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Unidad N°1 ELECTROSTATICA Carga y Materia La ciencia de la electricidad nace de la observación ( aproximadamente 600 A.C.), de que un pedazo de ámbar frotado atrae pedacitos de paja. Lo mismo para el magnetismo, ya que la magnetita atraía al hierro, recién en 1870, Oersted pudo ligar ambas ciencias cuando observó que la corriente eléctrica en un alambre afectaba la aguja magnética de una brújula. Así nació el electromagnetismo, y su mas importante impulsor fue Maxwell, que fue quien formuló sus leyes. Carga eléctrica Se puede demostrar que existen dos clases de carga, frotando dos varillas de vidrio con seda y una varilla de ebonita frotada con piel. Si se cuelga una de las primeras de un hilo de seda, al acercar la otra varilla de vidrio, éstas se repelen, si se acerca la de ebonita, éstas se atraen. Dos varillas de ebonita frotadas con piel se repelen. Por lo tanto podemos afirmar que cargas iguales se repelen y cargas distintas se atraen. Franklin denominó a la carga que aparece en el vidrio positiva y a la de ebonita negativa. Cualquier sustancia frotada con cualquier otra (en condiciones adecuadas) se carga en cierto grado. Comparando esta carga desconocida con una varilla de vidrio cargada o de ebonita cargada, se puede saber el signo de esta carga desconocida. Como la materia en su estado neutro tiene igual cantidad de ambas cargas, al frotar el vidrio con la seda, pasa una pequeña carga de uno a otro, el vidrio se hace positivo y la seda negativa. Conductores y Aisladores Una varilla metálica sostenida en la mano y frotada con una piel, no manifiesta estar cargada. Sin embargo es posible cargarla si se la provee de un mango de vidrio o ebonita y si el metal no se toca con las manos al frotarlo. Esto se debe a que los metales, el cuerpo humano y la tierra son conductores de la electricidad, y que el vidrio, los plásticos, etc., son aisladores. En los conductores eléctricos, las cargas se pueden mover libremente a través del material, mientras que en los aisladores no pueden hacerlo. LA LEY DE COULOMB El primer estudio cuantitativo de la ley que rige las fuerzas que se ejercen entre cuerpos cargados, fue realizado en 1784 por Coulomb, utilizando una balanza de torsión. Encontró que la fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. También encontró que depende de la cantidad de carga de cada cuerpo. Para representar la carga de un cuerpo utilizaremos la letra q ó Q. En esos tiempos, no se había definido ninguna unidad de carga. A pesar de ello, ideó un método para hallar cómo depende de su carga la fuerza ejercida por o sobre un cuerpo cargado. Para ello se basó en la hipótesis de que si un conductor esférico cargado se pone en contacto con un segundo conductor idéntico inicialmente descargado, por razones de simetría, la carga del primero se reparte por igual entre ambos. Así obtuvo cargas iguales, a la mitad, etc, de cualquier carga dada. F K q.q ' r2 La mejor comprobación de esta ley, se basa en la validez de muchas conclusiones que se dedujeron de ella. Utilizando el sistema MKS, se introduce una nueva unidad, la de carga eléctrica. Esta unidad es el coulomb ( coul). En este sistema la constante K es : 2 9 N .m K 9.10 2 coul La unidad natural de carga es la transportada por un electrón : e 1,6.10 19 [coul] quantum decarga Por lo tanto 1 [coul] representa la carga transportada por unos 6.1018 electrones. La materia, tal como se nos presenta, puede considerarse como compuesta de tres clases de partículas elementales : el protón, el neutrón y el electrón. La importancia de la ley va mas allá de la descripción de las fuerzas que obran entre esferas y varillas cargadas, en la cuántica describe correctamente : a) las fuerzas eléctricas que ligan los electrones a su nucleo b) las fuezas que unen los átomos entre sí para formar las moléculas c) las fuerzas que ligan los átomos o moléculas entre sí para formar sólidos o líquidos. En el núcleo atómico encontramos una nueva fuerza que no es de tipo gravitacional ni eléctrica. Esta fuerza de atracción intensa, que une entre sí a los protones y a los neutrones que constituyen el núcleo, se llama fuerza nuclear. De no existir, el núcleo se desintegraría inmediatamente debido a la fuerza de repulsión coulombiana. EL CAMPO ELÉCTRICO A cada punto en el espacio cerca de la tierra, podemos asociarle un vector intensidad de campo gravitacional g . Este vector es la aceleración gravitacional que adquiriría un cuerpo de prueba que se colocara en ese punto y se soltara. Si m es la masa del cuerpo y F la fuerza gravitacional que obra sobre él, g está dada por la expresión : g F m Este es un ejemplo de un campo de vectores. Al espacio que rodea a una varilla cargada lo llamaremos CAMPO ELECTRICO. El campo juega un papel intermedio en las fuerzas que obran sobre las cargas. Hay dos problemas separados : III- el cálculo de campos a partir de distribuciones de cargas dadas el cálculo de las fuerzas que campos dados ejerzan sobre cargas colocadas en ellos. O sea pensamos en función de : carga campo. Intensidad de Campo Eléctrico Para definirlo operacionalmente, colocamos una carga de prueba q0 positiva en el punto del espacio que se va a examinar y medimos la fuerza eléctrica F (si existe) que obre sobre esta carga. La intensidad del campo eléctrico en el punto se define así : E F q0 N coul Vemos que la dirección de E , es la dirección en la cual tendería a moverse una carga positiva en reposo que se colocara en el punto. Líneas de Fuerza Son una manera conveniente de representarse en la mente la forma de los campos y las usaremos para este fin. Se relacionan con el vector de campo de la siguiente forma : La tangente a una línea de fuerza en punto cualquiera da la dirección de E en ese punto. Las líneas se dibujan de modo que el número de ellas por unidad de área de sección transversal sea proporcional a la magnitud de E . Por lo tanto, donde las líneas están muy cercanas, E es grande, y donde están muy separadas, E es pequeño. Ejemplo : Lámina infinitamente grande de carga positiva y una carga punto negativa. Cálculo del Campo Eléctrico Consideremos una carga de pruebe q0, colocada a una distancia r de una carga q. F Para encontrar E superposición : 1 4 0 . r F q.q0 ; 2 E q0 1 . q 4 0 r 2 debido a un conjunto de cargas punto, se hace uso del principio de E E1 E 2 ...... E n ( suma vectorial ) Ejemplo : Dipolo Eléctrico q + E2 E1 a a J J E E1 E 2 E1 E 2 r - r a J q 1 . 4 0 a 2 r 2 E 2. E 1 . cos J ; cos J E q a 2 a r 2 q 2 a . . 2 2 4 0 a 2 r 2 a r 2aq 1 E . 2 4 0 ( a r 2 ) 3 / 2 E E 2aq : momento del dipolo eléctrico 1 (2a)(q) . 3 4ππ0 r Una carga punto en un campo eléctrico Sabemos que un campo eléctrico ejerce sobre una partícula cargada una fuerza dada por : F q. E Esta fuerza produce una aceleración : a F m Podemos obtener un campo uniforme : Al estudiar el movimiento de una partícula en un campo producido por alguna fuerza externa, el campo de la partícula misma no se toma en cuenta (el campo gravitacional de la tierra no puede tener efecto en la tierra misma), sino sólo en un segundo objeto. Ejemplo : Una partícula de masa m y carga q, se coloca en reposo en un campo uniforme y se suelta. Estudiar su movimiento. + + + + + + + + + + + + P1 a F q.E q.E.t ; V0 0 ; V a.t m m m 2 1 2 q.E.t y .a.t 2 2.m V1 2 ; V 2.a. y 2.q.E. y m E P2 EC V2 - - - - - y - - - - 1 1 2.q.E. y 2 .m.V .m. q.E.y 2 2 m Unidad N°2 POTENCIAL ELECTRICO El campo eléctrico, por ejemplo alrededor de una carga punto, puede describirse no sólo por E , sino también por una cantidad escalar llamada potencial eléctrico. Ambas cantidades están íntimamente relacionadas y es cuestión de conveniencia cual de ellas usar para resolver un problema dado. Para encontrar la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos A y B en un campo eléctrico, movemos una carga de prueba q 0 de A a B en equilibrio y medimos el trabajo W AB que se debe realizar. La diferencia de potencial se define así : Si : VB V A W AB q0 W AB 0 Joule coul [ Voltio ] [ V ] VB V A W AB 0 VB V A W AB 0 VB V A En general se escoge el punto A en el infinito y se toma V A = 0. Por lo tanto el potencial eléctrico en un punto será : V W q0 el trabajo que hay que realizar para traer una carga q 0 desde el infinito al punto. Tanto W AB, como VB - VA no dependen de la trayectoria que se siga al mover la carga de prueba desde A hasta B, de no ser así, B no tendría un potencial único con respecto a A y el concepto de potencial sería de poca utilidad. Vamos a demostrar esto : Escogemos dos puntos que estén sobre la misma recta radial. Consideramos dos trayectorias I y II. La II puede considerarse equivalente a una trayectoria quebrada formada por elementos de arco y de radio alternativamente y tan pequeños como se quiera. En esta trayectoria el agente externo hace trabajo sólo a lo largo de los segmentos radiales. La suma del trabajo hecho en éstos que constituyen la trayectoria II, es la misma que el trabajo hecho en la I. Superficie equipotencial El lugar geométrico de los puntos de igual potencial se llama superficie equipotencial. Sirven para dar una descripción general del campo eléctrico en una cierta región del espacio. De la definición de diferencia de potencial, se deduce que no se requiere trabajo para mover una carga de prueba q0 entre dos puntos cualesquiera de una misma superficie equipotencial. A continuación algunos ejemplos de superficies equipotenciales : Potencial e Intensidad de Campo W AB F .d q 0 .E.d VB V A W AB E.d q0 VB V A d Volt Joule N .m N [E] m coul.m coul.m coul E [E] [F ] N [ qo ] coul Volt N m coul ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA Consideremos dos cargas q1 y q2, separadas una distancia r. Si aumentamos la separación entre ellas, un agente externo debe hacer un trabajo que será: negativo si las cargas son de igual signo ó positivo si son de signos opuestos. La energía representada por este trabajo se puede considerar como que queda almacenada en el sistema q1 + q2 en forma de energía potencial eléctrica. Esta energía, al igual que todas las variedades de energía potencial, se puede transformar en otras formas. Si q1 y q2 son de signos opuestos y las soltamos, aceleran una hacia la otra, transformando la energía potencial almacenada en energía cinética de las masas que aceleran. Definimos la energía potencial eléctrica de un sistema de cargas punto como el trabajo que hay que hacer para formar este sistema de cargas trayéndolas desde el infinito y que en el infinito están en reposo (energía cinética = 0). En la figura anterior, imaginemos que q2 se aleja al infinito y queda en reposo. El potencial eléctrico en el sitio original de q2, causado por q1 está dado por : V q 1 . 1 4. . 0 r Si q2 se lleva desde el infinito hasta la distancia original r, el trabajo que para ello se requiere es, de acuerdo a la definición de potencial eléctrico : W V .q2 U ( W ) 1 q1.q2 4. . 0 r1, 2 Para sistemas que contienen mas de dos cargas se aplica el principio de superposición. Ejemplo : Tres cargas se colocan como en la figura ¿cuál es su energía potencial mutua? q1 1.10 7 [coul] U U 12 U 13 U 23 1 q.( 4q) q.2q 2q(4q) 4. . 0 a 2 10 q [ Joule] 4. . 0 .a Unidad N°3 CONDENSADORES Y DIELECTRICOS Capacitancia Habíamos visto que el potencial de una esfera conductora cargada y aislada, sin ningún otro cuerpo en su vecindad, está dado por : q : radio de la esfera R : radio 1 q . 4. . 0 R ' V ´ V V V´ V V V¥ 0 La línea marcada V¥, representa el potencial en una posición infinitamente alejada y se le ha asiganado el valor cero. Imaginemos ahora, una segunda esfera de radio R que tiene una carga negativa q y situada a una gran distancia (>> R) de la 1ra esfera, de tal manera que ambas puedan considerarse aisladas. El potencial de la 2da esfera está dado por : ´ V ' V 1 q 4. . 0 R La diferencia de potencial V' entre ambas es : ' ' V ' V V 1 2q 4. . 0 R q (2. . 0 .R).V ' C '.V ' C' c a p a c i t a nc i a Si acercamos las esferas, la presencia de cada una de ellas, alterará la simetría esférica de las líneas de fuerza que salen de una y que terminan ahora parcialmente en la otra. Una carga positiva que se acerque a un objeto aislado, sirve para aumentar el potencial de ese objeto, y una carga negativa para reducirlo, esto es claro si se considera el trabajo requerido para mover una carga de prueba positiva desde el infinito hasta puntos cercanos a tales cargas. Asi pues, el potencial de la esfera positiva se reducirá a un valor mas bajo (V +), y el de la esfera negativa se elevará a un valor mas alto (V -), representándose los cambios para cada esfera mediante flechas verticales, vemos que aun cuando las cargas de las esferas no han cambiado, la diferencia de potencial ha disminuído considerablemente, o sea que la capacitancia C = q / V ha aumentado. Con la ecuación anterior, podemos definir la capacitancia para un sólo conductor aislado como una esfera. En tales casos se puede imaginar que la 2 da es una esfera conductora infinitamente grande concéntrica con la 1ra y su potencial nulo, entonces : C q coul 4. . 0 .R [ Faradio] [ F ] V V En la práctica se usan submúltiplos : 1 [F] = 10-6 [F] La figura muestra un caso general de dos conductores cercanos de forma arbitraria y que tienen cargas iguales y opuestas. Un dispositivo de esta forma se llama condensador y los conductores se llaman placas. -q +q Condensador de placas paralelas La figura muestra un condensador de placas paralelas, formado por dos placas conductoras paralelas de área A, separadas una distancia d. El cálculo de la capacitancia no es de incumbencia para nosotros, por lo tanto nos vamos a limitar a decir que la capacitancia viene dada por : C ε0 . A d Condensador cilíndrico b a Consiste de dos cilindros coaxiales, de radios a y b y longitud l, donde l >> b. Se puede demostrar que : C 2. . 0 .l b ln a Condensadores conectados en serie a En la figura, se han conectado en serie dos condensadores entre los +q puntos a y b, mantenidos a Vac = V1 una diferencia de potencial constante Vab, ambos -q inicialmente descargados. Vab = V c Ahora vamos a demostrar que +q tienen la misma carga. Vbc = V2 Supongamos que en primer lugar solamente están conec-q tados a los puntos a y b la lámina superior de C1 y la inferior de C2. Se crea entonces b entre ellas un campo dirigido hacia abajo. Si en este campo se introduce un conductor descargado que tiene la forma de dos láminas unidas por un hilo de conexión, se inducen sobre las láminas cargas iguales y opuestas. También se puede aseverar esto, porque la carga neta en la parte del circuito encerrado por la línea interrumpida debe ser cero, o sea, la carga existente en estas placas inicialmente es cero y el hecho de conectar una batería entre a y b, sólo da lugar a una separación de cargas, la carga neta en estas placas sigue siendo cero. q C.V ; V1 q C1 ; V2 q C2 1 1 1 C C1 C2 1 V C q ; 1 1 V V1 V2 q. C1 C 2 C : capacidad equivalent e Condensadores conectados en paralelo a Recordemos que capacidad equivalente, quiere decir que si la combinación en paralelo y q1 la capacidad equivalente estuvieran cada una q2 en una caja con alambres a y b conectados a V los terminales, no sería posible distinguir una C1 C2 caja de la otra por mediciones eléctricas externas a las cajas. La diferencia de potencial a través de cada conductor debe ser la misma, b ya que todas las placas superiores están conectadas entre sí y a la terminal a, y las inferiores entre sí y con el terminal b. q1 C1.V ; q2 C2 .V ; q q1 q2 V .(C1 C2 ) C q C1 C2 V Ceq C1 C2 Condensador de placas paralelas con dieléctrico La pregunta que uno debe hacerse ahora es ¿qué pasa si al espacio entre placas se lo llena con un dieléctrico (mica o aceite por ej.)? La función del dieléctrico sólido colocado entre las láminas es : 1- Debido a que su rigidez dieléctrica es mayor que la del aire, aumenta la diferencia de potencial máxima que el condensador es capaz de resistir sin romperse. 2- La capacidad de un condensador de dimensiones dadas es varias veces mayor con un dieléctrico. Faraday demostró esto construyendo dos condensadores idénticos, en uno de los cuales colocó un dieléctrico y el otro con aire. Cargó a ambos con la misma diferencia de potencial y encontró que la carga en el que contenía dieléctrico era mayor que la carga del otro. Ya que para la misma tensión V, q es mayor cuando hay un dieléctrico, entonces la capacidad aumentó. La relación de la capacitancia con el dieléctrico a la capacitancia sin él, se llama constante dieléctrica K del material. Ahora a ambos podemos aplicarles la misma carga y vemos que la diferencia de potencial en el condensador con dieléctrico es menor que la del sin dieléctrico. Vd V0 K Así llegamos una vez más a la conclusión anterior, ya que partiendo de la relación C=q/V: Cd q Vd ; C0 q V0 ; Cd V0 C0 Vd Cd K .C0 Entonces para un condensador de placas paralelas, como resultado experimental podemos decir que : C K . 0 . A d Para uno cilíndrico : C K . 0 . 2. .l b ln a Dieléctrico – Comportamiento atómico a) b) ++-+--+--+-++++-+--+-+ +--++--+ - + - + - + ++ --+--+++ ---+-+++ --+-+-++ E0 = 0 c) - E - E0 E' + + + + E0 Consideremos un condensador de placas paralelas que tiene una carga fija q y que no está conectado a una batería para producir un campo eléctrico uniforme E0, en el cual colocamos una placa de dieléctrico. La placa, aun cuando permanece eléctricamente neutra, se polariza como se ve en b), hay una acumulación de cargas positivas a la derecha y de negativas a la izquierda, pero la carga neta sigue siendo cero. Por lo tanto la carga inducida positiva debe ser igual a la inducida negativa. En c), vemos que el campo eléctrico producido por estas cargas inducidas (E’), se opone al campo externo E0 y el campo resultante : E E 0 E ' ( suma vectorial ) Apunta en la misma dirección que E0, pero : E E0 Resumiendo : “ Si se coloca un dieléctrico en un campo eléctrico, aparecen cargas superficiales inducidas, cuyo efecto es debilitar al campo original dentro del dieléctrico.-” Este debilitamiento de E se pone de manifiesto en una reducción de la diferencia de potencial entre las placas de un conductor aislado cuando se introduce un dieléctrico entre las mismas. E0 V0 K E Vd