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Álgebra I
2do. Cuatrimestre
2013
Práctico Nº 1
Números Complejos
1. Determinar si los números siguientes son complejos, ó imaginario puro ó real. En todos los
casos indicar sus partes real: Re(z) e imaginaria: Im(z).
3
a) 2  3i
b) -3,4
c) 5
d) -4i
e)
f) 3  2
2
2
g) 5 i
h) i  1
j) i 9
k)  2  i 8
l)  1  0 ,5 i m) 1  i 7
3
2. Efectuar la operación y expresar el resultado en forma binómica a+bi, con a y b números
reales:

e) 
a) 5  6 i    7  2 i 
d)
6 2


 
b) 8   18  4  3 2i
g) 3   2  7   8

 10

2
h)  3  6i  2  4i  3  2i 
j) 1  2i   1  2i 
2
2
k) 1  2i   1  2i 
ll) i 3
m)
2
2
4
4  5i
4
i
2i

ñ)
3  2i 3  8i
q)

o)
i 49  5  3 i    3  3 i 
 1  i 4
r)
c) 8  i i  4  i i
f) 6  2i   2  3i 
i) 4  5i 
2
1
l) i
n)
2i
2i

1
ni
n 1
p) i11 i 8
1  i 4  4 i 2
2 i 7
s) i 1  i  
2  i 2
2  i 
3. I) Representar gráficamente los siguientes números complejos y también el opuesto,
el conjugado y el conjugado del opuesto de cada uno:
a) 5  i
b) 2i
c) -4
d)  2  3i
II)¿Qué relación geométrica tienen con respecto a z los números  z , z y  z ?
4. Demostrar las siguientes propiedades de los números complejos, siendo z  a  bi y
w  c  di números complejos cualesquiera con a, b, c y d reales:

2
a) z  z
b) z 2  z
e) z  z  z  R
f) z . w  z . w
c) z  w  z  w
2
z z
g)    h) z . z  z
 w w
d) z  w  z  w
i) z   z  iz  R
5. Resolver los siguientes problemas:
a) Un número complejo cuya parte real coincide con la parte imaginaria, tiene módulo 2.
¿Cuál es el número?
1
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b) La parte real es el doble de la parte imaginaria y la suma de tales partes es 6, ¿Cuál es el
complejo?
c) La suma de dos complejos conjugados es 18 y la diferencia es 4i, ¿cuáles son dichos
complejos?
d) El producto de un complejo con su conjugado es 80. Si la componente real es 4, ¿cuál es la
componente imaginaria?
6. Determinar el valor de x, para que z   3  2 i 3  x i  :
a) sea un número real.
b) sea un número imaginario puro.
c) tenga módulo igual a 8 2 .
z
7. Demostrar que: si z  0 , entonces z 1 
z
2
8. Representar los siguientes números complejos en el plano; expresarlos en forma
trigonométrica (o polar) y también exponencial, con 0    2 .
a) 1  i
b) 2i
d) 7
e) 
g) 
c)  4  4i
3 1
 i
2 2

2
2

i
2
2

2
2 

i
h)  3 2 i   
2 
 2
f)

i)
1 i
1 i

3  i  1  i 
9. Expresar los siguientes números complejos en la forma canónica (o binómica):



a) 4  cos  i sen 
4
4

b) 5 cis 
3
d) cos 300º  i sen 300º 
2
3 i 
e) e 4
4
3
7
i 
c) 8 e 4
f) 2cos 270º  i sen 270º 
10. Expresar en la forma trigonométrica z1 y z 2 para calcular z1 .z 2 y
z1
. Escribir el resultado
z2
de la operación en forma polar y en forma canónica.
a) z1  1  i
z2  1  i
b) z1  3i
z2  2 i
c) z1  4  4 3 i
z2  4 i
11. Resolver usando el teorema de De Moivre, expresar el resultado en forma polar y binómica.
Graficar el resultado en coordenadas polares con 0    2 y también en coordenadas
rectangulares.
 

 
a)  2  cos  isen 
3
3 
 
18



b) 4 cos  i sen 
4
4

26
2
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
c) 1  i 
d) 1  3 i
12

3 i 
e) 1  2 


12

5

2
2 
f)   2  2 i 


15
12. Representar gráficamente el conjunto de números complejos z tales que:
a) z  a  bi con a  0
b) z  a  bi con b  0
c) z  1
e) z  1
f) 3  z  5
g) z  r cis  con  
h) z  r cis 
con

3

,r R
6
2
i) z  z
d) z  2

,r R
4
j) z   z
13. Encontrar:
a) Las dos raíces cuadradas de la unidad. Graficar.
b) Las tres raíces cúbicas de i. Graficar.
c) Las cinco raíces quintas de -32. Graficar.
d) Si se encuentran las n raíces de la unidad, y se representan gráficamente, ¿qué figura
forman todas ellas?
14. Hallar todas las soluciones complejas de las siguientes ecuaciones:
1
i
b) i z  1  i 1  i 
z
e) z 4  4
f) z 6  64  0
i) z 2  z  1  0
j) z 2  z  1  0
m) z 3  216 1  2 z  2 z 2   0
a)
c)
3i
z i
3i

d) 1  i   z  i

g) z 2  1  3 i  0
k) z 2  z  4  0
h) z 3  i  1
l) z 3  3 z  0
15. Siendo z  r cis  , utilizar el ejercicio 3 para obtener una expresión polar de z y  z .
Verificar utilizando las propiedades de senos y cosenos.
16. Demostrar:
1
cis  
r
b) El Teorema 1 parte 2, sobre la forma trigonométrica de productos y cocientes de números
complejos.
a) Si z  0 y z  r cis  , entonces su inverso multiplicativo es z 1 
17. Explicar en términos de rotaciones, dilataciones y contracciones, qué efecto geométrico
produce sobre cualquier z  0 la multiplicación por el complejo:
i
a) i
b) 6
c) 1  i
d) 
3
3
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Para Física e Ingeniería Electrónica:
1. Un estudiante de ingeniería
electrónica se interesó en conocer el
funcionamiento de las computadoras en
cuanto a cómo pueden mostrar un reloj
de agujas en la pantalla. Investigando,
descubrió que el reloj podía ser
representado en el plano cartesiano y
que, para cada instante, la posición del
minutero representa un número
complejo.
Por ejemplo, suponiendo que la aguja
mide 1 (es decir, el módulo del número
es 1), 0 minutos representa al número i,
15 minutos representa al número 1, 30
minutos representa al número -i, y -1
representa 45 minutos.
a) ¿Por qué número complejo se debe multiplicar a i para pasar de 0 minutos a 15 minutos?
¿Y para pasar de 0 minutos 45 minutos?
b) ¿Cuántos minutos después de cero están representados por los números complejos
2
2
2
2

i y

i?
2
2
2
2
2. La impedancia compleja de un circuito eléctrico constituido por un resistor R, un
capacitador C y un inductor L conectados en serie está dada por la siguiente expresión:

1 
 , donde j equivale a la unidad imaginaria i, R, L y C son constantes
z  R  j   L 
 C 

positivas para un circuito dado, y  es una variable real y se le llama pulsación angular de
la señal aplicada:
a) Determine  >0 tal que Im (z) = 0. Físicamente, se dice que en este caso el circuito
se comporta como resistivo puro.
b) Determine  >0 tal que Im (z) > 0. Físicamente, se dice que en este caso el circuito s
comporta como inductivo.
c) Determine  >0 tal que Im (z) <0. Físicamente, se dice que en este caso el circuito s
comporta como capacitivo.
d) Determine  >0 tal que Re (z) = Im (z).
Nota: En electrónica se reemplaza la unidad imaginaria i por j, puesto que el símbolo i es
empleado para denotar intensidad de corriente.
3. Los ingenieros electricistas utilizan con frecuencia la forma trigonométrica de los
números complejos, para descubrir la intensidad de la corriente I, el voltaje V y la
resistencia R de circuitos eléctricos con corriente alterna. La resistencia es la oposición al
4
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paso de la corriente en un circuito. La relación entre esas tres cantidades es I 
V
.
R
Calcular en cada caso la cantidad desconocida:
a) Determinación de Voltaje
I  10 cis 35º 

R  3 cis  
9
b) Determinación de Resistencia
V  8 cis 5º 

I  115 cis  
4
c) Módulo de la Resistencia: el módulo de resistencia R representa la oposición total
al flujo de corriente en un circuito, y se mide en ohms. Calcular R , si R  14  13 i .
d) Voltaje real. La parte real de V representa el voltaje real entregado a un aparato
eléctrico, en volts. Calcule aproximadamente ese voltaje cuando:

I  4 cis
R  18 cis  78º 
2
5