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ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
520142
Primer Semestre
CAPITULO 5
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
1
Números Complejos
Definición: Números Complejos
Se define el conjunto de los números complejos, el cual se denota por C,
como el conjunto de pares ordenados z = (x, y), con x, y ∈ R. Se provee
a C de las siguientes operaciones binarias internas.
Adición (+):
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Multiplicación (·):
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
Estas operaciones tienen las siguientes propiedades:
2
Números Complejos
Propiedades de la adición:
∀z, z1 , z2 , z3 ∈ C, se tiene:
C1
Conmutatividad de la adición
z1 + z2 = z2 + z1
C2
Asociatividad de la adición
z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3
C3
Existencia del neutro aditivo
0 = (0, 0)
z+0=0+z =z
C4
Existencia del inverso aditivo
Para cada z = (x, y) ∈ C existe
−z = (−x, −y) ∈ C tal que
z + (−z) = −z + z = 0
3
Números Complejos
Propiedades de la multiplicación:
∀z, z1 , z2 , z3 ∈ C, se tiene:
C5
Conmutatividad de la multiplicación
z1 · z2 = z2 · z1
C6
Asociatividad de la multiplicación
z1 · (z2 · z3 ) = (z1 · z2 ) · z3
C7
Existencia del neutro multiplicativo
1 = (1, 0)
1 · z = (1, 0) · (x, y) = z
C8
Existencia del inverso multiplicativo
z −1 para todo z 6= 0
z · z −1 = 1
Además, se tiene:
C9
Distributividad de la multiplicación
con respecto a la adición
z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3
4
Números Complejos
Observaciones
El inverso multiplicativo de z = (x, y) 6= (0, 0) es
z
−1
−y
x
,
)
=( 2
x + y 2 x2 + y 2
w
Notación:
= wz −1 .
z
El neutro aditivo y el neutro multiplicativo son únicos.
El inverso aditivo y el inverso multiplicativo son únicos.
El neutro aditivo es absorvente: z · (0, 0) = (0, 0), ∀z ∈ C.
El conjunto C con sus operaciones (+) y (·) se denota (C, +, ·), y
constituye una estructura que se llama Cuerpo de los números
complejos.
5
Números Complejos
Observación.
El conjunto S = {(x, 0) : x ∈ R} corresponde a la recta
real, y las operaciones de C restringidas a S coinciden con la suma y
multiplicación de los números reales. Por esto identificamos S con R y el
complejo (x, 0) con el real x.
x = (x, 0),
Definiciones:
1 = (1, 0),
0 = (0, 0).
Dado z = (x, y) ∈ C.
Los números reales x e y se llaman Parte Real y Parte Imaginaria
de z, respectivamente. En este caso se escribe
Re(z) = x,
Im(z) = y.
Los números complejos z = (x, 0) se llaman complejos reales y
los números complejos z = (0, y) se llaman imaginarios puros.
El complejo, (0, 1) es la unidad imaginaria y se denota por i.
6
Números Complejos
Forma binómica o algebraica
Utilizando la unidad imaginaria i, el número complejo z = (x, y) se
puede escribir como
z = x + yi ,
la cual se llama forma binómica o algebraica de z.
Con esta notación las operaciones de adición y multiplicación de
números complejos se escriben como sigue:
(+) :
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
(·) :
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Además, para λ ∈ R y z = x + yi ∈ C se tiene:
λ · z = λx + (λy)i.
7
Números Complejos
Definición.
Se llama conjugado de un número complejo z = x + yi al
número complejo
z = x − yi
Propiedades.
Para z, w ∈ C se tiene:
Re(z) = Re(z), Im(z) = −Im(z).
z + z = 2Re(z),
z − z = 2iIm(z).
z · z = (Re(z))2 + (Im(z))2 ∈ R
z + w = z + w.
zw = z · w.
z = z ⇐⇒ z = x es un complejo real.
z = −z ⇐⇒ z = iy es un imaginario puro.
8
Números Complejos
Definición.
Se llama módulo de un número complejo z = x + yi al
número real no negativo
Propiedades.
p
|z| = x2 + y 2
Para z, w ∈ C se tiene:
|z| ≥ 0.
|z| = 0 si y sólo si z = 0.
|z + w| ≤ |z| + |w|.
z
|z|
,
|zw| = |z||w|,
=
w
|w|
Re(z) ≤ |z|,
z · z = |z|2 .
w 6= 0.
Im(z) ≤ |z|.
9
Números Complejos
Plano Complejo.
Todo número complejo z = x + iy se puede representar en el plano XY
por el punto (x, y).
Eje imaginario
z=(x,y)=x+iy
r=
|z|
y
De donde x = rcos(θ),
y = rsen(θ).
θ y r se llaman coordenadas polares
de (x, y).
θ
x
Eje real
10
Números Complejos
Forma Polar o trigonométrica de un número complejo.
Si r y θ son las coordenadas polares de z, entonces la forma polar de z
es
z = r(cos (θ) + isen (θ))
o, abreviadamente, z = r cis(θ)
z=r[cos(θ )+i sen( θ)]
r=
|z|
y=rsen( θ)
θ
x=rcos( θ)
r es el módulo de z (r = |z|),
θ se llama argumento de z y se
denota θ = arg(z).
z=r[cos(θ )−i sen( θ)]
11
Números Complejos
Forma Polar de un número complejo.
Observamos que r cis(θ) = r cis(θ + 2kπ), ∀k ∈ Z. Por lo que arg(z)
puede tomar una infinidad de valores:
arg(z) = θ + 2kπ,
k∈Z
Se llama Valor Principal del Argumento del número complejo z, y se
denota Arg(z), al valor del argumento que se encuentra en [−π, π].
Propiedad
Si r cis(θ) = d cis(α) con r 6= 0, entonces
r = d y ∃k ∈ Z tal que θ = α + 2kπ
12
Números Complejos
Forma Polar de un número complejo.

y 

Arctan


x







π





2






y Arg(z) =
Arctan
+π

x







π


−



2





y 


 Arctan
−π
x
si z ∈ I o IV cuadrante
si Re(z) = 0 e Im(z) > 0
si z ∈ II cuadrante
si Re(z) = 0 e Im(z) < 0
si z ∈ III cuadrante
13
Números Complejos
Ejemplo:
Para el número complejo z = −1 − i del III cuadrante, se tiene:
−1 3π
Arg(−1 − i) = Arctan
− π = Arctan(1) − π = −
.
−1
4
De esta forma:
3π
,
arg(−1 − i) = 2kπ −
4
y así
−1 − i =
√
2 cis(
k ∈ Z.
−3π
)
4
14
Números Complejos
Multiplicación y división en forma polar
Dados dos números complejos
z1 = r1 (cos (θ1 ) + isen (θ1 )) y
z2 = r2 (cos (θ2 ) + isen (θ2 )),
se tiene:
z1 · z2 = r1 r2 (cos (θ1 + θ2 ) + isen (θ1 + θ2 ))
z1
r1
= z1 · z2−1 = (cos (θ1 − θ2 ) + isen (θ1 − θ2 ))
z2
r2
Por inducción se puede demostrar que:
z1 · z2 · .. · zn = r1 · r2 · .. · rn cis
n
X
i=1
θi
!
15
Números Complejos
Definición. Potencias de números complejos.
Dado un número complejo z y un número natural n se define z n de
manera recursiva por:
z 0 = 1,
z n = z n−1 · z
Se define además: z −n = (z −1 )n .
Teorema.
Dado
z = |z|(cos (θ) + isen (θ)) ∈ C, se tiene:
(∀n ∈ Z)
z n = |z|n (cos (nθ) + isen (nθ))
16
Números Complejos
Observaciones:
El teorema anterior proporciona una fórmula simple para encontrar
potencias enteras de un número complejo.
Del teorema se sigue que
(r(cos (θ) + isen (θ)))n = r n (cos (nθ) + isen (nθ)),
n ∈ N.
En particular, si r = 1 entonces
(cos (θ) + isen (θ))n = cos (nθ) + isen (nθ),
n∈N
la cual se conoce como Teorema o Fórmula de De Moivre
17
Números Complejos
Definición. Raíces de números complejos.
Dado un número complejo z = |z| cis(θ) y un número natural n, se llama
raíz n-ésima de z a todo número complejo w tal que wn = z.
Si w = |w| cis(α), entonces
wn = z ⇐⇒ |w|n cis(nα) = |z| cis(θ).
De donde:
1
n
|w| = |z| ,
Teorema.
θ + 2kπ
α=
,
n
k ∈ Z.
Todo número complejo z = |z| cis(θ),
z 6= 0, tiene
1
n
exactamente n raíces n-ésimas distintas, con módulos |z| y argumentos
dados por:
θ + 2kπ
α=
, k ∈ {0, 1, ..., n − 1}.
n
18
Números Complejos
Observaciones:
Son particularmente importantes las raíces n-ésimas de la unidad,
esto es, las raíces de z = 1. De acuerdo al teorema, con |z| = 1 y
θ = 0, las n raíces de la unidad son:
wk = cis
2kπ n
,
k ∈ {0, 1, ..., n − 1} .
Notar que una de estas raíces es 1 y que todas ellas se ubican
sobre la circunferencia unitaria.
Sean u1 , u2 , ..., un las n raíces de la unidad, y sea w una raíz
n-ésima cualquiera de un número complejo z. Entonces, las raíces
de z están dadas por
wu1 , wu2 , ..., wun
19
Números Complejos
Ejemplos:
Raíces quintas de la unidad
(cos(2π/5),sen(2π/5))
(cos(4π/5),sen(4π/5))
(1,0)
(cos(6π/5),sen(6π/5))
(cos(8π/5),sen(8π/5))
20
Números Complejos
Ejemplos:
Raíces sextas de la unidad
(cos(2π/3),sen(2π/3))
(−1,0)
(cos(4π/3),sen(4π/3))
(cos(π/3),sen(π/3))
(1,0)
(cos(5π/3),sen(5π/3))
21
Números Complejos
Raíces sextas de 2 + 2i
2+2i
8
(1/12)
cis(17π/24)
8 (1/12)cis(9π/24)
8 (1/12)cis(π/24)
8
(1/12)
cis(25π/24)
8
(1/12)
8
(1/12)
cis(41π/24)
cis(33π/24)
22
Números Complejos
Utilizando la definición de potencia entera m y la definición de raíz
n-ésima de z, se define la potencia racional m
n como sigue:
z
m
n
= |z|
m
n
cos
mθ + 2kmπ n
+ isen
mθ + 2kmπ n
o bien
wk = |z|
m
n
para todo k ∈ {0, 1, ...n − 1}.
cis
2kmπ +
,
n
n
mθ
23
Números Complejos
Forma exponencial
Usando la Fórmula de Euler:
eiθ = cos (θ) + isen (θ),
θ ∈ R.
Podemos expresar un número complejo z = r(cos (θ) + isen (θ)) como:
z = reiθ
Ésta se llama forma exponencial de z.
Gracias a los teoremas demostrados anteriormente, la forma exponencial
de un número complejo satisface las siguientes propiedades:
reiθ seiα = rsei(θ+α)
(reiθ )n = r n einθ
24
Números Complejos
Observaciones:
Utilizando la Fórmula de Euler tenemos que:
eiθ = cos (θ) + isen (θ)
e−iθ = cos (θ) − isen (θ)
Sumando y despejando cos(θ) obtenemos:
eiθ + e−iθ
cos (θ) =
2
Restando y despejando sen(θ) obtenemos:
eiθ − e−iθ
sen (θ) =
2i
25
Números Complejos
Ejemplo
r
Dado w = rcis(θ), calcule − w.
w
Solución
Sabemos que
1
w
w
1
= cis(−θ)
r
= r cis(−θ).
De aqui
r
− w = |cis(−θ) − r cis(−θ)|
w
= |1 − r|.
26
Números Complejos
Ejemplo
El número complejo 1 + 3i es una raíz cúbica de z. A partir de esto y
usando las raíces cúbicas de la unidad, obtenga las otras 2 raíces de z y
expréselas en forma binomial.
Solución
Se sabe que las raíces de un número complejo se pueden escribir como:
wk = w0 uk ,
donde uk es una raíz de la unidad. Por lo tanto, si tomamos w0 como
1 + 3i podemos obtener las otras raíces multiplicando por las raíces de la
unidad.
27
Números Complejos
En éste caso éstas son:
u0
= cis(0),
u1
= cis( 2π
3 ),
u2
= cis( 4π
3 ).
Calculando:
u0
= 1,
u1
=
u2
=
− 12
− 12
+
−
√
3
2 i,
√
3
2 i.
Luego las dos raíces restantes de z son:
√
√
√
1
1 3 3
3
3 3
(1 + 3i)(− +
i) = − −
+(
− )i
2
2
2
2
2
2
y
√
√
√
1 3 3
3
3 3
1
i) = − +
−(
+ )i.
(1 + 3i)(− −
2
2
2
2
2
2
28