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6. Óptica Geométrica
6. ÓPTICA GEOMÉTRICA
La longitud de onda de la luz suele ser muy pequeña en comparación con el
tamaño de obstáculos ó aberturas que se encuentra a su paso. Esto permite en
general despreciar los efectos de interferencia y difracción asociados al carácter
ondulatorio de la luz. Sobre esta hipótesis se asume una propagación rectilínea de
los rayos de luz dando lugar a la disciplina conocida como óptica geométrica. Los
axiomas sobre los que se construye la óptica geométrica son:
1. Las trayectorias de los rayos de luz en los medios homogéneos e
isótropos son rectilíneas
2. El rayo incidente, el refractado y la normal están en un mismo plano
3. Se cumple la ley de la reflexión
4. Se cumple la ley de la refracción
5. Las trayectorias de la luz a través de distintos medios son reversibles
6. No existe interacción entre los diferentes rayos
donde los cinco primeros axiomas se deducen del principio de Fermat, tal y como
vimos en el capítulo anterior, y el último supone ignorar el carácter ondulatorio de la
luz. La óptica geométrica se ocupa principalmente de la formación de imágenes por
espejos y lentes, base de la construcción de instrumentos ópticos tales como
microscopios ó telescopios.
6.1 Espejos
La figura 6.1.a muestra un haz de rayos
que procede de un punto P situado en el eje
de un espejo esférico cóncavo y que después
de reflejarse en el mismo convergen en el
punto P´. Los rayos entonces divergen desde
este punto como si hubiese un objeto en el
mismo. Esta imagen se denomina imagen real
debido a que la luz realmente emana del punto
imagen y puede verse por un ojo situado a la
izquierda de la imagen y que mire hacia el
espejo. La figura 6.1.b muestra un haz de
rayos luminosos que proceden de una fuente
puntual P y se reflejan en un espejo plano.
Después de la reflexión, los rayos divergen
exactamente como si procediesen de un punto
Figura 6.1. Reflexión en un espejo cóncavo P´ situado detrás del espejo dando lugar a una
imagen virtual debido a que la luz no procede
(a) y plano (b)
6-1
6. Óptica geométrica
realmente de la imagen. A pesar de esta diferencia entre imagen real y virtual, los
rayos luminosos que divergen desde ambos tipos de imagen son idénticos para el
ojo.
La figura 6.2 esquematiza el proceso de reflexión de un rayo que procedente
de un punto objeto P a una distancia s medida según el eje óptico, se refleja en un
espejo esférico y pasa por el punto imagen P´ situado a una distancia s´. El punto C
es el centro de curvatura del espejo y el punto V sitúa la intersección del espejo con
el eje óptico. Los rayos incidente y reflejado forman ángulos iguales con la línea
radial CA que es perpendicular a la superficie del espejo.
Figura 6.2. Proceso de reflexión de un rayo en un espejo cóncavo
De la geometría expuesta en la figura se deduce que el ángulo β=α+θ y que
γ=α+2θ. La distancia imagen s´ desde el vértice V del espejo a P´ puede relacionarse
con la distancia objeto s asumiendo que los ángulos son pequeños y que senθ ≈ θ,
rayos paraxiales. El resultado es
1 1 2
+ =
s s´ r
[6.1]
Cuando la distancia objeto es grande en comparación con el radio de
1
curvatura, s=∞, la distancia imagen es s´= r y recibe el nombre de distancia focal f
2
del espejo. El punto focal F es el punto en donde resultan enfocados todos los rayos
paralelos al eje del espejo
f =
1
r
2
[6.2]
La distancia focal de un espejo esférico es igual a la mitad del radio de
curvatura. En función de la distancia focal f, la ecuación [6.1] toma la forma
6-2
6. Óptica Geométrica
1 1
1
+ =
s s´ f
[6.3]
conocida como ecuación del espejo. El criterio de signos a aplicar a la hora de
utilizar correctamente estas ecuaciones es el siguiente
s
s´
r,f
+ si el objeto está delante del espejo (objeto real)
- si el objeto está detrás del espejo (objeto virtual)
+ si la imagen está delante del espejo (imagen real)
- si la imagen está detrás del espejo (imagen virtual)
+ si el centro de curvatura está delante del espejo (espejo cóncavo)
- si el centro de curvatura está detrás del espejo (espejo convexo)
Un método que resulta útil a la hora
de situar imágenes consiste en la
construcción de un diagrama de rayos
esquematizado en la figura 6.3. Existen
tres rayos principales convenientes para la
construcción de la imagen
1. El rayo paralelo al eje óptico. Este rayo
se refleja pasando por el punto focal
Figura 6.3. Diagrama de rayos en un espejo 2. El rayo focal, que pasa por el punto
concavo
focal. Este rayo se refleja paralelamente al
eje óptico
3. El rayo radial, que pasa por el centro de
curvatura. Este rayo incide sobre el espejo
perpendicularmente a su superficie y por
ello se refleja coincidiendo consigo mismo
La intersección de dos rayos
cualesquiera sitúa el punto imagen
Figura 6.4. Imagen virtual en un espejo cóncavo superior pudiéndose utilizar el tercer rayo
como comprobación. Cuando el objeto
está entre el espejo y su punto focal, los
rayos reflejados no convergen sino que
parecen divergir desde un punto situado
detrás del espejo, imagen virtual, tal y
como se ilustra en la figura 6.4. En la
figura 6.5 se muestra el diagrama de rayos
para un objeto situado delante de un
espejo convexo. El rayo central que se
Figura 6.5. Imagen virtual en un espejo convexo
dirige hacia el centro de curvatura C es
perpendicular al espejo y se refleja sobre
6-3
6. Óptica geométrica
si mismo. El rayo paralelo al eje se refleja como si procediese del punto focal F
detrás del espejo. Podemos ver en la figura que la imagen está detrás del espejo y,
por tanto, es virtual.
La relación entre el tamaño del
objeto y de la imagen se denomina
aumento lateral de la imagen. En la figura
6.6, y utilizando la aproximación de rayos
paraxiales, podemos ver que el aumento
lateral es igual a
Figura 6.6 Aumento lateral en un espejo
cóncavo
m=
y´
s´
=−
y
s
[6.4]
Un aumento negativo, lo que tiene lugar cuando s y s´ son positivos, significa
que la imagen está invertida. En el caso de espejos planos el radio de curvatura es
infinito implicando que la distancia focal es infinita. Esto da lugar a que s´=s y m=1.
Esto da lugar a una imagen virtual, derecha (no invertida) y del mismo tamaño que el
objeto.
6.2 Lentes
6.2.1 Imágenes formadas por refracción. La formación de una imagen por
refracción en una superficie esférica que separa dos medios con índices de
refracción n1 y n2 se ilustra en la figura 6.7.
Figura 6.7. Refracción en una superficie esférica
En esta figura n2>n1 de modo que las ondas se mueven más lentamente en el
2º medio. Aplicando la ley de Snell, con la aproximación de rayos paraxiales, y de los
triángulos ACP´ y PAC obtenemos
n1θ 1 = n 2θ 2
β = θ2 + γ
θ1 = α + β
[6.5]
y utilizando las aproximaciones de ángulos pequeños, rayos paraxiales
6-4
6. Óptica Geométrica
α≈
l
s
β≈
l
r
γ ≈
l
s´
[6.6]
obtenemos la ecuación que liga la distancia imagen s´ con la distancia objeto s, el
radio de curvatura r de la superficie y los índices de refracción de los dos medios
n1 n2 n 2 − n1
+
=
s
s´
r
[6.7]
En la refracción, las imágenes reales se obtienen detrás de la superficie que
recibe el nombre de lado de transmisión, mientras que las imágenes virtuales se
presentan en el lado de incidencia delante de la superficie. Por tanto el convenio de
signos que utilizamos para la refracción queda
s
s´
r
+ (objeto real) para los objetos delante de la superficie
incidencia)
- (objeto virtual) para los objetos detrás de la superficie
transmisión)
+ (imagen real) para las imágenes detrás de la superficie
transmisión)
- (imagen virtual) para las imágenes delante de la superficie
incidencia)
+ si el centro de curvatura está en el lado de transmisión
- si el centro de curvatura está en el lado de incidencia
(lado de
(lado de
(lado de
(lado de
Se denomina punto focal objeto F a la posición de un objeto puntual sobre el
eje óptico tal que los rayos refractados son paralelos al eje óptico, lo cual equivale a
tener la imagen del punto en el infinito. La distancia del objeto a la superficie esférica
se denomina distancia focal objeto f. Análogamente, cuando los rayos incidentes son
paralelos al eje óptico, objeto en el infinito, los rayos refractados pasan por el punto
focal imagen F´ situado a la distancia focal imagen f´ de la superficie.
Según la figura 6.8 y utilizando de
nuevo la ley de Snell y la aproximación de
rayos paraxiales llegamos a que el
aumento debido a la refracción en una
superficie esférica es igual a
m=
y´
n s´
=− 1
y
n2 s
[6.8]
Figura 6.8 Aumento debido a la refracción en
una superficie esférica
6-5
6. Óptica geométrica
6.2.2 Lentes delgadas. La aplicación más importante de la ecuación [6.7] para
la refracción en una superficie simple consiste en hallar la posición de la imagen
formada por una lente siendo ésta un medio transparente de índice de refracción n
limitado por dos superficies esféricas de radios r1 y r2 y de espesor despreciable,
lente delgada. Según la figura 6.9, si un objeto está a una distancia s de la primera
superficie se puede encontrarse la distancia s1´ de la imagen debido a la refracción
aplicando [6.7]
1 n n −1
+ ´ =
s s1
r1
[6.9]
Figura 6.9. Refracción de la luz y formación de imagen en una lente delgada
Esta imagen no llega a formarse porque la luz se refracta de nuevo en la
segunda superficie. En este caso s1´ es negativa indicando que sería una imagen
virtual. Los rayos dentro del vidrio, refractados por la primera superficie, divergen
como si procediesen del punto imagen P1´. Estos inciden sobre la segunda superficie
formando los mismos ángulos que si se encontrase un objeto en este punto imagen.
Por consiguiente, la imagen dada por la primera superficie se convierte en objeto
para la segunda superficie. Como la lente es de espesor despreciable, la distancia
objeto s2 es de valor igual a s1´ pero de signo positivo dado que está en el lado de
incidencia para la segunda superficie s2=-s1 ´. Aplicando [6.7] para esta segunda
refracción obtendremos la distancia imagen s´ para la lente
n
1 1− n
+ =
´
− s1 s´
r2
[6.10]
y eliminando s1 ´ al sumar [6.9] y [6.10] tenemos
1 1
1 1
+ = ( n − 1) − 
s s´
 r1 r2 
6-6
[6.11]
6. Óptica Geométrica
La ecuación [6.11] da la distancia imagen s´ en función de la distancia objeto
s y de las propiedades de la lente delgada. Como en el caso de los espejos, la
distancia focal de una lente delgada se define como la distancia imagen que
corresponde a una distancia objeto infinita. Haciendo s=∞ y escribiendo f en lugar de
la distancia imagen se tiene
1
1 1
= ( n − 1) − 
f
 r1 r2 
[6.12]
denominada ecuación del constructor de lentes y que da la distancia focal de una
lente en función de sus propiedades. Introduciendo [6.12] en [6.11] obtenemos la
denominada ecuación de la lente delgada
1 1
1
+ =
s s´ f
[6.13]
En una lente delgada los dos puntos
focales, objeto F e imagen F´, están
simétricamente ubicados a ambos lados de la
lente delgada y a una distancia igual a la focal
f.
Figura 6.10. Lente convergente
Cuando la distancia focal calculada a
partir de [6.12] es mayor que cero se dice que
la lente es positiva ó convergente, figura 6.10,
teniendo el punto focal objeto F en el lado de
incidencia y el punto focal imagen F´ en el
lado de transmisión. Las lentes más gruesas
en el centro que en los extremos, biconvexas,
son lentes positivas, siempre que su índice de
refracción sea mayor que el del medio que las
rodea. Sin embargo, cuando la distancia focal
es menor que cero, tenemos una lente
negativa ó divergente y el punto focal objeto
está en el lado de transmisión y el punto focal
imagen en el lado de incidencia, figura 6.11,
siempre que su índice de refracción sea
mayor que el del medio que las rodea. El
valor inverso de la distancia focal se
denomina potencia de la lente. Cuando se
expresa en metros la distancia focal, la
potencia viene dada en recíprocos de metros
denominados dioptrías (D)
Figura 6.11. Lente divergente
6-7
6. Óptica geométrica
P=
1
dioptrías
f
[6.14]
midiendo la capacidad de la lente para enfocar los rayos paralelos a una distancia
corta de la misma.
Si combinamos en un sistema óptico dos ó más lentes delgadas, podemos
hallar la imagen final producida por el sistema de lentes múltiples hallando la
distancia imagen correspondiente a la primera lente y utilizándola junto con la
distancia entre lentes para hallar la distancia objeto correspondiente a la segunda
lente. Es decir, se considera cada imagen, sea real ó virtual y se forme ó no como el
objeto para la siguiente lente. En caso de que las dos lentes delgadas de distancias
focales f1 y f2 estén en contacto, la distancia focal equivalente de la combinación
viene dada por
1
1
1
=
+
f
f1 f2
[6.15]
6.2.3 Diagramas de rayos para las lentes. Como sucede con las imágenes
formadas por los espejos, es conveniente situar las imágenes dadas por las lentes
mediante métodos gráficos. La figura 6.12 ilustra este método para lentes
convergentes donde los rayos principales son
Figura 6.12. Diagrama de rayos en una lente convergente
1. El rayo paralelo, que se dibuja paralelo al eje. Este rayo se desvía de
modo que pasa por el segundo punto focal de la lente
2. El rayo central, que pasa por el centro de la lente. Este rayo no sufre
desviación dado que las caras de la lente son paralelas en este punto y la
lente es delgada
3. El rayo focal, que pasa por el primer punto focal. Este rayo emerge
paralelo al eje
Estos tres rayos convergen en el punto imagen. En este caso la imagen es
real e invertida y la amplificación lateral vale, igual que en caso de espejos, m=-s´/s.
6-8
6. Óptica Geométrica
Los rayos principales para una lente divergente, tal y como se esquematiza en
la figura 6.13, son
1. El rayo paralelo, que se dibuja paralelo al eje. Este rayo diverge como si
procediese del segundo punto focal de la lente
2. El rayo central, que pasa por el centro de la lente. Este rayo no sufre
desviación
3. El rayo focal, que se dirige hacia el primer punto focal. Este rayo emerge
paralelo al eje
Figura 6.13. Diagrama de rayos en una lente divergente
6.2.4 Aberraciones. Cuando los rayos procedentes de un punto objeto no se
enfocan en un solo punto imagen, la imagen borrosa resultante del objeto se
denomina aberración. Los motivos de las aberraciones suelen clasificarse en los
siguientes tipos
i) Aberración esférica. Los rayos que procedentes de un objeto en el eje
óptico, inciden sobre una lente lejos del eje, rayos no paraxiales, se
desviarán más que los próximos al mismo, figura 6.14, con el resultado de
que no todos los rayos se enfocan en un solo punto. En lugar de ello, la
imagen tiene el aspecto de un disco circular. El círculo de mínima
confusión, en donde se encuentra el diámetro mínimo, se encuentra en el
punto C
Figura 6.14. Aberración esférica en una lente
6-9
6. Óptica geométrica
ii) Coma y astigmatismo. Son aberraciones propias de puntos fuera del eje
óptico, que dan lugar a imágenes no puntuales del punto objeto, y
motivadas por considerar rayos no paraxiales al igual que en la aberración
esférica.
iii) Curvatura de imagen. Aún considerando que la imagen de un punto es
otro punto, puede ocurrir que los puntos del plano objeto no están todos en
el mismo plano imagen sino en una superficie curva produciendo una
curvatura de la imagen
iv) Distorsión. Da lugar a una imagen no semejante a la forma del objeto y es
motivada por el hecho de que la amplificación lateral depende de la
distancia de los puntos objeto al eje
v) Aberración cromática. El hecho de que el índice de refracción de la lente
depende de la longitud de onda, fenómeno que ya analizamos en el
capítulo anterior y conocido como dispersión, produce aberraciones
cuando trabajamos con luz no monocromática dado que la distancia focal
depende de n. La figura 6.15 ilustra este fenómeno al iluminar con luz
formada por tres colores una lente
Figura 6.15. Aberración cromática en una lente
Las aberraciones son corregidas parcialmente utilizando superficies no
esféricas para lentes y espejos, generalmente más costosas de producir que las
superficies esféricas. Por ejemplo, es habitual el uso de superficies reflectoras
parabólicas que enfocan en un punto los rayos paralelos al eje sin importar lo
alejados que estén estos del eje óptico.
Otro método habitualmente utilizado para corregir aberraciones es usar
combinaciones de varias lentes, en lugar de una sola lente. Por ejemplo, una lente
positiva, y otra negativa de mayor distancia focal, pueden utilizarse juntas para
producir un sistema de lentes convergente que tenga una aberración cromática
mucho menor que una lente simple de la misma distancia focal. El sistema óptico de
una buena cámara fotográfica contiene normalmente seis elementos para corregir
las diversas aberraciones presentes.
6-10
6. Óptica Geométrica
6.3 Método matricial para el análisis de sistemas ópticos
Un sistema óptico compuesto por dos ó más lentes delgadas se puede
analizar algebraicamente ó gráficamente por los métodos hasta ahora expuestos sin
más que tratar la imagen formada por la primera lente como objeto de la segunda y
así sucesivamente a través de todo el sistema. El problema aparece cuando el
sistema contiene una ó mas lentes de espesor no despreciable dejando de ser
válidos los métodos de análisis anteriormente desarrollados. En este apartado
desarrollaremos un método de análisis basado en cálculo matricial que nos permitirá
abordar sistemas ópticos compuestos por varias lentes gruesas.
Los sistemas ópticos contienen
regiones de diferente índice de refracción.
θ1 β
γ
Las superficies de separación entre ellas
θ2
α
son partes de superficies esféricas cuyos
β
centros están situados sobre un eje común
l
denominado eje óptico. Siguiendo el
β
esquema de la figura 6.16 tenemos que un
rayo óptico alcanza la superficie de
r
C
refracción formando un ángulo α con el eje
óptico y a una altura l sobre ese mismo eje.
Figura 6.16 Proceso de refracción de un rayo Debido al proceso de refracción en la
óptico en una superficie esférica
superficie, tenemos que ese rayo óptico
cambia su ángulo con el eje óptico pasando a ser γ mientras que la altura continúa
siendo l. Las ecuaciones [6.5] nos muestran que para rayos paraxiales
n1 (α + β ) = n2 ( β + γ )
y considerando que β =
[6.16]
l
nos queda
r
 n1
1
n
 − 1 l + 1 α = γ
n2
 n2
r
[6.17]
Utilizando notación matricial podemos poner que el rayo óptico (l,α) se ha
transformado debido a la refracción en el rayo (l´,γ) según la operación
1

 n

  1 − 1 1
 n
r
 2
0
l
l´
n1   =  
n 2  α   γ 
[6.18]
6-11
6. Óptica geométrica
1
0

l 
 n

donde R=   1 − 1 1 n1  recibe el nombre de matriz de refracción y C=   matriz

 n

α 
  2  r n2 
del rayo óptico . Por tanto la acción de la superficie sobre el rayo se describe por la
operación
RC= C´
[6.19]
Si no existen superficies donde cambia el
índice de refracción, el rayo óptico seguirá
trayectorias rectilíneas. Veamos como aplicar
α
l´
el cálculo matricial para describir la
l
transmisión del rayo entre dos superficies
separadas una distancia t y que limitan una
t
región de índice de refracción constante,
figura 6.17. Estas superficies representadas
por planos en la figura son realmente
esféricas, pero al estar los rayos paraxiales
cerca del eje al atravesar el sistema
Figura 6.17 Transmisión de un rayo óptico
podemos considerarlas como planos que
entre dos planos que limitan una región de n
cortan al eje óptico en puntos denominados
constante y separados una distancia t
vértices.
γ
Al seguir una trayectoria recta, el ángulo con el eje óptico no cambia α=γ. La
relación entre las distancias l y l´ con el eje óptico vienen dadas, asumiendo rayos
paraxiales, por la ecuación
l + tα = l´
[6.20]
Utilizando de nuevo notación matricial escribimos
 1 t  l   l´ 

  =  
 0 1 α   γ 
[6.21]
1 t 
y notando T= 
 como la matriz de transformación tenemos
 0 1
TC= C´
[6.22]
Con este sistema de análisis matricial podemos trazar la trayectoria de
cualquier rayo paraxial a través de cualquier sistema óptico llevando a cabo una
serie de multiplicaciones matriciales en las que intervienen matrices de transmisión y
de refracción.
6-12
6. Óptica Geométrica
Consideremos por ejemplo una lente gruesa de espesor t21 esquematizada en
la figura 6.18. Un rayo paraxial desde el plano objeto se dirige desde la derecha
hacia la primera superficie de la lente, de radio de curvatura r1, y que separa los
medios de índice de refracción n1 y n2 . En esta superficie se refracta y continúa
trasladándose hacia la segunda superficie de radio de curvatura r2, superficie que
separa los medios de índice n2 y n3 donde se refracta de nuevo y continúa hasta el
plano imagen.
Plano
objeto
Plano
imagen
n1
n2
n3
r1
r2
s
t21
s´
Figura 6.18. Lente gruesa de espesor t21 y trayectoria de un rayo óptico desde el plano objeto hasta el
plano imagen
Si especificamos el rayo óptico por su matriz C, que nos da la altura por
encima del eje y su pendiente al abandonar el plano objeto, tenemos que al llegar a
la primera superficie la matriz del rayo óptico C´ vendrá dada por TC=C´ donde T es
1 s
T= 

 0 1
[6.23]
siendo ésta la matriz de transmisión desde el plano objeto hasta la primera superficie
a lo largo de una distancia s. Una vez en esta superficie, el rayo sufre un proceso de
refracción siendo ahora la matriz del rayo óptico R1TC=C´ con una matriz de
refracción
1

 n
R1=   1 − 1 1
r
 n
 1
 2
0
n1 
n 2 
[6.24]
6-13
6. Óptica geométrica
La matriz del rayo óptico inmediatamente antes de llegar a la segunda
superficie de refracción será T21R1TC=C´ con una matriz de translación, que lleva al
rayo óptico desde la primera superficie hasta la segunda, dada por
 1 t 21 
T21= 

0 1 
[6.25]
Entonces el rayo se refracta en la segunda superficie de la lente gruesa
pasando la matriz del rayo óptico a valer R2T21R1TC=C´ con una matriz de refracción
1


R2=   n2 − 1 1
r
 n
 2
 3
0
n2
n3





[6.26]
Después de abandonar la segunda superficie de refracción, el rayo óptico
continúa hasta el plano imagen siendo aho ra la matriz de transmisión T´
 1 s´ 
T´= 

0 1 
[6.27]
Por tanto podemos describir la trayectoria del rayo óptico, descrito por su
matriz C, desde el plano objeto , hasta el plano imagen, donde llega como C´, por la
operación
T´R2T21R1TC= C´
[6.28]
Definimos para este sistema óptico la matriz S del sistema como
R2T21R1= S
[6.29]
de forma que podemos escribir la ecuación [6.28] como
T´STC= C´
[6.30]
Para un sistema óptico más complicado que el analizado hasta ahora bastará
escribir la matriz del sistema óptico como la expresión general
…R3T32R2T21R1= S
[6.31]
siendo el último término de la izquierda la matriz de refracción de la última superficie
del sistema óptico. Esta matriz del sistema óptico nos permitirá trazar cualquier rayo
paraxial a través del sistema utilizando [6.30].
6-14
6. Óptica Geométrica
Realicemos ahora los cálculos para trazar los rayos ópticos desde un objeto a
través de un sistema óptico hasta la imagen formada de este objeto. Para este
propósito escribimos la matriz del sistema óptico en su forma más general
a b
S= 

c d 
[6.32]
La figura 6.19 indica un sistema óptico general, el plano sobre el que está
situado el objeto que envía los rayos paraxiales a través del sistema, así como el
plano de la imagen que el sistema produce del objeto.
Cualquier sistema
de lentes
y
y´
s
s´
Plano del objeto
Plano de la imagen
Plano en la primera
superficie
Plano en la última
superficie
Figura 6.19. Sistema óptico general
l 
Cuando un rayo sale del plano objeto, éste se especifica por la matriz C=  
α 
1 s
y la matriz de transmisión T= 
 lleva el rayo a lo largo de la distancia s desde el
 0 1
plano objeto hasta la primera superficie refractora del sistema óptico. Por
consiguiente, al llegar a esta primera superficie el rayo se especifica por la matriz
 1 s   l   l + sα 

   = 

 0 1 α   α 
[6.33]
La matriz del sistema lleva el rayo a través del sistema óptico y cuando
abandona la última superficie de refracción se especifica por la matriz
a b


c d 
 l + sα   al + asα + bα 

 = 

 α   cl + csα + dα 
[6.34]
6-15
6. Óptica geométrica
 1 s´ 
Finalmente la matriz de tranmisión T´= 
 lleva el rayo la distancia s´
0 1 
desde la última superficie de refracción hasta el plano de la imagen y al llegar se
especifica por la matriz
 1 s´   al + asα + bα   al + asα + bα + s´cl + s´csα + s´dα   l´ 

 
 = 
 =  
cl + cs α + dα
 0 1   cl + csα + dα  
 γ 
[6.35]
quedándonos entonces las ecuaciones escalares
l´ = al + asα + bα + s´cl + s´csα + s´dα
γ = cl + csα + dα
[6.36]
Consideremos la primera de estas dos ecuaciones escalares
l´ = ( a + s´c) l + ( as + b + s´cs + s´d )α
[6.37]
donde l´ expresa la altura por encima del eje óptico en el plano imagen de un rayo
que abandono el plano objeto a una altura l y pendiente α. Pero todos los rayos
paraxiales que abandonan un punto del plano objeto independientemente de cuál
sea su pendiente llegan al mismo punto en el plano imagen. Por consiguiente los
valores de l´ no pueden depender de α y esto implica que los valores de s y s´ se
relacionan por la ecuación
( as + b + s´cs + s´d ) = 0
[6.38]
Es decir dado el valor de s, y despejando de la ecuación anterior, podemos
encontrar el valor de s´ utilizando la ecuación
s´= −
as + b
cs + d
[6.39]
Calculamos el aumento lateral de la imagen combinando las ecuaciones
[6.37] y [6.38]
m=
l´
= a + s´c
l
[6.40]
Las ecuaciones [6.39] y [6.40] determinan completamente las características
de la imagen que un sistema óptico arbitrario produce de un objeto sin más que
calcular el valor de la matriz del sistema óptico.
6-16
6. Óptica Geométrica
6.4 Instrumentos ópticos
6.4.1 El ojo. El sistema óptico de máxima importancia es el ojo,
esquematizado en la figura 6.19. La luz entra en el ojo a través de una abertura
variable, la pupila, y se enfoca mediante el
sistema lente -cornea sobre la retina, una
película de fibras nerviosas que cubre la
superficie posterior del ojo. La retina
contiene diminutas estructuras sensibles
denominadas bastones y conos, que
reciben la imagen y transmiten información
a lo largo del nervio óptico hasta el cerebro.
La forma de la lente cristalina puede
alterarse ligeramente mediante la acción de
los músculos ciliares. Cuando el ojo se
Figura 6.19. Esquema del ojo humano
enfoca sobre un objeto alejado, el músculo
se relaja y el sistema lente -cornea tiene su máxima distancia focal,
aproximadamente 2.5 cm, que es la distancia de la cornea a la retina. Cuando el
objeto se acerca al ojo, se tensan los músculos ciliares aumentando la curvatura del
cristalino ligeramente y disminuyendo de este modo su distancia focal, y la imagen
se enfoca de nuevo en la retina en un proceso denomi nado de acomodación. Si el
objeto está demasiado cercano al ojo, el cristalino no puede enfocar del mismo en la
retina y la imagen resulta borrosa. El punto más próximo para el cual el cristalino
puede enfocar una imagen en la retina se denomina punto próximo xpp. El valor
normalizado tomado como punto próximo es 25 cm y el poder resolvente del ojo para
esta distancia es alrededor de 10-2 cm. El tamaño aparente de un objeto queda
determinado por el tamaño de la imagen sobre la retina. Cuanto mayor es esta
imagen, mayor es el número de bastones y conos activados. En la figura 6.20
podemos ver que el tamaño de la imagen sobre la retina es mayor cuando el objeto
está cerca y más pequeño si está alejado. Así, aunque el tamaño del objeto no varía ,
su tamaño aparente es mayor cuando se acerca al ojo.
Figura 6.20. Formación de imagen en la retina y tamaño aparente según la distancia
6-17
6. Óptica geométrica
Una medida conveniente del tamaño de la imagen sobre la retina es el ángulo
θ subtendido por el objeto en el ojo
θ =
y´
2.5 cm
[6.41]
El ángulo θ está relacionado con el tamaño del objeto y. Para ángulos
pequeños
θ = tgθ =
y
s
[6.42]
y combinando ambas ecuaciones resulta
y ´ = 2.5 cm
y
s
[6.43]
Así pues, el tamaño de la imagen sobre
la retina es proporcional al del objeto y es
inversamente proporcional a la distancia entre
el objeto y el ojo. Como el punto próximo es el
más cercano al ojo para el cual se forma una
imagen nítida en la retina, la distancia al punto
próximo es la distancia de mayor visión
distinta (sin confusión). Si el ojo es menos
convergente de lo que debiera, dando como
resultado que las imágenes quedan enfocadas
detrás de la retina, se dice que la persona es
Figura 6.21. Hipermetropía y su correción hipermétrope. Esta persona ve correctamente
objetos lejanos, para lo que se requiere poca
con una lente convergente
convergencia, pero tiene problemas a la hora
de ver claramente objetos cercanos. La
hipermetropía se corrige con una lente
convergente (positiva) como se observa en la
figura 6.21. Por el contrario, el ojo de una
persona miope tiene excesiva convergencia y
enfoca la luz procedente de objetos distantes
delante de la retina. Una persona miope
puede ver objetos cercanos, ya que los rayos
incidentes demasiado convergentes pueden
ser enfocados sobre la retina. La miopía se
corrige con una lente divergente (negativa)
Figura 6.22. Miopía y su correción con como muestra la figura 6.22.
una lente divergente
6-18
6. Óptica Geométrica
6.4.2 El microscopio. Un microscopio es un sistema de lentes que produce
una imagen virtual aumentada de un objeto pequeño. El microscopio más simple es
una lente convergente, llamada comúnmente lupa. El objeto AB, figura 6.23, se
coloca entre la lente y el foco F de modo que la imagen es virtual y está a una
distancia s´ igual al punto próximo xpp. Como s es casi igual a f, especialmente si f es
muy pequeña, podemos escribir para el aumento
s ´ x pp
M =− ≈
s
f
[6.44]
b
B
a
F
A
F´
s
f
s´=Xpp
Figura 6.23. Microscopio simple
El microscopio compuesto es más elaborado, figura 6.24. Consiste en dos
lentes convergentes de pequeña distancia focal, llamadas el objetivo y el ocular. La
distancia focal f del objetivo es mucho menor que la distancia focal f´ del ocular.
Tanto f como f´ son mucho menores que la distancia entre el objetivo y el ocular y la
distancia entre el segundo punto focal del objetivo y el primer punto focal del ocular
recibe el nombre de longitud del tubo L.
El objeto AB se coloca a una distancia del objetivo ligeramente mayor que f
formándose una primera imagen real a´b´ que hace de objeto para el ocular. La
imagen a´b´ debe estar a una distancia del ocular ligeramente menor que f´. La
imagen final ab es virtual, invertida y mucho mayor que el objeto. El objeto AB se
coloca de manera ta l que ab esté a una distancia del ocular igual al punto próximo
xpp. Esta condición se obtiene mediante la operación de enfoque, que consiste en
mover todo el microscopio respecto al objeto. El aumento debido al objetivo es,
teniendo en cuenta que en los microscopios L es prácticamente igual a la distancia
entre el objetivo y el ocular
Mb =
a´b´
L
≈−
AB
f
[6.45]
6-19
6. Óptica geométrica
y el debido al ocular
Mc =
x
ab
≈ pp
a´ b´
f´
[6.46]
con lo que el aumento total es
M = M bMc =
ab
x L
= − PP
AB
ff ´
[6.47]
L
Objetivo
Ocular
B
F´b
a
A
Fc
a´
Fb
F´c
b´
f´
f
b
Xpp
Figura 6.24. Microscopio compuesto
6.4.3 El telescopio. Otro instrumento óptico importante es el telescopio,
utilizado para observar objetos muy distantes. En el telescopio de refracción, el
objetivo, figura 6.25, es una lente convergente de distancia focal f muy grande, a
veces de varios metros. Como el objeto AB es muy distante, su imagen a´b´
producida por el objetivo, está en su foco F´b. Solo hemos indicado los rayos
centrales ya que es todo lo que necesitamos porque conocemos la posición de la
imagen. El ocular también es una lente convergente pero de distancia focal f´ mucho
menor. Se coloca de forma tal que la imagen intermedia a´b´ esté entre Fc y el ocular
y la imagen final ab esté a xpp . El enfoque se realiza moviendo el ocular solamente.
El aumento producido por este instrumento no es lineal porque la imagen es siempre
menor que el objetivo. En su lugar se define un aumento angular, definido como el
cociente entre el ángulo β subtendido por la imagen y el ángulo α subtendido por el
objeto
6-20
6. Óptica Geométrica
M =
β
α
[6.48]
A causa de la proximidad de la imagen, el ángulo β es mucho mayor que α,
siendo esto lo que crea la sensación de aumento. De acuerdo con la figura y
teniendo en cuenta que los ángulos son pequeños obtenemos
α =−
a´b´
f
β=
a´b´
f´
[6.49]
donde se ha considerado que la distancia de a´b´ al ocular es prácticamente f´.
Sustituyendo en [6.48] tenemos
M =−
f
f´
[6.50]
En consecuencia, para obtener un gran aumento, la distancia focal del
objetivo debe ser muy grande y la del ocular muy pequeña. Prácticamente, la
longitud del instrumento está determinada por la distancia focal f del objetivo.
f
Objetivo
f´
a
Ocular
a´
α
Fc
β
F´b
F´c
b´
b
Xpp
Figura 6.25. Telescopio
La principal consideración a tener en cuenta en el caso de un telescopio
astronómico no es su poder amplificador, sino su capacidad de recoger la luz
procedente del objeto lejano, que depende del tamaño del objetivo. Cuanto mayor es
el objetivo, mayor es la luminosidad de la imagen. Sin embargo son muy difíciles de
fabricar lentes muy grandes sin aberraciones a lo que hay que unir el problema del
peso de las mismas. Un telecopio reflector, figura 6.26, utiliza un espejo cóncavo en
lugar de una lente como objetivo. Esto ofrece varias ventajas importantes entre las
6-21
6. Óptica geométrica
que destacan que un espejo no produce aberración cromática y su peso es mucho
menor que una lente de calidad óptica semejante.
Figura 6.26. Telescopio reflector
Los instrumentos ópticos son mucho más complicados que la versión
simplificada que hemos presentado, principalmente por la necesidad de producir una
imagen tan desprovista de aberraciones como sea posible. Por esta razón, los
oculares y los objetivos suelen consistir en sistemas de varias lentes.
6-22
6. Óptica Geométrica
Problemas
1. Un objeto está situado a 12 cm de un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es
6 cm. Hallar a que distancia se encuentra la imagen.
2. Un objeto de 2 cm de alto está a 10 cm de un espejo convexo de radio de
curvatura 10 cm. Localizar la imagen y su altura.
3. Un espejo esférico cóncavo de 0,5 m de distancia focal está frente a un espejo
plano situado a 1,8 m del vé rtice del primero. A 20 cm del espejo plano y entre
éste y el cóncavo se encuentra un punto luminoso que se refleja primero en el
espejo plano y luego en el cóncavo. Encontrar la posición de la imagen producida
por el sistema y su aumento.
4. En los supermercados se utilizan espejos convexos para conseguir un amplio
margen de observación y vigilancia con un espejo de tamaño razonable, de
manera que un dependiente situado a una cierta distancia del espejo pueda
inspeccionar el local entero. Un espejo convexo tiene un radio de curvatura de
1,2 m. Si un cliente está a 10 m del espejo, ¿a qué distancia de la superficie del
espejo está su imagen? ¿La imagen está detrás o delante del espejo? Dibuje la
trayectoria de los rayos. Si el cliente mide 2 m, ¿qué altura tendrá su imagen?
5. Dentro de una pecera esférica de radio 15 cm llena de agua se encuentra un pez.
El pez mira a través de la pecera y ve un gato sentado sobre la mesa a 10 cm de
la pecera. Encontrar la imagen del gato y su aumento vista por el pez.
6. Una lente biconvexa de vidrio, n=1,5, tiene sus radios de curvatura de 10 cm y 15
cm. Hallar su distancia focal y su potencia. Localizar la imagen gráfica y
algebraicamente de un objeto de 1,2 cm de alto que se coloca a 4 cm de la lente.
A la derecha de esta lente y a 12 cm de ella se coloca una segunda lente de
distancia focal 6 cm. Localizar ahora la imagen final del objeto anterior.
7. Un objeto está colocado a 1,20 m de una lente. Determine la distancia focal y el
tipo de lente (convergente o divergente) que produce una imagen (a) real y a 0,80
m de la lente; (b) virtual y a 3,20 m de la lente; y (c) virtual y a 0,60 m de la lente.
Dibuje la trayectoria de los rayos en cada caso.
8. Dos lentes con la misma distancia focal de 10 cm distan entre si 15 cm. Hallar la
imagen final de un objeto a 15 cm de una de las lentes.
9. Determinar las posiciones de los focos de un sistema de dos lentes delgadas
separadas por una distancia t.
10. Demostrar que la potencia de un sistema formado por dos lentes delgadas
separadas una distancia t viene dada por
1
1
1
t
=
+
−
f
f1 f 2 f1 f 2
11. Se tiene un sistema óptico formado por dos lentes convergentes iguales de
distancia focal 10 mm. Un objeto de 1 cm está situado a 15 mm a la izquierda de
la primera lente. Calcular cuál debe ser la separación entre las lentes para que la
6-23
6. Óptica geométrica
imagen final sea real, derecha, y cuatro veces mayor que el objeto. Comprobarlo
gráficamente.
12. Dos lentes de 4 y 6 dioptrías están separadas una distancia de 60 cm. Hallar los
focos y potencia del sistema compuesto.
13. Se quiere, utilizando un par de lentes delgadas, corregir la aberración cromática
en una cierta región espectral del visible. ¿Cuál debe ser la separación t entre
lentes para conseguir este hecho?
14. Se quiere, utilizando un par de lentes delgadas en contacto, corregir la aberración
cromática en una cierta región espectral del visible. ¿Qué condición deben
cumplir las focales y los índices de refracción de las dos lentes?
15. Dos lentes, una biconvexa de radio r=50 cm y otra bicóncava de r=30 cm se
encue ntran separadas una distancia t. Si las lentes se separan de forma que t se
dobla, la potencia del sistema disminuye a la mitad. Calcular t asumiendo que el
índice de refracción de ambas lentes es n=1,5.
16. Determinar, utilizando el método matricial, la posición, tamaño y orientación de la
imagen producida por una lente gruesa (r1=10 cm, r2=-5 cm, n=1,5 y espesor= 2
cm) de un objeto situado a 3 cm de la 1º superficie refractora. Determinar la
posición de la imagen considerando que fuera una lente delgada.
17. La figura muestra un par convergente-divergente de lentes gruesas que se
utilizan en cámaras de bajo costo para reducir la aberración cromática. ¿Cuál
debe ser la distancia entre la superficie plana del sistema óptico y la película
cuando se toma la fotografía de un objeto lejano?
n=1,5
r1=2 cm
r2=2 cm
n=1,63
0,5 cm
0,4 cm
18. Demostrar que la matriz del sistema óptico constituido por una lente delgada se
expresa como
 1
S=  − 1

 f
6-24
0

1

6. Óptica Geométrica
19. Calcular cuál es la variación máxima en dioptrías del cristalino según este
enfoque un objeto próximo o lejano
20. Una persona con 25 cm de punto próximo utiliza una lente de 40 dioptrías como
lupa. ¿Qué amplificación angular se obtiene?
21. Una lente convergente, n=1,7 y r=16 cm, se desea utilizar como lupa. ¿Dónde
hay que situar la lente respecto al objeto para que su imagen se genere a 25 cm
del ojo?¿Cuándo se obtiene el mayor aumento angular?
22. Un microscopio tiene una lente objetivo de 1,2 cm de distancia focal y un ocular
de 2 cm de distancia focal separadas 20 cm. Hallar el poder amplificador si el
punto próximo de observador está a 25 cm. ¿En dónde deberá colocarse el
objeto si la imagen final ha de verse en el infinito?
23. El objetivo y el ocular de un microscopio tienen unas potencias ópticas de 50 y 60
dioptrías. La longitud del tubo del microscopio es de 18 cm y con éste
observamos una muestra de 3 µm. Calcular el aumento del microscopio. ¿A que
distancia del foco del objetivo hay que colocar la muestra?¿Dónde se produce y
que tamaño tiene la imagen intermedia producida por el objetivo?
24. Un telescopio simple tiene un objetivo de 100 cm de distancia focal y un ocular de
5 cm de distancia focal. Se utiliza para mirar la luna que subtiende un ángulo de
0,009 radianes. ¿Cuál es el diámetro de la imagen formada por el objetivo?¿Qué
ángulo subtiende la imagen final en el infinito?¿Cuál es el poder amplificador del
telescopio?
6-25