carga. La elección de la superficie gaussiana dependerá de cómo sean estas líneas.
Campo creado por un plano infinito
El campo eléctrico creado por un plano infinito cargado puede ser calculado utilizando la ley de Gauss.
En la siguiente figura se ha representado un plano infinito cargado con una densidad superficial de carga σ (= q/S)
uniforme y positiva. Las líneas de campo siempre salen de las cargas positivas, por lo que el campo creado por el plano
será uniforme (ya que la densidad de carga lo es) y sus líneas irán hacia afuera de ambos lados del plano.
El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es siempre el mismo (ley de Gauss); en este caso,
por simplicidad de cálculo, se ha elegido una superficie gaussiana cilíndrica (representada en rojo en la figura).
El flujo a través de la superficie lateral del cilindro es nulo (ninguna línea de campo la atraviesa). Las únicas
contribuciones no nulas al flujo son las que se producen a través de sus dos bases. El flujo del campo eléctrico a través
del cilindro es entonces:
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Como las dos bases del cilindro son iguales y el módulo del campo es el mismo en todos los puntos de su superficie, la
integral anterior se simplifica, quedando:
El valor del flujo viene dado por la ley de Gauss:
Y q/S es la densidad superficial de carga σ:
En el siguiente cuadro se presenta un resumen de las principales magnitudes que describen la interacción
electrostática, así como la relación entre ellas. En ellas, q1representa la carga fuente y q la carga de prueba.
Las magnitudes recuadradas sólo son válidas para cargas puntuales, mientras que las relaciones entre
ellas son generales. Si pinchas sobre las ecuaciones recuadradas irás a la página donde se define la
magnitud correspondiente.
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Campo eléctrico (N/C)
Potencial eléctrico (V)
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Fuerza electrostática (N)
Energía potencial eléctrica (J)
En la parte superior del cuadro están las magnitudes vectoriales (campo y fuerza), y en la parte inferior las
escalares correspondientes (potencial y energía potencial).
En la columna de la izquierda las magnitudes dependen sólo de la carga fuente (campo y potencial) y en la
columna de la derecha las magnitudes dependen de la carga fuente y de la carga de prueba (fuerza y
energía).