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Funciones
Gráficas
Variables
1) Si flexionamos un cuadrado articulado, ¿qué es lo que cambia? ¿qué se mantiene?.
¿Qué valores puede tomar la variable altura?
¿Cómo podemos expresar estos valores?
¿Qué puede decirse del área según varía la altura?
¿Puede expresarse la dependencia entre el área y la altura mediante una fórmula?
¿Qué valores puede tomar el ángulo?
2) ¿Qué variables aparecen cuando se llena de agua una piscina? Expresa la dependencia entre
esas variables mediante una fórmula.
Gráficas
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Funciones
Tablas, gráficas y fórmulas
1) Hemos tomado las distancias recorridas por un tren que
circula a velocidad constante y se han obtenido los siguientes valores:
t
1 2 3 4
5
6
7
8
d 2 4 6 8 10 12 14 16
a) Representar gráficamente los puntos de la tabla anterior.
b) Cuáles de los siguientes puntos corresponden al movimiento del tren? (9 ,18) ; (2'5 , 5) ;
(11, 23) ; (13 , 28) ; (15'6 , 31'2) .
c) Busca la relación entre variables.
2) Dadas las siguientes tablas, representar las parejas de puntos sobre unos ejes de coordenadas (la
variable superior en el eje horizontal y la inferior en el eje vertical) y encontrar la fórmula que
relaciona las dos variables.
a)
d)
t 1
4
6
10 15
e 3 12 18 30 45
b)
x 1 2 3
7
y 5 7 9 17
c)
m 1 2
c
3
4
9
4 9 14 19 44
m 1 2 3
e
4 2 0
Ecuación de una recta
Del apartado anterior deducimos que la ecuación de una recta viene dada por la expresión:
y  ax  b
donde “a” es la pendiente de la recta (su valor nos indica la inclinación de la recta respecto al
eje horizontal o eje OX) y “b” es la ordenada en el origen (su valor nos indica el punto donde la recta corta al eje vertical o eje OY).
 Si a  0 y b  0 la expresión y  ax se denomina función lineal o función de proporcionalidad directa, es decir, una función de proporcionalidad directa es
aquella en la que el valor de “y” es igual a un número real multiplicado
por “x”.
 Si a  0 y b  0 la expresión y  ax  b se denomina función afín.
 Si a  0 y b  0 la expresión y  b se denomina función constante.
En general a una expresión de la forma y  a x  b la denominaremos función lineal.
Gráficas
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Funciones
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Primer método: Calculando directamente la pendiente
Dadas las coordenadas de dos puntos (x 0 , y 0 ) y (x1 , y1 ) , la ecuación de la recta que pasa por
ellos viene dada por la expresión:
y  y 0  m (x  x 0 )
y  y 1  m (x  x1 )
ó
donde “m” representa la pendiente de la recta y cuyo valor es:
m
Ejemplo:
y1  y 0
x1  x 0
ó
m
y 0  y1
x 0  x1
Si los puntos son (6 , 4) y (10 ,12) tenemos:
(x 0 , y 0 )  (6 , 4)
(x1 , y1 )  (10 ,12)
La pendiente de esta recta es:
m
y1  y 0 12  4 8

 2
x 1  x 0 10  6 4
ó
m
y 0  y1 4  12  8


2
x 0  x 1 6  10  4
La ecuación de la recta es:
y  4  2 ( x  6)  y  4  2x  12  y  2x  8
ó
y  12  2 ( x  10)  y  12  2x  20  y  2x  8
Segundo método: Resolviendo un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Cada pareja de puntos debe verificar la ecuación de la recta, es decir y  a x  b .
Ejemplo:
Para el punto (6 , 4) quiere decir que si en la ecuación de la recta sustituimos la
“x” por 6 entonces la “y” vale 4 y para el punto (10 ,12) quiere decir que si en la
ecuación de la recta sustituimos la “x” por 10 entonces la “y” vale 12.
(6 , 4)  4  6 a  b
(10 ,12)  12  10 a  b
Resolvemos el sistema formado por estas dos ecuaciones:
4  6a  b 
b  4  6 a
 4  6 a  12  10 a  10 a  6 a  12  4
  
12  10 a  b
b  12  10 a
4 a  8  a  2  b  4  6 a  4  6  2  8
Le ecuación de la recta es pues:
Gráficas
y  2x  8
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Funciones
Funciones lineales
1) El crecimiento de un feto de más de 12 semanas de gestación se calcula mediante la fórmula
L  1 53 t  67 , donde L es la longitud (en cm) y t es el tiempo (en semanas). Calcula la longitud de un feto de 14 semanas.
2) Se puede calcular el peso esperado W (en toneladas) de una ballena jorobada a partir de su longitud L (en metros), mediante la fórmula W  928  135 L .
a) Calcula el peso de un ejemplar de 8 metros de largo.
b) Si una ballena pesa 20 Tm. calcula su longitud.
c) Representa gráficamente el peso en función de la longitud.
3) Un bebé pesa al nacer 3 kg y medio, y tres años después alcanza 18 Kg. Suponemos que el peso
P en la infancia está relacionado linealmente con la edad t.
a) Expresa P en términos de t.
b) Calcula cuanto pesaría a los 2 años y medio.
c) Representa gráficamente el peso en función de la edad.
4) Un joven recibe, por parte de un familiar, un préstamo de 8250 € sin intereses para comprarse
un coche. Deberá pagar 125 € al mes hasta saldar la deuda.
a) Representa una gráfica que muestre la relación entre la cantidad a pagar P (en euros) y el
tiempo t ( en meses)
b) Encuentra un expresión que dé dicha cantidad a pagar P en términos de t
c) ¿Después de cuántos meses deberá 5000 €?
5) En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas: 50 cts. por el simple hecho de subirse al taxi y 40
cts. por Km. recorrido. Obtener el precio P del viaje en función del número x de kilómetros recorridos y representar la función gráficamente.
6) Representa las rectas siguientes mediante sus cortes con los ejes:
3
1
a ) y  3x  6 b) L  5t  3 c) y  x  1 d) y   x  5 e) e   t  3
2
2
f) y 
x 3
5
7) La pendiente de una recta es 3 y su ordenada en el origen es 1. Represéntala gráficamente y
escribe su ecuación.
8)
a) Calcula las pendientes de las rectas r, s y t
de la figura.
b) Calcula los puntos de corte con los ejes
de cada una de ellas.
c) Escribe las ecuaciones de cada una de estas rectas.
d) Calcula la ecuación de la recta que pasa
por los punto A y B.
Gráficas
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Funciones
Sistemas de ecuaciones lineales
1) Obtén dos soluciones distintas para 9x  4 y  1 .
2) Resuelve analíticamente y representa gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
x  3y  7


5x  2 y  16
b)
2x  5y  12

7 x  2 y  11
c)
x  2y  5 

4x  y  13
d)
x  4y  3


6x  5y  11
3) En la panadería, Juan pagó 3 € por 5 barras de pan y 3 ensaimadas. Si Maribel pagó 1 € por 2
barras de pan y 1 ensaimada, ¿cuál es el precio de la barra de pan y el de la ensaimada?
4) Con dos clases de café de 5 €/kg. y 7 €/kg. se quiere obtener una mezcla de 6 €/kg. Halla la
cantidad que hay que mezclar de cada clase para obtener 30 kg. de mezcla.
5) ¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo si uno mide 50º y la diferencia entre los otros dos es
30º?
6) Encuentra dos números sabiendo que la mitad de su suma es 218 y el doble de su diferencia es
116.
7) En un triángulo isósceles de 14 cm. de perímetro el lado desigual es tres veces menor que cada
uno de los otros lados. ¿Cuánto miden los lados?
8) Hoy la edad de un hijo es 1 año menos que 1/3 de la de su madre. Si dentro de 5 años, la edad
de su madre será 10 años mayor que el doble de la de su hijo, ¿qué edad tienen?
9) El perímetro de un rectángulo mide 28 cm. Calcula el área de este rectángulo sabiendo que uno
de sus lados tiene 4 cm. más que el otro.
10) La razón de dos números es 2/3. Si se añaden 20 unidades al más pequeño y 5 al más grande la
razón se invierte. ¿De qué número se trata?
11) La suma de las dos cifras de un número es 8. Si al número se le añaden 18, el número resultante
está formado por las mismas cifras en orden inverso. Halla el número.
12) Las edades de una madre y un hijo suman 83 años. Cuando la madre tenía la edad del hijo, sus
edades sumaban 33 años. Averigua la edad de cada uno.
13) El cociente de una división es 3 y el resto 5. Si el divisor disminuye en 2 unidades, el cociente
aumenta en 1 unidad y el nuevo resto es 1. Hallar el dividendo y el divisor.
14) Un padre quiere repartir el dinero que lleva en el bolsillo entre sus hijos. Si a cada hijo le da
42 € le sobran 1 2 €, pero si le da a cada uno 48 € le faltan 1 2 €. ¿Cuánto dinero lleva en el
bolsillo y cuántos hijos tiene?
15) Dos números suman 51. Si el primero lo dividimos entre 3 y el segundo entre 6, los cocientes
se diferencian en 1. Halla los números.
Gráficas
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Funciones
Parábolas
1) Un grupo de jóvenes amantes de los deportes de riesgo han decidido hacer puenting desde un
puente de 185 m de altura. Van lanzándose con cuerdas de diferentes longitudes y midiendo el
tiempo que tardan en sentir el tirón de la cuerda en sus pies. Al final de la jornada han recopilado todos estos datos en una tabla:
t (s)
1
2
3
4
5
6
e(m) 5 20 45 80 125 180
a) Representa en un sistema de ejes de coordenadas esas parejas de valores.
b) Trata de encontrar una expresión algebraica que reproduzca esa tabla.
2) Un estudiante deseoso de comprobar en propia carne la ley de la gravedad, se lanza, cronómetro en mano, desde la terraza de un rascacielos de 320 m de altura en caída libre. Según las previsiones científicas su distancia al suelo, medida en metros, a los t segundos de haberse lanzado
es de h(t )  5t 2  320 .
a) Dibuja la gráfica tiempo/altura en unos ejes coordenados.
b) ¿Cuánto tiempo tardará el estudiante en estrellarse con el suelo?
Ecuación de 2º grado
La fórmula para calcular las raíces de la ecuación completa de segundo grado ax 2  bx  c  0 es:
x
b  b 2  4ac
2a
Número de soluciones
La cantidad b 2  4ac que aparece bajo el radical se llama discriminante de la ecuación, ya que
permite discriminar o distinguir el número de soluciones de una ecuación de segundo grado, y de su
signo depende que ésta tenga o no soluciones.
 Si b 2  4ac  0 existen dos soluciones distintas. Si las soluciones son x 1 y x 2 , la ecuación puede factorizarse así:
a ( x  x1 ) ( x  x 2 )  0
 Si b 2  4ac  0 el radical se anula, y las dos soluciones son iguales. Se dice también que
se trata de una solución o raíz doble.
Si la raíz doble es x 1 , la ecuación puede factorizarse así:
a ( x  x 1 ) ( x  x 1 )  a ( x  x1 ) 2  0
Gráficas
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Funciones
 Si b 2  4ac  0 no existen raíces cuadradas reales y la ecuación no tiene soluciones
reales. En este caso se dice que la ecuación es irreducible ya que no se puede factorizar al
carecer de raíces reales.
Ejemplos: Obtener las soluciones de las siguientes ecuaciones de 2 º grado:
a ) 3x 2  5x  0
b) 2 x 2  8x  0
e) x 2  14x  49  0
h ) 4x 2  4x  1  0
k) x 2  x  1  0
1
0
100
g) 4(3  2x)(1  7x)  0
c) x 2  81  0
f ) (x  2)(3x  1)  0
i) 4x 2  28x  49  0
d) 25x 2 
j) 3x 2  18x  27  0
l) x 2  x  1  0
Soluciones
x 1  0

a) 
5
x 2  3
3

x1  2
g) 
x   1
 2
7
x 1  0
b) 
x 2  4
h) x 
1
2
x 1  9
c) 
x 2  9
i) x 
7
2
1

x 1   50
d) 
x  1
 2 50
j) x  3
x 1  2

e) x  7 f ) 
1
x 2  3
k ) y l) no tienen solución.
Problemas sobre ecuaciones de 2º grado
1) Cuando sumamos el triple de un número al cuadrado del mismo, la suma es 4. Determine el
(los) número(s).
2) El producto de 2 números consecutivos es 462. Determinar los números.
3) Al sumar 3 unidades a un número su cuadrado nos da 9. Calcula el número.
4) Si cada uno de los 2 lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros 2 lados se
disminuye en 2 cm., el área del rectángulo resultante supera en 32 cm2 el área del cuadrado original. Encuentre la longitud del lado del cuadrado original.
Soluciones
1) Los números son el  4 y el 1.
2) Los números son el  22 y el 21.
3) Hay dos números el  6 y el 0.
4) Resolviendo la ecuación se obtienen dos soluciones, de las cuales sólo es válida la positiva
x 8.
Gráficas
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Funciones