Download Vectores en R 2 y en R 3 . Rectas y planos en el

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Vectores
Vectores en
en R
R222 yy en
en R
R333.. Rectas
Rectas yy planos
planos en
en el
el espacio
espacio
Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de
Matemática.
1. Dados los vectores a = (3, 1), b = (4, 6) y c = (0, 1) calcula las componentes del vector a+
½ b – 3c, su magnitud y dirección.
2. Halla las componentes de un vector v que tenga la magnitud

2
v
v
a) =3,  = 6 ; b) =6,  = 3 .
v
y la dirección  indicadas:
3. Halla el valor de x para que el vector u = ( 1/3, x) sea unitario.
4. (opt) Sean u  2i  3 j y v  i  2 j . Halla un versor en la dirección de a) 2u  3v ; b) 3u  8v
5. Dados los vectores u = (3, -1) y v = (-2, 2)
a) halla el módulo de los vectores u, v y u + v
b) enuncia la desigualdad triangular y verifícala con los vectores dados
6. Calcula la tensión de las cuerdas AB y BC, sabiendo que el cuerpo está en equilibrio.
7. En cada caso obtiene, si es posible, el vector x como combinación lineal de los vectores
v y u. Observa en el archivo COMBINACION LINEAL.GGB cómo se obtienen
gráficamente los vectores constituyentes.
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8. (opt) Sean u = (0, 1) y v = (1, -2). Expresa los vectores a = (3, 2) y
b = (-2, 1) como combinación lineal de u y v resolviendo gráfica y analíticamente.
9. (opt) Halla a.b sabiendo que a = (1, -2), que el módulo de b es 4 y que el ángulo entre ellos
es de 60º.
10. Dados los vectores u = (3, -1) y v = (-2, 2) halla: a) v.u, b) cos <v,u>.
11. (opt) Halla (3) vectores ortogonales al (-3, 1) tales que a) su primera componente sea 2,
b) su segunda componente sea 4, c) sea un vector unitario.
12. (opt) Halla las componentes de un vector sabiendo que forma un ángulo de 45º con
a = (-2, -2) y que es perpendicular a b = (3, 0)
13. Sean u  2i  5 j y v   i  2 j . Halla  tal que a)los vectores sean ortogonales; b) los
vectores sean paralelos; c) el ángulo entre los vectores sea
2
3
u
(opt) Sean u y v vectores de R2 que forman un ángulo de 45º entre ellos. Si el =1
¿cuál debe ser la longitud de v para que sea perpendicular a u - v ?
15. Sean los vectores a = (3, 2) y b = (2, 3). Halla la proyección de b en la dirección de a y
en la dirección ortogonal a a (proyecciones ortogonales). Comprueba que la suma de
estas proyecciones es el vector b.
16. a) Halla el valor de m para que los puntos A(1, 1), B(-4, 2) y C(m, 3) estén alineados.
b) (opt) Calcula
5
(2𝑢
⃗ − 3𝑣 ).(3𝑢
⃗ + 𝑣)sabiendoque𝑢
⃗ esunitario, ∣ 𝑣 ∣= 2𝑦𝑢
⃗ .𝑣 =
2
⃗⃗⃗⃗⃗ en la
17. Halla gráficamente la magnitud y la dirección de la proyección del vector AB
⃗⃗⃗⃗⃗ , siendo A(-1, 3), B(1, 2) y C(5, 4). Calcula analíticamente las
dirección del vectorAC
componentes de dicha proyección.
18. a)Representa en R3 los puntos P(0,0,2); R(3,1,3); S(1,0,2) y sus vectores posición.
b) Dibuja el vector posición del punto P(2,5,1) y sus componentes. Calcula su módulo y
los cosenos directores.
c) da las coordenadas de los vértices del paralelepípedo rectángulo limitado por los
planos coordenados y los planos x = 2, y = 3, z = 5. Halla además las longitudes de sus lados.
19. Demuestra la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos del espacio. Usala luego
para hallar la distancia entre los puntos P y Q siendo
a) P(3,-4,7) y Q(3,-4,9) b) P(-2,0,4) y Q(-1,0,5). Grafica.
20. Demuestra la fórmula para calcular las coordenadas del punto medio de un segmento
en relación a las coordenadas de los puntos extremos de dicho segmento. Usala luego
para determinar el punto medio del segmento AB donde A(1,2,3) y B(3,2,1)
21. a) Halla los valores de k tales que el punto (k,k,1) diste de (0,0,2) en 5.
b) Determina los puntos del eje Y que equidistan de P(3,2,0) y Q(2,-1,1).
22. Sean 𝑢
⃗ = 5𝑖̌ + 𝑘̌ , 𝑣 = 3𝑖̌ − 2𝑗̌ y 𝑤
⃗⃗ = −4𝑖̌ + 𝑗̌ + 𝑘̌ . Halla la proyección del vector 𝑢
⃗ en la
dirección del vector 𝑥 = 2𝑣 − 𝑤
⃗⃗ . Halla la proyección de 𝑥 = 2𝑣 − 𝑤
⃗⃗ en la dirección del
vector 𝑢
⃗.
23. Sean u  2i  j  k y v  i  2 j  k . Comprueba que el vector uv es ortogonal a u y a v
14.
y calcula el área del paralelogramo determinado por u y v .
24. Calcula el área del triángulo de vértices A(2,1,3), B(0,1,2) y C(1,1,1). Ídem para el
determinado por i  j ; j  k y i  k
25. Demuestra que el producto vectorial es nulo si y solo si los vectores operandos son
paralelos.
26. Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores u  i  j ,
v  3i  2k y w  7 j  3k
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27. Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores PQ, PR y PS , si
P(1,1,1), Q(-3,1,4), R(-2,1,2) y S(-3,-1,5)
28. Averigua los valores de  para los cuales los vectores siguientes son coplanares:
a) u  i   j  k , v  2i  j  2k y w  2i  j  k
b) u   i  k , v  i  j y w  i  2 j   k
29. Halla la ecuación vectorial paramétrica, cartesianas paramétricas y simétricas, si es
posible, de la recta que:
a) pasa por A(4,6,-7) y es paralela a u  5i  9 j  4k
b) pasa por los puntos R(1,2,1) y S(3,5,-2)
c) pasa por B(3,-5,6) y es paralela al eje X
d) pasa por C(4,3,-1) y es perpendicular al plano YZ
30. Halla la ecuación del plano que:
a) pasa por el punto (5,1,3) y es perpendicular a n  2i  3 j  4k
b) contiene a los puntos (3,5,2) ; (2,3,1) y (-1,1,4)
c) pasa por el punto (2,3,-5) y es paralelo al plano x + y - 4z = 1
d) pasa por el punto (3,6,12) y es perpendicular al eje Y
e) contiene a las rectas R: P=(1,-1,5)+t(1,1,-3) y S: P = (3,4,2)+t(-2,-2,6)
x 1 y 1 z  5


1
6
f) contiene a la recta R: P=(1,-1,5)+t(1,1,-3) y a la recta S: 2
g) pasa por el origen y contiene a la recta S del punto anterior
h) pasa por (8,-2,3) y es perpendicular a la recta R del punto f)
i) pasa por los puntos (2,-1,1) y (3,1,2) y es paralelo al eje Y
j) contiene a (3,4,-5) y es paralelo a los vectores (3,1,-1) y (1,-2,1)
31. Halla la ecuación cartesiana del plano que pasa por (1,2,-3) y es paralelo al plano dado
por la ecuación 3x – y + 3z = 4. ¿Cuál es la distancia entre los dos planos?
32. Halla el ángulo formado por los planos x + y = 1 , x + z = 2
33. Halla la ecuación del plano paralelo al dado por 2x-y+2z+4=0 sabiendo que el punto
(3,2,-1) equidista de ambos.
34. Indica cuáles de las siguientes rectas están contenidas o son paralelas al plano
3x – y + 4z = 2
x2
y
z 1


2 2
a) 2
b)
x 1 
y 1 z 1

1
1
c) x = 2 – t , y = 4 + t, z = -5t
35. Demuestra que la intersección de los planos 5x-3y+2z=5; 2x-y-z-1=0 está situada en el
plano 4x-3y+7z-7=0
36. Dados P(-1,2,3), Q(1,-1,1) R(2,1,-1) halla:
a) la recta que contiene al lado QR del triángulo PQR
b) la longitud de la mediana correspondiente al lado PR
c) la recta que contiene a la altura correspondiente al lado PQ
d) la ecuación de la mediatriz correspondiente al lado PR
37. ¿Para qué valores de A y D la recta x=3+4t, y=1-4t, z=-3+t está situada en el plano
Ax + 2y - 4z = D?
38. Halla una fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta del espacio. (Sug:
expresa el seno de un ángulo en función del módulo del producto cruz entre vectores).
Utiliza la fórmula para
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a)calcular la distancia entre P(2,3,6) y la recta que pasa por los puntos Q(-1,7,0) y R(3,5,-2)
b)calcular la distancia entre el punto P(3,7,9) y la recta a lo largo del vector v  2i  3 j  k , que pasa
por el origen.
39. Halla la ecuación vectorial de la recta que pasa por T(3,-1-4), está contenida en el plano
x2 z
y 1 

3
4
2x-y+z-3=0 y es perpendicular a la recta L:
40. Encuentra la ecuación del plano que pasa por el punto Q(1,2,-3) y es paralelo a la recta
L del ejercicio anterior y a la recta
-2x – y + 4z + 2 = 0
-3x + 5z – 6 = 0
41. Sean los vectores del espacio u   i  k y v  j   k donde  ,  son nmmeros reales
dados
a) halla la ecuación del plano determinado por los vectores u, v (es decir el plano determinado por el
origen de coordenadas y los extremos de dichos vectores)
b) sea w  su  r v donde s y r son escalares. Prueba que para cualquier elección de s y r el extremo
de w está en el plano determinado por u, v
42. Halla las ecuaciones canónicas de la recta que pasa por el punto M(2,-4,-1) y por el
punto medio del segmento de recta:
3x + 4y + 5z – 26 = 0
3x - 3y - 2z – 5 = 0
contenido entre los planos: 5x + 3y - 4z + 11 = 0 y 5x + 3y - 4z – 41 = 0
43. Sean los puntos A(1,-1,3), B (2,0,-4) y C(5,2,-3). Halla la ecuación vectorial de la recta
̄ en dos partes iguales y pasa por el punto A.
que divide a 𝐵𝐶
44. Halla la ecuación del plano л que pasa por P1(1,5,-2) y es perpendicular a los dos planos
siguientes
𝜋1 : 2x − 𝑦 + 2z = 9
𝜋2 : 𝑥 + 3y − 5z = −3
Halla la distancia del punto A al plano л
45.
Halla la posición relativa de las rectas R y S dadas por:
𝑦+3
a) 𝑅: 𝑥 =
b) 𝑅:
𝑥−2
2
2
=
𝑧
= 4 𝑆: 2x + 𝑦 − 𝑧 = 1; 2x + 3y − 2z = 3
𝑦−2
−1
=
𝑧+1
1
𝑆: 𝑥 − 2z = 4; 𝑥 − 3z = −1
c) 𝑅: 𝑥1 − 5t; 𝑦 = 2 + 3t; 𝑧 = −5 + 𝑡𝑆: 𝑥 = 1; 𝑦 = 1; 𝑧 = 𝑡
d) 𝑅:
46.
𝑥−1
−1
=
𝑦−1
2
=
𝑧−2
1
𝑆:
𝑥−4
4
=
𝑦−4
1
=
𝑧−5
2
Obtén el valor de a para que se corten las rectas
𝑅: 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 − 𝑎𝑆: −4x − 3y − 7 = 0; 𝑧 = 2y halla las coordenadas del punto de intersección.
47.
Sean los puntos A(1,-1,3), B (2,0,-4) y C(5,2,-3)
a) Halla las ecuaciones vectorial, cartesianas paramétricas y simétricas si es posible, de la recta que
̄ en dos partes iguales y pasa por el punto A.
divide 𝐵𝐶
b) Halla la ecuación del plano que pasa por P1(1,5,-2) y es perpendicular a los dos planos siguientes
𝜋1 : 2x − 𝑦 + 2z − 9 = 0
𝜋2 : 𝑥 + 3y − 5z + 3 = 0
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48. a) Halla el valor, o los valores, de k para que los vectores ⃗⃗⃗
𝑉1 = (1, 𝑘, 0); ⃗⃗⃗
𝑉2 = (1,1,1); ⃗⃗⃗
𝑉3 =
(0,1, −1)sean linealmente independientes.
⃗⃗⃗2
b) Halla el área del paralelogramo determinado por ⃗⃗⃗
𝑉3 𝑦𝑉
𝑥−4
𝑧−1
49. a) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta 𝐿: 3 = −𝑦 = 5 y es
perpendicular al plano 𝜋1 : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7
b) Calcula la distancia del punto 𝑃(−2,2,8)al plano.
⃗ 𝑦𝐶 vectores no nulos de ℜ3 . Decide si las siguientes proposiciones son V o F
50. Sean 𝐴, 𝐵
y justifica.
⃗
⃗ ) × 𝐶 𝑐) ∣ 𝐴 × 𝐵
⃗ ∣2 =∣ 𝐴 ∣2 . ∣ 𝐵
⃗ ∣2 − (𝐴.𝐵
⃗ )2
𝑎)𝐴 × (𝐵 × 𝐶 ) = (𝐴 × 𝐵
⃗ < 0 ⇒ elánguloentrelosvectoresesobtuso.𝑑)𝐴 × 𝐵
⃗ =𝐴×𝐶 ⇒𝐵
⃗ =𝐶
𝑏)𝐴.𝐵