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El triángulo, un polígono con propiedades especiales
Identificación de una propiedad particular de los
triángulos rectángulos presente en el teorema de Pitágoras
Introducción
1. Dibuja la ficha de la reina en 5 posiciones diferentes y con diferentes colores marca los movimientos
necesarios para formar triángulos.
A
B
C
D
E
F
G
H
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
A
B
C
D
E
F
G
H
Figura 1. Tablero ajedrez con Reina
2. Responde las preguntas sobre los movimientos de la reina y los triángulos que formaste.
a) ¿Puedes formar triángulos con los movimientos de la reina? Justifica tu respuesta
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
b) ¿Cuántos movimientos debes realizar con la reina para formar un triángulo? Justifica tu respuesta
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
1
Objetivos de aprendizaje
El estudiante determina una propiedad de los triángulos rectángulos para introducir el teorema
de Pitágoras.
El estudiante identifica los triángulos rectángulos por sus características y propiedades.
El estudiante encuentra relaciones especiales a partir de recubrimientos al triángulo rectángulo.
Actividad 1
Caminos de la reina
Ejercicio 1
1. Observa los movimientos de la reina y los triángulos que se forman. Luego, responde las preguntas.
Figura 2. Tablero ajedrez - trasado 1
a) ¿Qué tienen en común estos triángulos?
____________________________________________________________________________________________________
b) ¿Cómo son sus lados?
___________________________________________________________________________________________________
2. Completa la siguiente frase de acuerdo con lo visto en el recurso interactivo. Luego, señala con
color verde los ángulos rectos y con color azul los lados iguales en los triángulos rectángulos.
2
Los ________________ que tienen un ángulo recto se llaman triángulos ________________________ y en
particular estos, como tienen dos lados ______________, se llaman ____________________ rectángulos
isósceles.
Figura 3. Tablero ajedrez - trasado 2
3. Escribe los números de las etiquetas a los elementos correspondientes sobre los triángulos
rectángulos que formó el camino de la reina en cada caso.
1. Ángulo recto
3. Ángulos agudos
2. Lado de mayor longitud
4. Lados
a)
b)
Figura 4. Tablero ajedrez - trasado 3
Figura 5. Tablero ajedrez - trasado 4
3
c)
Figura 6. Tablero ajedrez - trasado 5
4. Responde las preguntas sobre los triángulos rectángulos, de los cuales acabas de identificar sus
elementos.
a) ¿Qué característica tienen en común todos los lados de mayor longitud?
______________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________
b) ¿Qué característica tienen en común los lados del triángulo que no corresponden al de mayor
medida
______________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________
5. Completa la siguiente frase de acuerdo con lo visto en el recurso interactivo. Luego, resalta con verde
la hipotenusa y con rojo los catetos de cada triángulo.
El lado _____________ al ángulo recto en un
triángulo __________________ se denomina
hipotenusa y los ____________ que forman el
ángulo __________ se llaman catetos.
Figura 7. hipotenusa-catetos
4
A
B
Figura 8. Triángulo 1
Figura 9. Triángulo 2
C
D
Figura 10. Triángulo 3
Figura 11. Triángulo 4
E
F
Figura 12. Triángulo 5
Figura 13. Triángulo 6
5
Actividad 2
Desbaratando el tablero de ajedrez
Ejercicio 1
1. Recorta las piezas del rompecabezas del tablero de ajedrez (Ver anexo), ármalo y pégalo en el
siguiente recuadro. Luego, completa la frase, de acuerdo con lo visto en el recurso interactivo.
Cada una de las __________ del rompecabezas tiene un _____________ y al unirlas forman
el tablero de ________________ completo, es decir, que al _____________ todas las áreas,
obtenemos el ______________ _______________ del tablero de ajedrez.
6
2. Observa los siguientes triángulos rectángulos y los cuadrados que se construyeron sobre sus
lados.
Figura 14. Composición triángulos rectángulos y cuadrados
Compara los cuadrados que se construyeron sobre las hipotenusas, con los cuadrados construidos
sobre los catetos de cada triángulo. Ten en cuenta sus áreas.
Escribe una conclusión sobre la comparación.
Nota: no olvides comparar tu conclusión con la propuesta en el recurso interactivo.
7
3. Completa la conclusión propuesta en el recurso interactivo.
Figura 15. Triángulos rectángulos y cuadrados 1
Figura 16. Triángulos rectángulos y cuadrados 2
Figura 17. Triángulos rectángulos y cuadrados 3
La suma del ______________ de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al
área del ___________________ construido sobre la ______________________.
Escribe la conclusión como una expresión matemática y teniendo en cuenta el siguiente triángulo
rectángulo. Luego, compárala con la propuesta en el recurso interactivo.
8
Expresión matemática
h
a
b
Figura 18. Gráfico teorema pitágoras
Esta expresión se conoce como el Teorema de Pitágoras. Observa su aplicación para hallar la
medida de uno de los catetos.
La suma del área de los cuadrados construidos
a2 + b2 = h2
sobre los catetos, es igual al área del cuadrado
construido sobre la hipotenusa.
Observa un ejemplo de la aplicación del Teorema de Pitágoras.
h = ¿?
a = 5 cm
a2 + b2 = h2
52 + 122 = h2
25 + 144 = h2
169 = h2
√169 = √h2
13 = h
b = 12 cm
Figura 19. Gráfico teorema pitágoras-Ejercicio 1
Aplicando e
l Teorema
de Pitágoras
encontramo
s
que la hipo
tenusa del
triángulo re
ctángulo
mide 13 cm
.
4. Aplica el Teorema de Pitágoras para hallar la medida de cada hipotenusa.
a = 12 m
a = 8m
b = 5m
h = ¿?
h = ¿?
b = 15m
a
Figura 20. Gráfico teorema pitágoras-Ejercicio 2
Figura 21. Gráfico teorema pitágoras-Ejercicio 3
9
b
h = ¿?
a = 3m
c
b = 4m
Figura 22. Gráfico teorema pitágoras-Ejercicio 4
h = ¿?
a = 1m
d
b = 2m
Figura 23. Gráfico teorema pitágoras-Ejercicio 5
a = 1m
b = 1m
h = ¿?
e
Figura 24. Gráfico teorema pitágoras-Ejercicio 6
¿Qué pasaría si lo que desconoces es uno de los catetos?
5. Aplica el Teorema de Pitágoras para hallar, expresiones matemáticas, que te permitan hallar el
valor del cateto a, desconocido en el siguiente triángulo. Luego, compáralas con las expresiones
propuestas en el recurso interactivo.
a
h
b
Figura 25. Gráfico teorema pitágoras-catetos
10
6. De acuerdo con lo visto en el recurso interactivo, completa las expresiones matemáticas que te
permiten hallar directamente el valor de un cateto.
= h2 - b2
b 2 = 2 - a2
2
a = √ 2 - b2
= √ h2 - 2
7. Relaciona cada triángulo con la expresión que te permite hallar directamente el valor de su
incógnita.
m
m
m
m
m
m
h2 = a2 + b2
b2 = h2 - a2
a2 = h2 - b2
8. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, aplicando el Teorema de Pitágoras.
15
12
12
12
x
20
20
40
c
Figura 28. Teorema pitágoras - Ejercicio
6 38
b
b
b
9
9
40
40
5
5
9
40
d
Figura 29. Teorema pitágoras - Ejercicio
4
r
8
b 8
9
y
y
6 20
620
6b
y
y
x
x
15
Figura 27. Teorema pitágoras - Ejercicio 2
20
x
15
15
a
a
Figura 26. Teorema pitágoras - Ejercicio20
1
12
17
15
a
a
a
20
20
17
17
x
x
15
15
x
x
15
17
75
8
7
11
5 r
7
7
r
r
20
20
6
6
b
8
b
40
40
5
8
7
5
r
7
r
e
Figura 30. Teorema pitágoras - Ejercicio 5
f
Figura 31. Teorema pitágoras - Ejercicio 6
Actividad 3
Triángulos rectángulos en la vida real
Ejercicio 1
1. Observa tres maneras diferentes de construir un triángulo rectángulo. Practícalas siguiendo los
pasos indicados.
A)
Const
rucc
# 1 ión
B
, se traza el
ra
d
a
u
c
s
e
la
l
1. Utilizando
vechando e
ro
p
a
C
B
A
ángulo recto
la escuadra.
e
d
to
c
re
lo
,
ángu
ta el triángulo
le
p
m
o
c
se
la
2. Y con la reg
trazando AC.
A
A
Práctica:
Figura 32. Ejercicio escuadra
12
B
C
C
B)
Const
rucc
# 2 ión
C
C
cia.
a circunferen
n
u
a
z
a
tr
e
S
.
1
circunferencia
la
e
d
o
tr
e
m
diá
2. Se traza el
E
CE.
circunferencia.
la
n
e
D
to
n
u
np
3. Se escoge u
C.
4. Se traza D
E.
5. Se traza D
D
C
E
E
D
Figura 33. Ejercicio circunferencia
Práctica:
C)
C
E
D
Const
rucc
# 3 ión
E
F
gmento FG.
se
n
u
a
z
a
tr
e
1. S
ador
del transport
a
d
u
y
a
n
o
c
2. Se traza
90° EFG.
un ángulo de
gmento EG.
se
l
e
a
z
a
tr
e
3. S
F
G
E
G
F
G
Figura 34. Ejercicio Ángulo 90°
13
Práctica:
2. Identifica y subraya todos los triángulos rectángulos en cada imagen. Luego, compara tu conteo
con el propuesto en el recurso interactivo.
Figura 35. Ventana 1
Figura 36. Ventana 2
3. Encierra la imagen que crees que modela la siguiente situación y justifica tu respuesta. Luego,
resuelve el problema aplicando el Teorema de Pitágoras.
¿A qué distancia de la pared habrá que colocar el pie
de una escalera de 65 dm de longitud, para que la
parte superior se apoye en la pared a una altura de
52 dm?
14
h
65 dm
25 dm
52 dm
65 dm
d
Figura 37. Escaleras
15
52 dm
l
25 dm
Anexo actividad 2, ejercicio 1, página 6.
16
1. Escribe los componentes del triángulo rectángulo. Luego, completa sus características, de
acuerdo con lo visto en el recurso interactivo.
Figura 38. Componentes del triángulo rectángulo
Catetos: _____________ que forman el ángulo __________________ en un triángulo
_________________________.
Hipotenusa: lado ______________ al _____________ recto en un ________________ rectángulo.
2. Completa las diferentes expresiones matemáticas del Teorema de Pitágoras aplicado al siguiente
triángulo rectángulo.
a
h
b
17
a)
=
+
b)
=
- b2
c)
a=√
d)
b2 = h2 -
e)
b=√
-
-
18
1. Construye de acuerdo a lo aprendido tres triángulos rectángulos, marca con colores diferentes:
el ángulo recto, los catetos y la hipotenusa.
Triángulo 1
Triángulo 2
Triángulo 3
19
2. Recorta las partes en las que quedó dividido el área de los cuadrados construidos sobre los
catetos del triángulo rectángulo, luego, cubre con estas partes el cuadrado construido sobre la
hipotenusa, cuando no hayan espacios ni estén sobrepuestas las partes, pégalas.
A)
B)
20
C)
3. Utilizando la relación pitagórica, identifica cuáles de las siguientes ternas corresponden a
medidas de triángulos rectángulos. Realiza los dibujos de cada uno.
(3,5,7)
21
(9,40,41)
(10,50,51)
(3,4,5)
22
4. Identifica en la figura cuántos triángulos rectángulos ves. Verifica el ángulo recto con la escuadra
o el transportador.
Figura 39. ¿Cuántos ves?
23
5. De acuerdo a la siguiente figura marca el triángulo rectángulo que ves, y aplica el Teorema de
Pitágoras para hallar la longitud de la escalera.
15
8
Figura 40. Arból - Escalera
24
Lista de figuras
Figura 1. Tablero ajedrez con Reina
Figura 2. Tablero ajedrez - trasado 1
Figura 3. Tablero ajedrez - trasado 2
Figura 4. Tablero ajedrez - trasado 3
Figura 5. Tablero ajedrez - trasado 4
Figura 6. Tablero ajedrez - trasado 5
Figura 7. hipotenusa-catetos
Figura 8. Triángulo 1
Figura 9. Triángulo 2
Figura 10. Triángulo 3
Figura 11. Triángulo 4
Figura 12. Triángulo 5
Figura 13. Triángulo 6
Figura 14. Composición triángulos rectángulos y cuadrados
Figura 15. Triángulos rectángulos y cuadrados 1
Figura 16. Triángulos rectángulos y cuadrados 2
Figura 17. Triángulos rectángulos y cuadrados 3
Figura 18. Gráfico teorema pitágoras
Figura 19. Gráfico teorema pitágoras-Ejercicio 1
Figura 20. Gráfico teorema pitágoras-Ejercicio 2
Figura 21. Gráfico teorema pitágoras-Ejercicio 3
Figura 22. Gráfico teorema pitágoras-Ejercicio 4
Figura 23. Gráfico teorema pitágoras-Ejercicio 5
Figura 24. Gráfico teorema pitágoras-Ejercicio 6
Figura 25. Gráfico teorema pitágoras-catetos
25
Figura 26. Teorema pitágoras - Ejercicio 1
Figura 27. Teorema pitágoras - Ejercicio 2
Figura 28. Teorema pitágoras - Ejercicio 3
Figura 29. Teorema pitágoras - Ejercicio 4
Figura 30. Teorema pitágoras - Ejercicio 5
Figura 31. Teorema pitágoras - Ejercicio 6
Figura 32. Ejercicio escuadra
Figura 33. Ejercicio circunferencia
Figura 34. Ejercicio Ángulo 90°
Figura 35. Ventana 1
Figura 36. Ventana 2
Figura 37. Escaleras
Figura 38. Componentes del triángulo rectángulo
Figura 39. ¿Cuántos ves?
Figura 40. Arból - Escalera
26