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La Computadora en la Enseñanza de las Matemáticas
Practica 5
Número Complejos con Derive
Ecuaciones con soluciones complejas
Vamos a resolver la ecuación x2 - 5x +6 = 0. Para ello pulsa el icono
expresión x2-5x+6=0 y pulsa Intro para confirmar.
, introduce la
Ahora resuelve con el mismo procedimiento la ecuación x² – 4x +13 = 0 y asegúrate
que esté marcada la opción Dominio Complejo en la ventana que aparece. Compara
sus soluciones con las de la ecuación anterior.
Repite el procedimiento con las ecuaciones x^2-1=0 y x^2+1=0.
Para visualizar la existencia o no de raíces complejas, vamos a representar la parábola
asociada y observar los puntos de corte con el eje OX (cuando y = 0).
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Derive
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Vamos a representar la función y=x^2-5x+6 para observar sus raíces. Para ello,
introduce la expresión x^2-5x+6 y resáltala colocando el cursor sobre ella. A
continuación, pulsa el icono
para abrir la ventana de gráficos 2D.
Una vez abierta es necesario volver a pulsar el mismo icono (pero en la ventana 2Dplot) para que se dibuje realmente la gráfica. Cada vez que se pulse el icono se
redibuja la función activa en un nuevo color.
En la parte inferior izquierda aparecen las coordenadas de la posición del cursor. Sitúa
el cursor (aproximadamente) sobre los puntos en que la gráfica corta al eje OX y anota
el valor de la abscisa que aparece abajo. Compara las raíces con las abscisas
obtenidas.
1. Representa las funciones y=x^2+1, y=x^2-4x+13. Observa que la gráfica no
corta al eje OX.
2. Resuelve e interpreta gráficamente las ecuaciones:
x^2+6x+10=0
3x^2+27=0
3x^2-27=0
3. Resuelve e interpreta gráficamente las ecuaciones siguientes:
x^2+x+1=0
2.3x^2+3.2x+17.5=0
(x-2)(x^2+4)=0
x^4+7=0
x^4+x^2+1=0
x^6+1=0
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4. Introduce la ecuación ax^2+bx+c=0 y resuélvela con DERIVE especificando la
variable x. Observa que no puede haber soluciones reales cuando el radicando que
aparece es negativo.
Para detectar si una ecuación como la anterior tiene o no soluciones reales según los
valores de a, b y c, introduce la siguiente definición en DERIVE:
SOL(a,b,c):=IF( b^2-4ac<0,”Soluciones complejas”,”Soluciones reales”)
Observa que usamos := en vez de = porque se trata de una definición, no de una
ecuación.
Para saber si x^2-4x+5= 0 tiene soluciones reales introduce y simplifica la expresión
SOL(1,-4,5).
Prueba con otras ecuaciones.
La ecuación (x – 1)(x – 3)(x + 4) = 0 tiene como soluciones x = 1, x = 3 y x = –
4. Introduce la expresión (x - 1)(x - 3)(x + 4) = 0 y pulsa Intro.
A continuación, pulsa CTRL+E y se abrirá una ventana. Confirma con el botón
"Expandir"
Vamos a buscar una ecuación que tenga por soluciones x = 2- i, x = 2+i:
Para ello, introduce y simplifica la expresión (x-(2-î))(x-(2+î)).
Para introducir î puedes hacer click sobre su símbolo en la lista superior de la ventana
de introducción de expresiones, o pulsar CTRL+i, o usar el acento ^ . En DERIVE hay
que distinguir la unidad imaginaria î de la variable i.
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5. Halla una ecuación que tenga por soluciones x = 2, x = i, x = –i.
Halla una ecuación que tenga por soluciones x = 3, x = i.
6. Comprueba con ejemplos que si una ecuación tiene coeficientes reales, las
soluciones complejas siempre van por parejas (una solución y su conjugado).
Operaciones con números complejos
7. Introduce la expresión 3(2+î)-5(4-3î)+(7-2î) y simplifica. Comprueba el resultado.
Repite el procedimiento con (2-5î)(7+3î).
Repite el procedimiento con (4-7î)/(3+4î). Tras introducir la expresión, pulsa
simplificar y, a continuación
para
, para aproximar.
Señala la parte real y la imaginaria.
8. Define los números u:=2-3î, v:=1-î, w:=-3+2î (usa :=).
Introduce y “simplifica” las siguientes expresiones:
3u+5v-4w
3uv+5uw-2
uw
uv+uw
u(v+w)
u^2
uvw
u^3
vuw
u^(1/2)
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CONVERSION DE FORMA BINÓMICA A POLAR Y DE POLAR A BINÓMICA
DERIVE incorpora las siguientes funciones sobre números complejos en forma
binómica que puedes utilizar:
RE(u): Parte real de u.
IM(u): Parte imaginaria de u.
ABS(u): Módulo de u.
PHASE(u): Argumento de u (en radianes).
CONJ(u): Conjugado de u.
Utilízalas con los complejos u, v, w definidos anteriormente.
Define tu propia función-módulo de un complejo a + bi de la siguiente forma:
MODULO(a,b):=(a^2+b^2)
Comprueba que coincide con la función ABS, aplicándola a u, v y w.
9. Pasa a forma polar los siguientes números:
3-4î
4+3î
3+î
î
5
-î
-5
2.3+3.7î
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10 Define la siguiente función para pasar de forma polar
bi:
POLBIN(r,g):=r (cos g + î sin g)
rg a forma binómica a +
Para aplicarla a 5pi/4 introduce y simplifica la expresión POLBIN(5 , pi/4). Puedes
introducir p como pi.
Para aplicarla a 430º introduce y simplifica la expresión POLBIN(4 , 30º ) (el símbolo
º se incluye para especificar que son grados, y no radianes. Puedes encontrarlo en la
Barra de símbolos o sustituirlo por deg).
Define una función para obtener la potencia n de un número complejo dado en forma
polar rg:
POT(r,g,n):=[r^n , ng]
(Usa corchetes para incluir módulo y argumento).
DERIVE proporciona la función MOD(n,m) que devuelve el resto de dividir m entre
n. Podemos usarla para modificar la función anterior de esta forma:
POTG(r,g,n):= [ r^n , MOD(ng,360)]
o bien
POTR(r,g,n):= [ r^n , MOD(ng,2pi)] si g va en radianes.
Del mismo modo, define la función-producto en forma polar:
PRODG( r,g,s,h):=[r s , MOD(g+h,360)]
o bien
PRODR( r,g,s,h):=[r s , MOD(g+h,2pi)]
Utilízalas para hallar u2 y u v con u= 532º y v= 246º
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Construye una función análoga para el cociente de números complejos en forma polar.
Considera la siguiente función para hallar las raíces enésimas de un número complejo
en forma polar rg:
RAIZ(r,g,n):=[ r^(1/n) , g/n ]
Esta función proporciona una sola raíz. Para obtener las n raíces introduce la
siguiente función:
RAIZG(r,g,n):= VECTOR ( [ r^(1/n) , (g+360k)/n ] , k, 0, n-1 )
(Con g en grados)
RAIZR(r,g,n):= VECTOR ( [ r^(1/n) , (g+2kpi)/n ] , k, 0, n-1 ) (Con g en radianes)
11. Pruébala para hallar las tres raíces cúbicas de 860º. Para ello introduce y simplifica
la expresión RAIZG(8,60,3).
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Interpretación gráfica de las operaciones con números complejos
Para representar el número complejo 3 + 4i introduce la expresión entre corchetes,
[3,4], y pulsa el icono
para abrir la ventana de gráficos. A continuación pulsa de
nuevo el mismo icono en dicha ventana. Verás que se representa el punto.
12. Define el número (afijo) z:=[4,-3]. Escribe, simplifica y representa sucesivamente
z, -z, [4,3]. Analízalo.
Elimina los puntos dibujados.
Introduce entre corchetes, simplifica y representa conjuntamente la expresión [z,
[4,3],-z, [-4,-3]]. En la ventana de gráficos abre el menú Opciones-Pantalla, elige
Puntos y marca Unir Sí. Vuelve a pulsar
afijos representados? Elimina las gráficas.
para representar. ¿Qué figura forman los
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Define la siguiente función:
AFB(z):=[RE(z),IM(z)]
Esta función nos permite obtener las coordenadas del afijo de un número complejo en
forma binómica.
Define la función análoga para el caso de forma polar:
AFP(r,g):=[r cos g , r sin g]
13. Define el número z:=3-4î. Representa (con los puntos conectados) la siguiente
expresión:
[ AFB(z) , AFB(CONJ(z)) , AFB(-z), AFB(CONJ(-z)) ]
14. Representa la siguiente expresión:
[ AFP(1,0),AFP(1,72º),AFP(1,144º),AFP(1,216º),AFP(1,288º)]
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Se trata de raíces quintas de la unidad.
Elimina las gráficas anteriores.
Introduce y simplifica la expresión RAIZG(1,0,5). Obtendrás una lista con las cinco
raíces quintas de la unidad en forma polar.
Abre la ventana de representaciones gráficas. Abre el menú Seleccionar y elige Sistema
de coordenadas (o pulsa CTRL+Y) y marca la opción Polares
Representa la lista de las cinco raíces (que permanecerá resaltada).
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15. Calcula y representa las 8 raíces octavas de la unidad.
16. Calcula y representa las raíces sextas de 6424º.
17. Comprueba que multiplicar z por 130º equivale a realizar un giro de 30º.
Toma
z = 345º. Halla el producto y representa los afijos correspondientes.
Fórmula de Moivre
Introduce la expresión (a+b)^3. Mientras permanece resaltada elige en el menú
Simplificar la opción Expandir y marca las dos variables ( a y b). Confirma con el botón
Expandir. Obtendrás el desarrollo de la potencia del binomio.
Repite el proceso con (cos x+ î sin x)^3. En este caso no obtenemos el desarrollo
buscado porque DERIVE simplifica el resultado como potencia compleja del número ê.
Sin embargo, vamos a definir a y b convenientemente, y sustituir sus valores en la
expresión de (a+b)^3.
Introduce y simplifica [a:= cos x , b:= î sin x ]. Acabas de asignar un valor a a y b.
Coloca el cursor sobre el desarrollo que obtuviste de (a+b)^3 y pulsa el icono de
simplificar. La expresión se adaptará a los nuevos valores.
Vamos a hallar la parte real de la última expresión sin tener que reescribirla. Para ello
coloca el cursor sobre la expresión. Pulsa el icono de Introducción de expresiones y
una vez abierta la ventana correspondiente escribe RE( y pulsa F3. La expresión
resaltada se copiará automáticamente. Cierra el paréntesis y simplifica. El resultado
obtenido es una fórmula para cos 3x. Si introduces y simplificas RE((cos x+ î sin x)^3)
obtendrías simplemente cos 3x.
Para la parte imaginaria debes escribir IM(, copiar el desarrollo como en el caso
anterior y simplificar. El resultado será una fórmula para sen 3x.
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Para obtener fórmulas análogas para cos 5x y sen 5x procederíamos de forma
similar. Pero al desarrollar (a+b)^5, se simplificaría con los valores asignados a a y
a b. Por ello debes utilizar otras letras como (m+n)^5, o bien eliminar los valores
anteriores con la expresión [ a:= , b:= ]. Completa el proceso.
Halla una fórmula para sen 4x, cos 4x, sen 7x, cos 7x.
18. Comprueba la fórmula de sen 2x y cos 2x.
Observa que 2 cos²x – 1 = cos²x – sen² x.
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