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II.
TRIGONOMETRÍA
.m
om
A.
ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
Un ángulo es la abertura que existe ebtre dos líneas que se cortan.
x
La trigonometría se encarga del estudio de la medida de los triángulos, es decir de la
medida de sus ángulos y sus lados.
to
.c
Los ángulos positivos siempre se miden en el sentido opuesto de las manecillas del reloj, y
los negativos en el sentido de las manecillas.
lix
Para medir los ángulos se tienen dos tipos de unidades:
 Grados sexagesimales
 Radianes
grados
sexagesimales
radianes
1 velta  1 revolución  360  2
w
w
.c
a
la relación entre los grados y los radianes es la siguiente
w
cuando aparece el símbolo “pi” (π), quiere decir que el ángulo está en radianes.
Para realizar conversiones de radianes a grados y viceversa, nuestra relación que no
debemos olvidar es:
180   radianes
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180
1
180
Entonces, como tenemos 240° los multiplicamos por uno y no se altera:
240    240 4

 

1
 180  180 3
240 120 60 12 4





OJO: No utilizamos 180
pues:
180 90 45 9 3

2
24 0 24 4
240  180   grados 




18 0 18 3
1

  
es decir no se simplifican los grados
sexta
sexagesimales.
ó
5
 a grados
6
Ahora sí, usamos la relación
.c
b) Convertir
om
.m

1
Una cantidad dividida entre
ella misma resulta uno.

x
Ejemplos:
a) Convertir 240° a radianes
Primero observemos que:
180
 1 , pues como tenemos
to

(radianes), debemos dividir por π, es decir:
5
 , para eliminar π
6
180
.c
a
lix
 180  5  180 5  6  30
5
 

 150

6
6
6



5
  150
6
Ejercicios.- Convertir
a) 120°radianes
b) 135°radianes
15
 grados
6
12
 grados
e)
5
d)
w
c)
w
f) 560°radianes
g) 18°radianes
w
7
 grados
2
h) 70°radianes
i) 12.4radianesgrados
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x
B.
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Primero consideremos a los triángulos rectángulos (triángulos que tiene un ángulo recto, es
decir de 90°), en los cuales se cumple el ya conocido TEOREMA DE PITÁGORAS y las seis
funciones trigonométricas definidas de la siguiente forma:
cateto opuesto = a
cateto adyacente = b
para el ángulo β:
cateto opuesto = b
cateto adyacente =a
om
para el ángulo α:
.m
IDENTIFICA LAS
IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS EN
TU FORMULARIO
Como podrás ver para un ángulo de un triángulo rectángulo su cateto opuesto es el lado que
tiene enfrente de él.
cos( ) 
cateto adyacente b

hipotenusa
c
tan( ) 
cateto opuesto
a

cateto adyacente b
csc( ) 
hipotenusa
c

cateto opuesto a
to
cateto opuesto a

hipotenusa
c
sec( ) 
lix
sen( ) 
.c
TEOREMA DE PITÁGORAS: c2  a2  b2
cateto adyacente b

cateto opuesto
a
.c
a
cot( ) 
hipotenusa
c

cateto adyacente b
Recuerda tanto el teorema de Pitágoras como las seis funciones trigonométricas antes
mencionadas sólo sirven para triángulos rectángulos, y para triángulos que no son
rectángulos veremos más adelante dos leyes para resolverlos.
w
w
De las anteriores funciones trigonométricas podemos observar que seno y cosecante son
funciones recíprocas, es decir:
1
1
ó
sen( ) 
csc( ) 
csc( )
sen( )
w
Análogamente podemos decir:
1
1
tan( ) 
cot( ) 
ó
cot( )
tan( )
Y finalmente
1
1
ó
cos( ) 
sec( ) 
sec( )
cos( )
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.m
x
EJEMPLOS:
a) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo
om
Como se puede ver el triángulo es rectángulo, sin embargo el Teorema de Pitágoras no es
posible utilizarlo pues se desconocen dos valores “x” y “y”, entonces apliquemos por
ejemplo la función coseno para el ángulo C ya que según el triángulo anterior tenemos:
23 cateto adyacente

x
hipotenusa
Despejando a x
23
23
( x )cos(35)  23  x 

 28.07, x  28.07
cos(35) 0.8191
.c
cos(35) 
y
 (28.07)sen(35)  y  (28.07)(0.5735)  y  16.09
28.07
.c
a
sen(35) 
lix
to
Ahora para encontrar a y podemos aplicar el Teorema de Pitágoras o la función trigonométrica seno para el ángulo C, utilicemos la función seno primero:
y
cateto opuesto
sen(35) 

28.07
hipotenusa
Despejando a y
Bien, ahora encontremos el valor de y pero con el Teorema de Pitágoras.
28.072  232  y2
(Recuerda que no se conocían x ni y al inicio pero una vez
encontrado x ya se puede aplicar el teorema de Pitágoras)
w
787.9249  529  y2
787.9249  529  y2
w
258.9249  y  16.09  y
w
Finalmente para encontrar el ángulo D, tenemos C+D+90=180
La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo mide 180°
D = 180°–90°–35° , D= 55°
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Como podrás notar entre más datos se van obteniendo al resolver un triángulo es más fácil
ir encontrando el valor de las demás incógnitas
x
Recuerda:
om
.m
En tu calculadora
observa las teclas j, k y l las cuales tienen en su parte
superior a sus funciones inversas J, K y L respectivamente que funcionan de la
siguiente manera:
Si sen(30°) = 0.5 , entonces sen-1(0.5) = 30°
Si cos(45°)= 0.707106 , entonces cos-1(0.707106) = 45° , para que obtengas las inversa de
una función en tu calculador primero se teclea en la parte superior izquierda de ésta la tecla
inv o 2nd o una tecla de color naranja en algunos casos
.c
a
lix
to
.c
EJERCICIOS.Considera el siguiente triángulo rectángulo y contesta los incisos
a)
C = 34.7°
y=7
D= ?
x=?
z=?
b)
D = 58°
x = 98
C=?
y=?
z=?
y= 7
z=?
C=?
D=?
d)z=8
y= 16
x=?
C=?
D=?
w
w
w
c)x= 12
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Resuelve los siguientes problemas
om
.m
x
1.-Una torre de 40 metros de altura está situada en la orilla de un lago. Desde la punta de la
torre el ángulo de depresión de un objeto en la orilla opuesta del lago es de 30° ¿Cuál es el
ancho del lago?
lix
to
.c
2.-Encuentre la altura de un edificio si a 8.66 metros de su base, el ángulo entre el suelo y la
azotea del edificio es de 60°.
w
w
w
.c
a
3.-Un puente sobre un río tiene 200 metros de largo. Las dos secciones del puente rotan hacia arriba formando un ángulo de 30° para dar paso a los barcos. Un motociclista quiere
saltar de una sección a otra, él sabe que puede dar saltos hasta de 20 metros, ¿puede el
motociclista saltar de un lado al otro, sin peligro?
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C.
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
om
.m
x
Para resolver un triángulo que no es rectángulo, ya no nos sirve el Teorema de Pitágoras ni
las seis funciones trigonométricas que ya conocemos, ahora tenemos a la LEY DE LOS
SENOS y la LEY DE LOS COSENOS que dicen lo siguiente:
Observa que en el triángulo siguiente, el lado a se pone enfrente del ángulo A, enfrente del
lado b se pone el ángulo B y enfrente del lado c se pone el ángulo C.
a2  b2  c 2  2(b)(c )cos A
b2  a2  c 2  2(a)(c )cos B
to
a
b
c


sen A sen B sen C
LEYES DE LOS COSENOS
.c
LEYES DE LOS SENOS
sen A sen B sen C


a
b
c
lix
c 2  a2  b2  2(a)(b)cos C
Se necesita tener 2 ángulos y un lado ó 2 lados y
un ángulo
Se necesita tener dos lados y el ángulo entre
dichos ángulos o los tres lados.
.c
a
EJERCICIOS.- Resuelve los siguientes triángulos que no son rectángulos (ley de los senos y
ley de los cosenos):
(b) a = 16, b =13, B = 12°
(c) b = 11, c = 24, C = 41°
(d) a = 6, b = 8, c = 10
(e) a = 17, c = 20, B = 117°
(f) a = 13, b = 10, c = 25
w
w
w
(a) a = 8 , b= 5, A = 54°
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D.
ALGUNOS VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA
LOS ÁNGULOS DE 30°, 45° Y 60°
Como ya lo sabes en un triángulo rectángulo tenemos:
.m
x
lado más grande del triángulo
como hay un ángulo de 90°,
el triángulo se llama rectángulo
om
Ahora consideremos un triángulo isósceles cuyos lados midan 2 unidades (pudieran ser de
3,4,5,…, etc unidades)
.c
Recuerda: Para cualquier
triángulo, al sumar sus ángulos
interiores resulta 180°
to
Si lo dividimos a la mitad con una línea vertical obtenemos lo siguiente
lix
por el teorema de Pitágoras tenemos:
22  x 2  12
4  1  x2
3  x2
.c
a
3x
recordemos
nuestra
definición
de
seno
coseno
y
tangente
c.o.
c.a.
c.o.
, cos 
, tan 
( sen 
), entonces de nuestro triángulo rectángulo escribimos:
h
h
c.a.
w
w
w
Ahora
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sen30 
1  c.o.
2  hipotenusa
3  c.a.
2  hipotenusa
1  c.o.
tan30 
3  c.a.
cos30 
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θ
30°
60°
Seno
1
 0.5
2
3
 0.8660
2
1
 0.5
2
x
si de la misma manera encontramos el valor de las funciones trigonométricas pero para el
ángulo de 60° tenemos en resumen:
.m
3
 0.8660
2
1
 0.5773
Tangente
3  1.732
3
Para el ángulo de 45° se considera un cuadrado cuyos lados sean 1 y se divide a la mitad con
una diagonal, teniéndose nuevamente un triángulo rectángulo:
.c
a
lix
to
.c
om
Coseno
sen45 
x2  2
x 2
1  cateto opuesto
2  hipotenusa
cos45 
1  cateto adyacente
2  hipotenusa
tan45 
1  cateto opuesto
1  cateto adyacente
w
w
w
entonces:
por Pitágoras:
x 2  12  12
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En resumen:
Seno
Coseno
Tangente
45°
1
2
1
2
3
2
1
3
1
Además, con tu calculadora verifica que:
sen0  0
cos0  1
3
2
1
2
3
om
sen90  1
tan0  0
60°
x
30°
1
2
.m
θ
tan90  N.E. (no existe)
cos90  0
.c
a
lix
to
.c
E.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Una identidad trigonométrica es aquella en la que se puede tener cualquiera de las seis
razones trigonométricas, seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, y donde
su veracidad depende de quién la esté comprobando, para determinar si se cumple o no la
igualdad analizada utilizando identidades trigonométricas básicas que las puedes encontrar
en tu formulario y son:
Elementales:
sen x
cos x
tan x 
cot x 
cos x
sen x
1
1
 csc x ó
 sen x
sen x
csc x
1
1
 cot x ó cot x 
tan x
tan x
1
1
 sec x ó
 cos x
cos x
sec x
w
w
Pitagóricas:
sen2 x  cos2 x  1
1  tan2 x  sec2 x
1  cot 2 x  csc2 x
w
Ejemplo: demostrar las siguientes identidades trigonométricas.
a) tan x  csc x  sec x
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Siempre se tiene que sustituir todas las
razones trigonométricas que aparecen en la
igualdad por senos y cosenos.
Aún no sabemos si la igualdad es cierta.
om
sen x
1 ? 1


cos x sen x cos x
.m
sen x
1
1
=
cos x sen x cos x
x
Es decir, tan x  csc x  sec x
1
1

cos x cos x
b) sen2 x  csc x  tan x  cos x
sen2 x  csc x  tan x cos x
1
sen x
y a tan x por
, es decir,
sen x
cos x
to
Primero sustituimos a csc x por
.c
Claramente la igualdad es “obvia”, por tanto la identidad está demostrada.
lix
sen2 x  1  sen x cos x


1  sen x  cos x 1
.c
a
sen 2 x  sen x   cos x 

sen x
cos x
sen x  sen x Igual que en ejemplo anterior es obvio que sen x  sen x
c) sen2 x  1  cos x 1  cos x 
w
En este caso ya todo tiene senos y cosenos, por tanto, de la identidad pitagórica
sen2 x  cos2 x  1 despejamos a sen2 x quedando: sen2 x  1  cos2 x
Sustituyendo en nuestra identidad:
?
w
w
sen2 x  1  cos x 1  cos x 
1  cos x 
2
?
 1  cos x 1  cos x 
esto es una diferncia de cuadrados
1  cos x 1  cos x   1  cos x 1  cos x  La igualdad es fácil de entender.
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