Download 1 En R4 considere vectores: y los subespacios generados: W1

En R4 considere vectores:



v1 = 

4
−1
2
−3






 , v2 = 


0
3
2
3






 , v3 = 


4
2
4
0






 , v4 = 


1
1
2
1






 , v5 = 


−1
−1
2
−2






 , v6 = 


−5
0
0
1





y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1 , v2 , v4 } ,
W3 = Gen {v1 , v2 , v5 } ,
W2 = Gen {v1 , v2 , v3 } ,
W4 = Gen {v1 , v2 , v6 }
Compare los espacios entre sı́ e indique las opciones que son ciertas de la siguiente
lista:
1)
3)
5)
7)
9)
W2
W3
W2
W2
W3
⊆ W4 pero W4 6⊆ W2
⊆ W1 pero W1 6⊆ W3
⊆ W3 pero W3 6⊆ W2
= W3
= W4
2) W4 ⊆ W2 pero W2 6⊆ W4
4) W4 ⊆ W1 pero W1 6⊆ W4
6) W2 ⊆ W1 pero W1 6⊆ W2
8) W1 6⊆ W4 ni W4 6⊆ W1
10) W4 ⊆ W3 pero W3 6⊆ W4
Solución
Para poder comparar los espacios generados en términos de si uno de ellos
contiene al otro utilizaremos nuestro resultado clave de comparación:
Si W1 = Gen {a1 , . . . , an } y W2 = Gen {b1 , . . . , bm }, un espacio
contiene al otro si y sólo si contiene a los generadores:
W1 ⊆ W2 si y sólo si cada ai ∈ W2
Por otro lado, para ser eficientes debemos tener programada la función cols:
Para determinar las afirmaciones válidas de la lista llenamos la tabla de contenciones de todos contra todos:
⊆
W1
W2
W3
W4
W1
W2
W3
W4
Sı́
No
No
No
No
No
No
Sı́
Sı́
No
Sı́
Sı́
-
El espacio en la columna contiene al espacio del renglón si tenemos un Sı́. Capturamos todos los vectores en una matriz. Para que la lectura de ellos sea más
cómoda, los capturamos como renglones y luegos transponemos.
De modo que podamos comparar espacios generados seleccionando las columnas
adecuadas como se ilustra en las siguientes gráficas.
Observe que W2 ⊆ W1 puesto que al reducir [v1 , v2 , v4 |v1 , v2 , v3 ] tiene todos
sus pivotes a la derecha. Mientras que W3 6⊆ W1 porque en la reducida de
[v1 , v2 , v4 |v1 , v2 , v5 ] tiene un pivote a la derecha.