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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO
UNIDAD ACADÉMICA PROFESIONAL NEZAHUALCÓYOTL
CURSO
ÁLGEBRA LINEAL
CLAVE: L40606
CARRERA:
INGENIERÍA EN SISTEMAS INTELIGENTES
TIPO DE MATERIAL: VISUAL
FECHA DE ELABORACIÓN: 2016A
ELABORÓ:
M. EN I. JAVIER ROMERO TORRES
JUSTIFICACIÓN
El presente material se elaboró con la intención de apoyar al docente al impartir la materia de
álgebra lineal para facilitar el aprendizaje y aprovechar el tiempo dentro del salón de clases.
Contempla también apoyar a los estudiantes a los que se les facilita el aprendizaje visual.
PRESENTACIÓN
El álgebra lineal es un curso fundamental en las distintas áreas de la ingeniería y una
indispensable herramienta que tiene importantes aplicaciones en las ciencias computacionales.
Para el alumno de la ingeniería en Sistemas Computacionales será de suma importancia el
reforzamiento de los conceptos del Álgebra Lineal mediante el desarrollo de códigos en lenguajes
de programación.
PROPÓSITO GENERAL
Que el estudiante adquiera los conocimientos del álgebra lineal para aplicarlos como una
herramienta para solucionar problemas práctico del área de ingeniería.
COMPETENCIAS GENÉRICAS
 Resolver un sistema de ecuaciones lineales
 Manejo de las propiedades y operaciones de
matrices
 Comprensión de los espacios vectoriales
 Manejo de las transformaciones lineales, vectores y
valores característicos.
BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA
1. Poole David “Algebra Lineal Una Introducción Moderna” 2Ed. Cengage 2007.
2. Anton An “Introducción a la Algebra Lineal” 5Ed. Limusa.
3. Larson Falvo “Fundamentos De Algebra Lineal” 6Ed. Cengage 2010.
4. Kaufmann Jerome E. “Algebra” Ed. Cengage 2007.
5. Lay David C. “Algebra Lineal Y Sus Aplicaciones” Ed. Pearson 2007.
6. Grossman Stanley L. “Algebra Lineal” Ed. Mc Graw Hill 2007.
COMPLEMENTARIA
7. Cárdenas, H., Lluis, E. Raggi, F., Tomás, F. Álgebra Superior, Serie: Biblioteca Matemática
Superior. Nueva Edición. Ed. Trillas. México.
8. Uspensky J. V. Teoria De Ecuaciones. Ed. Limusa. México.
9. Lay, D. L. Algebra Lineal. Ed. Pearson
10. Anton, H. Introducción Al Álgebra Lineal. Ed. Limusa
11. Lang, S., Álgebra Lineal. Ed. Addison-Wesley, México
12. Spiegel, M.R., Álgebra Superior, Serie: Mcgraw-Hill, Nueva Edición. México.
Álgebra lineal
(Instructor)
(Fecha)
Temario
1.
2.
3.
4.
5.
Sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y determinantes
Espacios vectoriales
Transformaciones lineales
Vectores y valores característicos
Sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones
El sistema de ecuaciones dado por:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
donde:
m representa ecuaciones
n variables
𝑥1 , 𝑥2 …𝑥𝑛 son las variables o incógnitas
𝑎11 , 𝑏1 son las constantes
Se le conoce como sistema lineal de m ecuaciones con n
variables.
Sistemas de ecuaciones lineales
Solución de sistemas de ecuaciones lineales: método de
Gauss Jordán
1. El sistema no tiene solución.
2. El sistema tiene una solución.
3. El sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.
Sistemas de ecuaciones lineales
Operaciones elementales con renglones
• La operación elemental de renglón transforma a una matriz
A en una matriz nueva 𝐴`
• La matriz 𝐴` se obtiene multiplicando cualquier renglón A
por un escalar diferente de 0.
• La multiplicación de cualquier renglón n de A por un escalar
distinto a 0 y sumar el renglón j de A
• Consiste en el intercambio de dos renglones cualesquiera.
Sistemas de ecuaciones lineales
Mecánica de Gauss Jordán
1. Para resolver Ax = b debemos de obtener la matriz aumentada
a/b.
2. Comenzar con el renglón 1 y la columna 1 y de igual forma definir
un valor pivote, si 𝑎11 es diferente de cero realizar operaciones
1
elementales para obtener en la primera columna 0
⋮
0
3. Si el nuevo valor pivote es distinto de cero se debe de realizar una
operación elemental de renglón para transformarlo en 1 y el resto
de los valores de la columna en cero
4. Escribir el sistema de ecuaciones A´x= b´ que corresponde a la
matriz A´/ b`.
5. A´x=b´ corresponde al conjunto de soluciones Ax = b
Temario
1.
2.
3.
4.
5.
Sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y determinantes
Espacios vectoriales
Transformaciones lineales
Vectores y valores característicos
Matrices y determinantes
Ángulo entre dos vectores
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. El angulo 𝜑 entre ellos
es,
𝑢∙𝑣
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝑢 𝑣
i.
ii.
Vectores paralelos, dos vectores diferentes de cero u y v son paralelos
si el ángulo entre ellos es cero o 𝜋.
Vectores ortogonales, los vectores u y v diferentes de cero son
ortogonales si el ángulo entre ellos es 𝜋/2. Dos vectores u y v son
ortogonales si 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝟎.
Espacios vectoriales
Proyección
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyección
de u sobre v es un vector denotado por 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢, que se define por
𝑢∙𝑣
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 =
𝑣
2
𝑣
Espacios vectoriales
Distancia entre dos puntos
Sean 𝑃 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 y Q= 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 dos puntos en el espacio.
Entonces la distancia ente P y Q está dada por
𝑃𝑄 = 𝑥1 − 𝑥2 2 + 𝑦1 − 𝑦2 2 + 𝑧1 − 𝑧2 2
Como recordatorio:
 Los vectores unitarios i, j y k están definidos como:
 𝒊 = 1,0,0
 𝐣 = 0,1,0
 𝐳 = 0,0,1
 𝒊∙𝒊=𝒋∙𝒋=𝒌∙𝒌=1
 𝒊∙𝒋=𝒋∙𝒊=𝒊∙𝒌=𝒌∙𝒊=𝒋∙𝒌=𝒌∙𝒋=0
Espacios vectoriales
Producto cruz de dos vectores
Sean 𝒖 = 𝑎1 𝒊 + 𝑏1 𝒋+𝑐1 𝒌 y 𝒗 = 𝑎2 𝒊 + 𝑏2 𝒋+𝑐2 𝒌 . Entonces el
producto cruz (cruz vectorial) de u y v, denotado por 𝒖 × 𝒗, es un
vector definido por
𝒖 × 𝒗 = 𝑏1 𝑐2 − 𝑐1 𝑏2 𝒊 + 𝑐1 𝑎2 − 𝑎1 𝑐2 𝒋 + 𝑎1 𝑏2 − 𝑏1 𝑎2 𝒌
Otro arreglo para el producto cruz
𝒊
𝒋 𝒌
𝑢 × 𝑣 = 𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝒊
𝒋 𝒌
𝑎1 𝑐1
𝑏1 𝑐1
𝑎1
𝑎1 𝑏1 𝑐1 = 𝒊
−𝒋 𝑎 𝑐 +𝒌
𝑏2 𝑐2
𝑎2
2
2
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑏1
𝑏2
Espacios vectoriales
Interpretación geométrica del producto cruz
 La interpretación geométrica de 𝒖 × 𝒗 es el área generada
por ambos vectores.
 El vector 𝒖 × 𝒗 es ortogonal tanto a u como a v.
Espacios vectoriales
Triple producto escalar
El volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores u, v
y w es igual a
(𝒖 × 𝒗) ∙ 𝒘
(valor absoluto del triple vector escalar)
Matrices y determinantes
Vector renglón
Un vector de n componentes se define como un conjunto de
ordenados d n números escritos de la siguiente manera:
𝑥1 + 𝑥2 , … , 𝑥𝑛
Matrices y determinantes
Vector columna
un vector de n componentes es un conjunto ordenado de n
números escritos de la siguiente manera:
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
se le denomina a 𝑥1 primera componente 𝑥2 segunda
componente y así sucesivamente en términos generales.
Matrices y determinantes
MATRIZ
Una matriz A de mxn es un arreglo rectangular de mxn
números dispuestos en m renglones y n columnas.
𝑎11
𝑎21
…
𝐴 = 𝑎𝑖1
…
𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
…
𝑎𝑖2
…
𝑎𝑚2
…
…
…
…
…
…
𝑎12
𝑎2𝑗
…
𝑎𝑖𝑗
…
𝑎𝑚𝑗
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
…
…
… 𝑎𝑖𝑛
…
…
… 𝑎𝑚𝑛
Matrices y determinantes
Matriz cuadrada:
si A es una matriz m × n con m = n
1
4
3
2
Matriz cero
Matriz m × n con todos los elementos iguales a cero
0 0 0 0
(matriz cero de 2x4)
0 0 0 0
Matriz de 3X2
−1 3
4
0
1 −2
Matrices y determinantes
Igualdad de matrices
dos matrices A= 𝑎𝑖𝑗 y b= 𝑏𝑖𝑗 son ihuales si (1) son del
mismo tamaño y (2) las componentes correspondientes son
iguales.
1 0
1 0 0
Y
0 1
0 1 0
Los vectores matrices de un renglón o columna
cada vector es un tipo especial de matriz. el vector de n
componentes 𝑎1 , 𝑎2 , … 𝑐𝑛 es una matriz de 1 x n, mientras
que el vector columna de n componentes :
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑛
es una matriz de n x 1 .
Matrices y determinantes
Suma de matrices
Sean a= 𝑎𝑖𝑗 y b= 𝑏𝑖𝑗 dos matrices de m x n. por lo tanto la
suma de A y B es la matriz m x n, A + B dada por
𝐴 + 𝐵 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 =
𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12 … 𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛
𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22 … 𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛
=
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑎𝑚𝑙 + 𝑏𝑚𝑙 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛
Es decir, A+ B es la matriz m x n que se obtiene al sumar las
componentes correspondientes de A y B.
Se define únicamente cuando las matrices son del mismo
tamaño por ejemplo de 2 x 2, 3 x 3, etc.
Matrices y determinantes
Multiplicación de una matriz por un escalar
Si A = 𝑎𝑖𝑗 es una matriz de m x n y si 𝛼 es un escalar,
entonces la matriz m x n, 𝛼A , esta dada por:
𝐷
(a b c) 𝐸
𝐹
= a.d + b.e + c.f
𝑎𝐴 = 𝑎𝑎𝑖𝑗
𝑎𝑎11
𝑎𝑎21
=
⋮
𝑎𝑎𝑥𝑡
𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
⋮
𝑎𝑎𝑥2
…
…
…
…
𝑎𝑎1𝑥
𝑎𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑎𝑥𝑛
Esto es 𝛼A= (𝛼𝑎𝑖𝑗 ) es la matriz obtenida al multiplicar cada
componente de A por 𝛼, si 𝛼A = B (𝑏𝑖𝑗 ), entonces 𝑏𝑖𝑗 = 𝛼𝑎𝑖𝑗
para i = 1,2, …, m y j = 1,2,…,n.
Matrices y determinantes
Sean A, b y C tres matrices de m x n y sean 𝛼 y 𝛽 dos escalares
entonces :
1. A +0 = A
2. A0 = 0
3. A+B = B +A
4. (A + B) + C = A +(B + C)
5. α (A + B ) = αA + αB
6. 1A =A
7. (α + β )A = αA + βA
Matrices y determinantes
Producto escalar
𝑏1
𝑎1
𝑎
𝑏2
Sean a= 2 y b=
dos vectores. Entonces el producto
⋮
⋮
𝑎𝑛
𝑏𝑛
escalar de a y b denotado a por b, esta dado por:
a ∙ b = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 +, … , 𝑎𝑛 𝑏𝑛
A este producto escalar se le llama producto punto o producto
interno de los vectores
𝑏1
𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 𝑏2 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 +, … , 𝑎𝑛 𝑏𝑛
⋮
𝑏𝑛
Matrices y determinantes
Producto de dos matrices
Sea A = 𝑎𝑖𝑗 una matriz de m X n y sea B = 𝑏𝑖𝑗 una matriz de
n X p ∴ el producto de A y B es una matriz de m X p, C = 𝑐𝑖𝑗
𝑐𝑖𝑗 = 𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙𝑜𝑛 𝑖 𝑑𝑒 𝐴 ∙ 𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙𝑜𝑛 𝑗 𝑑𝑒 𝐵
el elemento 𝑖𝑗 de A y B es el producto punto del renglón i de A
y la columna j de B y se obtiene:
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 𝑏2𝑗 + … +𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛𝑗
Las matrices se pueden multiplicar solamente si el numero de
columnas de la matriz uno es igual al numero de renglones de
la matriz dos.
Matrices y determinantes
Ley asociativa para la multiplicación de matrices
Sea A = 𝑎𝑖𝑗 una matriz de n x m, B = 𝑏𝑖𝑗 una matriz de m x
p y C= 𝑐𝑖𝑗 una matriz de p x q.
A(BC)= (AB)C
ABC definida por cualquiera de los lados de la ecuación, es una
matriz de n x q
Leyes distributivas para la multiplicación de matrices
A (B + C) = A B + AC
(A + B) C = AC + BC
Matrices y determinantes
Matriz identidad
La matriz identidad 𝐼𝑛 de n x n es una matriz de n x n y cuyos
elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los
demás son 0, esto es:
1
𝐼𝑛 = (𝑏𝑖𝑗 ) donde 𝑏𝑖𝑗 =
0
Si i = j
Si i ≠ j
Matrices y determinantes
Inversa de la matriz
sean A y B dos matrices de n x n se dice que :
AB = BA = I
entonces B se le llama la inversa de A y se denota por 𝐴−1 por
lo tanto tenemos:
𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼
si A tiene inversa se dice que A es invertible.
Si A es invertible se dice que su inversa en única.
Matrices y determinantes
Sean A y B dos matrices invertibles de n x n. entonces AB es
invertible
𝐴𝐵 −1 = 𝐵−1 𝐴−1
Si A es invertible, el sistema Ax = b
Tiene una solución única x = 𝐴−1 𝑏
Matrices y determinantes
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz A
1. Se escribe la matriz aumentada (matriz identidad).
2. Se utilizan la reducción por renglones para poner la matriz
de A su forma escalonada reducida por renglones.
3. Se decide si A es invertible.
a)
Si la forma escalonada reducida por renglones de A es la matriz
identidad I, entonces 𝐴−1 es la matriz que se tiene a la derecha de
la barra vertical.
b) Si la reducción de A conduce a un renglón de ceros a la izquierda
de la barra vertical , entonces A no es invertible.
4. Una matriz A de n x n es invertible si y solo si su forma
escalonada reducida por renglones de la matriz identidad;
es decir, si su forma escalonada reducida por renglones
tiene n pivotes.
Matrices y determinantes
Transpuesta de una matriz
Sea A = 𝑎𝑖𝑗 una matriz de m x n , entonces la transpuesta de
A , que se describe 𝐴𝑡 , es la matriz de m x n que se obtiene al
intercambiar los renglones por las columnas de A. se puede
escribir 𝐴𝑡 = 𝑎𝑖𝑗 :
Si A =
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑛1
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑛2
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
⋮
⋮
… 𝑎𝑛𝑛
Entonces 𝐴𝑡 =
𝑎11
𝑎12
⋮
𝑎1𝑛
𝑎21
𝑎22
⋮
𝑎2𝑛
… 𝑎𝑛1
… 𝑎𝑛2
⋮
⋮
… 𝑎𝑛𝑛
Se coloca el renglón i de A como la columna i de 𝐴𝑡 y la
columna j de A como el renglón j de 𝐴𝑡
Matrices y determinantes
Determinantes
𝑎11 𝑎12
sea A : 𝑎
una matriz de 2 x 2 se define el
21 𝑎22
determinante de la matriz A y se expresa como det 𝐴
det 𝐴 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21
𝑎11
𝐴= 𝐴 = 𝑎
21
𝑎12
𝑎22
Se demostró que A es invertible si y solo si det A ≠ 0 valido
para matrices de n x n
Matrices y determinantes
Determinante de 3 x 3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎22
Sea A = 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ∴ Det A= 𝐴 = 𝑎11 𝑎
32
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎21 𝑎23
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐
𝑎12 𝑎
+ 𝑎13 𝒂
𝑎
31
33
𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐
𝑎23
𝑎33 −
Matrices y determinantes
La menor
Sea A una matriz de nxn y sea 𝑴𝒊𝒋 la matriz (n-1)x(n-1) que se
obtiene de A eliminando el renglón i y la columna j.
𝑴𝒊𝒋 se llama menor ij de A.
Matrices y determinantes
Cofactor
Sea A una matriz de n x n. el cofactor de ij de A, denotado por
𝐴𝑖𝑗 esta dado por :
𝐴𝑖𝑗 = −1
𝑖+𝑗
𝑀𝑖𝑗
Esto es, el cofactor ij de A se obtiene tomado el determinante
del menor ij y multiplicándolo por −1 𝑖+𝑗 :
−1
𝑖+𝑗
1 Si i+j es par
−1 Si i+j es impar
Matrices y determinantes
Determinante de n x n
Sea A una matriz de n x n, entonces el determinante de A
denotado por det A o 𝐴 esta dado por:
𝐴 = 𝑎11 𝐴11 + 𝑎12 𝐴12 + 𝑎13 𝐴13 … + 𝑎1𝑛 𝐴1𝑛 = 𝑛𝑘=1 𝑎1𝑘 𝐴1𝑘
La expresión del lado derecho se llama expansión por
cofactores.
En general:
i. Expansión por cofactores en cualquier renglón:
𝐴 = 𝑎𝑖1 𝐴𝑖1 + 𝑎𝑖2 𝐴𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝐴𝑖𝑛 = 𝑛𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 𝐴𝑖𝑘
ii. Expansión por cofactores en cualquier columna:
𝐴 = 𝑎1𝑗 𝐴1𝑗 + 𝑎2𝑗 𝐴2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝐴𝑛𝑗 = 𝑛𝑘=1 𝑎𝑘𝑗 𝐴𝑘𝑗
Matrices y determinantes
Matriz triangular
Una matriz cuadrada se denomina triangular superior si todas
sus componentes debajo de la diagonal son cero. Es una matriz
triangular superior si todas sus componentes arriba de la
diagonal son cero y se le denomina diagonal a una matriz si
todos los elementos que no se encuentran sobre la diagonal
son cero; es decir A = (𝒂𝒊𝒋 ) es triangular superior si 𝒂𝒊𝒋 = 0 i > j
, triangular inferior si 𝒂𝒊𝒋 = 0 para i < j y diagonal si 𝒂𝒊𝒋 = 0
para i ≠
Matrices y determinantes
Determinantes e inversas
Si A es invertible , entonces det A ≠ 0 y:
−1
det 𝐴 =
1
det 𝐴
Como A es invertible por lo tanto:
1=det I = det A𝐴−1 = det A det 𝐴−1
esto implica que
det 𝐴−1 = 1/det A
Matrices y determinantes
La adjunta
Es una matriz A= 𝑎𝑖𝑗 , B = 𝐴𝑖𝑗 la matriz de cofactores de A
Sea A una matriz de n x n y sea B, dada por (3) de sus
cofactores. Entonces la adjunta de A , escrito adj A, es la
transpuesta de la matriz B de n x n es decir :
𝐴11 𝐴21 … 𝐴𝑛1
𝐴12 𝐴22 … 𝐴𝑛2
adj A = 𝐵𝑡 =
⋮
⋮
.
⋮
𝐴1𝑛 𝐴2𝑛 … 𝐴𝑛𝑛
Temario
1.
2.
3.
4.
5.
Sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y determinantes
Espacios vectoriales
Transformaciones lineales
Vectores y valores característicos
Espacios vectoriales
Espacio vectorial
Es un conjunto de objetos , denominados vectores, junto con dos
operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar
y que satisfacen las diez axiomas
Espacios vectoriales
Axiomas de un espacio vectorial
I. si x є V y Y є V, entonces x + y є V(cerradura bajo la suma
II. Para todo x, y y z en V , (x + y) + z = x + (y + z) (ley asociativa de la
suma de vectores)
III. existe un vector 0 que є V tal que para todo x que є V, x + 0 = 0
+ x = x (vector cero o idéntico aditivo)
IV. Si x є V , existe un vector –x є V tal que x + ( -x) = 0 (-x inverso
aditivo de x )
V. Si x y y están en V, entonces x + y = y + x (ley conmutativa de la
suma de vectores)
VI. Si x є V y ∝ es un escalar, entonces ∝ x є V (cerradura bajo la
multiplicación por un escalar)
Espacios vectoriales
Axiomas de un espacio vectorial
VII. si x y y están en V y ∝ es un escalar, entonces ∝ ( x +y )= ∝ x +
∝y ( primera ley distributiva)
VIII. si x є V y ∝ y β son escalares, entones (∝ + β )x = ∝x + βx
(segunda ley distributiva)
IX. si x є V y ∝ y β son escalares, entonces ∝ (βx) = (∝β)x (ley
asociativa de la multiplicación por escalares )
X. para cada vector x є V, 1x = x
Espacios vectoriales
Teoremas para un espacio vectorial
I. ∝ 0 = 0 para todo escalar ∝
II. 0 ∙ x = 0 para todo x ∈ V
III. Si ∝ x = 0, entonces ∝ = 0 o x = 0
IV. (-1)x = -x para todo x є V
Espacios vectoriales
Subespacios
Sea H un subconjunto no vacío en un espacio vectorial V y
suponga que H es en si un espacio vectorial bajo las
operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas
en V, entonces se dice que H es un subespacio de V.
Combinación lineal
Sean 𝑉1, 𝑉2 , … , 𝑉𝑛 vectores en un espacio vectorial V, entonces
cualquier vector de la forma
𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑣𝑛
Donde 𝑎1, 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 son escalares se denomina una
combinación lineal de 𝑉1, 𝑉2 , … , 𝑉𝑛 .
Espacios vectoriales
Espacio generado por un conjunto de vectores
Sean 𝑉1, 𝑉2 , … , 𝑉𝐾 , 𝐾 vectores de un espacio vectorial V, el espacio
generado por 𝑉1, 𝑉2 , … , 𝑉𝑘 es el conjunto de combinaciones lineales
𝑉1, 𝑉2 , … , 𝑉𝑘 es decir:
gen 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑘 = 𝑣: 𝑣 = 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑘 𝑣𝑘
Donde 𝑎1, 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 son escalares arbitrarios.
Espacios vectoriales
Dependencia e independencia lineal
Sean 𝑉1, 𝑉2 , … , 𝑉𝑛 n vectores en un espacio vectorial V , entonces se
dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n
escalares 𝑐1, 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 no todos cero tale que :
𝑐1 𝑣1 + 𝑐2 𝑣2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑣𝑛 = 0
Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son
linealmente independientes.
Espacios vectoriales
Base
es un conjunto finito de vectores v1 , v2 , … , vn es una base
para un espacio vectorial V si:
1. v1 , v2 , … , vn es linealmente independiente
2. v1 , v2 , … , vn genera a V
Espacios vectoriales
Dimensión
Si el espacio vectorial V tienen una base con un numero finito
de elementos, entonces la dimensión de V es el numero de
vectores en todas la bases y V se denomina espacio vectorial
de dimensión finita . De otra manera, V se denomina espacio
vectorial de dimensión infinita. Si V = 0 , entonces se dice que
V tiene dimensión cero.
Espacios vectoriales
Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades
Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con
producto interno si para cada par ordenada de vectores u y v en V,
existe un número complejo único (u, v), denominado producto
interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y α ϵ C, entonces:
I.
II.
III.
IV.
u, v ≥ 0
v, v = 0
si y solo si v = 0
u, v + w = u, v + u, w
u + v, w = u, w + v, w
V.
u, v = v, u
VI. αu, v = α u, v
VII. u, αv = α(u, v)
Espacios vectoriales
Base ortonormal
Un conjunto de vectores S = 𝑢1 , 𝑢2 … . . 𝑢𝑛 en 𝑅𝑛 es un conjunto
ortonormal si:
𝑢𝑖 . 𝑢𝑗 = 0
𝑢𝑖 . 𝑢𝑖 = 1
S𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
Si solo se satisface la ecuación (1) se dice que el conjunto es
ortogonal
Espacios vectoriales
Longitud o norma de un vector
Si v ϵ 𝑅𝑛 , entonces la longitud o norma de v, denota por 𝑣 ,
esta dado por:
𝑣 = 𝑣∙𝑣
Espacios vectoriales
Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
Sea H un subespacio de dimensión m de 𝑅𝑛 . Entonces H tiene una
base ortonormal.
Sea 𝑆 = {𝑉1 , 𝑉2 , … . . , 𝑉𝑛 } una base de H. Se probara el teorema
construyendo una base ortonormal a partir de los vectores de S.
Este en un conjunto de vectores linealmente independiente no
contiene al vector cero.
Paso 1. Elección del primer vector unitario
Sea
𝑉1
𝑢1 =
𝑉1
Entonces
𝑉1
𝑢1 . 𝑢1 =
.
𝑉1
De manera que 𝑢1 = 1
𝑉1
𝑉1
=
1
𝑉1 2
𝑉1 . 𝑉1 = 1
Espacios vectoriales
Paso 2. Elección de un segundo vector ortogonal a 𝒖𝟏
El vector
𝒘=
𝑢∙𝑉
𝑉2
𝑉 𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎 𝑣
En este caso
𝑢∙𝑉
𝑉2
Como se ilustra
𝑣es la proyección de u sobre v.
y
𝑢−
u
v
0
𝑢∙𝑣
𝑣=𝑤
𝑣2
𝑢. 𝑣
𝑣 = 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢
𝑣2
x
Espacios vectoriales
Resulta que el vector w dado es ortogonal a V cuando w y y están
en 𝑅𝑛 para cualquier 𝑛 ≥ 2.
𝒖𝟏 es un vector unitario,
𝑉∙𝑢
𝑢1
𝑢1= 𝑉∙𝑢1
𝑢1
Sea
𝑉´2 = 𝑉2 − 𝑉2 ∙ 𝑢1 𝑢1
Espacios vectoriales
Paso 2. Elección de un segundo vector ortogonal a 𝒖𝟏
Entonces :
𝑉´2 ∙ 𝑢1 = 𝑉2 ∙ 𝑢1 − 𝑉2 ∙ 𝑢1 𝑢1 ∙ 𝑢1 = 𝑉2 ∙ 𝑢1 − 𝑉 ∙ 𝑢1 = 0
De manera que 𝑉´2 es ortogonal a 𝑢1
Por el teorema 1, 𝑢1 y 𝑉´2 son linealmente independientes
Paso 3. Elección de un segundo vector unitario
Sea
𝑉´2
𝑢2 =
𝑉´2
Entonces es evidente que 𝑢1 , 𝑢2 es un conjunto ortonormal
Suponga que se han construido los vectores 𝑢1 , 𝑢2 , … … 𝑢𝑘 𝑘 < 𝑚
y que forman un conjunto ortonormal
Espacios vectoriales
Se mostrara como construir 𝑢𝑘+1
Paso 4. Continuación del proceso
Sea
𝑉´𝐾+1 = 𝑉𝐾+1 − 𝑉𝐾+1 ∙ 𝑢1 𝑢1 − 𝑉𝐾+1 ∙ 𝑢2 𝑢2 −∙∙∙ − 𝑉𝐾+1 ∙ 𝑢𝑘 𝑉𝐾+1 ∙ 𝑢𝑘 𝑢𝑘
Entonces para i=1,2,……..k
𝑉´𝐾+1 ∙ 𝑢𝑖
= 𝑉𝐾+1 ∙ 𝑢𝑖 − 𝑉𝐾+1 ∙ 𝑢1 𝑢1 ∙ 𝑢𝑖 − 𝑉𝐾+1 ∙ 𝑢2 𝑢2 ∙ 𝑢𝑖 −∙∙∙ − 𝑉𝐾+1 ∙ 𝑢𝑖 𝑢1 ∙ 𝑢𝑖 −∙∙
∙ − 𝑉𝐾+1 ∙ 𝑢𝑘 𝑢𝑘 ∙ 𝑢𝑖
Pero 𝑢𝑗 ∙ 𝑢𝑖 = 0 𝑠𝑖 𝑗 ≠ 𝑖 𝑦 𝑢𝑖 ∙ 𝑢𝑖 = 1. Por lo tanto
𝑉´𝐾+1 ∙ 𝑢𝑖 = 𝑉𝐾+1 ∙ 𝑢𝑖 − 𝑉𝐾+1 ∙ 𝑢𝑖 = 0
Así, 𝑢1 , 𝑢2 , … 𝑢𝑘 , 𝑉´𝐾+1
ortogonal y 𝑉´𝐾+1 ≠ 0
es un conjunto linealmente independiente,
Espacios vectoriales
Paso 5
Sea 𝑢𝑘+1 =
𝑉´𝐾+1
𝑉´𝐾+1
. Entonces es claro que 𝑢1 , 𝑢2 , … 𝑢𝑘 , 𝑢𝐾+1
es
un ortonormal y se puede continuar de esta manera hasta que
k+1=m con lo que se completa la prueba
Espacios vectoriales
Matriz ortogonal
Una matriz Q de n x n se llama ortogonal si Q es invertible y
𝑄−1 = 𝑄𝑡
Temario
1.
2.
3.
4.
5.
Sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y determinantes
Espacios vectoriales
Transformaciones lineales
Vectores y valores característicos
Transformaciones lineales
Transformación lineal
Sea V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T
de V en W en una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector
único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar α
𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇𝑢 + 𝑇𝑣
𝑇 α𝑣 = αTv
Propiedades de las transformaciones lineales
Sea T: V→W una transformación lineal. Entonces para todos los
vectores u, v,𝑣1 , 𝑣2 , … . , 𝑣𝑛 en V y todos los escalares α1 , α2 , … . , α𝑛 :
I. T(0) = 0
II. T u − v = Tu − Tv
III. T α1 V1 + α2 v2 + ⋯ + αn Vn = α1 𝑇𝑣1 + α2 𝑇𝑣2 + ⋯ + α𝑛 𝑇𝑣𝑛
Transformaciones lineales
Ejemplos: (Transformación de reflexión )
𝑥
−𝑥
Sea T:
definida por 𝑇 𝑦 = 𝑦 . Es fácil verificar que T
es lineal. En términos geométricos , T toma un valor en 𝑅2 y lo
refleja respecto al eje y
𝑅2 →
𝑅2
y
y
y
(x,y)
0
x
(x,y)
0
x
Transformaciones lineales
Ejemplos: (Transformación de rotación)
𝑥
Suponga que el vector 𝑣 = 𝑦 en el plano xy se rota en un ángulo Ѳ
(medido en grados o radianes) en sentido contrario al de las
𝑥´
manecillas del reloj. Llame a este nuevo vector rotado 𝑣´ =
.
𝑦´
Entonces como se ve en la figura , si r denota la longitud de v (que o cambia por la
rotación).
𝑥 = 𝑟 cos α
𝑦 = 𝑟 sin α
𝑥´ = 𝑟 cos ϴ + α
(x´,y´)
𝑦´ = 𝑟 sin ϴ + α
y
ϴ+α
r
r
π−𝛼 − 𝛳
ϴ
α
x´
(x,y)
0
x
x
Transformaciones lineales
Ejemplos: (Transformación de rotación)
Pero r cos ϴ + α = r cos ϴ cos α − 𝑟 sin ϴ sin α, de manera que:
𝑥´ = 𝑥 cos ϴ − 𝑦 sin ϴ
De manera similar r sin ϴ + α = r sin ϴ cos α + 𝑟 cos ϴ sin α, o sea
y´ = 𝑥 sin ϴ + 𝑦 cos ϴ
Sea
𝐴ϴ =
cos ϴ
sin ϴ
−sin ϴ
cos ϴ
Transformaciones lineales
Núcleo o Kernel
Sea V y W dos espacios vectoriales y sea T:V→W una
transformación lineal. Entonces
I.
El núcleo de T, denotado por nu T, está dado por:
𝑛𝑢 𝑇 = {𝑣 ϵ 𝑉: 𝑇𝑣 = 0}
II. La imagen de T, denotado por
𝐼𝑚 𝑇 = {𝑤 ϵ 𝑊: 𝑤 = 𝑇𝑣 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑣 ϵ 𝑉}
Transformaciones lineales
Matriz de trasformación
La matriz A, se denomina matriz de transformación
correspondiente a T o representación matricial de T
Representación matricial de una transformación lineal
Sea t: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑚 una transformación lineal. Existe entonces una
matriz única de m x n, 𝐴 𝑇 tal que
𝑇𝑥 = 𝐴 𝑇 𝑥
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ϵ 𝑅𝑛
Sea 𝑤1 = 𝑇𝑒1 , 𝑤2 = 𝑇𝑒2 , … , 𝑤𝑛 = 𝑇𝑒𝑛 . Sea 𝐴 𝑇 la matriz cuyas
columnas son 𝑤1 , 𝑤2 , … , 𝑤𝑛 y hagamos que 𝐴 𝑇 denote también a
la transformación de 𝑅𝑛 → 𝑅𝑚 , que multiplica un vector en 𝑅𝑛 por
𝐴 𝑇 si
Transformaciones lineales
𝑤1 =
𝑎1𝑖
𝑎2𝑖
⋮
𝑎𝑚𝑖
Entonces:
𝐴 𝑇 𝑒𝑖 =
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
⋯ 𝑎1𝑖
⋯ 𝑎2𝑖
⋮
… 𝑎𝑚𝑖
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2, … 𝑛
i-ésima
posición
⋯ 𝑎1𝑛
⋯ 𝑎2𝑛
⋮
⋯ 𝑎𝑚𝑛
0
0
⋮
1
0
⋮
0
=
𝑎1𝑖
𝑎2𝑖
⋮
𝑎𝑚𝑖
= 𝑤𝑖
De esta forma, 𝐴 𝑇 𝑒𝑖 = 𝑤𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. T y la transformación 𝐴 𝑇 son la misma
por que coinciden en los vectores básicos
Temario
1.
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5.
Sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y determinantes
Espacios vectoriales
Transformaciones lineales
Vectores y valores característicos
Vectores y valores característicos
Valor característico y vector característico
Sea A una matriz de n x m con componentes reales. El número λ (real
o complejo) se denomina valor característico de A si existe un vector
diferente de cero v en 𝑪𝒏 tal que:
𝐴𝑣 = λ𝑣
El valor v ≠ 𝟎 se denomina vector característico de A
correspondiente al valor característico λ
Vectores y valores característicos
Ecuación y polinomio característico
Sea A una matriz de n x n. Entonces λ es un valor característico
de A si y solo si:
𝒑 λ = 𝒅𝒆𝒕 𝑨 − λ𝑰 = 𝟎
La ecuación anterior se denomina la ecuación característica de A:
p(λ) se denomina el polinomio característico de A
Vectores y valores característicos
Procedimientos para calcular valores característicos y vectores
característicos
I. Se encuentra p λ = det(𝐴 − λ𝐼)
II. se encuentran las raíces λ1 , λ2 , . . . , λ𝑚 𝑑𝑒 𝑝 λ = 0
III. Se resuelve el sistema homogéneo
𝐴 − λ𝑖 𝐼 𝑣 = 0,
correspondiente a cada valor característico λ𝑖
Vectores y valores característicos
Diagonalización de matrices
Una matriz A de n x n es diagonalizable si existe una matriz
diagonal D tal que A es semejante a D
Una matriz A de n x n es diagonalizable si y solo si tiene n vectores
característicos linealmente independientes. En tal caso, la matriz
diagonal D semejante a A esta dada por:
𝐷=
.
λ1
0
0
⋮
0
0 0 ⋯ 0
λ2 0 ⋯ 0
0 λ3 ⋯ 0
⋮
⋮
⋮
0 0 ⋯ λ𝑛
Vectores y valores característicos
Donde λ1 , λ2 , . . . , λ𝑛 son los valores característicos de A. SI C es una
matriz cuyas columnas son vectores característicos linealmente
independientes de A. entonces
𝐷 = 𝐶 −1 𝐴𝐶
Vectores y valores característicos
Matriz diagonalizable ortogonalmente
Se dice que una matriz A de n x n es diagonalizable
ortogonalmente si existe una matriz ortogonal Q tal que
𝑄𝑡 𝐴𝑄 = 𝐷
Donde:
𝐷 = λ1 , λ2 , … , λ𝑛
𝑦 λ1 , λ2 , … , λ𝑛 son valores caractristicos de 𝐴
Vectores y valores característicos
Forma cuadrática
𝑥1
𝑥2
Sea 𝑣 = ⋮ y sea A una matriz simétrica de n x n. Entonces una
𝑥𝑛
forma cuadrática en 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 es una expresión de la forma
𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = A𝑣 ∙ 𝑣
Vectores y valores característicos
Ecuación cuadrática y forma cuadrática
I.
Una ecuación cuadrática en dos variables sin términos lineales
es una ecuación de la forma
ax 2 + bxy + cy 2 = d
Donde 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≠ 0. Esto es, al menos uno de los números a,
b y c es diferente de cero
II.
Una forma cuadrática en dos variables es una expresión de la
forma
F x, y = ax 2 + bxy + cy 2
Donde 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≠ 0
Vectores y valores característicos
Teorema de Cayley-Hamilton
Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Es
decir, si 𝑝 λ = 0 es la ecuación característica de A, entonces
𝑝 𝐴 =0
Se tiene
𝑎11
𝑝 λ = det 𝐴 − λ𝐼 = 𝑎21
⋮
𝑎𝑛1
−λ
𝑎12
⋯ 𝑎1𝑛
𝑎22 −λ
⋮
⋯ 𝑎2𝑛
⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛 −λ
𝑎𝑛2
Vectores y valores característicos
Es claro que cualquier cofactor de (𝐴 − λ𝐼) es un polinomio en λ.
Así, la adjunta de 𝐴 − λ𝐼 es una matriz de n x n en la que cada
componente es un problema en λ. Es decir
𝑝11
adj 𝐴 − λ𝐼 = 𝑝21
𝑝𝑛1
(λ)
(λ)
(λ)
𝑝12
𝑝22
𝑝𝑛2
(λ)
(λ)
(λ)
⋯ 𝑝1𝑛
⋯ 𝑝2𝑛
⋮
(λ)
(λ)
⋯ 𝑝𝑛𝑛
(λ)
Vectores y valores característicos
Esto significa que se puede pensar en 𝑎𝑑𝑗 𝐴 − λ𝐼 como en un polinomio, 𝑄 λ ,
en λ cuyos coeficientes son matrices de n x n. para entender esto:
−λ2
4λ2
−2λ +1 2λ2 −7λ −4
−1
=
4
+5λ −2 −3λ2 −λ +3
𝑑𝑒𝑡 𝐴 − λ𝐼 𝐼 = 𝑎𝑑𝑗 𝐴 − λ𝐼
2
−2 −7
1
λ2 +
λ+
−3
5 −1
2
−4
3
𝐴 − λ𝐼 = 𝑄 λ 𝐴 − 𝐴𝐼
Pero 𝑑𝑒𝑡 𝐴 − λ𝐼 𝐼 = 𝑝 λ 𝐼. 𝑆𝑖
p λ = λ𝑛 + 𝑎𝑛−1 λ𝑛−1 +∙ ∙ ∙ +𝑎1 λ + 𝑎0
Entonces se define:
𝑝 λ = 𝑝 λ 𝐼 = λ𝑛 𝐼 + 𝑎𝑛−1 λ𝑛−1 𝐼 +∙ ∙ ∙ +𝑎1 λ𝐼 + 𝑎0 𝐼
Por lo tanto, de (5) se tiene 𝑃 λ = 𝑄 λ 𝐴 − λ𝐼 .Por ultimo 𝑃 𝐴 = 0,
completa la prueba
esto