Download Mapa conceptual

P
R
RAMA BASE
G
O
Cuadernillo
Ejercitación Medidas de posición y dispersión
MATEMÁTICA
Mapa conceptual
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Medidas de posición
Nos permite estudiar las
Medidas de dispersión
Ejemplos de estas
medidas son
Medidas de tendencia central
Ejemplos de estas
medidas son
Percentil
El percentil x indica el valor
hasta el cual se encuentra el x%
de la muestra.
Decil
Promedio
x=
Dato mayor – Dato menor
Desviación estándar
x1 • f1 + x2 • f2 +...+ xk • fk
n
El decil x indica el valor hasta
el cual se encuentra el 10 • x%
de la muestra.
Moda
Quintil
Corresponde al dato que más
se repite.
El quintil x indica el valor hasta
el cual se encuentra el 20 • x%
de la muestra.
Mediana
Cuartil
Corresponde al valor central de
una muestra cuando los datos
están ordenados.
El cuartil x indica el valor hasta
el cual se encuentra el 25 • x%
de la muestra.
En datos agrupados
CUACAC051MT22-A17V1
Rango
En datos NO agrupados
σ=
�
(x1– x )2 + (x2– x )2 +...+ (xk – x )2
n
Varianza
σ2 =
(x1– x )2 + (x2– x )2 +...+ (xk – x )2
n
• El promedio se obtiene a partir de la
marca de clase.
• El intervalo modal es aquel intervalo
con mayor frecuencia.
• El intervalo que contiene la mediana
se determina de igual manera que en
datos no agrupados.
1
MATEMÁTICA
Ejercicios PSU
A continuación, se presentan los siguientes ejercicios, de los cuales sugerimos responder
el máximo posible y luego, junto a tu profesor(a), revisar detalladamente las preguntas
más representativas, correspondientes a cada grado de dificultad estimada. Solicita a tu
profesor(a) que resuelva aquellos ejercicios que te hayan resultado más complejos.
1. Un conjunto formado por 200 números enteros consecutivos se representa en una tabla de
distribución de frecuencias, conformada por 25 intervalos consecutivos de igual amplitud. ¿En
qué intervalo queda ubicado el segundo decil del conjunto?
A) B) C) D) E) 2. En la tabla adjunta se muestra la distribución de las edades de las personas que habitan en un
edificio de departamentos, agrupadas en intervalos. Entonces, el percentil 28 de la distribución se
encuentra en el intervalo
A)
B)
C)
D)
E)
En el intervalo 20.
En el intervalo 6.
En el intervalo 3.
En el intervalo 1.
En el intervalo 5.
[10, 20[
[50, 60[
[40, 50[
[20, 30[
[30, 40[
Edad (años)
Frecuencia
[0, 10[
[10, 20[
[20, 30[
[30, 40[
[40, 50[
[50, 60[
[60, 70]
3
5
9
21
28
25
9
3. La tabla adjunta muestra una distribución de frecuencias agrupada en 8 intervalos consecutivos
de igual amplitud. ¿En qué intervalo se encuentra el percentil 40 de la tabla?
Intervalo
Frecuencia
A) En el intervalo J.
B) En el intervalo L.
F
4
C) En el intervalo K.
G
5
D) En el intervalo F.
H
6
E) En el intervalo I.
I
7
J
8
K
9
L
10
M
2
11
CUADERNILLO
4. En la tabla adjunta se muestra el resultado del inventario de una bodega, donde se midió el largo
de todas las cajas guardadas en ella. Respecto a esta información, es correcto afirmar que
I)
II)
III)
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
5. Una institución de salud está midiendo el nivel de glucosa en la sangre de las personas para
conocer su riesgo de padecer diabetes. La tabla adjunta muestra los resultados de un grupo de
voluntarios a los que se les midió dicho nivel de glucosa. Respecto a esta información, ¿cuál de
los siguientes valores se encuentra en el intervalo [75, 100[?
A) Segundo quintil.
B) Tercer cuartil.
C) Tercer decil.
D)Mediana.
E) Percentil 87.
6. Se realizó un registro de los parques nacionales en cierta zona, agrupándolos según su superficie,
lo cual se muestra en la tabla adjunta. Es posible conocer la cantidad de parques registrados, si:
(1)
(2)
El segundo cuartil está en el intervalo [250.000, 500.000[.
El primer decil está en el intervalo [0, 250.000[.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
el percentil 85 se encuentra en el intervalo [30, 40[.
la mediana se encuentra en el intervalo [20, 30[.
el tercer quintil encuentra en el intervalo [20, 30[.
solo II.
solo I y II.
solo I y III.
solo II y III.
I, II y III.
Longitud (cm)
Frecuencia
[10, 20[
[20, 30[
[30, 40[
[40, 50]
12
15
9
4
Nivel de glucosa en
la sangre (mg/dl)
[50, 75[
[75, 100[
[100, 125[
[125, 150[
[150, 175]
Superficie (m2)
Frecuencia
[0, 250.000[
[250.000, 500.000[
[500.000, 750.000[
[750.000, 1.000.000[
4
x
8
y
Cantidad de
personas
8
71
64
42
15
3
MATEMÁTICA
7. El diagrama de caja de la figura adjunta representa la distribución de frecuencias de un conjunto.
Entonces, es correcto afirmar que
I)
el primer cuartil es 10.
II) el rango intercuartil es 18.
III) la mediana es 20.
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
8. El gráfico adjunto muestra las temperaturas máximas registradas durante un mes en una cierta
localidad. Todos los intervalos son de la forma [a, b[, excepto el último que es de la forma [c, d].
¿En qué intervalos se encuentran el segundo decil y el tercer cuartil, respectivamente?
10 12
solo I.
solo II.
solo I y II.
I, II y III.
ninguna de ellas.
B) [20, 24[ y [28, 32[
C) D) [24, 28[ y [32, 36]
E) [20, 24[ y [24, 28[
21
30
Frecuencia
A) [24, 28[ y [28, 32[
18
13
8
6
[20, 24[ y [32, 36]
3
20
24
28
32
36
Temperatura máxima (ºC)
9. El gráfico adjunto muestra un conteo de centrales eólicas, según su capacidad de generación
eléctrica en megavatios (MW), donde los intervalos son de la forma [a, b[ y el último es de la
forma [c, d]. ¿En qué intervalo se encuentra el tercer cuartil?
Frecuencia
A) [30 – 50[
B)
[50 – 70[
C)
[70 – 90[
D)
[90 – 110[
E)
[110 – 130]
5
4
3
1
10
30
50
70
90
110 130
Capacidad de generación (MW)
4
CUADERNILLO
10. El gráfico de frecuencia acumulada adjunto representa la cantidad de material diario extraído
por una empresa minera durante una cierta cantidad de días. Todos los intervalos son de la
forma [a, b[, excepto el último que es de la forma [c, d]. De acuerdo al gráfico, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
Frecuencia acumulada
I)
II)
III)
El percentil 16 se encuentra en el segundo intervalo.
El cuarto quintil se encuentra en el cuarto intervalo.
El cuarto decil se encuentra en el tercer intervalo.
80
A)
B)
C)
D)
E)
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
Ninguna de ellas.
35
60
20
15
0
1
2
3
4
5
Cantidad de material (Toneladas)
11. El gráfico adjunto muestra la cantidad de licencias de conducir entregadas en un año, agrupadas
por la edad del conductor, en años, donde los intervalos son de la forma [a, b[ y el último es de
la forma [c, d]. ¿Cuál(es) de las siguientes medidas de posición se encuentra(n) en el intervalo
[34, 51[?
Cantidad de licencias
I)
Segundo cuartil.
(miles)
II) Tercer quintil.
410
III) Cuarto decil.
390
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I y II.
Solo I y III.
Solo II y III.
I, II y III.
Ninguno de ellos.
180
20
17
34
51
68
85
Edad
(años)
12. ¿Cuál es la varianza del conjunto {5, 6, 8}?
3
A)
2
14
B)
9
5
C)
3
D)3
19
E)
3
5
MATEMÁTICA
Estrategia de síntesis
En la tabla adjunta se pide encontrar
los intervalos donde se encuentran
el primer, segundo y tercer cuartil.
¿Qué columnas se deben agregar
para determinarlos?
Datos
[0, 5[
[5, 10[
[10, 15[
[15, 20[
[20, 25[
[25, 30]
13. La desviación estándar del conjunto {2, 2, 8} es
A)6
8
B)
3
C)2�2
D)
8
�
E) 8
3
6
14.
La varianza del conjunto {11, 13, 15, 17, 19} es
A) B) C) D) E) 6
4
2
8
5
Frecuencia
12
15
18
9
16
10
CUADERNILLO
15. En una competencia de gimnasia artística que consta de cuatro pruebas, Paulina obtiene 6,5
puntos en la primera, 7,2 puntos en la segunda, 6,8 puntos en la tercera y 6,7 puntos en la cuarta.
¿Cuál es la varianza de los puntajes obtenidos por Paulina en las cuatro pruebas?
A) B) C) D) E) 0,065
0,255
0,26
0,29
0,015
16. Se tiene un conjunto formado por un número real positivo n, por la mitad de n y por el doble de n.
La desviación estándar del conjunto es siempre
�
�
�
�
A)
7
•n
6
B)
1
•n
2
7
C) • n
18
5
D) • n
6
E)
es independiente del valor de n.
17. Sean a, b y c las edades, en años, de tres hermanos, tal que a, b y c tienen distintos valores entre
sí. Se puede determinar el valor numérico de la varianza entre las edades de los tres hermanos,
si:
(1) La diferencia entre b y a, en ese orden, es de tres años.
(2) La diferencia entre c y b, en ese orden, es de tres años.
A) B) C) D) E) (1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) o (2).
Se requiere información adicional.
7
MATEMÁTICA
18. A los estudiantes de cinco cursos de un preuniversitario se les aplicó un ensayo PSU de
Matemática, cuyos promedios y desviaciones estándar se muestran en la tabla adjunta. ¿Cuál de
las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
Curso
Promedio
(puntos)
A
B
C
D
E
620
560
600
590
575
Desviación
estándar
(puntos)
82
32
65
41
41
A) Todos los cursos a los que se les aplicó el ensayo tienen la misma cantidad de estudiantes.
B) Los puntajes menos dispersos son los obtenidos por los estudiantes del curso B.
C) El estudiante que obtuvo el mayor puntaje, considerando a todos los que rindieron el ensayo,
está en el curso A.
D) La cantidad de estudiantes del curso A es el doble de la cantidad de estudiantes del curso
E.
E) La varianza de los puntajes es distinta en todos los cursos en los que se aplicó el ensayo.
19. De una población estadística compuesta por los números 2, 5, 6, 2, 11 y 6, se toma una muestra
de tamaño 4, sin orden y sin reposición, de manera que posee la mayor media dentro de las
muestras de este tipo. ¿Cuál es la desviación estándar de dicha muestra?
A) �66
3
B) �42
2
�
C) 14
D) E)
8
�22
2
11
2
CUADERNILLO
20. La desviación estándar de los datos del gráfico adjunto, obtenida a partir de la marca de clase, es
A)2�21
B)20
C)
D)
E)
�42
Frecuencia
relativa
porcentual
70
30
�21
50
No se puede determinar.
40
60
80
Datos
21. Sea el conjunto {s, t, u}, formado por números enteros distintos entre sí, cuya desviación estándar
es m. ¿Cuál es la desviación estándar del conjunto {(2s + 1), (2t + 1), (2u + 1)}?
A)2m + 1
B)
m
C)2m
D)
m+1
E)
m�2
22. Al observar los grupos de datos X, Y y Z de la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I) La varianza del grupo X es igual a la varianza del grupo Y.
II) El rango del grupo Z es igual al doble del rango del grupo Y.
III) La desviación estándar del grupo Z es el doble de la desviación estándar del grupo X.
X
8
9
10
11 12
A) Solo II
B) Solo I y II
Y
13 14
15
16 17
C) Solo I y III
Z
16 18
20
22 24
D) Solo II y III
E) I, II y III
9
MATEMÁTICA
23. Se tienen los conjuntos A = {7, 8, 9, 10} y B = {14, 15, 16, 17}. Es correcto afirmar que A y B tienen
igual
I)rango.
II)promedio.
III) varianza.
Es (son) verdadera(s)
A) B) C) D) E) solo I.
solo I y II.
solo I y III.
solo II y III.
I, II y III.
24. Sean los conjuntos S = {k, m, p} y T = {2k + 1, 2m + 1, 2p + 1}, con 0 < k < m < p. ¿Para cuál(es)
de los siguientes parámetros ocurre que su valor en T es siempre el doble de su valor en S?
I)
II)
III)
El promedio.
El rango.
La desviación estándar.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo para III
Solo para I y para III
Solo para II y para III
Para I, para II y para III
Para ninguno de ellos.
25. ¿En cuál(es) de las siguientes situaciones se cumple que la desviación estándar y el promedio
son siempre iguales?
10
I) Tres números impares positivos consecutivos.
II) Tres múltiplos positivos consecutivos de un número.
III) Dos números pares positivos consecutivos.
A) B) C) D) E) Solo en I
Solo en II
Solo en III
Solo en II y en III
En ninguna de ellas.
CUADERNILLO
Torpedo Datos y Azar
Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y
estúdialo, ya que te podría ser de utilidad al momento de la ejercitación.
Glosario Datos
•
Población: conjunto sobre el cual se • Frecuencia relativa: proporción del dato
realiza el estudio estadístico.
dentro del total de la muestra.
• Muestra: subconjunto de la población • Frecuencia
porcentual:
frecuencia
utilizada como datos en el estudio
relativa en forma de porcentaje.
estadístico.
• Frecuencia
acumulada:
suma
de
• Variables cuantitativas: variables que
frecuencias desde el primer valor hasta el
representan una propiedad numérica.
valor indicado.
Pueden ser discretas (ciertos valores fijos)
o continuas (ciertos valores dentro de un • Clases: intervalos donde se encuentran
agrupado los datos de una variable
intervalo).
estadística continua.
• Frecuencia absoluta (o frecuencia):
número de veces que aparece un dato • Marca de clase: valor representativo de
un intervalo o clase. Se obtiene calculando
dentro de la muestra o cantidad de
el promedio entre los extremos de un
elementos que agrupa un determinado
intervalo.
intervalo.
Tipos de gráficos
De barras
Frecuencia
Polígono de frecuencia
Frecuencia
f4
f5
f2
f3
fi
xi
Dato
f1
x1 x2 x3 x4 x5
Circular
Dato
Histograma
Frecuencia
100
200
300
400
Dato
El histograma se utiliza para datos agrupados. En el gráfico circular, la información se
representa en porcentajes.
11
MATEMÁTICA
Tablas
Dato
Frecuencia
Frecuencia
acumulada
x1
f1
f1
f1
x2
f2
f1+f2
f2
..
.
..
.
..
.
xk
Frecuencia
porcentual
f1+f2+... +fk
=N
fk
N
N
fk
N
• 100%
• 100%
..
.
Intervalos
de pesos
Marca de
clase
Frecuencia
[35 – 56[
35+56
2
17
[56 – 76]
56+76
2
8
• 100%
Medidas de tendencia central en datos no agrupados
Moda: dato que más se repite dentro de la
muestra
(¡NO CONFUNDIR CON LA FRECUENCIA DE
LA MODA!)
Si todos los datos tienen la misma frecuencia,
no existe moda (amodal). En una muestra
puede haber más de un moda.
Promedio o media aritmética:
x=
x1 · f1 + x2 · f2+ x3 · f3 + ... + xk · fk
xk : Dato
fk : Frecuencia del dato
Mediana: valor que ocupa la posición central
de una muestra (¡OJO! Los datos deben estar
ORDENADOS)
Sea una muestra con una cantidad N de datos:
Si N es un número impar, entonces la mediana
es el dato que ocupa el lugar número
N+1
2
.
Si N es un número par, entonces la mediana
es el promedio entre los datos que ocupan los
N
+ 1.
lugares N y
2
N
2
Glosario Azar
•
Experimento aleatorio: actividad cuyo
resultado no se puede predecir a pesar de
que se manejen todas las condiciones.
•
Espacio muestral: conjunto de todos
los posibles resultados distintos de un
experimento.
•
Evento o suceso: subconjunto del espacio
muestral que cumplen con alguna condición.
•
Suceso imposible: evento que no tiene
elementos, es decir, la probabilidad de que
ocurra es nula.
•
Suceso seguro: evento cuyo elementos son
los mismos que los del espacio muestral, es
decir, la probabilidad de que ocurra es uno,
siempre ocurrirá.
•
Eventos mutuamente excluyentes: eventos
que no tienen ningún elemento en común, es
decir, no ocurren simultáneamente.
•
Eventos independientes: eventos cuya
ocurrencia de cada uno no afecta la
probabilidad de ocurrencia del otro.
Sea A un evento en un determinado experimento aleatorio. 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A) =
12
número de casos favorables
número de casos totales
⇒ P (no A) = 1 – P(A)
CUADERNILLO

Tabla de corrección
Ítem
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Clave
Habilidad
Dificultad Estimada
Comprensión
Aplicación
Aplicación
Aplicación
ASE
ASE
Comprensión
Aplicación
Aplicación
ASE
ASE
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
ASE
ASE
Comprensión
Aplicación
ASE
Comprensión
Comprensión
Comprensión
Aplicación
ASE
Media
Fácil
Media
Media
Fácil
Media
Fácil
Media
Fácil
Difícil
Media
Media
Media
Media
Media
Difícil
Difícil
Difícil
Media
Media
Media
Media
Fácil
Difícil
Media
13
MATEMÁTICA
Mis apuntes
14
CUADERNILLO
Mis apuntes
15
_____________________________________________________
Han colaborado en esta edición:
Directora Académica
Paulina Núñez Lagos
Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional
Katherine González Terceros
Equipo Editorial
Rodrigo Cortés Ramírez
Pablo Echeverría Silva
Andrés Grandón Guzmán
Equipo Gráfico y Diagramación
Pamela Martínez Fuentes
Vania Muñoz Díaz
Elizabeth Rojas Alarcón
Equipo de Corrección Idiomática
Paula Santander Aguirre
Imágenes
Banco Archivo Cpech
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obtener los permisos correspondientes para utilizar las
distintas obras con copyright que aparecen en esta
publicación. En caso de presentarse alguna omisión
o error, será enmendado en las siguientes ediciones a
través de las inclusiones o correcciones necesarias.
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