Download Ecuaciones de Maxwell para la electrostática

EL CAMPO ELÉCTRICO ESTÁTICO EN EL VACÍO
1. El potencial electrostático
2. El gradiente del potencial electrostático
3. La ley de Gauss
4. La divergencia del campo eléctrico. Forma diferencial de
la ley de Gauss
5. El rotacional del campo electrostático
6. Las ecuaciones de Maxwell para la electrostática
7. La ecuación de Poisson y la ecuación de Laplace
8. La energía y el trabajo en el campo electrostático
9. Los aislantes y los conductores
10.El campo eléctrico en los conductores
11.Los métodos de solución de problemas electrostáticos
E 

S (V )
E  dS 
 Q S (V )
0
1

0

  r ´ dV ´
V
El flujo de campo eléctrico a través de
una superficie cerrada es igual a la
carga total neta encerrada en la
superficie dividida por ε0
A: R  R
3
3
Para todo volumen V

  A dV 
V

A  dS
S (V )
Ley de Gauss:
1
 E  dS  
S
Teorema de Gauss:
0

 dV
(1)
V (S )
 E  dS  
V (S )
  E dV
(2)
S
Sustituyendo (2) en (1)
Por tanto, para todo V ,

V (S )
  E dV 
1
0

 dV
V (S )


V ( S )   E   0  dV  0

 E 
0

E 
0

Integrando sobre V ,

Teorema de Gauss:
Ley de Gauss:
V (S )
V (S )

S
  E dV 
  E dV 
E  dS 

1
0
0

V (S )
V (S )
E  dS
S
1

 dV
 dV

S (V )
1
E  dS 
0

V

 E 
0
  r ´ dV ´

 E 
0
Dado un campo eléctrostático E ( r ) definimos el potencial
electrostático  ( r ) como
 (r )  
P(r )
P
E  dl
0
 (r ) es el trabajo que haríamos al trasladar una unidad de
carga positiva desde el punto de referencia fijo P0 hasta el
punto P( r ).
 (r ) es una función escalar definida en el espacio  : R 3  R
Nm J
En el sistema de unidades SI: [ ]=
= =Volt
C
C
Dina cm Ergio
En el sistema de unidades gausiano: [ ]=
=
StatC
StatC
a) El campo electrico E es conservativo
Pb
b)   E  dl es independiente de la trayectoria
Pa
c)

E  dl  0 para toda trayectoria cerrada

d ) E  

E  dl  0 para toda trayectoria cerrada 

La integral de línea del campo
electrostático sobre cualquier
circuito cerrado es cero
Para todo campo vectorial
A:R  R
3


A  dl

3

(  A)  dS
S ()
para toda S () cuyo contorno sea 
Campo electrostático conservativo:
Teorema del rotacional:


(  E )  dS =0

E  dl

Sustituyendo (2) en (1)
 E  dl  0

(  E )  dS
S ()
S ()
para toda superficie S   
 E  0
(1)
(2)
 E  0
Integrando sobre S ,
Teorema del rotacional:
   E  dS  0
S

E  dl



 C 
E  dl  0

S ()
(  E )  dS

E  dl  0
 C 
 E  0
 E  0

E 
0
 E  0

1
E  dS 
0
S (V )

  r ´ dV ´
V


E  dl  0
Ecuaciones de Maxwell
  E   / 0
 E  0
La ecuación   E  0 implica que existe  tal que E  
Sustituyendo en   E   /  0 obtenemos
       /  0
Se define 2    ( )
Por tanto
 2    /  0
que es la ecuación de Poisson

2

0
  0
2
 2    ( )
              
   
,
,
,
,
   , , 


x

y

z

x

y

z

x

y

z

 
 

2
2  2  2

2  2  2  2
x
y
z
Cartesianas
2
2 2 2

 2 2 2
x
y
z
Esféricas




2




1


1


1

2
2
   2 r

 sin

2
  r 2 sin 2  2
r r  r  r sin  
Cilíndricas










 r   1 2  2
r r r r 2  2 z 2
2  1
Resolver la ecuación de Poisson

 
0
2
con las condiciones a la frontera adecuadas

 
0
2
 r  
1
4 0
 r  r
 (r )
dV 
 r 
  r   
0
2
 r  
1
4 0
 1
 
 4 0
2


 (r )
r  r
dV 


dV   
r  r
0

 (r )
 1 
 
  4  r  r  
 r  r 
2
1
4 0



1

 (r ) 4  r  r  dV   
0

 r 
 (r )  r  r   dV   
0
Problema 3.1 del libro de Murphy
Problema 3.2 del libro de Murphy
Problema 3.3 del libro de Murphy
r  r0
q
Pr 
r
r0
E (r ) 
1
q
4 0 r  r0
2
r  r0
r  r0
1
q
ˆ
E (r ) 
r
2
4 0 r
r  r0
q
Pr 
r
r0
1
q
 (r ) 
4 0 r  r0
1
q
 (r ) 
4 0 r
1
q
 (r ) 
4 0 r
1
q
 (r ) 
4 0 r
C
dl
F
W   F  dl
C
q1 
r1
W1  0
Qq  1 1 
W  P1  P2   Q  E  dl 
  
4 0  r1 r2 
C  P1  P2 
Si ahora tomamos como punto de referencia el
infinito, tenemos que hacer r2  , y
q1 
r12
r1
r2
1
q1
W2 
q2
4 0 r12
q2
q3 
q1 
r3
r1
r2
q2
 q1 q2 
W3 
q3 


4 0  r13 r23 
1
q3 
r3
q1 
r1
r2
q2
r4
q4 
 q1 q2 q3 
W4 
q4 



4 0  r14 r24 r34 
1
WT  W1  W2  W3  W4
 q1 q2 
 q1 q2 q3 
1
q1
1
1
WT  0 
q2 
q3    
q4    
4 0 r12 4 0  r13 r23  4 0  r14 r24 r34 
1  q1q2 q1q3 q1q4 q2q3 q2q4 q3q4 
WT 







4 0  r12
r13
r14
r23
r24
r34 
WT 
1
4 0
4

i 1 j  i
qi q j
rij
WT 
1
4 0
N

qi q j
i 1 j  i
rij
1 1 N N qi q j
WT 

4 0 2 i 1 j 1 rij
j i
 q1q2 q1q3 q1q4 q2 q3 q2 q4 q3q4





 r
r13
r14
r23
r24
r34
1 1  12
WT 
4 0 2  q2 q1 q3q1 q4 q1 q3q2 q4q2 q4q3
 r  r  r  r  r  r
31
41
32
42
43
 21






1 1 N N qi q j
WT 

4 0 2 i 1 j 1 rij
j i
N q
1 1 N N qi q j
1 1 N
j
WT 

qi 


4 0 2 i 1 j 1 rij
4 0 2 i 1 j 1 rij
j i
1 N
WT   qi  ri 
2 i 1
j i
qi q j
1
WT 

4 0 2 i 1 j 1 rij
N
1
N
j i

  r1    r2 
1
WT 
dV1dV2


4 0 2
r2  r1
1
N
N
qi q j
N
1 1
1
WT 
  qi (ri )

4 0 2 i 1 j 1 rij
2 i 1
j i

(Reitz Milford, sección 6.2)
1
WT    (r ) (r )dV
2 V
N
1
WT   qi (ri ) 
2 i 1
1
+   ( r ) ( r ) dV 
2 V
1
   ( r ) ( r ) dS 
2 S
1
+   ( r ) ( r ) dl
2
La energía acumulada en el campo electrostático es
1
WT    (r ) (r )dV
2V
Usando la primera ecuación de Maxwell
  E   / 0
Obtenemos
1
WT 
2 0
    E  (r )dV
V
La expresión


1
WT 
  E  (r )dV

2 0 V
puede ser integrada por partes
Usando
 


   A     A  A  
 


Es decir,
   E     E  E  
Despejando
    E      E   E  
De la segunda ecuación de Maxwell
 E  0
sabemos que existe  tal que
E  
Sustituyendo en
Obtenemos
    E      E   E  
    E      E   E 2
Sustituyendo
    E      E   E
1
WT 
2 0
en
2
    E  (r )dV
V
obtenemos
 
 
1 
1
1
2
2
WT 



E

E
dV




E
dV

E
dV




2 0 V 
2 0 V
2 0 V
Usando el teorema de Gauss
    E  dV    E  dS
V
y esta integral resulta
S (V )   
S (V )
  E  dS  0
S (V )
Así que finalmente
1
2dV
WT 
E
2 0 V 
1
2
WT 
E
dV

2 0 V
=   dV
V

2
E

2 0
a


4a
ρr dV  Q 


3
esfera
3
Se construye cascarón
a cascarón
r
1 q  r  dq
dW 
4 0
r
4 r
qr  

3
3
dq  r 
2
 4 r
dr

dqr   4r 2 dr


2
4
πr
ρdr
qr 
1
1  4 r 
4 2 4
dW 
dq



r dr

4 0
r
4 0  3
r
3 0

3
4
W
3 0
4 a
0 r dr  15 0
2 a
2 5
4
4
W
3 0
2 5
4

a
4
0 r dr  15 0
2 a
4a 3
Q

3
2
 16 a 2  9
 4 a 
3
3 Q2
W 
 



 9
 60 0 a  3
 20 0 a 20 0 a
2 6
3
2
3 Q
W
20 0 a

4a
ρr dV  Q 


3
esfera
3
a

 r ˆ
Q
r
r

a
3
1 
 a
E r  

4 0  Q
rˆ
ra
2

r

4a
ρr dV  Q 


3
esfera
3
a

1
2
W
E
dV

2 0 Todo el
espacio
1
2
W
E
dV

2 0 Todo el
espacio
 r ˆ
Q 3r ra

1  a
E r  

4 0  Q
rˆ
ra
2
 r
2

2
1
1
 r  2
Q 2
W
4π   Q 3  r dr 
4π   2  r dr
2 0 0  a 
2 0 a  r 
a

2
2
1
1
 r  2
Q 2
W
4π   Q 3  r dr 
4π   2  r dr
2 0 0  a 
2 0 a  r 
a

2 a
5



2 Q
dr
2

a
1
4
2
2

Q  6 
 6  r dr  Q  2  
0  a 0
r  0
a
 5a
a
5
5
5
5
2






a
1
2

a

5
a
2

6
a
2

6
1
12

Q


2
2

Q2  6   
Q2 

Q

Q



6
6


0
 5 a  5 0 a
 5a a   0
 5a   0
 5a   0
2
2
3Q
W
5 a
1
WT    (r ) (r )dV
2 V
 0
 (r )  
0
ra
ra

 2 r2 
2 0  a   r  a
3


 (r )  
 4 0 a 3 1
ra

3 r

2

 2
1
r
2
2
WT  2 0   a   r sin  drd d 
2
3
V 
 2 a 3 1  a 5   4 2  0 2
 2 r2  2
2
2
WT   0 4   a   r dr  4  0  a      
3
3 3  5 
3
0

a
2
2
 4 a
 1 3 3 Q2
16  0 a
WT 

0 

15
 3
 a5 5 a
2
2
5
3
 5 a5 
a  
5

1
W
8
2
E
 dV
Todo el
espacio
q
E  r   2 rˆ
r

2
2 
q
q
 1  q dr
2
W
4  r dr  2    2  
8
2 0r
2
r 
0
2
2

q2  1 
1
    
 r 0 2  r  r  0
W 
La energía en el campo de una carga puntual es “infinita”

4a 3
ρr dV  Q 


3
esfera
a
1
W
8

2
3Q
W 

5 a a 0
E
dV

2
Todo el
espacio
¿Cómo se resuelve este problema?
•La idea de que la energía está
“localizada” en el campo es incorrecta
•En realidad los electrones no son
puntuales
•El electromagnetismo falla a distancias
pequeñas debido a los efectos
cuánticos
q1 
r1
W1  0
¡Aquí está la bronca!
N
N
qi q j
N
1
1
WT   
  qi (ri )
2 i 1 j 1 rij
2 i 1
j i

1
WT    (r ) (r ) dV
2 V
1 N N qi q j 1 N
WT   
  qi (ri )
2 i 1 j 1 rij
2 i 1
j i

1
WT    (r ) (r ) dV
2 V
Falta la energía de interacción
de la carga consigo misma. La
energía para “formar” la carga
2
q
W 
r
Pero es obvio que
1
W
8

Todo el
espacio
E dV  0
2
¡Otra vez!
N
N
qi q j
N
1
1
WT   
  qi (ri )
2 i 1 j 1 rij
2 i 1
j i

1
WT    (r ) (r ) dV
2 V
Falta la energía de interacción de la carga
consigo misma. La energía para “formar” la
carga.
La energía que se usa para formar las
cargas hace que el total sea positivo
1
W
8

Todo el
espacio
E dV  0
2
n
E   Ei
i 1
n
n
n
E   E   Ei  E j
2
i 1
2
i
1
W
8
1
W  WS 
8
i 1 j 1
j i
2
E
 dV
Todo el
espacio
n
n
  E  E dV
i 1 j 1
j i
i
j
 n

1
 E  dV
W  WS 
E

i  j

 j 1 
8 i 1
 j i 
n


n
1
    dV
W  WS 
E


i
j



8 i 1
j

1


j

i


n
  n  n

1
W  WS       Ei  j    j  Ei  dV

8 i 1   j 1  j 1
  j  i  j  i

n
n
1 n
1 n n
W  WS    Ei  j  dS     j 4 qi  r  ri  dV
8 i 1
8 i 1 j 1
j 1
j i
1
W  WS 
8
n
j i
n
1 n n
Ei j  dS   qi j  ri 


2 i 1 j 1
i 1 j 1
j i
j i
1
W  WS 
8
n
n
1 n n
Ei j  dS   qi j  ri 


2 i 1 j 1
i 1 j 1
j i
j i
 E
i
j
 dS  0
1 n n
W  WS   qi j  ri 
2 i 1 j 1
j i
1 n
W  WS   qi  ri 
2 i 1
1 n
W  WS   qi  ri 
2 i 1
1
WS 
8
n
 
i 1 Todo el
espacio
Ei2 dV
1 N
WT   qi  ri 
2 i 1
1 n
W  WS   qi  ri 
2 i 1
1
WS 
8
WS  0
n
 
i 1 Todo el
espacio

Ei2 dV
W  WI