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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL TUCUMAN
INGRESO 2011
GUIA DE ESTUDIO DE MATEMATICAS
PARA TECNICATURAS
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Unidad 1: El lenguaje formal de la matemática.
1.1.- Lectura e interpretación de textos matemáticos.
Unidad 2: Conjuntos numéricos.
2.1.- El conjunto de números reales.
2.2.- Radicación y logaritmación.
Unidad 3: Ecuaciones
3.1.- Ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita.
3.2.- Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
3.3.- Planteo y solución de problemas de índole práctico
Unidad 4: Trigonometría.
4.1.- Las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
4.2.- Resolución de triángulos rectángulos.
4.3.- Planteo y solución de problemas de índole práctico
Unidad 1:
EL LENGUAJE FORMAL DE LA MATEMATICA
La matemática exige en cualquiera de sus ramas un lenguaje claro y preciso. Estas
virtudes las proporciona la lógica matemática o simbólica, que da a cada expresión un
significado exacto y a cada símbolo una interpretación sin ambigüedades.
A continuación se presentan alguno de los símbolos más utilizados:
UTN - FRT
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2
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UTN - FRT
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3
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Actividades de aplicación
Te proponemos pasar las siguientes expresiones de la forma coloquial a la forma
simbólica y viceversa teniendo en cuenta los símbolos presentados y tus
conocimientos acerca del lenguaje de la matemática.
a).- Propiedad de cierre
Para todo número a y para todo número b, ambos pertenecientes al conjunto de los
números reales se cumple que su suma y su producto también pertenecen al conjunto
de los números reales.
b)- Propiedad conmutativa
Para todo número a y para todo número b, pertenecientes al conjunto de los números
reales se cumple que tanto en la suma como en el producto si se conmuta el orden de
sus términos la igualdad no varía.
c)- Propiedad asociativa
• a, b, c Є R
• (a + b) + c = a + (b + c)
• (a . b) . c = a . (b . c)
d) - Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición
• a, b, c Є R
• (b + c) = a . b + a . c
e) - Propiedad del elemento neutro:
La adición tiene un elemento neutro que es el cero y el neutro de la multiplicación es el
1
• 0ЄR/aЄR:a+0=a
• 1ЄR/aЄR:a.1=a
Unidad 2:
CONJUNTOS NUMÉRICOS. EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES
Números naturales
Los primeros números utilizados fueron 1, 2, 3, 4,...
Estos números forman un conjunto infinito al que se denomina naturales y se denota
por N cuando no contiene el cero y N0 cuando si lo contiene.
En los naturales se definen dos operaciones básicas: adición y multiplicación, las
cuales se representan por “+” y “.” respectivamente.
Las operaciones inversas de la adición y la multiplicación son la sustracción y la
división, las cuales se representan por “-“ y “:”, respectivamente.
La sustracción a - b es posible en el conjunto de los naturales siempre que a>b.
En la división ocurre algo parecido, a:b Є N siempre que a sea múltiplo de b y b ≠ 0.
UTN - FRT
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Propiedades del conjunto de Naturales:
• Todo número natural tiene un sucesor y un siguiente
• El conjunto N tiene primer elemento y no tiene último
• El conjunto N es discreto, es decir, que entre dos números naturales existe un
conjunto finito de números.
Números enteros
Para poder resolver a-b cuando a < b se crearon los números negativos (-1, -2, -3,..).
El conjunto de los números naturales, el cero y los números negativos forman el
conjunto de los enteros, que se designan por Z.
En Z tienen sentido la adición, sustracción y multiplicación; para la división se debe
cumplir el mismo requisito que en los números naturales, a debe ser múltiplo de b y b
debe ser distinto de cero.
Propiedades del conjunto de Números Enteros
• Z es un conjunto infinito
• Cada número entero tiene un único antecesor y un único sucesor
• Z es un conjunto discreto.
• A cada número entero le corresponde un único punto en la recta numérica
Números racionales
Para poder resolver la situación a:b cuando a no es múltiplo de b se crea el conjunto
de los números fraccionarios.
La unión de los números naturales, enteros y fraccionarios forma el conjunto de los
racionales, los cuales se representan como Q.
Un número es racional si puede expresarse como la razón de dos números a/b donde
a Є Z y b Є N.
En este conjunto quedan definidas la adición, la sustracción, la multiplicación y la
división.
Para el caso de la división se conserva la exigencia de que b sea distinto de cero.
Propiedades del conjunto de racionales:
• Q es un conjunto infinito
• A cada número racional le corresponde un único punto en la recta numérica
• Es un conjunto denso, entre dos números racionales existe un conjunto infinito de
números.
Números irracionales
Los números que no pueden expresarse como la razón de otros dos números, forman
el conjunto de los números irracionales, representados como I. Los números
irracionales son aquellos que pueden escribirse como una expresión decimal de
infinitas cifras decimales no periódicos.
Por ejemplo: 2 = 1,4142...
π = 3,1415926535897.......
UTN - FRT
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Números reales
El conjunto de los números racionales e irracionales constituyen el conjunto de los
números reales que se designa por R.
Los números reales cubren toda la recta. A todo número real le corresponde un punto
de la recta y todo punto de la recta representa un número real.
Resumiendo:
Operaciones con números reales. Propiedades
En R, como ya se mencionó, se definen dos operaciones básicas, la adición (+) y la
multiplicación (.); estas tienen, entre otras, las siguientes propiedades:
1).- Son operaciones conmutativas
Para todo a, b Є R
• a+b=b+a
• a.b=b.a
2).- Son asociativas
Para todo a, b, c Є R
• (a + b) + c = a + (b + c)
• (a . b) . c = a . (b . c)
3).-La multiplicación es distributiva con respecto a la adición
Para todo a, b, c Є R
• (b + c) = a . b + a . c
4).-La adición tiene un elemento neutro que es el cero y el neutro de la multiplicación
es el 1
• Э 0 Є R / Para todo a Є R : a + 0 = a
• Э 1 Є R / Para todo a Є R : a x 1 = a
UTN - FRT
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Actividades de aplicación:
1).- Determinar si las siguientes expresiones son V o F
•
•
•
•
•
•
•
•
ZCN
-7 є Z
RCQ
QCR
¼єZ
Algunos números fraccionarios son racionales
2 es un número irracional
1/3 es un número irracional
2).-Completar
• La resta en los números enteros existe...........................
• La resta ................................ con la propiedad conmutativa y asociativa
• El opuesto de a es ........................
• El inverso de a es ............................
• En una división a : b, b ............................... igual a cero
• El neutro en la suma es .....................................
• La multiplicación es conmutativa respecto a …………………………..
3).- Escribir:
• 4 números racionales comprendidos entre 4/7 y 5/7
• 3 números racionales comprendidos entre 2/5 y 3/4
• 5 números racionales comprendidos entre 1/2 y 5/6
4).-Resolver las siguientes sumas y restas en Z
• [ 5+(3 – 2) ] - 6 =
• [ 3 – ( - 5) - [ 7- (-1)] =
• {[3- (2) ] + (-4)} – {(-1) + [(-4) + 1]} =
• {[ 3 – (-1) ] + [ (-5) + (-4)]} =
• 5 – { (-4) – [3 + (-8)] –4} + (0 – 2) =
5).- Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones en Z
• (-3) . [(5) : (3)] =
• {[(-3) . (12)] . (-4)} . (10) : [(-6) . (-5)] =
• {[4 . (-3)] . [(12) : (-12)] : {[(-5) : (6 – 1)] . (-1)} =
• [3 - 5 : (-1) + 0. (-3)] : [4 – 2 .(-5) – 10] =
• [-12 : 3 + 2 . (-8)] : ( -5+1) – 3 . (-2) =
• [(-2) . (-5) . (-4) + 20 : (-5)] : [(-2) + (-10) – (-3+2)] =
UTN - FRT
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6).-Resolver las siguientes sumas y restas en Q
7).-Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones en Q
UTN - FRT
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8).- Resolver las siguientes operaciones combinadas
Además de la adición, sustracción, multiplicación y división, en el conjunto de
los reales se definen también las operaciones de potenciación, radicación y
logaritmación.
UTN - FRT
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Potenciación
Elevar un número entero a una potencia n, con n Є N, es multiplicarlo tantas
veces por sí mismo como unidades tiene n. a n = b a: base; n: exponente, b:
potencia
Para todo número no nulo se verifica que:
a 0 = 1, a -n = 1/a n
Regla de los signos
Actividades de aplicación:
1).-Resolver las siguientes potencias
UTN - FRT
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2).- Resolver aplicando la propiedad correspondiente
Radicación
La raíz enésima de un número a es otro número b que elevado a la potencia n, donde
n ∈ N, da por resultado el número a :
Regla de los signos
Propiedades de la radicación
1) Distributiva con respecto al producto y el cociente
Esto es válido siempre que las raíces sean posibles
UTN - FRT
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2) Raíz de otra raíz
3) Si el índice y el exponente de un radical de base positiva se multiplica o divide por
un mismo número, la raíz no varía.
4) Si p y q son N y a es un real positivo, se definen las potencias de exponentes β = q /
p y -β = - q / p por medio de las siguientes fórmulas:
Actividades de aplicación:
1).- Resolver las siguientes raíces
2).-Resolver aplicando la propiedad correspondiente:
UTN - FRT
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3).-Resolver las siguientes operaciones combinadas
UTN - FRT
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Actividades de aplicación:
1).- Calcular los siguientes logaritmos aplicando la definición
UTN - FRT
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2).-Calcular aplicando las propiedades de la logaritmación
3).-Sabiendo que log2 5 = 2.3, resolver aplicando las
propiedades
4).-Sabiendo que loga x = 3 y que loga y = 1,2; calcular
5).-Determinar si las siguientes expresiones son V o F y justifique
m- El producto de un real positivo y otro negativo es un número negativo
n- 1 es el elemento neutro de la suma
o- El orden de los factores no altera el producto
p- La potencia es una multiplicación abreviada de la base por sí
misma
UTN - FRT
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q- Toda potencia de exponente nulo es igual a la base r- La
radicación es distributiva con respecto a la suma y la
multiplicación
s- En la potencia, si el exponente es par el resultado es
siempre positivo
Representación geométrica de los reales
Como se mencionó anteriormente a todo número real le corresponde
un único punto en la recta, y a todo punto de la recta un único
número real, se estable así entre el conjunto de los reales y el
conjunto de puntos de una recta L una relación biunívoca.
Para la representación gráfica en una recta L, se elige en ella
un punto al que se le asigna el cero (origen) y se representan
positivos a la derecha y negativos a la izquierda.
Orden en los reales
Se dice que a es mayor de b y se indica a>b, si a-b es positivo.
Del mismo modo, a es menor que b y anotamos a<b, si a-b es
negativo.
Dados a y b dos números reales cualesquiera, se ve fácilmente
que una y sólo una de las siguientes afirmaciones es verdadera
a<b
a=b
a>b
Dados
a
y
b
dos
números
reales;
el
hecho
que
a<b,
geométricamente significa que el punto P correspondiente al
número real a está a la izquierda del punto Q correspondiente al
número real b.
UTN - FRT
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1).- Completar las siguientes afirmaciones:
a- Si a ≠ b, los puntos representativos de a y b en la recta
numérica........................................................
b- -2 Se encuentra a ................................ de cero
c- 3 se encuentra a ................................. de cero
d- 1/7 se encuentra a la ...........................de 2/8
e- Entre dos números reales negativos es mayor..................
2).-Colocar <, > ó = entre los siguientes números y
representarlos en la recta
a- 1/8 .... 2/7
b- 1/4 .... 7/9
c- -2/5 .... -1/2
d- -205 .... 0
e- 3/4 .... 6/8
f- -1/4 .... –3/12
3).-Ordenar los siguientes números de menor a mayor y ubicarlos
en la recta numérica
4/5,-2, 0/3, -2/3,3/4, 2/7, 6/7, 0, 4, 4/2, 3, -5
UTN - FRT
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Unidad 3:
ECUACIONES
En el conjunto de las expresiones algebraicas, una igualdad
entre ellas es una relación de equivalencia.
Si dicha igualdad se satisface para cualquier valor asignado a
sus letras, se llama identidad, y si solo se satisface para
algún valor x (valor asignado a sus letras), se llama ecuación.
Identidad
Igualdad
Ecuación
Ejemplo de identidad
(x+y)2 = x2 + 2xy + y2
(3+5)2 = 32 + 2.3.5 + 52
82 = 9 + 30 + 25
64 = 64
Se verifica para cualquier valor de x e y.
Ejemplo de ecuación
x – 2 = 3x – 12
5 – 2 = 3.5 – 12
3 = 15 – 12
3=3
Solo se satisface la igualdad cuando x = 5.
Clasificación de las ecuaciones
Las ecuaciones se clasifican en enteras, fraccionarias e
irracionales
a) Una ecuación es entera cuando las variables o incógnitas
están sometidas a las operaciones de suma, resta y producto, por
ej.:
3x + 2 = 5x – 8
b) Una ecuación es fraccionaria cuando sus incógnitas, o por lo
menos una de ellas se halla en el denominador, por ej.:
3/x + 2 = 5x – 3
UTN - FRT
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c) Una ecuación es irracional cuando una incógnita figura bajo
el signo radical, por ej.:
√x+3=x–2
Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Se llama ecuación de primer grado con una incógnita a aquella en que la incógnita
está elevada a la primera potencia.
Para resolver este tipo de ecuaciones se despeja dejando la incógnita en un miembro
y los términos independientes en el otro miembro, aplicando todas las propiedades.
Si la ecuación tiene más de un término con incógnitas, para resolver se agrupan los
términos independientes en un miembro y los miembros que poseen incógnitas en el
otro.
Por ejemplo:
UTN - FRT
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19
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Actividades de aplicación:
1).- ¿Cómo se clasifican las ecuaciones?
2).- Resolver las siguientes ecuaciones
3) Plantear y resolver las siguientes situaciones problemáticas
a- Juan dentro de 12 años cumplirá 48 años. ¿Cuál es la edad de Juan?
b- El duplo de un número aumentado en 12 unidades da como resultado 30.
¿Cuál es dicho número?
c- La suma de dos números consecutivos da como resultado el cuadrado de 5.
¿Cuáles son dichos números?
d- Pablo llevó en sus vacaciones $1.700; esta cantidad representa 5 veces su
ganancia semanal más $120 que tenía ahorrados. ¿Cuánto gana por semana?
e-La diferencia de altura entre dos edificios es de 12 pisos y la suma de los mismos es
de 32. ¿Cuántos pisos tienen cada uno?
f- Laura es 17 años mayor que Pablo y la suma de sus edades es 75 años. ¿Qué edad
tiene cada uno?
g- El duplo de un número disminuido en 2 unidades nos da como resultado dicho
número aumentado en 2 unidades. ¿Cuál es dicho número?
UTN - FRT
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Función lineal
UTN - FRT
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Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Las ecuaciones que tienen la forma ax + b - y = 0 son ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas.
Como esta ecuación corresponde a una función lineal, su gráfico en el plano es una
recta.
Una vez obtenida la representación gráfica, esta permite conocer los pares de valores
que satisfacen la ecuación.
Por ejemplo, dada la ecuación y = 2x + 3
La representación gráfica es:
De acuerdo al gráfico de la ecuación, es posible determinar que algunos de los pares
de valores que satisfacen la ecuación son (0;3), (1;5), (2;7), (3;9).
Actividades de aplicación:
1).- Graficar las siguientes funciones lineales
UTN - FRT
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Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas cada una, que deben admitir
simultáneamente las mismas raíces, forman un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas. Por ejemplo:
De acuerdo a las soluciones, el sistema puede ser:
• Compatible: El sistema solo tiene una solución que satisface la ecuación
• Incompatible: No hay pares que sean solución del sistema
• Indeterminado: Hay más de una solución al sistema que satisface la ecuación
Cuando distintos sistemas de ecuaciones admiten las mismas soluciones, decimos
que estos sistemas son equivalentes.
Para la resolución de este tipo de sistemas de ecuaciones existen distintos métodos:
- Sustitución
- Igualación
- Reducción por suma o resta
- Gráfico
- Determinantes
UTN - FRT
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En este trabajo, solo se considerarán el método de determinantes y el de sustitución,
sin embargo es importante recordar:
No importa el método empleado para resolver el sistema de ecuaciones, las
raíces o soluciones deben ser siempre las mismas.
Método de determinantes
Para utilizar este método, primero vamos a definir lo que es un determinante de una
matriz de segundo orden.
La matriz de segundo orden está formada por cuatro números, que sus elementos son
cuatro números dispuestos de la siguiente manera:
Siendo las líneas horizontales a, b y c, d las filas y las líneas verticales a, c y b, d las
columnas. De acuerdo con la cantidad de filas y columnas se calcula el determinante,
que es un número real obtenido de la diferencia entre el producto de los elementos de
una diagonal (a.d) y el producto de los elementos de la otra diagonal (b.c). Es decir:
Sabiendo, elementalmente lo que es un determinante y cómo se opera con el, con
este método se hallarán los valores de las raíces de un sistema de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas.
Por ejemplo, dado el sistema:
Cada incógnita es igual a un cociente entre determinantes. El denominador es el
determinante formado por los coeficientes de las incógnitas de las ecuaciones, y el
numerador es el determinante formado por el anterior, en el que se ha reemplazado la
columna de los coeficientes de la incógnita que se calcula por los términos
independientes.
UTN - FRT
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Por último, se halla cada uno de los determinantes.
Cálculo de x:
Si se desea, una vez obtenidas las raíces, puede verificarse las ecuaciones. Para esto
se reemplaza cada variable por su correspondiente valor y se comprueba que se
verifique la igualdad en ambas ecuaciones.
Método de sustitución
Trabajaremos con el mismo sistema de ecuaciones:
Para resolver el sistema por este método, se debe despejar en cualquiera de las
ecuaciones una de las variables, si despejamos x en la ecuación (1) obtenemos:
Luego reemplazamos en la ecuación (2) el valor de x obtenido, entonces
UTN - FRT
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25
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Al tener solo la variable en la ecuación (2), podemos despejar y conocer el valor
Reemplazamos el valor de y en la ecuación (1)
x = 7/3 + 2/3 . (–2) x = 1
Solución del sistema S = {(1,2)}
Actividades de aplicación:
1).- Resolver por
UTN - FRT
ambos métodos:
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26
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2).-¿Cuándo un sistema de ecuaciones es compatible, incompatible e indeterminado?
3).- Explicar que son sistemas de ecuaciones equivalentes. Dar al menos 2 ejemplos.
4).- Plantee y encuentre la solución de las siguientes situaciones problemáticas
a- Hallar 2 números naturales tales que su suma es 8 y su diferencia es 4.
b- La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los
números
c- Hallar 2 números tales que su suma sea 17 y que uno de ellos más el consecutivo
del doble del otro es 27.
d- El triple de un número es igual a otro número aumentado en 5 unidades. La
diferencia entre ambos es de 3 unidades. ¿De qué números estamos hablando?
e- Ariel tiene 14 años menos que Emiliano y ambas edades suman 56 años. ¿Qué
edad tiene cada uno?
La función de segundo grado
La función de segundo grado o cuadrática tiene la forma:
UTN - FRT
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27
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Este tipo de ecuaciones corresponden a funciones cuadráticas donde y es igual a cero
Tienen la forma: ax2 + bx + c = 0, donde a debe ser distinto a cero, ya que de otra
forma el término cuadrático desaparecería y la ecuación se transformaría en una
ecuación lineal.
Cuando en la ecuación de segundo grado aparecen los tres términos, se trata de una
ecuación de segundo grado completa; cuando en la ecuación falta el término lineal o el
término independiente, se trata de una ecuación de segundo grado incompleta.
Resolución de una ecuación de segundo grado.
Resolver este tipo de ecuaciones implica conocer los valores de x que hacen cero la
expresión; es decir, lo que se busca son las raíces del polinomio. Para poder resolver
la situación, se utiliza la siguiente fórmula para el cálculo de la incógnita:
UTN - FRT
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28
[Escribir texto]
2).- Plantear y resolver las siguientes situaciones problemáticas
a- Calcular un número de dos cifras que multiplicadas por su consecutivo es igual a los
cuatro tercios del cuadrado de dicho número menos 216.
b- Calcular un número tal que la suma entre dicho número y la mitad de su cuadrado
es igual a 60.
c- Calcular “x” tal que la diferencia entre la cuarta parte del cuadrado de su antecesor y
la quinta parte de “X” de 3.
d- Calcular un número tal que el producto entre la mitad de dicho número y su cuarta
parte, mas la tercera parte de su antecesor sea igual a 37.
e- Calcular la edad de Lorena si sabemos que el cuadrado de su edad menos las tres
cuartas partes del cuadrado de lo que va a tener el año que viene es igual a la edad
que tenía el año pasado mas 43 años.
Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad entre dos miembros en los cuales hay por lo
menos un dato desconocido.
Resolver una inecuación implica hallar el o los valores de la incógnita que verifica
dicha desigualdad.
Al resolver una inecuación se encuentra un conjunto de valores que la verifican; este
conjunto se llama conjunto solución.
Las inecuaciones se resuelven de manera similar a las ecuaciones, la única diferencia
es que no se utiliza el signo igual (=), sino los signos mayor o menor (><).
Actividades de aplicación:
1).- Resolver y representar el conjunto solución en la recta numérica:
UTN - FRT
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29
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Unidad 4:
Funciones Trigonométricas
Desde Thales a las funciones Trigonométricas
Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo
rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil
interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que
tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los
catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda)
La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos, dividir el cateto opuesto
por la hipotenusa.
Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo. Este hecho es importante ya
que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la
propiedad de unicidad y la propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre
un único valor (razón) relacionado con una determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo tanto
se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica.
Funciones Trigonométricas
Si dividimos
Si dividimos
UTN - FRT
llamaremos a esta función seno.
llamaremos a esta función Coseno
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30
[Escribir texto]
Si dividimos
llamaremos a esta función Tangente.
Si dividimos
llamaremos a esta función Cosecante.
Si dividimos
llamaremos a esta función Secante.
Si dividimos
llamaremos a esta función Cotangente.
La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y secante, y
tangente con cotangente.
Para calcular el valor de las funciones trigonométricas sencillamente escribes el valor
del ángulo en la calculadora y tecleas la función correspondiente y en la pantalla
saldrá el valor buscado.
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen
cada 360º. De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5
Grafiquemos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores angulares
desde 0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a intervalos de 45º:
Función Seno:
sen
α
α
0
0
45 0,71
90
1
135 0,71
180 0
225
0,71
270 -1
315
0,71
360 0
UTN - FRT
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31
[Escribir texto]
Función Coseno:
Cos
α
α
0
1
45 0,71
90
0
135 -0,71
180 -1
225 0,71
270 0
315 0,71
360
1
Función Tangente:
α tg α
0
0
45
1
90 ////
135 - 1
180 0
225 1
270 ////
315 - 1
360
0
//// Significa que no se puede calcular el valor de la función, el resultado no existe
(asíntota).
Función Secante
sec
α
α
0
1
45 1,41
90 ////
135
1,41
180 -1
225 1,41
270 ////
315 1,41
360
UTN - FRT
1
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32
[Escribir texto]
Función Cosecante:
Cosec
α
α
0
////
45 1,41
90
1
135 1,41
180 ////
225 - 1,41
270
-1
315 - 1,41
360
////
Función Cotangente:
Cotg
α
α
0
////
45
-1
90
0
135
1
180
////
225
-1
270
0
315
////
360
-1
Sistema Circular de Medición de Ángulos:
El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a la
circunferencia en seis partes de 60º cada una, obteniendo un
giro completo de 360º. Cuando se quiso utilizar este sistema
en física, para poder calcular el camino desarrollado por
alguna partícula en trayectoria circular, se encontraron que el
sistema sexagesimal no los ayudaba pues, matemáticamente,
no está relacionado con el arco que describe el cuerpo al
moverse. De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el sistema circular, donde
la medida del ángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia. En
este sistema un ángulo llano (al dividir el arco por el radio) mide 3,14 (que es el valor
aproximado de ""). De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dos
ángulos llanos) mide 2.
180º = π ó 360º = 2π
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En este caso la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales de 90º (π  )
cada una, que va desde 0º hasta 360º (2π), a las que se denomina cuadrantes:
1er cuadrante: 0º a 90º
2do cuadrante: 90º a 180º
3 er cuadrante: 180º a 270º
4to cuadrante: 270 a 360º
Funciones Trigonométricas de ángulos complementarios
Podemos desarrollas las funciones trigonométricas de ángulos complementarios
mediante triángulos rectángulos, ya que los ángulos que no son rectos son
complementarios entre si: α + β = 90º ⇒ β = 90º − α
.
tg (90 − α) = cotg α
cotg (90 − α) = tg α
sec (90 − α) = cosec α
cosec (90 − α) = sec α
Las funciones trigonométricas de los ángulos complementarios son opuestas. En caso
de los ángulos de (90º − α) los ángulos caen en el primer cuadrante y los signos son
todos positivos.
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Funciones trigonométricas de ángulos suplementarios
Los ángulos suplementarios suman entre si 180º : α + β = 180º ⇒ β = 180º − α
En este caso las funciones quedan iguales sólo cambia el signo según el cuadrante
que caiga: sen (180º − α) = sen α
Signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante:
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así
que lo denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo
llamaremos "y". La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos
"r".
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Ya que "x", "y", "r", son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el
primer cuadrante son positivas.
sen
+
cosec
tg
+
+
Cotg cos sec
+
+
+
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x,
mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y. El radio (la
hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la
tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen
+
cosec tg
+
−
cotg cos sec
−
−
−
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus
signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la
tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (− : − = +)
sen
−
cosec tg
−
+
cotg cos sec
+
−
−
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las
x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso,
las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
−
−
−
−
+
+
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Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres
cuadros sinópticos:
cuadrantes
II
I
III IV
sen - cosec
+
+
−
−
cos - sec
+
−
+
−
tg - cotg
−
+
+
−
Actividades de aplicación: Trigonometría. Ejercicios
1 Ex p r e s a e n gr a d o s s e x a g e s im a l e s l o s s i g u i e n t e s á n g u l o s :
• 3 rad
• 2 π/ 5 r a d .
• 3 π/ 1 0 r a d.
2 Ex p r e s a e n r a d i a n e s l o s s i g u i e n t e s á n g u l o s :
• 316°
• 10°
• 127º
3 Sa b i e n d o q u e c o s α = ¼ , y q u e 2 7 0 º < α <3 6 0 °. C a l c u l a r l a s
r e s t a n t e s r a z o n e s t r i g o n om é t r i c a s d e l á n g u l o α .
4 S a b i e n d o q u e t g α = 2 , y q u e 1 8 0 º < α < 2 7 0 °. C a l c u l a r l a s
r e s t a n t e s r a z o n e s t r i g o n om é t r i c a s d e l á n g u l o α .
5 Sabiendo que sec α = 2, 0< α <
r a z o n e s t r i g o n om é t ri c a s .
/2, calcular las restantes
6 Calcula las razones de los siguientes ángulos:
• 225°
• 330°
• 2655°
• −840º
7 C om p r o b a r l a s i d e n t i d a d e s :
•
•
•
•
•
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8 D e u n t r i á n g u l o r ec t á n g u l o A B C , s e co n o c e n a = 5 m y B = 4 1 . 7 °.
Resolver el triángulo
9 D e u n t r i á n g u l o r ec t á n g u l o A B C , s e co n o c e n b = 3 m y B = 5 4 . 6 °.
Resolver el triángulo.
10 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m.
Resolver el triángulo.
11 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m.
Resolver el triángulo.
1 2 U n á r b o l d e 5 0 m d e a l t o pr o ye c t a u n a s o m b r a d e 6 0 m d e l a r g a.
E n c o n t r a r e l á n g u l o d e e l e v a c i ó n d e l s o l e n e s e m om e nt o .
1 3 U n d i r i g i b l e q u e e s t á v o l a n d o a 8 00 m d e a l t ur a , d i s t i n g u e un
p u e b l o c o n u n á n g u l o d e d e p r e s i ó n d e 1 2 °. ¿ A q u é d i s t a n c i a d e l
pueblo se halla?
1 4 H a l l a r e l r a d i o d e u n a c i r c u n f e r e n c ia s a b i e n d o q u e u n a c u e r d a
d e 2 4 . 6 m t i e n e c om o a r c o c o r r e s p o n d i en t e u n o d e 7 0 °
1 5 C a l c u l a r e l á r e a d e u n a p a r c e l a t r i a ng u l a r , s a b i e n d o q u e d o s d e
s u s l a d o s m i d e n 8 0 m y 1 3 0 m , y f o rm a n e n t r e e l l o s u n á n g u l o d e
7 0 °.
16 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del
t e r r e n o s e o b s er v a s u c o p a b a j o un á n g u l o d e 3 0 ° y s i n o s
a c e r c am os 1 0 m , b a j o u n á n g u l o d e 6 0 °.
1 7 L a l o n g i t u d d e l l a d o d e u n o c t ó g o n o r e g u l a r e s 1 2 m . Ha l l a r l o s
r a d i o s d e l a c i r c u nf e r e n c i a i n s c r i t a y c i r c u n s c r it a .
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