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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MADRID
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AÑOS
Convocatoria 2016
MATERIA: MATEMÁTICAS II
ESPECÍFICA
SOLUCIONES
OPCIÓN A
Ejercicio 1.
a)
0
𝑎 + 5 2𝑎 − 1 −1
𝑎 + 5 2𝑎 − 1 −1
A=( 1
1)
𝑎 − 2 −1) , A* = ( 1
𝑎 − 2 −1
3
2
1
3
2
1 0
|A| = a² - 4 = (a+2) (a-2)
 a ≠ 2, -2 , rango (A) = rango (A*) = 3. Compatible determinado.
3 −1 0
 a = 2 , |0 −1 1| ≠ 0 , rango (A) < 3, rango (A*) = 3. Incompatible.
2 1 0
3
 a = -2 , |1
3
−5 0
−4 1| ≠ 0 , rango (A) < 3, rango (A*) = 3. Incompatible.
2 0
Por tanto, nunca es compatible indeterminado.
b)
5𝑥
𝑥
3𝑥
−𝑦
−2𝑦
+2𝑦
−𝑧
−𝑧
+𝑧
=0
1
13
, 𝑦 = −2 , 𝑧 =
= 1} Solución: 𝑥 =
4
4
=0
Ejercicio 2.
a) 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = (1, 1, 0) ∙ (0, 1, 1) = 1 ,
⃗⃗
𝑎⃗⃗∙𝑏
1
cos (𝑎⃗ ,̂ 𝑏⃗⃗) = |𝑎⃗⃗| |𝑏⃗⃗| = 2
b) 𝑏⃗⃗ × 𝑐⃗ : (0, 1, -1) ,
|𝑎⃗| = √2 , |𝑏⃗⃗| = √2 ,
𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗ forman un ángulo de 60º.
𝑎⃗ × (𝑏⃗⃗ × 𝑐⃗): (−1, 1, 1) .
Ejercicio 3.
𝑢1 ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑢2 𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗3
Un vector director es: 𝑎⃗ = | 1
1
0 | = (1, −1, 3), y un punto: A: (5, 0, 7) .
1
4
1
Ecuaciones paramétricas: x = 5 + λ , y = -λ , z = 7+3 λ
⃗⃗ = (2, 1, -1). Por tanto, el vector director de s es
b) s es perpendicular al vector 𝑎⃗ y al vector normal al plano, 𝑏
paralelo a su producto vectorial: 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = (-2, 7, 3). Como pasa por P, sus ecuaciones en forma continua son:
a)
𝑥−1
−2
=
𝑦−2
7
=
𝑧+1
3
Ejercicio 4.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2). Puntos de corte: (0,0) , (-1, 0) , (2, 0).
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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AÑOS
Convocatoria 2016
MATERIA: MATEMÁTICAS II
ESPECÍFICA
Para hallar el signo de f en cada intervalo, basta con ver qué signo tiene en un valor interior a cada uno de ellos.
Resulta:
f es negativa en los intervalos (-∞, -1) y (0, 2) f es positiva en los intervalos (-1,0) y (2, +∞)
0
2
𝑥4
b) Área = ∫−1(𝑥 3 − 𝑥 2 − 2𝑥)𝑑𝑥 − ∫0 (𝑥 3 − 𝑥 2 − 2𝑥)𝑑𝑥 = [ 4 −
𝑥3
3
− 𝑥2]
0
−1
𝑥4
-[4 −
𝑥3
3
2
0
− 𝑥2] =
37
12
ud2
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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AÑOS
Convocatoria 2016
MATERIA: MATEMÁTICAS II
ESPECÍFICA
OPCIÓN B
Ejercicio 1.
a) A-1 A  X  B  B-1 = A-1  I  B-1 , X = A-1  B-1 .
1
0
−1 −1
−1 −1
|𝐴|= 2, A-1 = (
) , |𝐵|= -1, B-1 = (
) X=(
).
1/2 1/2
1/2
1
2
3
b) |𝐴| = -2, pero |𝐵| = 0, luego no existe B-1. Por tanto, la ecuación matricial no tiene solución.
Ejercicio 2.
a) Vector director de r: 𝑎⃗ = (1, 1, 1).
𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗2
0
1
1
Vector director de s: 𝑏⃗⃗ = | 1
0
𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗3
1 | = (−1, 0, 1).
0
El producto escalar 𝑎⃗  𝑏⃗⃗ es cero: 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗ son perpendiculares, luego, r y s también (ángulo de 90º).
b) |𝑎⃗| = √3 , |
𝑎⃗⃗
1
|𝑎⃗⃗|
1
1
| = 1. El vector 𝑐⃗ = (√3 , √3 , √3) es un vector director de la recta r que tiene módulo 1.
Ejercicio 3.
a) f1(x) = sen x, f2(x) = a sen x + b y f3(x) = 2 cos x son continuas en todos sus puntos. Los únicos que hay que
estudiar son x = -π/2 y x = π/2 .
lim − 𝑓(𝑥) = −1 ,
lim + 𝑓(𝑥) = −𝑎 + 𝑏 , 𝑓(−𝜋/2) = −1 ⇒ −𝑎 + 𝑏 = −1 .
𝑥→−𝜋/2
lim
𝑥→𝜋/2−
𝑥→−𝜋/2
𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏 ,
lim 𝑓(𝑥) = 0 , 𝑓(𝜋/2) = 0 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 0 .
𝑥→𝜋/2+
Resolviendo el sistema: a = 1/2, b = -1/2 .
b) y – f(π) = f’(π)  (x – π) , f(π) = -2 , f’(x) = -2 sen x , f’(π) = 0 .
La ecuación de la recta tangente es: y + 2 = 0 .
Ejercicio 4.
a) ∫
𝑥 𝑑𝑥
√1−𝑥 4
1
= ∫
2
2𝑥 𝑑𝑥
√1−(𝑥 2 )2
=
1
2
arc sen x2 + C
b) Se hace por partes: u = ln x , dv = x  dx
Resulta: ∫ 𝑥 ∙ ln 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
∙ ln 𝑥 − ∫
𝑥2
2
1
√2/2
∫0
∙ 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑑𝑥
√1−𝑥 4
𝑥2
2
∙ ln 𝑥 −
𝑥2
4
1
√2/2
2
0
= [ arc sen 𝑥 2 ]
+𝐶
1 𝜋
𝜋
2
12
= ∙ =
6
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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AÑOS
Convocatoria 2016
MATERIA: MATEMÁTICAS II
ESPECÍFICA
OBJETIVOS GENERALES Y CONTENIDOS
De acuerdo con la Resolución de 29 de mayo de 2012, de la Dirección General de Universidades e Investigación, por la que se
da publicidad al Acuerdo de la Comisión Organizadora, por el que se dictan las normas e instrucciones reguladoras de la
prueba de acceso a la universidad para mayores de veinticinco años en el ámbito de la Comunidad de Madrid, publicado en el
BOCM el 21 de junio de 2012 (BOCM nº 147, pg. 37 y siguientes), el currículo de los ejercicios para la materia de
Matemáticas será el establecido para la materia Matemáticas II de segundo curso de Bachillerato, conforme a lo determinado
en el Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus
enseñanzas mínimas.
Específicamente, los contenidos correspondientes para la materia Matemáticas II de segundo curso de Bachillerato, conforme a
lo determinado en el Real Decreto 1467/2007 de 2 de noviembre son:
1. Álgebra lineal:
– Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas y grafos.
– Operaciones con matrices. Aplicación de las operaciones y de sus propiedades en la resolución de problemas extraídos de
contextos reales.
– Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Rango de una matriz.
– Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
2. Geometría:
– Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial y mixto. Significado geométrico.
– Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Resolución de problemas de posiciones relativas. Resolución de problemas
métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes.
3. Análisis:
– Concepto de límite de una función. Calculo de límites.
– Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad.
– Interpretación geométrica y física del concepto de derivada de una función en un punto.
– Función derivada. Cálculo de derivadas. Derivada de la suma, el producto y el cociente de funciones y de la función
compuesta. Aplicación de la derivada al estudio de las propiedades locales de una función. Problemas de optimización.
– Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de áreas encerradas bajo una curva. Técnicas elementales
para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas de regiones planas.
Según el mismo Real Decreto 1467/2007 de 2 de noviembre: “Matemáticas II requiere conocimientos de Matemáticas I.” En
relación con los bloques Álgebra Lineal, Geometría y Análisis correspondientes a los contenidos para la materia Matemáticas
II, los contenidos para la materia Matemáticas I son:
1. Aritmética y Álgebra:
– Números reales. Valor absoluto. Desigualdades. Distancias entre la recta real. Intervalos y entornos.
– Resolución e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones.
– Utilización de las herramientas algebraicas en la resolución de problemas.
2. Geometría:
– Medida de un ángulo en radianes. Razones trigonométricas de un ángulo. Uso de fórmulas y transformaciones
trigonométricas en la resolución de triángulos y problemas geométricos diversos.
– Vectores libres en el plano. Operaciones. Producto escalar. Módulo de un vector.
– Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de rectas. Distancias y ángulos. Resolución de problemas.
– Idea de lugar geométrico en el plano. Cónicas.
3. Análisis:
– Funciones reales de variable real: clasificación y características básicas de las funciones polinómicas, racionales sencillas,
valor absoluto, parte entera, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
– Dominio, recorrido y extremos de una función.
– Operaciones y composición de funciones.
– Aproximación al concepto de límite de una función, tendencia y continuidad.
– Aproximación al concepto de derivada. Extremos relativos en un intervalo.
– Interpretación y análisis de funciones sencillas, expresadas de manera analítica o gráfica, que describan situaciones reales.