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1878), quien fuera director de la Smithsonian Institution en Estados Unidos, realizaron varios experimentos pioneros con la fem inducida por medios magnéticos. La
13.9 Inducción electromagnética
figura 29.1 ilustra varios ejemplos al respecto. En la figura 29.1a, una bobina de
alambre está conectada a un galvanómetro. Cuando el imán cercano está inmóvil, el
medidor no indica corriente. Esto no es sorprendente, pues en el circuito no hay
fuente de fem. Pero cuando el imán se mueve y se acerca o se aleja de la bobina, el
medidor indica corriente en el circuito, pero sólo mientras el imán se halla en movimiento (figura 29.1b). Si el imán permanece fijo y es la bobina la que se mueve,
otra vez se detecta corriente durante el movimiento. Esto se llama corriente inducida, y la fem correspondiente que se requiere para generarla recibe el nombre de
fem inducida.
En la figura 29.1c se ha sustituido el imán con una segunda bobina conectada a
una batería. Cuando la segunda bobina está fija, no hay corriente en la primera bobiBases experimentales de la inducción electromagnética na. Sin embargo, cuando movemos la segunda bobina acercándola o alejándola de la
primera, o hacemos lo mismo con la primera bobina con respecto a la segunda, hay
Descubierta ~ 1830 por Michael Faraday en Inglaterra Joseph Henry (1797-­‐
corriente
en la primera
bobina, pero,yde
nuevo, sólo
mientras
una de las bobinas se
respecto a la otra.
1878) – quien fuera director mueve
de la con
Smithsonian Institution en Estados Unidos – y al Por último, en p
elor sistema
bobinas
que se ilustra enulan figura 29.1d, se mantiemismo tiempo de manera independiente H. Fde
. Edos
. Lenz (1804-­‐1865) nen ambas inmóviles y se varía la corriente en la segunda, ya sea abriendo y cerrando
científico ruso el interruptor o cambiando la resistencia de la segunda bobina con el interruptor cerra do (por ejemplo, modificando la temperatura de la segunda bobina). Se observa que al
abrir
el interruptor
hay unapulso
de corriente en el primer circuiLa figura muestra una bobina de yacerrar
lambre conectada un gmomentáneo
alvanómetro: to. Cuando
modifica e
lal resistencia
(y,npor
tanto, claorriente corriente) de la segunda bobi• a) Cuando el imán cercano es se
inmóvil, medidor o ilo
ndica na, hay una corriente inducida en el primer circuito, pero sólo mientras está cambiando
• b) Cuando el imán se cerca en
o el
se aleja circuito.
de la bobina, el medidor indica la acorriente
segundo
corriente en el circuito Para explorar más a fondo los elementos comunes a estas observaciones, considedetallada
de experimentos
la situación
se ilustra en la fi• Si el imán permanece remos
fijo yuna
es serie
la bmás
obina la que se mueve, con
otra vez se que
detecta gura 29.2. Se conecta una bobina de alambre a un galvanómetro, luego se coloca la
ONLINE
Cap. 10: INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
corriente durante el movimiento – el fenómeno es relativo La aparición de una corriente inducida = fem inducida 29.1 Demostración del fenómeno de la corriente inducida.
•
c) Mismo fenómeno de inducción se observa cambiando el imán por una segunda bobina conectada a una batería •
d) Cuando se mantienen ambas bobinas inmóviles pero se varía la corriente en la segunda: o Abriendo o cerrando el interruptor hay un pulso momentáneo de corriente en el primer circuito o Cambiando la resistencia de la segunda bobina, hay una corriente inducida en el primer circuito, pero sólo mientras está cambiando la corriente en el segundo circuito 1 29.1 Experimentos de inducción
995
de un electroimán cuyo campo magnético se pueda modificar.
cribe lo que se observa:
29.2 Bobina en un
campo magnético.
S
Cuando el campo B es constante y la forma,
ubicación y orientación de la bobina no
S
y corriente en el electroimán, por lo que B 5 0, el galvanómetro cambian, no hay corriente inducida en la
Sólo se d
induce
corriente
cuando El fenómeno de inducción es ligado a lbobina.
a variación el flujo magnético ente.
cambia
alguno
de
estos
factores.
ctroimán se enciende,
hay
una
corriente
momentánea
a
través
S
medida que se incrementa
BobinaB.de alambre conectada a un
nivelaS en un valor estable,
la corriente
cae a cero,
galvanómetro
colocada
entresin
losimportar
polos de
sea B.
un electroimán cuyo campo magnético se
S
en un plano horizontal,
la comprimimos
pueda
modificar para reducir el área de
nsversal. El medidor detecta corriente sólo durante la deformaS
B
ni después. Cuando aumentamosel área para que la bobina re1-­‐ Cuando B = 0 , el galvanómetro no ma original, hay corriente en sentido opuesto, pero sólo mientras
indica corriente obina está cambiando.
r la bobina algunos grados en torno a un eje horizontal, el mediN
2-­‐ Hay corriente omentánea ólo riente durante la rotación
enuelna mismo
sentidomque
cuando
 sesreB mregreso
edida qlaue bobina,
se incrementa uando se hace girara de
hay una corriente
en
o durante esta rotación.

0
obina bruscamente del
hay corriente
durante
B es estable, 3-­‐ Ccampo
uandomagnético,
la corriente cae , en el mismo sentido
cuando
se redujolel
área.
a cque
ero, sin importar a m
agnitud de B el número de espiras de la bobina desenrollando una o más de
ente durante el proceso en el mismo sentido que cuando se re enrollamos más espiras
en la bobina, hay una corriente en senenrollar.
4-­‐ Comprimimos la bobina para reducir el área de su sección transversal -­‐ el sconecta el electroimán,
hay una
corriente
momentánea
en el la deformación, no antes ni después medidor detecta corriente sólo durante o al de la corriente cuando
fue activado.
pido se efectúen estos
es la corriente.
5-­‐ cambios,
Cuando mayor
aumentamos el área hay corriente en sentido opuesto, pero sólo dos estos experimentos
con unael bobina
la misma
mientras área dque
e la tenga
bobina está cforambiando nte material y resistencia,
la
corriente
en
cada
caso
es
inversa ional a la resistencia6-­‐ total
demuestra
quegrados las
Se hdel
ace circuito.
girar la Esto
bobina algunos en torno a un eje horizontal, el medidor que ocasionan la corriente no dependen del material de la bobidetecta corriente durante la rotación en el mismo sentido que cuando se redujo el e su forma y del campo magnético.
área -­‐ cuando se hace girar de regreso la bobina, hay una corriente en sentido opuesto durante esta rotación n en todos estos experimentos
es el flujo
magnético
cama bobina conectada al galvanómetro. En cada caso, el flujo
el campo magnético
con
tiempoboruscamente porque la bobina
7-­‐ cambia
Se saca la el
bobina del campo magnético, hay corriente durante el un campo magnético
no
uniforme.
Revise
la
lista
anterior
movimiento, en el mismo sentido qpara
ue cuando se redujo el área ón. La ley de Faraday
de la inducción, que es el tema de la silece que en todas estas
situaciones elal n
fem
inducida
propor8-­‐ Reducimos úmero de ees
spiras de la bobina y hay corriente durante el proceso mbio del flujo magnético
F
a
través
de
la
bobina.
El
sentido
en el mB ismo sentido que cuando se rde
edujo el área -­‐ si enrollamos más espiras hay nde de si el flujo aumenta
o
disminuye.
Si
el
flujo
es
constante,
una corriente en sentido opuesto al enrollar no son meras curiosidades de laboratorio, sino que tienen nu 9-­‐ Desconectando el electroimán, hay una corriente momentánea en el sentido prácticas. Si está leyendo esto en el interior de una edificación,
opuesto al de la corriente cuando fue activado fem inducidas en este preciso momento! En la central eléctrica
to, un generador eléctrico produce una fem haciendo variar el
10 -­‐ Cuanto ás rápido se efectúen és de bobinas de alambre.
(En la m
siguiente
sección
veremos e
enstos cambios, mayor es la corriente fem suministra el voltaje entre las termie esto se realiza.) Esta
11-­‐ i se ryepiten todos ede
stos experimentos con una bobina que tenga la misma corriente de pared de
su Scasa,
esta diferencia
potencial
suforma pero iferente material y resistencia, la corriente en cada caso es a lámpara que ilumina
su libro.
Dedhecho,
cualquier
aparato
que
inversamente p
roporcional a
l
a r
esistencia t
otal del circuito -­‐ la fem inducidas no e corriente de pared utiliza fem inducidas.
del material de la en
bobina, magnéticamente, aldependen igual que las
que
se estudiaron
la sec- sino sólo de su forma y del campo magnético n el resultado de la acción de fuerzas no electrostáticas. Cuando
sultado de campos eléctricos
adicionales inducidos por campos
es, tenemos que diferenciar
con cuidado entre los campos
eléc ?
cargas (de acuerdo con la ley de Coulomb) y los producidos por
S
ambiantes. Denotaremos éstos, respectivamente, con Ec (donde
S
ferencia a Coulomb, o a conservativo) y con En (donde la n sigde Coulomb o que es un campo no conservativo). Más adelante,
guiente, volveremos a esta distinción.
2 ¡El elemento importante en todos estos experimentos = la variación del flujo magnético Φ B a través de la bobina conectada al galvanómetro! dΦ B
Ley de Faraday: en todas estas situaciones la fem ∝
dt
dΦ B
• Si el flujo es constante, = 0 ⇒ fem = 0 dt
dΦ B < 0
• El sentido de la fem es determinado por: dt > 0
NOTAS: 1-­‐ Las fem inducidas magnéticamente siempre son el resultado de la acción de fuerzas no electrostáticas (no conservativas) – esto se explicará por la ley de Lenz 2-­‐ Se tiene que diferenciar  entre los campos eléctricos producidos por cargas, por la ley de Coulomb EC , que son conservativos, y los campos producidos por 
campos magnéticos cambiantes, ley de Faraday En que no son conservativos 3 de un
elemento
de área dA:
S
S
dFB 5 B • dA 5 B!dA 5 B dA cos f.
en distinguir entre dos cantidades llamadas “fi”, f y FB.) El flujo magnético total FB
a través de un área finita es la integral de esta expresión sobre el área:
B
3
C APÍT
U3LO 29 Inducción
electromagnética
S
#
S
F 5 B dA 5 B dA cos f
996
S
(29.1)
S
Si B es uniforme sobre un área plana A, entonces
29.3 CálculoFdel
magnético
B#A5
BA cos f a través
(29.2)
B 5flujo
Ley de Faraday de
un
elemento
de
área.
La figura 29.4 repasa las reglas para el uso de la ecuación (29.2).
S
S
Para El elemento
com
(29.1) y (29.2)
tenemos
 un elemento de área infinitesimal  CU I DADO Al elegir la dirección de dA o A En las ecuaciones
S
S
S
ser cuidadosos para definir la dirección del área vectorial dA o A sin ambigüedades.
Siem-de un
a través
dA en un campo magnético B el que
flujo B y el signo del flujo magnético a
hay dos direcciones perpendiculares a cualquier
B' fárea dada,
magnético dΦ B a través del área pre
e
s clases de exper
través de ésta depende de cuál se elija como positiva. Por ejemplo, en la figura 29.3 se eligió
 
S
S
S
#
de En
flujo
magnétS
que
apuntara
hacia
arriba,
por
lo
que
f
es
menor
que
90°
y
es
positivo.
vez de
dA
B
dA
dΦ B = B ⋅ dA SS
dA
lo anterior, hubiéramos podido elegir que dA
apuntara hacia abajo, en cuyo caso f habría sido
S
S
infinitesimal dA
mayor que 90° y B # dA habría sido negativo. Cualquier opción es igualmente buena, pero una
vés del área es
El flujo magnético total Φ B vez que se elige una, debemos respetarla. ❚
B
dA
La ley de Faraday de la inducción establece lo siguiente:
 
Φ B = ∫ B ⋅ dA (10.1) La fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo de la tasa de cambio del
donde B' es la
flujo magnético a través de la espira con respecto al tiempo.
y f es el ángulo
Flujo magnético a travésS
En símbolos, la ley de Faraday es
en distinguir en
de un
elemento
de área dA:
S
S
a
través de un á
dFB 5 B • dA 5 B!dA 5 B dA cos f.
dFB
1 ley de Faraday de la inducción 2 E 5 2
(29.3)

dt
A
Cuando B es uniforme sobre una área p
lana  
(10.2) Φ B = B ⋅ A = BA cosφ S
29.4 Cálculo del flujo de un campo magnético uniforme a través de un área plana. (Compare con la figura 22.6, que muestraSilasB
reglas
es uniform
S
29.2 Ley
S
i
para calcular el flujo de un campo eléctrico uniforme.)
LaSsuperficie
está de frente al flujo magnético:
S
• B y ASsonSparalelos (el ángulo
entre B y A es f 5 0).
S S
• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA.
La superficie está inclinada un ángulo f
con respecto a unaSorientación
de frente:
S
• El ángulo entre B y A es f.S S
• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA cos f.
LaSsuperficie
está de perfil al flujo magnético:
S
• B y A son perpendiculares
S
S
(el ángulo entre B y A es f 5 908).
• El flujo magnético
S S
FB 5 B • A 5 BA cos 908 5 0.
La figura 29.4 r
C U I DA D O A
que ser cuidadoso
pre hay dos direc
f 5 908
través de ésta de
S
que dA apuntara
A
lo anterior, hubié
mayor que 90° y
vez que se elige u
S
A
f50
S
A
S
B
S
A
f
S
B
A
A
S
B
La ley de Fa
Ley de Faraday para la inducción: la fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo de la tasa de variación del flujo magnético a través de la La fem inducid
espira con respeto al tiempo flujo magnétic
dΦ B
(10.3) E=−
dt
En símbolos, la
NOTA: el signo negativo es convencional basado en la definición de la corriente Si se tiene una bobina con N espiras idénticas y si el flujo varía a la misma tasa a través de cada espira, la tasa total de cambio a través de todas las espiras es N veces más grande que para una sola espira: dΦ B
(10.4) E = −N
29.4
dt Cálculo del flujo de un campo magnético uniforme a trav
para calcular el flujo de un campo eléctrico uniforme.)
4 LaSsuperficie
está de frente al flujo magnético:
S
• B y ASsonSparalelos (el ángulo
entre B y A es f 5 0).
S S
• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA.
La superficie est
con respecto a u
• El ángulo entr
• El flujo magné
R
PLANTEAR: Con la ecuación (29.2) podemos calcular el flujo magnético; luego, utilizamos la ley de Faraday de acuerdo con la ecuación
(29.3) para determinar la fem inducida resultante, E. Después se calcula la corriente inducida que produce esta fem, por medio de la relación E 5 IR, donde R es la resistencia total del circuito que incluye
la
espira.
Ejemplo: Fem y corriente inducida en una espira 29.5
Espira conductora fija en un campo magnético creciente.
S
A 5 120 cm2 5 0.012 m2
S
/
A
/
dB dt 5 0.020 T s
a
I
N
b
Resistencia
total del circuito
y medidor 5 5.0 V
0
5.0 V
b) Al cambiar a una espira hecha de material aisla
se hace muy grande. La ley de Faraday, ecuación (29
resistencia del circuito de ninguna forma, por lo que la
cambia. Pero la corriente será menor, según la ecuaci
espira estuviera hecha de un aislante perfecto de re
la corriente inducida sería igual a cero aun cuando e
una fem. Esta situación es análoga a la de una bate
terminales no estén conectadas a nada: hay una fem
fluye corriente.
EVALUAR: En este cálculo conviene verificar la co
unidades. Hay muchas maneras de hacerlo; una es
S
S
bido a la relación de fuerza magnética, F 5 qv 3
del campo magnético son las de la fuerza divididas
des de (carga por velocidad): 1 T 5 1 1 N 2 / 1 1 C #
cuencia, las unidades de flujo magnético pueden
1 1 T 2 1 1 m2 2 5 1 N # s # m / C, y la tasa de cambio d
co como 1 N # m / C 5 1 J / C 5 1 V. Así, la unidad
volt, como lo requiere la ecuación (29.3). También
que la unidad de flujo magnético es el weber (Wb): 1
por lo que 1 V 5 1 Wb>s.
Electro imán con campo magnético uniforme: • Área de la espira conductora 120 cm2 • Resistencia total del circuito, incluyendo el medidor, 5.0 V Dirección
femse inducida
La magnitud de
del cla
ampo incrementa a razón de dB dt = 0.020 T s-1 La dirección de una fem o corriente inducida se calcula con la ecuación (29.3) y con
algunas reglas sencillas para los signos. El procedimiento es el siguiente:
Con área de la espira hacia arriba  vectorial de la espira perpendicular al plano S
Φ B dirección
= B ⋅ A = positiva
BA cos 0para
= BAel vector
⇒1.B Defina
A ⇒ una
de área A. S
S
2.
A
partir
de
las
direcciones
de
y
del
campo
magnético B, determine el signo
A
flujo
Por la del
ley de Fmagnético
araday: FB y su tasa de cambio dFB>dt. La figura 29.6 presenta varios
ejemplos.
dΦ B d ( BA ) dB
T⎞
⎛
2
−4
E 3.
= Determine
=
= de
A la
= ⎜fem
0.020
≈ 2.4
× 10
0.24mV de
el signo
o
corriente
inducida.
Si el
flujoVes=creciente,
⎟ ⋅ 0.012m
⎝
dt
dt
dt
s⎠
(
)
manera que dFB>dt es positiva, entonces la fem o corriente inducida es negatiE dF
2.4
× 10 −4 V
va;
si
el
flujo
es
decreciente,
entonces
B>dt es negativa y la fem
≈ 4.8 × 10 −5 A o= corriente
0.048mA La corriente esta por definición: I = =
inducida es positiva.
R
5.0Ω
Nota la consistencia de las unidades: 

N
 
Fuerza magnética F = qv × B ⇒ ⎡⎣ B ⎤⎦ = T =
m
C⋅
s
N
N
⋅s
⋅
m
⋅ m2 =
Para el flujo [ Φ B ] = T⋅ m 2 =
m
C
C⋅
s
⎡ dΦ ⎤ N ⋅ m J
= = V y la variación de flujo ⎢ B ⎥ =
C
C
⎣ dt ⎦
Wb
También en Weber: Wb = T⋅ m 2 ⇒ 1V = 1
s
5 Ley de Lenz En el ejemplo anterior nos falta determinar el sentido de la fem inducida • Esto se hace usando la ley de Lenz Ley de Lenz: la dirección de cualquier efecto de la inducción magnética es la que se opone a la causa del efecto Si el flujo en un circuito fijo cambia, la corriente inducida establece un campo magnético por sí misma: • Dentro del área limitada por el circuito, este campo es opuesto al campo original si éste se incrementa, pero tiene la misma dirección que el campo original si éste disminuye • Es decir, la corriente inducida se opone al cambio en el flujo a través del circuito Si el cambio del flujo se debe al movimiento de los conductores, la dirección de la corriente inducida en el conductor en movimiento es tal que la dirección de la fuerza magnética sobre el conductor es opuesta a la dirección de su movimiento • Así, el movimiento del conductor, que provocó la corriente inducida, encuentra oposición En todos casos, la corriente inducida trata de preservar el statu quo oponiéndose al movimiento o a un cambio del flujo ¡La ley de Lenz es una consecuencia de la ley de conservación de la energía! 6 ptual 29.9
Cómo determinar la dirección de la corriente inducida
S
S
ay un campo magnético uniforme B a través de la 29.13 La corriente inducida debida al cambio en B fluye en
Ejemplo conceptual 29.9 Cómo determinar la dirección de la cor
horario, vista desde arriba de la espira. El campo adicional
d del campo va en aumento
y la fem inducida re- sentido
S
corriente es haciaS abajo, en oposición
B
na corriente inducida.
Con
base
en
la
ley
de
Lenz,
Aplicación de la ley de Lenz inducido originado por esta
S
En
la
figura
29.13
hay
un
campo
magnético
uniforme B a través de la 29.13 La corriente
al
cambio
en
el
campo
B
hacia
arriba.
ón de la corriente inducida.
horario, vis
bobina. La magnitud del campo va en aumento y la fem inducida re- sentido
S
Binducido originado p
sultante ocasiona
una corriente inducida. Con base en la ley
S de Lenz,

al cambio en el cam
B la
determine
Un campo magnético uniforme dirección de la corriente inducida.Cambio en B
misma que la del ejemplo
29.1
(sección
29.2).
SeS
pasa a través de una bobina B
SOLUCIÓN
, la corriente inducida
debe
producir
un
campo
(creciente)
dentro de la bobina cuya
hacia
abajo,
Esta
La mdirección
agnitud es
del campo va en situación es la misma que la del ejemplo 29.1 (sección 29.2). Sela ley de Lenz, la corriente inducida debe producir un campo
mbio en el flujo. Conaumento la regla dey la
derechagún
S
la mano
fem inducida resultante E de la bobina cuya Sdirección es hacia
I abajo,
n 28.5 para la dirección del campo magnético pro-magnético Binducido dentro
S
ocasiona una corriente inducida Binducido
de la mano derecha
ra circular, Binducido tendrá la dirección deseada sien oposición al cambio en el flujo. Con la regla
E
descrita en la sección 28.5 para la dirección del campo magnético proa fluye como se indica en la figura 29.13.
S
si
muestra varias aplicaciones de la ley de Lenz a laducido por una espira circular, Binducido tendrá la dirección deseada
de Lenz
la corriente inducida fluye como se indica29.3
en la Ley
figura
29.13. 1005
un imán que se mueve
cerca
de duna
espirala conSegún la ley e Lenz, corriente inducida debe pvarias
roducir un campo agnético La figura
29.14 muestra
aplicaciones
de lamley
de Lenz a la
 que se
o de los cuatro casos
ilustran,
la
corriente
que
se
opone
al
cambio
del
flujo
a
través
de
la
debido
situación
de e
uns h
imán
se mueve
cerca de una
con- al moviBinducido dentro de la bobina cuya dsimilar
irección acia que
abajo, en oposición aespira
l espira
cambio nonceptual
campo magnético
por
sí
misma,
en
una
dirección
miento
del
imán.
ductora. En
uno de los cuatro
casos que se ilustran, la corriente que se opone al cam
29.9 Cómo determinar la dirección
decada
la corriente
inducida
en el flujo inducida
un campo
magnético
por sí misma,
en una dirección
miento del imán.
s de las corrientes inducidas
conforme
el imán se
mueveproduce
a lo largo
del eje
de una espira
conductora.
Si el imán de
• Usando Sl sentido S la regla de la mano derecha el corriente debe ser en e
29.13
hay un campo
magnético uniforme
B–a e
través
29.13Direcciones
La corriente
inducida
al cambio
en
B fluye en
ay corriente
inducida.
29.14
las corrientes
inducidas
conforme
el imán se mueve a lo largo del
horario sto edes la
exactamente en el sde
entido ddebida
e la fem sentido
horario, vista desde arriba de la espira. El campo adicional
agnitud del campo va en aumento y la fem inducida re- barra
S está fijo, no hay corriente inducida.
El Con
iento
delcorriente
imán inducida.
b)
movimiento
El movimiento
d) esElhacia
movimiento
imán
originado del
por imán
esta
corriente
abajo, endel
oposición
ona una
base en ladel
leyimán
de Lenz, c)Binducido
S
a) Elen
movimiento
delhacia
imánarriba.b)
El movimiento
imán
c)
cambio
elflujo
campo
B
un
flujo creciente
ocasiona un flujo decreciente al produce
un
decreciente
ocasiona
un flujodel
creciente
dirección
de la corriente inducida.
ocasiona
un
flujo
creciente
ocasiona
un
flujo
decreciente
jo a través de
hacia arriba
a través= de
hacia abajo a través de
hacia arriba a través de
Situación similar un S
N
hacia abajo a través de
hacia
a través de
Cambio
en arriba
B
la
espira.
la
espira.
la espira.
imán que se mueve S
S
la
espira.
la
espira.
S
S
S
S
n es la misma que la del cerca ejemplod29.1
(sección
29.2). Sev una v S
vS
S
e espira v
v
B
e Lenz,
debe producir
un campo
N la corriente inducida
S
S
N
conductora N
S
S
(creciente)
cuya dirección es hacia abajo,
S
S
nducido dentro de la bobina B
B
B
inducido
El movimiento del im
produce un flujo decr
hacia abajo a través d
la espira.
S
S
v
N
inducido
inducido
al cambio en Sel flujo. Con la regla de la mano derecha
S
S
S
S
E
B
B
BBS
B
En c
ada u
no d
e l
os I
sección 28.5 para la dirección
del campo
magnético
proB S
S
Binducido
na espira circular, Binducido
tendrá claasos dirección
cuatro la deseada si
nducida fluye como se indica
en la figura
29.13.
corriente inducida S
S
S
I
I
29.14 muestra varias aplicacionesI de la ley de Lenz a la
Binducido
BinducidoI
Binducido I
produce un campo ilar de un imán que se mueve cerca de una espira conmagnético por sla
í corriente que se opone al cambio del flujo a través de la espira debido al moviada uno de los cuatro casos
que se ilustran,
El campo
magnético
inducido
es hacia
oponerse
al cambioal cambio
El campo
inducido
es hacia
arriba
oponerse
al cambio
El campo
magnético
inducido
esarriba
hacia para
abajo
para oponerse
del magnético
misma, en una duce
un campo
magnético
porpara
sí misma,
en una
dirección del
miento
imán.
flujo.del
Para
producir el campo inducido, la corriente inducida debe ir
flujo. Para producir e
cir el campo inducido, la corrienteqinducida
ir
flujo. Para producir este campo inducido, la corriente inducida debe ir
ue se eldebe
en sentido
desde
arribaconductora.
de la espira.Si el imán de
en sentido horario, v
cciones de las corrientesdirección inducidas conforme
imán se mueve
a loantihorario,
largo del ejevista
de una
espira
io, vista desde arriba de la espira.
opone al cambio de o, no hay corriente inducida.
en sentido horario, vista desde arriba de la espira.
flujo verificación de c) El movimiento del imán
movimiento del imán
b) El=movimiento
del imán
d) El movimiento del imán
deunLenz
y respuesta
loscreciente
cambios de flujo
de Lenz asiona un flujo creciente la ley ocasiona
un flujo decreciente Ley
produce
flujo decreciente
ocasiona a
un flujo
cia abajo a través de
hacia arriba a través de
hacia
abajo
a
través
de
hacia
arriba
a
través
Como una corriente inducida siempre se oponedea cualquier cambio en el flujo magné
espira.
la espira.
la espira.
la espira.
S
Sde un
te inducida
siempre se oponeS a cualquier cambio
el
magnético aentravés
circuito, ¿cómovS es posible entonces que el flujo cambie? La res
S
S flujo
v
v
v
es que
leyresde Lenz sólo daS la dirección de una corriente inducida; l
n circuito,
que elpuesta
flujo cambie?
N ¿cómo es posible entonces
S
N laLa
S
magnitud
de
la
corriente
B
ley
de
Lenz
sólo
da
la
dirección
de
una
corriente
inducida;
ladepende de la resistencia del circuito. Cuanto mayor es la re
nducido
inducido
y respuesta a los cambios de flujo
sistenciamayor
del circuito,
menor es la corriente inducida
que parece oponerse a cualquie
B
B
rriente dependeB de la resistencia del circuito.
Cuanto
es laB reen elaflujo
y más fácil es que tenga lugar el cambio de flujo. Si la espira de l
ito, menor es la corriente inducida que parececambio
oponerse
cualquier
figura
29.14
estuviera
hecha de madera (un aislante), casi no habría corriente induci
y más
fácil es que tenga lugar
el cambio de flujo.
Si la espira de
S
S
I la
I
I
Ben
da Ben
respuesta
a
los
cambios
el flujo a travésI de la espira.
inducido
inducido
iera hecha de madera (un aislante), casi no habría corriente induciA la inversa, cuanto menor es la resistencia del circuito, mayor es la corriente in
os cambios
el flujo
a para
través
de laal cambio
espira. ducida
gnético
inducidoen
es hacia
arriba
oponerse
El campo magnético inducido es hacia abajo para oponerse al cambio del
y más difícil es el cambio del flujo a través del circuito. Si la espira en la figu
a producir
el campo
la corrientedel
inducida
debe ir mayor
flujo.
este campo
la corriente inducida debe ir
uanto
menor
esinducido,
la resistencia
circuito,
esPara
laesproducir
corriente
in- inducido,
ra
29.14
un buen
una
corriente inducida fluye en tanto que el imán s
tihorario, vista desde arriba de la espira.
en sentido
horario,
vistaconductor,
desde arriba de
la espira.
ya no estén en movi
cil es el cambio del flujo a través del circuito.mueva
Si la espira
en lacon
figuen relación
la espira. Una vez que el imán y la espira
en conductor, una corriente inducida fluye enmiento
tantorelativo,
que el imán
se inducida cae a cero con mucha rapidez debido a la resis
la corriente
tencia
distinta
en la espira.
con la
Una vez
que cambios
el imán y lade
espira
ya no
estén de
encero
movienz
y espira.
respuesta
a los
flujo
El
caso
extremo
ocurre
corriente
inducida
caeseaopone
cero con
muchacambio
rapidez
debido
a la resis- cuando la resistencia del circuito es igual a cero. Entonces
orriente
inducida
siempre
a cualquier
en el
flujo magnéla
corriente
inducida
cero
encircuito,
la espira.
s de un
¿cómo es posible entonces que el flujo cambie? La res- en la figura 29.14 continuará fluyendo aun después de que l
fem inducida
haya
la ley cuando
de Lenzlasólo
da la dirección
de unaescorriente
inducida;
ladesaparecido, es decir, después de que el imán haya cesado su mo
oueocurre
resistencia
del circuito
igual
a cero.
Entonces,
vimiento
en
relación
7 eida
la corriente
depende
de la continuará
resistencia delfluyendo
circuito. Cuanto
mayor esde
la reen la figura
29.14
aun después
que con
la la espira. Gracias a esta corriente persistente, se observ
que
el
flujo
a
través
de
la espira es exactamente el mismo que había antes de que e
menor es la corriente inducida que parece oponerse a cualquier
al circuito,
desaparecido,
es decir, después de que el imán haya cesado su moimánSicomenzara
moverse, por lo que el flujo a través de la espira de resistencia nul
l flujo y más fácil es que tenga lugar el cambio de flujo.
la espira dea la
ión
con lahecha
espira.
Gracias
esta corriente
persistente,
se
observamateriales especiales llamados superconductores en realida
nunca
cambia.
Ciertos
estuviera
de madera
(un aaislante),
casi no habría
corriente
induciS
S
S
S
ma generador de conductor corredizo. Determine la magnitud y dirección de la fem inducida resultante.
gla de la mano derecha. Apunte el pulgar d
la página y doble los dedos como en la figura
S
29.11 Generador
de conductor corredizo.
Tanto el campo
S
S
magnético
B como el área vectorial A están dirigidos hacia
la figura. El aumento en el flujo magnético (causado por un
El generador de conductor corredizo incremento del área) induce la fem y la corriente.
v dt
S
B
A
E
S
v
E52
dFB
dt
5 2B
d
d
Para calcular dA>dt se observa que en el mom
se desplaza una distancia v dt (figura 29.11),
crementa en una cantidad dA 5 Lv dt. Por lo t
I
S
S
EJECUTAR: Como B y A apuntan en la m
f 5 0 y FB 5 BA. La magnitud del campo
por lo que la fem inducida es
L
E 5 2B
Lv dt
5 2B
dt
El signo negativo nos indica que la fem está
horario alrededor de la espira, al igual que la
se muestra en la figura.
I
EVALUAR:
Observe que la fem es constan

B pes
Un conductor en forma de U en un campo magnético uniforme erpendicular varilla
constante. Enal este caso, el generad
SOLUCIÓN
plano de la figura, dirigido hacia la página = generador de cactúa
onductor orredizo comocun
generador de corriente dire
IDENTIFICAR:
El flujo magnético cambia porque el área de la espira muy práctico, ya que la varilla en algún mo
Una de m
con longitud entre los dos brazos n circuito encerrado deluconductor
forma de U y el contacto se
—limitada
a vlaarilla derecha
poretal la varilla
móvil—Lestá
aumentando.
La va-forma y s
e m
ueve l
a v
arilla h
acia l
a d
erecha c
on v
elocidad c
onstante v
rriente cesa.
riable que buscamos es la fem E inducida en esta espira en expansión.
El flujo magnético cambia porque el área de la espira limitada a la derecha por la varilla móvil está aumentando – Esto induce una fem y una corriente  

Definimos A ⊥ B , como el campo B es uniforme: Φ B = BA cosφ = BA dΦ B
dA
= −B
Por la ley de Faraday: E = −
dt
dt
Velocidad de variación del área: en el momento dt la varilla se desplaza una distancia vdt y el área se incrementa dA = Lvdt dA
Lvdt
⇒ E = −B
= −B
= −BLv dt
dt
La fem < 0 la corriente inducida esta en el sentido antihorario alrededor de la espira – segundo la ley de Lenz esto corresponde a un flujo magnético por arriba que se opone a la aumentación de flujo por abajo – esto corresponde a una fuerza magnética que se opone al movimiento de la varilla Si la corriente inducida en el generador de conductor corredizo fuera en dirección opuesta a la que indica la ley de Lenz, la fuerza magnética sobre la varilla la aceleraría hacia una rapidez siempre creciente, sin una fuente externa de energía, aun cuando la energía eléctrica se disipara en el circuito Esto sería una clara violación de la conservación de la energía que nunca ocurre en la naturaleza 8 velocidad de la varilla, por lo que para mantener el movimiento debe
aplicarse una fuerza de igual magnitud en la dirección del movimiento
S
de la varilla (es decir, en dirección de v ). La tasa con que se efectúa
Tal vez piense que si se invirtiera la dirección de
S
S
S
ble que la fuerza magnética F 5 IL 3 B estuvier
S
ción que v. Éste sería un gran truco. Una vez q
movimiento, el flujo magnético cambiante indu
S
S
S
29.12 La fuerza magnética F 5 IL 3 B que actúa sobre la varilla corriente, y la fuerza magnética sobre la varilla h
S
viera aún más rápido, lo que incrementaría la fem
debido a laTrabajo corrientey inducida
vaehacia
izquierda,dopuesta
a v. corredizo
potencia n el gla
enerador e conductor continuaría así hasta que la varilla alcanzara un
generara una fuerza eléctrica a una tasa prodigios
S
parece demasiado bueno para ser cierto, por no
L
I
S
B
ción de la conservación de la energía, tiene razón.
S
S
F
v
bién se invierte el signo de la fem inducida y la co
S
dirección de L, por lo que la fuerza magnética aú
E
miento de la varilla; un resultado similar sería ver
I
S
ra v. Este comportamiento es parte de la ley de L
en la sección 29.3. ❚
En el generador de conductor corredizo la energía se disipa en el circuito debido a su resistencia Los generadores como convertidores
de energía
E
Sea R
l
a r
esistencia d
el c
ircuito, y
l
a c
orriente inducida I
=
El ejemplo 29.7 demuestra que el generador de conductor
corredizo
no produce
energía
R
eléctrica de
la nada; la energía la suministra cualquier cuerpo que ejerza la fuerza para
2
2
2 2 enermantener la varilla en movimiento. Todo lo que hace⎛elEgenerador
es convertir
⎞
B 2 Lesa
v
⎛ BLv ⎞
2
La e
nergía d
isipada e
s i
gual a
P
=
I
R
=
R
=
R
=
gía a una forma diferente. La igualdad entre
energía mecá⎜⎝
⎟⎠
dis la tasa con
⎜⎝ Rque
⎟⎠ se suministra
R
R
nica al generador y la tasa con que se produce energía eléctrica se cumple para todos
los tipos de generadores. Esto es cierto en particular para el alternador descrito en el
ejemplo 29.4. (Se están ignorando los efectos de la fricción en los cojinetes de un alterTambién se requiere hacer un trabajo para mover la varilla: nador o entre•la varilla
y el conductor en forma de U de un generador de conductor coEl campo magnético ejerce una fuerza sobre la varilla conductora de rredizo. Si se incluyeran
tales
la conservación
la energía
quetrabajo la
corriente, y qefectos,
uien desee empujar la de
varilla tiene demandaría
que efectuar energía perdida por
fricción
en la
contra de no
esa estuviera
fuerza disponible para convertirse en energía eléctrica. En los
generadores
reales,
la
fricción
se mantiene en el mínimo para que el proce so de conversión
de cenergía
sea
lo más
eficiente eposible.)
El trabajo ontra la fuerza magnética s Fd y la potencia es Paplicada = Fv En el capítulo
27
se
dijo
que
la
fuerza
magnética
sobre cargas en Smovimiento
nunca
S
S





F 5 IL 3 B en el
realiza trabajo.
Peromtal
vez usted
fuerza
= IL × que
B y claomo L ⊥magnética
B : La fuerza agnética es Fpiense
ejemplo 29.7 efectúa trabajo (negativo) sobre la varilla
BLvconductora
B 2 L2 vde corriente conforme
⇒ Fenunciado
= ILB = anterior.
LB = En realidad, el trabajo efecésta se desplaza, lo cual contradice nuestro
R
R tuado por la fuerza magnética es igual a cero. Las cargas en movimiento
que constituyen
B 2 L2 v 2
Por lo que Paplicada = Fv =
R
Esto es exactamente la misma tasa con que se disipa la energía en el circuito 
• Al invertirse B
 también se invierte el signo de la fem inducida y con ello la dirección de L , por lo que la fuerza magnética aún se opone al movimiento de la varilla 
• Un resultado similar sería verdadero si se invirtiera v Por lo que la ley de la conservación de la energía explica la ley de Lenz
9 Ley de Lenz y respuesta a los cambios de flujo
Como una corriente inducida siempre se opone a cualquier cambio en el flujo magnético a través de un circuito, ¿cómo es posible entonces que el flujo cambie? La respuesta es que la ley de Lenz sólo da la dirección de una corriente inducida; la magnitud de la corriente depende de la resistencia del circuito • Cuanto mayor es la resistencia del circuito, menor es la corriente inducida que parece oponerse a cualquier cambio en el flujo y más fácil es que tenga lugar el cambio de flujo o Para una espira hecha de madera (un aislante), casi no habría corriente inducida en respuesta a los cambios en el flujo a través de la espira • Cuanto menor es la resistencia del circuito, mayor es la corriente inducida y más difícil es el cambio del flujo a través del circuito o Si la espira es un buen conductor, una corriente inducida fluye en tanto que el imán se mueva en relación con la espira o Una vez que el imán y la espira ya no estén en movimiento relativo, la corriente inducida cae a cero con mucha rapidez debido a la resistencia distinta de cero en la espira • El caso extremo ocurre cuando la resistencia del circuito es igual a cero = superconductores o La corriente inducida continuará fluyendo aun después de que la fem inducida haya desaparecido, es decir, después de que el imán haya cesado su movimiento en relación con la espira o Gracias a esta corriente persistente, se observa que el flujo a través de la espira es exactamente el mismo que había antes de que el imán comenzara a moverse, por lo que el flujo a través de la espira de resistencia nula nunca cambia 10 en la figura 29.14a
29.4 Fuer
Fuerza electromotriz de movimiento – forma de lconductora
a ley de Faraday
29.15alterna Una varilla
que se
mueve en un campo magnético uniforme.
a) La varilla,
la velocidad
y el campo son
La figura a muestra la varilla móvil en el generador de conductor corredizo, mutuamente
perpendiculares.
b) Sentido
separada, por el momento, del conductor en forma de U de
la
corriente
inducida
en
el
circuito.
Consideramos las fuerzas magnéticas a) Varilla aislada en movimiento
sobre las cargas móviles en esta varilla a
S
+

B
Sobre las cargas
El campo magnético B es uniforme y en movimiento en
FB 5 qvB la varilla actúa
dirigido hacia la página; movemos la una fuerza S
varilla hacia la derecha a velocidad 
S
magnética FB …
v
constante v L q
En consecuencia del movimiento, una … y la separación
FE 5 qE
partícula cargada q en la varilla resultante de las
experimenta u
na f
uerza m
agnética cargas crea una

 
–
fuerza eléctrica
de
F = qv × B con magnitud F = q vB S
b
cancelación FE.
conductor fijo
Suponemos q > 0; el sentido de la fuerza b) Varilla conectada a un
a
S
es hacia arriba a lo largo de la varilla, de B
b hacia a S
I
v
E
Esta fuerza hace que las cargas libres en I
la varilla se muevan, lo que crea un exceso de carga positiva en el extremo b
superior a y de carga negativa en el La fem E en la varilla móvil crea un campo
extremo inferior b eléctrico en el conductor fijo.

Esto, a la vez, crea un campo eléctrico E en el interior de la varilla, en el sentido que va de a hacia b 
La carga continúa acumulándose en los extremos de la varilla hasta que E se hace suficientemente grande para que la fuerza eléctrica hacia abajo (con magnitud qE) cancele exactamente la fuerza magnética hacia arriba (con magnitud qvB) • En equilibrio, qE = qvB La magnitud de la diferencia de potencial Vab = Va − Vb = EL De acuerdo con el análisis anterior, E = vB, por lo que: (10.5) Vab = EL = vBL • Con el punto a en un potencial mayor que en el b ONLINE
13.10 Fuerza electromotriz de movimiento
11 Hemos visto vari
tico, como en los
tener una perspec
si se consideran
figura 29.15a mu
parada, por el mo
forme y dirigido
S
constante vS. Ent
magnética F 5 q
mos que q es pos
la varilla, de b ha
Esta fuerza m
crea un exceso d
extremo inferior
lla, en el sentido
acumulándose en
de para que la fu
fuerza magnética
cargas están en e
La magnitud d
campo eléctrico
lisis anterior, E 5
con el punto a en
Ahora supong
de U y forma un
sobre las cargas e
los puntos a y b s
dentro de este úl
La varilla móvil
ga se mueve del p
del potencial ma
miento, y se den
E
correspondiente
distancia L a lo
conductor en for
está dada por vB
empleando la ley
de la ley de Fara
La fem asocia
con su terminal p
muy diferentes. E
positivo, en el se
do por esta fuerza
Ahora suponga que la varilla móvil se desliza a lo largo del conductor fijo en forma de U y forma un circuito completo • Ninguna fuerza magnética actúa sobre las cargas en el conductor fijo en forma de U, pero la carga que estaba cerca de los puntos a y b se redistribuye a lo largo del conductor fijo, y crea un campo eléctrico dentro de este último • Este campo establece una corriente, en el sentido de la fem La varilla móvil se ha vuelto una fuente de fuerza electromotriz • Dentro de ella, la carga se mueve del potencial más bajo al más alto, y en lo que resta del circuito se mueve del potencial mayor al menor Esta fem se denomina fuerza electromotriz de movimiento, y se denota con E • Del análisis anterior, la magnitud de esta fem es: E = vBL (10.6) E
• Correspondiente a una fuerza por unidad de carga de magnitud = vB que L
actúa en una distancia L a lo largo de la varilla móvil Si R = la resistencia total del circuito del conductor en forma de U y la varilla vBL
corrediza, la corriente inducida I en el circuito está dada por I =
R
• Éste es el mismo resultado que se obtuvo empleando la ley de Faraday, por lo que la fem de movimiento es un caso particular de la ley de Faraday La fem asociada con la varilla móvil es análoga a la de una batería con su terminal positiva en a y negativa en b, aunque los orígenes de las dos fem son muy diferentes: • En cada caso, una fuerza electrostática actúa sobre las cargas en el dispositivo, en el sentido de b hacia a, y la fem es el trabajo por unidad de carga realizado por esta fuerza cuando una carga se mueve de b a a en el dispositivo • Cuando éste se halla conectado a un circuito externo, la dirección de la corriente es de b a a en el dispositivo, y de a a b en el circuito externo Una fem de movimiento también se presenta en la varilla móvil aislada, de la misma forma en que una batería tiene una fem aun cuando no forma parte de un circuito • El sentido de la fem inducida se deduce mediante la ley de Lenz o Se completa el circuito mentalmente entre los extremos del conductor y se aplica la ley de Lenz para determinar el sentido de la corriente o De esto se deduce la polaridad de los extremos del conductor en circuito abierto -­‐ el sentido del extremo negativo (–) al extremo positivo (+) dentro del conductor es el que tendría la corriente si el circuito estuviera completo 12 Fem de movimiento: Forma general Se generaliza el concepto de fem de movimiento para un conductor de cualquier forma que se mueva en un campo magnético, uniforme o no, suponiendo que el campo magnético no varía con el tiempo 
Para un elemento dl del conductor, la contribución dE a la fem es la magnitud dl 
multiplicada  por la componente de v × B (la fuerza magnética por unidad de carga paralela a dl ):   
dE = v × B ⋅ dl (10.7) (
)
Para cualquier espira conductora cerrada, la fem total es   
E=
v
(10.8) ∫ × B ⋅ dl (
)
Esta expresión es equivalente a la ley de Faraday, por que: dΦ B
  
(10.9) = −
v
∫ × B ⋅ dl dt
Así que (10.8) es una formulación alternativa de la ley de Faraday, que con frecuencia es más conveniente que la forma original para resolver problemas con conductores móviles Pero cuando se tienen conductores fijos en campos magnéticos cambiantes, no es posible utilizar la ecuación (10.8) y en tal caso, la ecuación (10.3) es la única forma correcta de expresar la ley de Faraday (
13 )
la varilla actúa
una fuerza S
magnética FB …
B
L
S
v
q
FE 5 qE
–
Ejemplo: Cálculo de la fem de movimiento b
… y la separación
resultante de las
cargas crea una
fuerza eléctrica
de
S
cancelación FE.
b) Varilla conectada a un conductor fijo
a
S
B
I
S
v
E
mos que q es positiva; en ese caso, el se
la varilla, de b hacia a.
Esta fuerza magnética hace que las
crea un exceso de carga positiva en el
extremo inferior b. Esto, a la vez, crea
lla, en el sentido que va de a hacia b (o
acumulándose en los extremos de la va
de para que la fuerza eléctrica hacia ab
fuerza magnética hacia arriba (con m
cargas están en equilibrio.
La magnitud de la diferencia de pot
campo eléctrico E multiplicada por la
lisis anterior, E 5 vB, por lo que
Vab 5
I
con el punto a en un potencial mayor q
Ahora suponga que la varilla móvil
La fem E en la varilla móvil crea un campo
de U y forma un circuito completo (fi
eléctrico en el conductor fijo.
sobre las cargas en el conductor fijo en
los puntos a y b se redistribuye a lo larg
Suponga que la varilla móvil mide 0.10 m de longitud, que su velocidad es de último.
2.5 Este campo esta
dentro vde
este
m/s, que la resistencia total de la espira es de 0.030 Ω, y que B es La
de varilla
0.60 Tmóvil
se ha vuelto una fuent
ga se mueve del potencial más bajo al m
m⎞
⎛
del potencial mayor al menor. Esta fem
La fem es E = vLB = ⎜ 2.5 ⎟ ( 0.60T) ( 0.10m ) ≈ 0.15V ⎝
miento, y se denota con E. Del análisis
s⎠
(fem de m
E 5 vBL
E
0.15V
perpendic
La corriente inducida resultante I = =
≈ 5.0A R 0.030Ω
correspondiente a una fuerza por unid
distancia L a lo largo de la varilla mó
La fuerza magnética sobre la varilla que conduce esta corriente es directamente conductor en forma de U y la varilla c
opuesta al movimiento de la varilla está dada por vBL 5 IR. Éste es el mis
• Aplica a la fórmula 
 la regla de la mano derecha para productos vectoriales empleando la ley de Faraday, por lo q
F = IL × B de la ley de Faraday, uno de los varios
• El vector L apunta de b a a en el mismo sentido que la corriente inducida La fem
asociada con la varilla móvil
en la varilla con su terminal positiva en a y negativ
 
• Como L ⊥ B esta fuerza tiene l
a m
agnitud
muy diferentes. En cada caso, una fuerz
ONLINE
F = ILB = ( 5.0A ) ( 0.10m ) ( 0.60T) ≈ 0.30N positivo, en el sentido de b hacia a, y l
do por esta fuerza cuando una carga se m
13.10
Fuerza
electromotriz
de
movimiento
b
14 Campos eléctricos inducidos 29.5 Campos eléctricos inducidos
1009
Cuando un conductor se mueve en un campo magnético la fem inducida se nsideremos la situación
que se
ilustra
la figura
29.17. Un so- 29.17 a) El devanado de un solenoide
entiende de dos men
aneras equivalentes: lleva
que
se(incrementa
o, con área de sección• transversal
A
y
n
espiras
por
de a tlargo
En términos de un flujo cunidad
ambiante ravés de uuna
n ccorriente
onductor fijo ley de a
una
tasa
dI>dt.
El
flujo
magnético
en el
en su centro por una espiraFaraday) conductora circular. El galvanómesolenoide
aumenta
a
una
tasa
dF
>dt,
y
B
e en la espira.
Una corriente
el devanado
del solenoide
es- que actúan sobre las cargas del • En Iten
érminos de fuerzas magnéticas S
este flujo cambiante pasa a través de una
gnético B a lo largo de su conductor eje, como se(fem indica,
magnitud B espira de alambre. En la espira se induce
de con
movimiento) ejemplo 28.9 (sección
28.7): B 5 m0nI, donde n es el número una fem E 5 2dF >dt, la cual induce una
B
de longitud. SiSse ignora
pequeño
fuera ldel
solenoide corriente Ir que se mide con el galvanó¿Pero, elqué es lo qcampo
ue empuja as Scargas alrededor del circuito? ector de área A apunta
en la misma dirección que B, entonces metro G. b) Vista transversal.
a través de la espira
es
Consideremos la situación que se a)
ilustra e
n l
a f
igura a
: I, d I
FB 5 BA 5 m0nIA
Galvanómetro
dt
Espira de alambre
en el solenoide cambia
tiempo, el
flujoy magnético
• con
Un el
solenoide largo delgado, FB
G
acuerdo con la ley de Faraday,
femde inducida
la espira está
Solenoide I'
con álarea sección en
transversal A y n espiras por unidad de S
I, d I
longitud, está rodeado en su B
dFB
dI
dt
por una espira 5 2mcentro (29.8)
E52
0 nA
dt
dt
conductora circular inducida en la espira, que llamaree la espira es R, la corriente
A
• El galvanómetro G mide la El cilindro azul muestra la
corriente en udena spira dNo
e puede
ace que las cargas se muevan
alrededor
laeespira?
S
región con campo magnético B
incluyendo el campo
solenoide ca porque el conductor noalambre se está moviendo
en un
mag i siquiera está en un campo
magnético. Nos vemos obligados a b)
• Una corriente I econductor
n el devanado del solenoide establece un campo magnético haber un campo eléctrico
en el
causado
 inducido
G
cambiante. Esto puede sonar
un
poco
discordante;
estamos
acosB a lo largo de su eje, con magnitud B = µ0 nI S
un campo eléctrico como algo causado por cargas eléctricas, y
E
I
S
un campo magnético cambiante
actúa
de
algún
modo
como
fuen• Si se ignora el pequeño campo fuera del solenoide y suponiendo que el B
Además, es un campo eléctrico
un
tanto
extraño.
Cuando
una
vector de área A apunta en la misma dirección que B , entonces el flujo S
vuelta alrededor de la espira,
el
trabajo
total
realizado
sobre
ella
E
magnético a través de la espira es Φ B = BA = µ0 nIA r
debe ser igual al producto de q por la fem E. Es decir, el campo
o es conservativo, enS el sentido en que se usó este término en el
• Cuando la corriente I en el solenoide cambia con el tiempo, EeSl flujo integral de línea de E alrededor de una trayectoria cerrada no es
magnético también cambia y, de acuerdo con la ley de Faraday, la fem eSello, esta integral de línea, que representa el trabajo realizado
inducida en la espira de alambre está dada por: E por unidad de carga, es igual a la fem inducida E:
dΦ B
dI
(10.10) E=−
= − µ0 nA S
S
dt
dt
(29.9)
CE d l 5 E
E
• Si la resistencia total es R, la corriente inducida en la espira es I ′ = en el R
de Faraday, la fem E también es el negativo de la tasa de camdado por a ley e Lenz (se
en a, dΦ B dt > 0 ⇒ I ′ esta en el sentido o a través de la espira. Así,sentido para este
caso,
la lley
dedFaraday
anti-­‐horario) dFB
52
(trayectoria de integración constante)
(29.10)
dt
#
Faraday siempre se cumple en la forma E 5 2dFB>dt; la forma
9.10) sólo es válida si la trayectoria alrededor de la cual se inte-
ituación en la que puede aplicarse la ecuación (29.10), considea deS la figura 29.17b, de radio r. En virtud de la simetría cilín magnitud en todos los puntos del círculo y15 co E tiene la misma
ada uno de ellos. (La simetría también permitiría que el campo
onces la ley de Gauss requeriría la presencia de una carga neta
Pero, ¿qué fuerza hace que las cargas se muevan alrededor de la espira? • No es una fuerza magnética porque el conductor no se está moviendo en un campo magnético, y en realidad ni siquiera está en un campo magnético Nos vemos obligados a concluir que tiene que haber un campo eléctrico inducido en el conductor causado por el flujo magnético cambiante • Un campo magnético cambiante actúa de algún modo como fuente de campo eléctrico Además, este campo eléctrico no es conservativo • Cuando una carga q completa una vuelta alrededor de la espira, el trabajo total realizado sobre ella por el campo eléctrico es W = qE 
o La integral de línea de E alrededor de una trayectoria cerrada no es igual a cero • Esta integral  de línea, que representa el trabajo realizado por el campo inducido E por unidad de carga, es igual a la fem inducida:  
(10.11) ∫ E ⋅ dl = E De acuerdo con la ley de Faraday, la fem E también es el negativo de la tasa de cambio del flujo magnético a través de la espira  
dΦ
(10.12) E
∫ ⋅ dl = − dt B dΦ B
NOTA: La ley de Faraday siempre se cumple en la forma E = −
pero la dt
forma (10.12) sólo es valida si la trayectoria alrededor de la cual se integra es constante 16 E52
dt
5 2m0 nA
dt
(29.8)
a espira es R, la corriente inducida en la espira, que llamare-
A
El cilindro azul muestra la
e que las cargas se muevan alrededor de la espira? No puede
S
región con campo magnético B
porque el conductor
no
se
está
moviendo
en
un
campo
mag iquiera está en un Como campoemagnético.
vemosen obligados
jemplo de sNos
ituación la que a b)
aber un campo eléctrico
inducido
en
el
conductor
causado
puede aplicarse la ecuación (10.11), G
mbiante. Esto puede
sonar un poco
discordante;
acosconsidere la espira circular estamos
fija de la S
n campo eléctrico como
causado
figura algo
b, de radio r por cargas eléctricas, y
E
I
S
campo magnético cambiante
actúa de algún modo como fuen B
demás, es un campo
extraño.
Cuando
En eléctrico
virtud de un
la tanto
simetría cilíndrica, el una

S
elta alrededor de lacampo espira, eelléctrico trabajo Etotal
realizado
sobre ella
tiene la misma E
r
be ser igual al producto
de q epor
la femlos E. pEs
decir,del el campo
magnitud n todos untos s conservativo, enScírculo el sentido
entangente que se usó
enno el
y es a éeste
ste etérmino
n cada u
S
E
ellos de una trayectoria cerrada no es
egral de línea de Ede alrededor
llo, esta integral de línea, que representa el trabajo realizado
por unidad de carga,
igual a tlaambién fem inducida
E: que el campo fuera radial, pero entonces la ley de La es
simetría permitiría Gauss requeriría la presencia de una carga neta dentro del círculo, y no hay S
S
E
d
l 5E
(29.9)
ninguna C
 
Faraday, la fem E también es el negativo de la tasa de camdΦ B
E
⋅ dl = E ( 2π r ) =
La integral de línea de la ecuación (10.11): 
por lo que la través de la espira. Así, para este caso, la ley de Faraday se ∫
dt
magnitud del campo: 1 dΦ B
dFB
E=
(10.13) 2
(trayectoria de integración constante)
(29.10) 2π r dt
dt
La dirección del cEampo eléctrico sta al inverso del corriente inducido – esta raday siempre se cumple
en la forma
5 2dF
forma
B>dt; la e
10) sólo es válida sidirección la trayectoria
alrededorade
cual se intecorresponde la ladirección indicada cuando B en el solenoide está  
aumentando, debido que 
∫ E ⋅ dl < 0 cuando dΦ B dt > 0 ación en la que puede aplicarse la ecuación (29.10), conside eS la figura 29.17b, de radio r. En virtud de la simetría cilín E tiene la misma magnitud en todos los puntos del círculo y
a uno de ellos. (La simetría también permitiría que el campo
es la ley de Gauss requeriría la presencia de una carga neta
hay ninguna.) La integral de línea de la ecuación (29.10) se
itud E multiplicada por la circunferencia 2pr de la espira,
uación (29.10) da
#
E5
1 dFB
2pr P dt P
(29.11)
os puntos de la espira se indican
en la figura 29.17b. Sabemos
S
cción indicada cuando B en el solenoide está aumentando,
17 Campos eléctricos no electrostáticos En resumen: La ley de Faraday (10.3) es válida para dos situaciones muy diferentes: • En una, la fem es inducida por fuerzas magnéticas sobre cargas cuando un conductor se mueve a través de un campo magnético • En la otra, un campo magnético que varía con el tiempo induce un campo eléctrico en un conductor fijo  y con ello induce una fem o De hecho, el campo E es inducido aun cuando ningún conductor esté presente 
• Este campo E difiere de un campo eletrostático en un aspecto importante = no es conservativo  
E
o 
∫ ⋅ dl ≠ 0 y cuando una carga se mueve alrededor de una •
•
trayectoria cerrada, el campo realiza sobre ella una cantidad de trabajo distinta de cero o De ello se deduce que para un campo como ése el concepto de potencial carece de significado o Un campo de esa clase = campo no electrostático En contraste, un campo electrostático siempre es conservativo y siempre tiene asociada una función de potencial A pesar de esta diferencia, 
 el efecto fundamental de cualquier campo es ejercer una fuerza F = qE sobre una carga q 
•
•
o Esta relación es válida tanto si E es un campo conservativo producido por una distribución de carga, como si es un campo no conservativo ocasionado por un flujo magnético cambiante De manera que un campo magnético actúa como fuente de campo eléctrico de una clase que no podemos producir con ninguna distribución de carga estática Por razón de simetría, mostraremos que también un campo eléctrico cambiante actúa como fuente de campo magnético 18 te de desplazamiento
iones de Maxwell
mpo magnético que varía de lugar a un campo eléctrico inducis más notables de la simetría de la naturaleza es que un campo
Corriente de d
esplazamiento y ecuaciones de Maxwell igen a un campo magnético.
Este
efecto
tiene una enorme
im ondas de radio, los rayos gamma y la luz
a la existencia de las
Hemos visto que un campo magnético que varía de lugar a un campo eléctrico as las demás formas
de ondas
electromagnéticas.
inducido de la ley de Ampère
Uno de los ejemplos más notables de la simetría de la naturaleza es que un a relación entre los campos eléctricos variables y los campos
campo eléctrico variable da origen a un campo magnético a la ley de Ampère, tal como se expresó en la sección 28.6,
Este efecto tiene una enorme importancia, ya que explica la existencia de las ondas S
S de radio, los rayos gamma y la luz visible, así como de todas las demás formas de 5 m0Ienc
C B d l ondas electromagnéticas de Ampère expresada en esta forma es que está incompleta. 29.22 Capacitor de placas paralelas
Generalización e la ley d(figura
e Ampère sideremos el proceso
de cargar un d
capacitor
29.22). en proceso de carga. La corriente de
conducción a través de la superficie plana
levan corriente
iC hacia una placa y fuera de la otra; la carga
 Q es i , pero no hay corriente de conducción
S
B ⋅ dl = µ0 ICenc La las
ley de Ampère tiene a forma: iC 
po eléctrico E entre
placas
aumenta.
La lnotación
∫indica
a través de la superficie que se abomba
n para diferenciarla de otra clase de corriente que vamos a en- para pasar entre las placas. Las dos
corriente de desplazamiento,
Se usaneminúsculas
i y fvorma superficies
tienen una frontera común,
¡La ley de iDA.mpère xpresada epara
n esta está incompleta! tantáneos de corrientes
y
diferencias
de
potencial,
respectivapor
lo
que
esta
diferencia en Ienc lleva
una
contradicción
aparente al aplicar
ar con el tiempo. Para ver por qué, consideremos el proceso ade cargar un capacitor: la
ley
de
Ampère.
e Ampère a la trayectoria
circular que se muestra. La integral
ta trayectoria es igual
a
m
I
el área circular
limi0 enc.cPara
Trayectoria para
Alambres onductores llevan cplana
orriente es tan sólo la corriente
i
en
el
conductor
de
la
izquierda.
Pero
la ley de Ampère
C
iC hacia una placa y fuera de la otra; la omba hacia la derecha
está
delimitada
por
el
mismo
círculo,
Superficie abombada
carga Q se incrementa, y eSl campo S
e esa superficie es eléctrico igual a cero.
lolas tanto,
r B adumenta l es igual a
E ePor
ntre placas +
–
o es igual a cero! Ésta
es
una
contradicción
evidente.
++
––
r
r
e en la superficie abombada.
A medida
que
el capacitor
La notación iC indica corriente de se carS
E – –
+ +
iC dl
iC
FE a través pdeara E y el flujo eléctricoconducción la d
superficie
aumentan.
Sus
iferenciarla de una –
–
+ +
den determinar en términos
dedla
y la corriente.
Laacarga
otra clase e ccarga
orriente que vamos en-­‐ –
++
–
, donde C es la capacitancia
y vse esllama la diferencia
dede potencontrar y que corriente –
+
n capacitor de placas
paralelas, C 5 PiD0 A>d, donde A es el área
desplazamiento, Q
–Q
paración. La diferencia
de potencial v entre las placas es v 5 Ed, Superficie
dSdel campo eléctrico
entre las placas. (Se ignora el efecto de plana
entre
Si valores instantáneos de corrientes y E es uniforme en la
Se región
usan mcomprendida
inúsculas para i ylas
v pplacas.)
ara denotar un material con permitividad
remplaza rPespectivamente, 0 por P en todo
diferencias P,
de sepotencial, que pueden variar con el tiempo sigue se empleará P.
presiones para C yApliquemos v en q 5 Cv,
en el capacitor,
q,
la lla
ey carga
de Ampère a la trayectoria circular que se muestra en la figura  
• La integral 
∫ B ⋅ dl alrededor de esta trayectoria es igual a µ0 I enc PA
Para área circular plana (29.12)
limitada por el círculo, I enc = iC 1 Ed 2 •5 PEA
q 5 Cv 5
5el PF
E
d #
#
Pero la superficie que se abomba hacia la derecha , que también está ujo eléctrico a través
de p
laara superficie.
por de
el m
ismo círculo, lde
a cconorriente a través de esa superficie es igual a acitor se carga, la delimitada tasa de cambio
q es
la corriente
cero e la derivada de la ecuación (29.12) con respecto al tiempo se
 
 
B ⋅ dl = µ0iC y al mismo tiempo 
B ⋅ dl = 0 Por lo tanto, 
∫
∫
dFE
dq
(29.13)
iC 5 5 P
dt
dt
¡Ésta es una contradicción evidente! esfuerzo de imaginación, inventamos una corriente de des, en la región entre las placas, definida como
19 dFE
5P
(corriente de desplazamiento)
(29.14)
dt
a en esta forma es que está incompleta. 29.22 Capacitor de placas paralelas
de cargar un capacitor (figura 29.22). en proceso de carga. La corriente de
a una placa y fuera de la otra; la carga Q conducción a través de la superficie plana
as placas aumenta. La notación iC indica es iC, pero no hay corriente de conducción
a través de la superficie que se abomba
otra clase de corriente que vamos a en- para pasar entre las placas. Las dos
miento, iD. Se usan minúsculas para i y v superficies tienen una frontera común,
es y diferencias de potencial, respectiva- por lo que esta diferencia en Ienc lleva
una contradicción
aparente
al aplicar
Algo más ocurre en la sauperficie abombada: a medida que el capacitor se carga, el la
ley
de
Ampère.
oria circular que secampo muestra.
La
integral
eléctrico E y el flujo eléctrico Φ E a través de la superficie aumentan a m0Ienc. Para el área circular plana limiTrayectoria para
iC en el conductor de la izquierda. Pero
la ley de Ampère
a está delimitada por elSmismo
círculo,
Superficie abombada
S
al a cero. Por lo tanto, r B d l es igual a
+
–
a es una contradicción evidente.
++
––
r
r
mbada. A medida que el capacitor se carE – –
+ +
iC dl
iC
a
través
de
la
superficie
aumentan.
Sus
E
– –
+
+
minos de la carga y la corriente. La carga
– –
++
citancia y v es la diferencia de poten–
+
paralelas, C 5 P0A>d, donde A es el área
Q
–Q
de potencial v entre las placas es v 5 Ed, Superficie
entre las placas. (Se ignora el efecto de plana
egión comprendida entre las placas.) Si
mitividad P, se remplaza
P0 por P en todo
Sus tasas de cambio se pueden determinar en términos de la carga y la corriente en q 5 Cv, la carga en
capacitor,
q,
• elLa carga instantánea es q = Cv donde C es la capacitancia y v es la diferencia de potencial instantánea o Para un capacitor de placas paralelas, C = ε 0 A d donde A es el área 5 PEA 5 PFE
(29.12)
de las placas y d es la separación o La diferencia de potencial v entre las placas es v = Ed donde E es la de la superficie.
magnitud del campo eléctrico entre las placas (se ignora el efecto de 
a de cambio de q es la corriente de conborde y se supone que E es uniforme en la región comprendida ación (29.12) con respecto al tiempo se
entre las placas) § Si esta región se llena con un material con permitividad ε, se remplaza ε0 por ε en todo lugar para nuestra análisis) dFE
(29.13)
P
• Al sustituir estas expresiones la carga en el capacitor, q, se expresa como: dt
εA
(10.14) q = Cv =
( Ed ) = ε AE = εΦ E ción, inventamos una corriente de desd
s placas, definida como
donde Φ E = EA es el flujo eléctrico a través de la superficie A medida que (29.14)
el capacitor se carga la tasa de cambio de q es la corriente de e de desplazamiento)
conducción: dq
dΦ E
(10.15) iC =
=ε
dt
dt
Para completar la ley de Ampère debemos suponer una nueva corriente (en el sentido de la ley de Lenz) = corriente de desplazamiento entre la región entre las placas: dΦ E
(10.16) iD = ε
dt
#
20 mpos eléctricos variables y los campos
al como se expresó en la sección 28.6,
m0Ienc
decir, maginamos q29.22
ue el flujo cambiante a través de la superficie curva en la a en esta forma esEs que
está iincompleta.
Capacitor
de placas
paralelas
figura (figura
es en cierto modo quivalente, en lLa
a ley de Ampère, a una corriente de eneproceso
de carga.
corriente
de
de cargar un capacitor
29.22).
conducción a
t
ravés d
e e
sa s
uperficie conducción
a
través
de
la
superficie
plana
a una placa y fuera de la otra; la carga Q
as placas aumenta. La notación iC indica es iC, pero no hay corriente de conducción
a través de lase superficie
se abomba
La ley de Ampère escribe aque
hora como: otra clase de corriente
que
vamos
a en-generalizada  las placas. Las dos
para pasar entre
⋅ dl =una
µ0 frontera
miento, iD. Se usan (10.17) minúsculas para i y v superficies
(iC + iD )común,
∫ Btienen
enc
es y diferencias de potencial, respectiva- por lo que esta diferencia en Ienc lleva
a una contradicción
aparente
al aplicarsin importar cuál La ley de Ampère planteada en esta forma es obedecida la ley de Ampère.
oria circular que sesuperficie muestra. La
integral
se use: a m0Ienc. Para el área circular plana limiTrayectoria para
iC en el conductor de la izquierda. Pero
la ley de Ampère
a está delimitada por elSmismo
círculo,
Superficie abombada
S
al a cero. Por lo tanto, r B d l es igual a
+
–
a es una contradicción evidente.
++
––
r
r
mbada. A medida que el capacitor se carE – –
+ +
iC dl
iC
E a través de la superficie aumentan. Sus
– –
+
+
minos de la carga y la corriente. La carga
– –
++
citancia y v es la diferencia de poten–
+
paralelas, C 5 P0A>d, donde A es el área
Q
–Q
de potencial v entre las placas es v 5 Ed, Superficie
entre las placas. (Se ignora el efecto de plana
egión comprendida entre
placas.)
Si
• las
Para la superficie plana, iD es igual a cero mitividad P, se remplaza• P0Para por Pla ensuperficie todo
curva, iC es cero #
• E iC para la superficie plana = iD para la superficie curva en q 5 Cv, la carga en el capacitor, q,
• La ecuación (10.17) sigue siendo válida en un material magnético siempre que la magnetización sea proporcional al campo externo y se sustituya µ0 → µ 5 PEA 5 PFE
(29.12)
La solución para la ley de Ampère generalizada fue inventada en 1865 por el físico de la superficie.
escocés James Clerk Maxwell (1831-­‐1879) a de cambio de q es la corriente de conación (29.12) con respecto al tiempo se
i
Hay una densidad de corriente de desplazamiento correspondiente, jD = D A
que una vez que se substituye en la ecuación (10.16), usando el hecho que dFE
P
da la relación: Φ E = EA , nos (29.13)
dt
dE
ción, inventamos una
corriente de des(10.18) jD = ε
s placas, definida como
dt
Otro beneficio de la corriente de desplazamiento es que permite generalizar la e de desplazamiento)
regla de las u(29.14)
niones (o ley de corrientes) de Kirchhoff • Si se considera la placa izquierda del capacitor, se tiene una corriente de conducción que entra en ella, pero ninguna que salga • Sin embargo, cuando incluimos la corriente de desplazamiento, se tiene corriente de conducción que entra por un lado y una corriente de desplazamiento igual que sale por el otro lado • Con este significado general del término “corriente”, podemos hablar de corriente que pasa a través del capacitor. 21 Realidad de la corrient
En este momento, tal vez el lector
29.23 Un capacitor que se carga con
una corriente iC tiene una corriente de
un significado físico real, o si sólo
desplazamiento
igual
a
i
entre
las
placas,
C
Realidad de la corriente de desplazamiento gla de Kirchhoff de las uniones o
con
una
densidad
de
corriente
de
despla mento fundamental que ayuda a
zamiento jDn5
Ésta se
La corriente de desplazamiento o ePs dE>dt.
un artificio de puede
calculo pero tiene un entre las placas del capaci
circular
considerar
como
la
fuente
del
campo
significado físico real – esto viene de la inducción magnética de desplazamiento realmente dese
magnético entre las placas.
r
B
r
E
iC
+ +
R
+
+
+
+
+ +
+
–
a
– –
r
–
–
–
–
– –
b
q
–
–q
iC
entonces debe haber un campo m
mientras el capacitor se esté carga
que incluye la corriente de desplaz
Para ser específicos, pensemos
Para encontrar el campo magnéti
placas a una distancia r del eje, se
pase por el punto en cuestión, co
la figura 29.23. La corriente
tota
S
S
2
2
(iD>pR )(pr ). La integral r B d l
la circunferencia 2pr del círculo,
ga, la ley de Ampère se convierte e
#
CB d l
S
#
S
Considera un área plana circular entre las placas del capacitor: B
• Si la corriente de desplazamiento realmente desempeña el papel que afirmamos en la ley de Ampère, entonces debe haber un campo agnético predice que en la
Este m
resultado
en la región comprendida entre las placas mientras el capacitor e eelsté cero sen
eje y se incrementa en f
cargando lo similar demuestra que afuera d
• Podemos usar la ley de Ampère generalizada, que incluye la Scorriente de desplazamiento, para predecir cuál debiera ser este campo B sería el mismo que si el alambre
Para ser específicos, pensemos en un capacitor de placas circulares con radio R • Para encontrar el campo magnético en un punto en la región comprendida entre las placas a una distancia r del eje, se aplica la ley de Ampère a un círculo de radio r que pase por el punto en cuestión, con r < R • Este círculo pasa por los puntos a y b • La corriente total encerrada por el círculo es jD veces su área, o iD π R 2 π r 2  
• La integral 
∫ B ⋅ dl en la ley de Ampère sólo es el producto de B por la (
)( )
circunferencia 2π r del círculo, y como iD = iC en el capacitor en proceso de carga, la ley de Ampère se convierte en:  
r2
∫ B ⋅ dl = 2π rB = µ0 R2 iC
(10.19) µ0 r
⇒B=
iC
2π R 2
22 
Este resultado predice que en la región comprendida entre las placas, B es igual a cero en el eje y se incrementa en forma lineal con la distancia desde el eje • Un cálculo similar demuestra que afuera de la región entre las placas (es decir, para r > R) B sería el mismo que si el alambre fuera continuo y no hubiera placas Cuando medimos el campo magnético en esta región, encontramos que realmente está ahí y se comporta tal como predice la ecuación (10.19) • Las experiencias confirman de manera directa el papel que tiene la corriente de desplazamiento como fuente del campo magnético real Ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo Ahora podemos reunir en un solo paquete todas las relaciones entre los campos eléctricos y magnéticos y sus fuentes = cuatro ecuaciones de Maxwell • Maxwell no descubrió todas las ecuaciones por sí solo, sino que las reunió y reconoció su importancia, en particular para predecir la existencia de las ondas electromagnéticas La forma más sencilla de las ecuaciones de Maxwell es para el caso en que hay cargas y corrientes en un espacio en que, por lo demás, está vacío 23 

Dos de las ecuaciones de Maxwell implican una integral de E o B sobre una superficie cerrada: • La primera es sencillamente la ley de Gauss para los campos eléctricos:   Q
(10.20) ∫ E ⋅ dA = εenc0 • La segunda es la relación análoga (ley de Gauss) para campos magnéticos:  
(10.21) ∫ B ⋅ dA = 0 Recuerda que esta ultima ecuación significa que no existe monopolos magnéticos (cargas magnéticas individuales) que actúen como fuentes del campo magnético • La tercera ecuación es la ley de Ampère con la corriente de desplazamiento incluida:  
dΦ ⎞
⎛
B
(10.22) ∫ ⋅ dl = µ0 ⎜⎝ iC + ε 0 dt E ⎟⎠ enc Esta ley establece que tanto la corriente de conducción iC como la corriente de dΦ E
desplazamiento iD = ε 0
actúan como fuentes del campo magnético dt
La cuarta y última ecuación es la ley de Faraday, que establece que un campo magnético cambiante o un flujo magnético inducen un campo eléctrico:  
dΦ
(10.23) ∫ E ⋅ dl = − dt B Si hay un flujo magnético cambiante, la integral de línea, sobre una trayectoria 
cerrada constante, es diferente de cero, lo que demuestra que el campo E producido por un flujo magnético cambiante no es conservativo 24 NOTA IMPORTANTE: 
El campo eléctrico total E juga un papel doble en las ecuaciones de Maxwell • En general, el campo total E en un punto en el espacio puede ser la superposición de un campo electrostático Ec provocado por una 
distribución de cargas en reposo y un campo no electrostático En   
inducido magnéticamente: E = Ec + En  

E
La parte electrostática Ec siempre es conservativa, por lo que 
∫ c ⋅ dl = 0 •
Esta parte conservativa del campo no contribuye a la integral en la ley de Faraday, por lo que en la ecuación (10.23) se puede tomar el campo eléctrico total E 

De manera similar, la parte no conservativa En del campo E no contribuye a la integral en la ley de Gauss porque esta parte del campo no es causada por cargas estáticas 

E
⋅
d
A
• De aquí que 
∫ n = 0   
Se concluye que en todas las ecuaciones de Maxwell, E = Ec + En es el campo eléctrico total; estas ecuaciones no hacen distinción entre campos conservativos y no conservativos 25 Simetría en las ecuaciones de Maxwell En las cuatro ecuaciones de Maxwell hay una simetría notable • En el espacio vacío, donde no hay cargas, las dos primeras  ecuaciones, 
(10.20) y (10.21) tienen forma idéntica, una contiene a E y la otra a B • Cuando se comparan las otras dos ecuaciones, (10.22) dice que un flujo eléctrico cambiante origina un campo magnético, y (10.23) afirma que un flujo magnético cambiante origina un campo eléctrico • En el espacio vacío, donde no hay corriente de conducción, iC = 0 y las dos ecuaciones tienen la misma forma, a parte  de una constante numérica y un signo negativo, con los papeles de E y B intercambiados en las dos ecuaciones Las ecuaciones (10.22) y (10.23) se pueden volver a escribir en forma distinta  
pero equivalente incluyendo las definiciones de flujo eléctrico Φ E = ∫ E ⋅ dA y flujo  
magnético Φ B = ∫ B ⋅ dA : En el espacio vacío, donde no hay carga ni corriente de conducción, iC = 0 y Qenc = 0 tenemos:  
d  
(10.24) B
⋅
d
l
=
ε
µ
E ⋅ dA 0
0
∫
dt ∫
y  
d  
(10.25) E
⋅
d
l
=
−
B ⋅ dA ∫
dt ∫
 
De nuevo, se observa la simetría entre los papeles que tienen E y B en estas expresiones La característica más notable de estas ecuaciones es que un campo de cualquier tipo que varíe con respecto al tiempo induce un campo del otro tipo en las regiones vecinas del espacio • Maxwell reconoció que estas relaciones predecían la existencia de perturbaciones electromagnéticas consistentes en campos eléctricos y magnéticos que varían con el tiempo y que viajan o se propagan de una región del espacio a otra, aunque no haya materia presente en el espacio intermedio • Tales perturbaciones = ondas electromagnéticas, constituyen la base física para las ondas luminosas, las ondas de radio y televisión, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayos X y el resto del espectro electromagnético
26 Aunque tal vez no sea obvio, todas las relaciones básicas entre campos y sus fuentes están contenidas en las ecuaciones de Maxwell • La ley de Coulomb se deduce de la ley de Gauss • La ley de Biot y Savart se deduce de la ley de Ampère • y así sucesivamente…  
Cuando se agrega la ecuación que define los campos E y B en términos de las fuerzas que ejercen sobre una carga q 
  
F = q E + v × B (10.26) (
)
¡se tienen todas las relaciones fundamentales del electromagnetismo! Del otro lado, se observa que  las  ecuaciones de Maxwell tendrían mucha más simetría entre los campos E y B si existieran cargas magnéticas individuales (monopolos magnéticos): • El lado derecho de la ecuación (10.21) contendría la carga magnética total encerrada por la superficie, y el lado derecho de la ecuación (10.23) incluiría un término de corriente de monopolos magnéticos • Quizás nos da una idea inicial de por qué algunos físicos desearían que existieran los monopolos magnéticos, pues ayudarían a “perfeccionar” la “belleza matemática” de las ecuaciones de Maxwell Del otro lado, la física no debe ceder a criterio estético – la naturaleza no es necesariamente “dialéctica” – del punto de vista de la materia, el hecho que solo existe carga eléctrica (no hay monopolo magnético) ya es muy significativo y plenamente consistente con la interpretación que la materia es hecho de partículas y el espacio-­‐tiempo es un producto de sus interacciones 27