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TRIGONOMETRÍA FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 1 SEGUNDO BIMESTRE página 2 1 FUNCIONES DE MAS DE 90 GRADOS 1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Los valores de las funciones trigonométricas solamente existen para ángulos comprendidos entre 0 y 90 grados, por eso las tablas trigonométricas solamente traen valores en ese intervalo. No existen tablas para ángulos mayores de 90 grados. Sin embargo, eso no significa que no se puedan obtener, por ejemplo, el seno de 123 grados, o el coseno de 265, o la tangente de 349. Lo que sucede es que el valor de una función trigonométrica mayor de 90 grados corresponde a un valor de los que están entre 0 y 90, o lo que es lo mismo, los valores comprendidos en las tablas entre 0 y 90 grados se repiten cada vez en cada cuadrante. Así, el valor del seno de 135 es sen 135 = 0.707106781 , que es el mismo que el seno de 45, lo que puede comprobar fácilmente el alumno con su calculadora, es decir, el valor del seno de 45 se repitió en el seno de 135. Cuando solamente existían tablas y no calculadoras, para obtener el valor del seno de 135 se buscaba en las tablas el seno de 45 por ser su equivalente. Hay que tomar en cuenta que todos los ángulos se miden a partir del eje X positivo, avanzando en el sentido de los cuadrantes, es decir, en sentido contrario a las manecillas del reloj. Encontrar el valor que le corresponde a cada función trigonométrica mayor de 90 grados respecto de un ángulo agudo (entre 0 y 90 grados) que está en tablas, es el tema de estudio de las funciones mayores de 90 grados. Reducir una función trigonométrica de más de 90o significa encontrar su función equivalente entre cero y noventa grados, algo así como "reducir la función desde un ángulo obtuso a un ángulo agudo". En el caso anterior del seno de 135, reducirlo significa encontrar, por medio de ciertas reglas, que su valor equivale al seno de 45. La regla de equivalencia para ángulos mayores de 90 grados es muy simple: El ángulo original de más de 90o (el ángulo obtuso) equivale al ángulo agudo que se forma en el cuadrante respectivo. Esto significa que existen siempre dos ángulos equivalentes al ángulo obtuso, como puede verse en la figura 1, correspondientes al 2º, 3º y 4º cuadrantes. Por lo tanto, estas reducciones deben analizarse cuadrante por cuadrante. Además, se pueden hacer siguiendo dos criterios: respecto del eje X o respecto del eje Y . TRIGONOMETRÍA FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 3 En todos los casos se tienen dos ángulos: * Un ángulo obtuso (el ángulo original). * Un ángulo agudo, respecto de X o respecto de Y (el ángulo reducido). Ver la figura 1. Por otra parte, con la calculadora puede comprobarse que si el seno de 225 es sen 225 = − 0.707106781 numéricamente es el mismo que el seno de 45, solamente que cambiado de signo. Esto hace ver que las funciones trigonométricas de más de 90 grados, además de corresponder su valor a una función que esté entre 0 y 90 grados, algunas son positivas y otras negativas. Y Ángulo equivalente opción 2: por el eje Y Ángulo equivalente opción 1: por el eje X Ángulo obtuso (original) X En el segundo cuadrante Y Ángulo obtuso (original) El proceso de reducción consta de 2 pasos: * el signo de la función , * la función equivalente, entre 0o y 90o. 1.2 SIGNOS DE LAS FUNCIONES X Ángulo equivalente opción 1: por el eje X Ángulo equivalente opción 2: por el eje Y En el tercer cuadrante Cada función trigonométrica, dependiendo del cuadrante en el que estén, tiene un signo, ya sea positivo o negativo. Y Se parte de las definiciones de las funciones trigonométricas para ángulos agudos, que son: seno = coseno = cateto opuesto hipotenusa cateto adyacente hipotenusa X Ángulo equivalente opción 1: por el eje X Ángulo obtuso (original) Ángulo equivalente opción 2: por el eje Y En el cuarto cuadrante figura 1 SEGUNDO BIMESTRE página 4 tangente = cotangente = cateto opuesto cateto adyacente X cateto adyacente cateto opuesto secante = hipotenusa cateto adyacente cosecante = hipotenusa cateto opuesto r Y X figura 2 las cuales son, respecto de la figura 2: sen θ = y r ; cos θ = x r tan θ = y x ; cot θ = x y sec θ = r x ; csc θ = r y SEGUNDO CUADRANTE Conforme a la figura 3, se ve que en el segundo cuadrante X es negativa y Y positiva, de manera que aplicando las definiciones anteriores se pueden deducir los signos que les corresponden a cada una de las funciones trigonométricas, de lo que se obtiene: sen θ = +y =+ +r +y tan θ = =− −x -X Y r −x =− +r ; cos θ = ; −x cot θ = =− +y -X figura 3 sec θ = +r =− −x ; csc θ = +r =+ +y Y TRIGONOMETRÍA FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 5 TERCER CUADRANTE Conforme a la figura 4, se ve que en el tercer cua drante X es negativa y Y negativa, de manera que aplicando las definiciones anteriores se pueden obtener los signos de la siguiente forma: sen θ = tan θ = −y =− +r cos θ = −y =+ −x cot θ = −x =− +r -X -Y r −x =+ −y -X sec θ = +r =− −x csc θ = +r =− −y figura 4 CUARTO CUADRANTE Conforme a la figura 5, se ve que en el cuarto cuadrante X es positiva y Y negativa, de manera que aplicando las definiciones anteriores se pueden obtener los signos de la siguiente forma: sen θ = −y =− +r cos θ = +x =+ +r tan θ = −y =− +x cot θ = +x =− −y +r =+ +x csc θ = sec θ = X r -Y X figura 5 +r =− −y Resumiendo, los signos de las seis funciones trigonométricas en cada cuadrante se muestran en la siguiente tabla, en donde puede apreciarse que se cumple una especie de ley de la herradura, es decir que el signo del seno es el mismo que el signo de la cosecante en cualquier cuadrante; el signo del coseno es el mismo que el signo de la secante en cualquier cuadrante y el signo de la tangente es el mismo que el signo de la cotangente en cualquier cuadrante: página 6 SEGUNDO BIMESTRE 1.3 FUNCIÓN EQUIVALENTE Conviene en este momento recordar dos cosas: una, que reducir una función trigonométrica de más de 90o significa encontrar su función equivalente entre cero y noventa grados, algo así como "reducir el ángulo obtuso a un ángulo agudo". La otra, que el proceso de reducción consta de dos pasos: hallar el signo de la función y luego la función equivalente. El proceso de reducción consiste en: a) Asignar el signo de la función, de acuerdo al cuadrante en que esté (ver la tabla anterior), y b) tomar la función equivalente con el correspondiente ángulo reducido, es decir, con el correspondiente ángulo agudo. Es importante distinguir entre la función equivalente y el valor numérico de la función. Por ejemplo, si sen 135 = sen 45 = 0.7077106781 , se dice que para el sen 135 su función equivalente es sen 45 , en cambio el valor numérico de sen 135 es 0.707106781. Cuando se hace o se pide hacer una reducción, lo que importa solamente es la función equivalente, no el valor numérico de la función. Ese ángulo equivalente reducido, o sea el equivalente entre 0º y 90º, puede estar tomado hacia el eje X o hacia el eje Y. Cuando se hace hacia el eje X se dice que la reducción se hace por me- TRIGONOMETRÍA FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 7 dio del eje X; de la misma forma, si el ángulo equivalente reducido que viene en tablas, se toma hacia el eje Y , se dice que la reducción se hace por medio del eje Y. 1.3.1 REDUCCIONES POR MEDIO DEL EJE X EN EL PRIMER CUADRANTE Las funciones trigonométricas en el primer cuadrante no se reducen pues ya son, por sí solas, menores de 90o. EN EL SEGUNDO CUADRANTE Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 6, es decir, el ángulo obtuso (de más de 90 grados) que es el original y un ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir. Ángulo agudo equivalente al original Ángulo obtuso (original) Ángulo equivalente reducido por el eje X De manera que las fórmulas correspondientes, o sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 90 y 180 grados, donde θ representa el ángulo obtuso original, son: 180 - En el segundo cuadrante sen θ = + cos θ = ! tan θ = ! cot θ = ! sec θ = ! csc θ = + Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) sen (180 ! θ) cos (180 ! θ) tan (180 ! θ) cot (180 ! θ) sec (180 ! θ) csc (180 ! θ) sen 114 cos 133 tan 98 sec 169 csc 136 = = = = = figura 6 + ! ! ! ! sen (180 ! 114) cos (180 ! 133) tan (180 ! 98) sec (180 ! 169) csc (180 ! 136) Recuérdese que θ representa al ángulo obtuso original. = = = = = + ! ! ! + sen 66 cos 47 tan 82 sec 11 csc 44 SEGUNDO BIMESTRE página 8 EJERCICIO 1 Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje X , escribiendo el procedimiento paso por paso. NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 125 no interesa que valga 0.819152, sino el proceso de reducción que es: sen 125 = sen (180 ! 125) = sen 55 . 1) 2) 3) 4) sen 105 sen 174 sen 144 sen 121 17) 18) 19) 20) 5) 6) 7) 8) sec 119 sec 109 sec 171 sec 130 cos 119 cos 159 cos 171 cos 139 21) 22) 23) 24) csc 117 csc 131 csc 176 csc 143 9) tan 100 10) tan 108 11) tan 129 12) tan 147 13) 14) 15) 16) cot 102 cot 154 cot 122 cot 172 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) tan 139 sec 166 csc 160 cot 122 csc 124 cos 120 sen 128 cot 133 EN EL TERCER CUADRANTE Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 7, es decir, el ángulo obtuso (de más de 90 grados) que es el original y un ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir. De manera que las fórmulas correspondientes, o sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 180 y 270 grados, donde θ representa el ángulo obtuso original, son: sen θ = ! cos θ = ! tan θ = + cot θ = + sec θ = ! csc θ = ! sen (θ ! 180) cos (θ ! 180) tan (θ ! 180) cot (θ ! 180) sec (θ ! 180) csc (θ ! 180) Ángulo agudo equivalente al original Ángulo obtuso (original) - 180 Ángulo equivalente reducido por el eje X En el tercer cuadrante figura 7 TRIGONOMETRÍA Ejemplos: FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS 1) 2) 3) 4) 5) sen 214 cos 233 tan 198 sec 269 csc 183 = = = = = ! ! + ! ! sen (214 ! 180) cos (233 ! 180) tan (198 ! 180) sec (269 ! 180) csc (183 ! 180) = = = = = ! ! + ! + página 9 sen 34 cos 53 tan 18 sec 89 csc 3 EJERCICIO 2 Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje X , escribiendo el procedimiento paso por paso. NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 228 no interesa que valga ! 0.743144825, sino el proceso de reducción que es: sen 228 = ! sen (228 ! 180) = ! sen 48 . 1) 2) 3) 4) sen 205 sen 194 sen 244 sen 251 17) 18) 19) 20) sec 219 sec 199 sec 231 sec 239 5) 6) 7) 8) cos 219 cos 199 cos 261 cos 239 21) 22) 23) 24) csc 197 csc 191 csc 256 csc 183 9) tan 190 10) tan 208 11) tan 244 12) tan 217 13) 14) 15) 16) cot 193 cot 205 cot 259 cot 245 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) sec 261 cos 230 cot 251 csc 258 csc 224 sen 200 tan 188 tan 233 EN EL CUARTO CUADRANTE Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 8, es decir, el ángulo obtuso original (de más de 90 grados) y un ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir. De manera que las fórmulas correspondientes, o sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 270 y 360 grados, donde θ representa el ángulo obtuso original, son: Ángulo obtuso (original) 360 Ángulo equivalente reducido por el eje X En el cuarto cuadrante figura 8 SEGUNDO BIMESTRE página 10 sen θ = ! sen (360 ! θ) cos θ = + cos (360 - θ) tan θ = ! tan (360 - θ) cot θ = ! cot (360 - θ) sec θ = + sec (360 - θ) csc θ = ! csc (360 ! θ) Recuérdese que θ representa al ángulo obtuso original de más de 90 grados. Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) sen 294 cos 283 tan 298 cot 316 sec 330 = = = = = ! + ! ! + sen (360 ! 294) cos (360 ! 283) tan (360 ! 298) cot (360 ! 316) sec (360 ! 330) = = = = = ! + ! ! + sen 66 cos 77 tan 62 cot 44 sec 30 EJERCICIO 3 Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje X , escribiendo el procedimiento paso por paso. 1) 2) 3) 4) sen 275 sen 294 sen 344 sen 351 17) 18) 19) 20) sec 319 sec 359 sec 310 sec 289 5) 6) 7) 8) cos 319 cos 299 cos 321 cos 315 21) 22) 23) 24) csc 297 csc 281 csc 276 csc 313 9) tan 290 10) tan 308 11) tan 344 12) tan 317 13) 14) 15) 16) cot 272 cot 299 cot 306 cot 344 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) cot 359 sec 333 sec 302 sen 322 csc 324 tan 300 sen 348 cos 333 EJERCICIO 4: (generales) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el primer cuadrante. Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el segundo cuadrante. Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el tercer cuadrante. Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el cuarto cuadrante. Deducir las fórmulas de reducción en el segundo cuadrante por medio del eje X. Deducir las fórmulas de reducción en el tercer cuadrante por medio del eje X. Deducir las fórmulas de reducción en el cuarto cuadrante por medio del eje X. TRIGONOMETRÍA FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 11 Reducir las siguientes funciones por medio del eje X: 1) 2) 3) 4) sen 105 sen 194 sen 244 sen 321 5) 6) 7) 8) cos 119 cos 199 cos 271 cos 309 9) tan 100 10) tan 208 11) tan 299 12) tan 347 13) 14) 15) 16) sen 105 tan 243 csc 201 cos 339 17) 18) 19) 20) cot 119 cot 199 cot 271 cot 309 21) 22) 23) 24) sec 117 sec 191 sec 276 sec 343 25) 26) 27) 28) csc 124 csc 200 csc 288 csc 333 29) 30) 31) 32) cot 97 sec 184 tan 275 cot 347 33) 34) 35) 36) sen 123 sen 199 sen 249 sen 332 37) 38) 39) 40) cos 128 cos 194 cos 275 cos 308 41) 42) 43) 44) tan 105 tan 238 tan 288 tan 340 45) 46) 47) 48) cos 100 sec 200 cot 300 csc 316 49) 50) 51) 52) cot 117 cot 196 cot 276 cot 329 53) 54) 55) 56) sec 118 sec 193 sec 277 sec 348 57) 58) 59) 60) csc 127 csc 230 csc 291 csc 330 61) 62) 63) 64) tan 35 sen 61 cos 77 cot 12 1.3.2 REDUCCIONES POR MEDIO DEL EJE Y COFUNCIONES Se dice que la reducción se hace por medio del eje Y cuando el ángulo reducido es respecto del eje Y, como lo muestra la figura 1 de la página 3. En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es de 90 grados, de manera que si uno de ellos es θ, el otro será (90 ! θ). Ver figura 9. En esa misma figura 9 se puede observar que las seis funciones trigonométricas del ángulo θ son: sen θ = y r ; cos θ = x r tan θ = y x ; cot θ = x y ; r csc θ = y r 90 θ θ x r sec θ = x mientras que las del ángulo (90 ! θ) son: figura 9 y SEGUNDO BIMESTRE página 12 sen ( 90 − θ ) = x r ; cos ( 90 − θ ) = y r tan ( 90 − θ ) = x y ; cot ( 90 − θ ) = y x sec ( 90 − θ ) = r y ; csc ( 90 − θ ) = r x de aquí se ve que las siguientes funciones son iguales: sen θ = cos (90 ! θ) cos θ = sen (90 ! θ) tan θ = cot (90 ! θ) cot θ = tan (90 ! θ) sec θ = csc (90 ! θ) csc θ = sec (90 ! θ) alternos internos 90 θ 90 θ y θ Las funciones anteriores que son iguales se llaman cofunciones 1, es decir, el seno y el coseno con cofunciones; la tangente y la cotangente son cofunciones; la secante y la cosecante son cofunciones. x figura 10 En otras palabras, el seno de un ángulo θ medido respecto del eje X es igual al coseno del ángulo (90 ! θ) medido respecto del eje Y. Lo mismo puede afirmarse de la tangente de un ángulo θ medido respecto del eje X que es igual a la cotangente del ángulo (90 ! θ) medido respecto del eje Y. Y de la secante y la cosecante también. Ver figura 10. Esta es la clave para la siguiente regla: En toda reducción por medio del eje Y, la función trigonométrica a reducir cambia a su respectiva cofunción. 1 El prefijo co viene de la preposición latina cum, que significa con y se emplea en el idioma Español para dar idea de algo que actúa junto con... conjuntamente... en común. Por ejemplo, la palabra codirector significa director con otro; la palabra coincidir significa incidir al mismo tiempo. Así, las cofunciones tienen en común la misma relación de dos lados del triángulo; por ejemplo, el seno de θ y el coseno de ( 90 − θ ) tienen en común ser iguales a la relación y/r. TRIGONOMETRÍA FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 13 El proceso de reducción por medio del eje Y es semejante al que se hace por medio del eje X , es decir, primero se pone el signo que le corresponde a esa función de acuerdo al cuadrante en el que esté y luego se busca el valor numérico. EN EL PRIMER CUADRANTE Las funciones trigonométricas en el primer cuadrante no se reducen pues ya son, por sí solas, menores de 90o. EN EL SEGUNDO CUADRANTE Ángulo agudo equivalente al original Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 11, es decir, el ángulo obtuso original (de más de 90 grados) y un ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir. Ángulo equivalente reducido por el eje Y - 90 De manera que las fórmulas correspondientes, o sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 90 y 180 grados, donde θ representa el ángulo obtuso original, son: En el segundo cuadrante figura 11 sen θ = + cos (θ ! 90) cos θ = ! sen (θ ! 90) tan θ = ! cot (θ ! 90) cot θ = ! tan (θ ! 90) sec θ = ! csc (θ ! 90) csc θ = + sec (θ ! 90) Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) sen 114 cos 133 tan 98 sec 169 csc 136 = = = = = + ! ! ! + cos (114 ! 90) sen (133 - 90) cot ( 98 - 90) csc (169 - 90) sec (136 - 90) Ángulo obtuso (original) = = = = = + ! ! ! + cos 24 sen 43 cot 8 csc 79 sec 46 Recuérdese que θ representa al ángulo obtuso original de más de 90 grados. SEGUNDO BIMESTRE página 14 EJERCICIO 5 Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje Y , escribiendo el procedimiento paso por paso. NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 125 no interesa que valga 0.819152, sino el proceso de reducción que es: sen 125 = + cos (125 ! 90) = + cos 35 . 1) 2) 3) 4) sen 105 sen 174 sen 144 sen 121 17) 18) 19) 20) sec 119 sec 109 sec 171 sec 130 5) 6) 7) 8) cos 119 cos 159 cos 171 cos 139 21) 22) 23) 24) csc 117 csc 131 csc 176 csc 143 9) tan 100 10) tan 108 11) tan 129 12) tan 147 13) 14) 15) 16) cot 102 cot 154 cot 122 cot 172 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) tan 139 sec 166 csc 160 cot 122 csc 124 cos 120 sen 128 cot 133 EN EL TERCER CUADRANTE Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 12, es decir, el ángulo obtuso original (de más de 90 grados) y un ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir. De manera que las fórmulas correspondientes, o sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 180 y 270 grados, donde θ representa el ángulo obtuso original, son: Ángulo obtuso (original) 270 Ángulo equivalente reducido por el eje Y En el tercer cuadrante sen θ = ! cos (270 ! θ) cos θ = ! sen (270 ! θ) tan θ = + cot (270 ! θ) cot θ = + tan (270 ! θ) sec θ = ! csc (270 ! θ) csc θ = ! sec (270 ! θ) figura 12 TRIGONOMETRÍA Ejemplos: FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS 1) 2) 3) 4) 5) sen 214 cos 233 tan 198 sec 269 csc 183 = = = = = ! ! + ! ! cos (270 - 214) sen (270 - 233) cot (270 - 198) csc (270 - 269) sec (270 - 183) = = = = = ! ! + ! ! página 15 cos 56 sen 37 cot 72 csc 1 sec 87 EJERCICIO 6 Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje Y , escribiendo el procedimiento paso por paso. NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos mostrados, pero no debe anotar el valor númerico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 228 no interesa que valga ! 0.743144825, sino el proceso de reducción que es: sen 228 = ! cos (270 ! 228) = ! cos 42 . 1) 2) 3) 4) sen 205 sen 194 sen 244 sen 251 17) 18) 19) 20) sec 219 sec 199 sec 231 sec 239 5) 6) 7) 8) cos 219 cos 199 cos 261 cos 239 21) 22) 23) 24) csc 197 csc 191 csc 256 csc 183 9) tan 190 10) tan 208 11) tan 244 12) tan 217 13) 14) 15) 16) cot 193 cot 205 cot 259 cot 245 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) sec 261 cos 230 cot 251 csc 258 csc 224 sen 200 tan 188 tan 233 EN EL CUARTO CUADRANTE Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 13, es decir, el ángulo obtuso original (de más de 90 grados) y un ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir. De manera que las fórmulas correspondientes, o sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 270 y 360 grados, donde θ representa el ángulo obtuso original, son: Ángulo obtuso (original) -2 70 Ángulo equivalente reducido por el eje Y En el cuarto cuadrante figura 13 página 16 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE sen θ = ! cos (θ ! 270) cos θ = + sen (θ ! 270) tan θ = ! cot (θ ! 270) cot θ = ! tan (θ ! 270) sec θ = + csc (θ ! 270) csc θ = ! sec (θ ! 270) Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) sen 294 cos 283 tan 298 cot 316 sec 330 = = = = = ! + ! ! + cos (294 - 270) sen (283 - 270) cot (298 - 270) tan (316 - 270) csc (330 - 270) = = = = = ! + ! ! + cos 24 sen 13 cot 28 tan 46 csc 60 CONCLUSIONES: Cuando la reducción se hace por medio del eje X: 1) La función trigonométrica se conserva. 2) Se utilizan los valores de 180 y 360 . Cuando la reducción se hace por medio del eje Y: 1) La función trigonométrica cambia a su cofunción. 2) Se utilizan los valores 90 y 270 . EJERCICIO 7 Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje Y , escribiendo el procedimiento paso por paso. NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 328 no interesa que valga ! 0.529919264, sino el proceso de reducción que es: sen 328 = ! cos (328 ! 270) = ! cos 58 . TRIGONOMETRÍA 1) 2) 3) 4) sen 275 sen 294 sen 344 sen 351 17) 18) 19) 20) sec 319 sec 359 sec 310 sec 289 FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS 5) 6) 7) 8) cos 319 cos 299 cos 321 cos 315 21) 22) 23) 24) csc 297 csc 281 csc 276 csc 313 página 17 9) tan 290 10) tan 308 11) tan 344 12) tan 317 13) 14) 15) 16) cot 272 cot 299 cot 306 cot 344 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) cot 359 sec 333 sec 302 sen 322 9) tan 100 10) tan 208 11) tan 299 12) tan 347 13) 14) 15) 16) sen 105 tan 243 csc 201 cos 339 csc 324 tan 300 sen 348 cos 333 EJERCICIO 8: (generales) 1) Deducir las fórmulas de reducción en el segundo cuadrante por medio del eje Y. 2) Deducir las fórmulas de reducción en el tercer cuadrante por medio del eje Y. 3) Deducir las fórmulas de reducción en el cuarto cuadrante por medio del eje Y. Reducir las siguientes funciones por medio del eje Y: 1) 2) 3) 4) sen 105 sen 194 sen 244 sen 321 5) 6) 7) 8) cos 119 cos 199 cos 271 cos 309 17) 18) 19) 20) cot 119 cot 199 cot 271 cot 309 21) 22) 23) 24) sec 117 sec 191 sec 276 sec 343 25) 26) 27) 28) csc 124 csc 200 csc 288 csc 333 29) 30) 31) 32) cot 97 sec 184 tan 275 cot 347 33) 34) 35) 36) sen 123 sen 199 sen 249 sen 332 37) 38) 39) 40) cos 128 cos 194 cos 275 cos 308 41) 42) 43) 44) tan 105 tan 238 tan 288 tan 340 45) 46) 47) 48) cos 100 sec 200 cot 300 csc 316 49) 50) 51) 52) cot 117 cot 196 cot 276 cot 329 53) 54) 55) 56) sec 118 sec 193 sec 277 sec 348 57) 58) 59) 60) csc 127 csc 230 csc 291 csc 330 61) 62) 63) 64) tan 35 sen 61 cos 77 cot 12