Download MÓDULO I. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LOS LLANOS OCCIDENTALES “EZEQUIEL ZAMORA”
VICE-RECTORADO DE PLANIFICACIÓN Y DESARROLLO SOCIAL
PROGRAMA CIENCIAS SOCIALES Y JURIDICAS
SUBPROGRAMA ADMINISTRACIÓN
SUBPROYECTO: ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRADORES II
MÓDULO I. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Distribuciones de Probabilidad
De lo visto anteriormente en probabilidades y espacio muestral, se concluye que muchos
experimentos son muy complejos dados los múltiples resultados. Una forma de suavizar o
canalizar el tema de las probabilidades es por medio de fórmulas que asocien el
experimento con una función o distribución de probabilidad de acuerdo con sus
características. Por ejemplo, son muchos los experimentos que tienen que ver con solo
dos posibles resultados (defectuoso-no defectuoso, ganar-perder, vivir-morir, vender-no
vender, etc.); otros experimentos, tienen que ver con el número de resultados en un
intervalo de tiempo o región específica (número de llamadas por minuto a un
conmutador, número de artículos defectuoso por lote, número de clientes en un banco
por mes, etc.); otros experimentes tienen que ver con la toma de una medida y bajo una
situación normal (peso, tiempo, estatura, dimensiones, temperatura, área, etc.).
Las fórmulas o distribuciones de probabilidad son una herramienta muy importante para
solucionar problemas bajo incertidumbre sin necesidad de desarrollar todos los posibles
resultados del experimento y de acuerdo con las características de la situación.
Existen dos tipos de distribuciones; distribuciones de probabilidad para variables discretas
y para variables continuas.
Para una variable discreta, la distribución de probabilidades es, por lo general, una tabla
que asocia una probabilidad a cada valor que puede tomar la variable aleatoria. La
probabilidad de que la variable esté dentro de un rango de valores se halla por medio de
la suma de todos los enteros que estén dentro del rango, incluyendo los extremos.
Al considerar las variables continuas se encuentra uno el problema de que, lo más
probable, los datos que se puedan recabar no sean completamente exactos, o dos o más
de ellos no coincidan, por lo que se tienen que trabajar en intervalos y, en ese momento,
modelar una función se convierte en un problema serio.
Prof.: José Pimentel
Distribuciones Discretas
Distribución Binomial
Características
 En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A y su
contrario A’, como por ejemplo, defectuoso-no defectuoso, ganó-perdió, sobrevivió-no
sobrevivió, cara-sello, etc.
 El suceso A se conoce como éxito (se representa por p) y el suceso contrario A’ se
conoce como fracaso (se representa por q y es igual a 1-p.
 El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados
obtenidos anteriormente.
 El éxito y, por ende, el fracaso se dan en términos de probabilidad y son
parámetros poblacionales obtenidos de conocimientos y/o experiencias de estudios
anteriores.
 El experimento consta de un número n de pruebas o muestras.
 El objetivo de la distribución binomial es buscar la probabilidad de éxito en la
muestra.
Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo de la
distribución binomial.
A la variable x, que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del
experimento, se le llama variable aleatoria binomial.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta y sólo puede tomar los valores 0, 1,
2, 3, 4,..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.
Para hallar la probabilidad de obtener x-éxitos en la muestra
( )
Dónde:
P = Probabilidad
q = El complemento de P. Las veces que no se obtiene éxito o fracaso
p = Éxito
r = Veces que deseo obtener éxito
n = veces del proceso de observación
Prof.: José Pimentel
Parámetros de la Distribución Binomial
√
Ejercicio 9.
La probabilidad de que una determinada vacuna surta efecto es de 0,8. Calcule la
probabilidad de que una vez administrada a 15 pacientes:
a) A ninguno le surta efecto
b) A 12 les surta efecto.
c) A máximo 3 no les surta efecto.
d) A mínimo 13 les surta efecto
e). De 10 a 12 no les surta efecto
Ejercicio 10.
Una empresa productora sabe por experiencia que el 10% de sus artículos salen
defectuosos. Un cliente interesado en los artículos decide hacer un pedido significativo,
siempre y cuando al seleccionar una muestra aleatoria de tamaño 5, no más de un artículo
salga defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haga el pedido?
Ejercicio 11.
La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 8 por
100. Hallar:
a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 548
b) La varianza y la desviación típica.
Distribución de Poisson
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Trabaja con la
probabilidad de ocurrencia en un tiempo determinado o región específica, teniendo como
parámetro de la distribución el promedio de ocurrencias en el mismo intervalo de tiempo
o región específica. Por ejemplo, el número de llamadas telefónicas que entran a un
conmutador por hora; número de personas que se inscriben a la universidad por
semestre, número de artículos defectuosos que salen por hora, etc.
Condición: Los eventos deben ser independientes
Prof.: José Pimentel
Su distribución de probabilidad está dada por:
Dónde:
e = es la base del logaritmo natural
x! = es el factorial de x
= es un número real positivo, equivalente al número esperado de ocurrencias durante
un intervalo dado.
Parámetros de la Distribución de Poisson
Ejercicio 12.
Si en promedio ocurren 5 accidentes por día, hallar las siguientes probabilidades:
a). Probabilidad de que en un día ocurran 3 accidentes.
b). Probabilidad de que en un día ocurran más de 2 accidentes.
c). Probabilidad de que en un día ocurran menos de 4 accidentes.
d). Probabilidad de que en un día ocurran entre 4 y 6 accidentes.
e). Probabilidad de que en un MEDIO día ocurra 1 accidente.
Distribuciones Continúas
Distribución Normal
La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana, es
la distribución continua de probabilidad más importante de toda la Estadística, debido a
que su función de densidad es simétrica y con forma de campana, lo que favorece su
aplicación como modelo a gran número de variables estadísticas.
Distribución Normal Estándar
La probabilidad de que la variable aleatoria (que sigue una distribución normal) se
encuentre entre dos valores determinados será en general difícil de calcular (hay que usar
la integral de la función de probabilidad). Para ello, existen tablas que dan estos valores
directamente.
Prof.: José Pimentel
Para tipificar la variable de interés X, se lleva a la fórmula:
El valor de Z debe quedar con dos decimales
Ejercicio 13.
El peso promedio de las bolsas de café tiene una distribución aproximadamente normal
con un peso promedio de 501 gramos y una desviación estándar de 15 gramos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso menor a 532,05 gms?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso mayor a 448,5 gms?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso entre 456 y 513,75
gms?
d. ¿Cuál es el peso máximo para que cubra el 59.10% de las bolsas de café?
Prof.: José Pimentel