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Unidad 5 Geometría analítica
Problemas métricos
Para hallar puntos que cumplen una determinada propiedad métrica, a veces es conveniente
transformar la ecuación de la recta a su forma paramétrica, así los puntos dependen solo del
parámetro t.
Veamos un ejemplo: Si queremos hallar los puntos de la recta r : x + y − 2 = 0 que distan
5
unidades de la recta s : 2x − y + 1 = 0 , escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta r:
r
Un vector director de r es: u =( − 1, 1)
Un punto de la recta es: (0, 2)
2
⎧ x = −t
r :⎨
⎩y = + t
Los puntos de la recta r son de la forma R ( − t ,
2
5
unidades:
5
5
1
1
3
1
2
2
2 4 3
a la recta s es de
+ t ). Sabemos que la distancia del punto R
5
5
⎧− t − =
⇒⎨
⎩ t+ =
3
1
3
2
1
2
2
5
⎧t = −
⎪
=
⇒ − t− =
⇒⎨
d ( R, s ) =
+
⎪⎩t =
Sustituyendo los dos valores de t en las ecuaciones paramétricas de r hallamos los dos
( −t ) − ( + t ) +
0
1 3
4 3
⎛
puntos de la recta r que cumplen la condición: R (2,0) y R' ⎜ − ,
⎝
⎞
⎟.
⎠
1. Halla la distancia y el ángulo entre estas dos rectas:
r:
{
x = 3+t
y = −1 + 2t
s:x +5 =
y
2
2. Calcula el valor de t para que la distancia entre los puntos P(2, −6t) y Q(0, 1) sea de
13 unidades.
3. Calcula las coordenadas del punto simétrico de Q(−1, 0) respecto de la bisectriz del primer cuadrante.
4. Halla la altura del lado BC en el triángulo de vértices: A(1, 1), B(0, −3), C(−1, 2).
5. Calcula la recta perpendicular a r por el punto Q en cada caso:
x = −4 + t
a) r :
y el punto Q(-3,3).
y = 3t
b) r : 4 x + y − 2 = 0 y el punto Q(0,0).
{
Unidad 5│Geometría analítica
Matemáticas I 1.º Bachillerato