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Colegio Monaita
Matemáticas I
COLEGIO: Monaita
ASIGNATURA: Matemáticas 1º de Bachillerato
(CC de la Salud y Tecnología)
ALUMNA:……………………………………………….
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Colegio Monaita
Matemáticas I
COLEGIO MONAITA
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS 1º DE BACHILLERATO (CC de la Salud y
Tecnología)
TRABAJO DE VERANO PARA TODAS LAS ALUMNAS
Trigonometría
1.
Sabiendo que sen a = 0’35 y que tg b = 1’4 y que los dos ángulos están en el mismo
cuadrante, se pide:
a)
Las razones trigonométricas del ángulo a–b.
b)
Las razones trigonométricas del ángulo a+b.
c)
Las razones trigonométricas del ángulo 2a
d)
Las razones trigonométricas del ángulo
e)
¿en qué cuadrante está el ángulo a+b.
f)
sen ( a + π )
g)
¿cuántos ángulos hay que tengan la misma tangente que b?
h)
¿cuánto vale x si sen x = 0’65?. Indica el valor en radianes
2.
b
.
2
Resuelve la ecuación sen x + cos x = 2
2
2
Geometría analítica de la recta
→
1. Dibuja los vectores fijos AB calcula sus componentes en los siguientes casos:
a.
A(1,3) y B( 2,-5)
b.
A(0,0) y B(-3,-4)
c.
A(-2,-3) y B(-7,-6)
2. Calcula el origen de los vectores que tienen las mismas componentes que los vectores del
ejercicio anterior y por extremo el punto (12, -10).
2
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3. Calcula el extremo de los vectores que tienen las mismas componentes que los vectores del
primer ejercicio y por origen el punto (12, -10).
→
→
→
→
→
→
4. Dados los vectores libres u = ( 3, − 4 ) y v = ( −2,1) calcula los siguientes vectores:
r
r
a ) 3·u + 5·v
v r
b ) u ·v
5. Dados los vectores libres u = ( 3, − 4 ) y v = ( −2,1) calcula el ángulo que forman.
6. Dados los vectores libres u = ( 3, − 4 ) y v = ( −2, f ) , calcula f para que el ángulo que formen sea
de 120º.
→
⎛4 ⎞
7. Dado el vector libre u = ⎜ , f ⎟ calcula f para que el vector sea unitario.
⎝5 ⎠
→
8. Dado vector libre u = ( 3, − 4 ) ,escribe un vector ortogonal al dado y que tenga por módulo 1.
9. Calcula el punto medio del segmento de extremos A(11, -21), B(-17, -7).
10. Con los puntos A y B del ejercicio anterior encuentra 6 puntos tales que dividan al segmento
AB en 7 partes iguales.
11. Dados los puntos A(-3,4), B(5,2) y C(1,8), calcula las coordenadas de un punto M tal que
ABCM sea un paralelogramo.
→
12. Una recta está determinada por el punto A (-3, -4) y por el vector u = (3, 5 ) . Se pide:
a)
Indica tres puntos distintos de la recta y que ninguno coincida con A
b)
¿Pertenece el punto (27,36) a la recta? ¿ Y el punto (38,46)?
c)
¿Cuánto debe valer h para que el punto (18,h) pertenezca a la recta?
d)
¿Cuánto debe valer f para que el punto (f, 17) pertenezca a la recta?
e)
Escribe la ecuación vectorial de la recta.
f)
Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta.
g)
Escribe la ecuación continua de la recta
h)
Escribe la ecuación general de la recta.
i)
Escribe la ecuación explícita de la recta.
j)
¿Cuánto vale la pendiente de la recta?
k)
Escribe la ecuación segmentaria de la recta.
l)
Escribe la ecuación normal de la recta.
13. La ecuación vectorial de una recta viene dada por (x , y ) = (3 , − 2) + t (−1, 5 ) . Se pide:
a)
Las ecuaciones paramétricas.
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b)
La ecuación continua.
c)
La ecuación general.
d)
La ecuación explícita.
e)
La pendiente de la recta.
f)
La ecuación segmentaria de la recta.
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⎧x = 2 + 5 t
14. Una recta viene dada por las ecuaciones: ⎨
. Se pide
⎩y = − 4t
a)
La ecuación general
b)
La ecuación explícita.
c)
La pendiente de la recta.
d)
La ecuación normal de la recta.
15. Dada la recta de ecuación 2 x − 3 y + 12 = 0 se pide:
a)
¿Cuánto debe valer f para que el punto (f, 5) pertenezca al recta?
b)
Ecuaciones paramétricas de la recta.
c)
Ecuación explícita de la recta
d)
Ecuación continua de la recta.
e)
Pendiente de la recta y ordenada en el origen.
16. Una recta pasa por los puntos A(-3,4) y B(2,1), calcula:
a)
Ecuación general de la recta.
b)
Pendiente de la recta.
c)
Ecuación explícita de la recta.
d)
Ecuación segmentaria de la recta.
e)
Ecuación normal de la recta.
17. Dada la recta que pasa por el punto (-4, -6) y tiene por pendiente –2, calcula:
a)
Su ecuación explícita.
b)
Su ecuación general.
c)
Las ecuaciones paramétricas de la recta.
d)
Ecuación segmentaria.
e)
Ecuación normal de la recta.
18. Dada la recta de ecuación 3x – 4y + 24 = 0, calcula:
a)
Ecuación de la recta que pasa por el punto (13,3) y es paralela a la dada.
b)
Ecuación de la recta que pasa por el punto (13,3) y es perpendicular a la dada.
19. Dada la recta de ecuación y = 3x +8, se pide:
a)
Ecuación de la recta paralela a la dada que pasa por el punto (-21, 27).
b)
Ecuación de la recta que pasa por el punto (- 3,- 13) y es perpendicular a la dada.
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c)
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Distancia del punto (8,-14) a la recta dada.
20. Escribe en forma general la recta:
x+5
= y − 2 . Calcula la ecuación de la recta paralela a la
2
dada que pasa por el punto (7,17).
21. Calcula a para que las rectas 3x – 2y + 8 = 0 y ax + 6y – 12 = 0 sean paralelas.
22. Dada la recta
y
x
+
= 1 se pide:
5 − 10
a) Calcula f para que el punto (f, -f) pertenezca a la recta.
b) Ecuación general de la recta.
c) Distancia del origen a la recta.
d) Ecuación de la recta paralela a la dada que pasa por ( -2,3).
e) Ecuación de la recta perpendicular a la dada que pasa por el punto (-3,5).
23. Dada la recta 5x – 12y -29 = 0 , se pide:
a) Ecuación de la recta perpendicular que pasa por el origen.
b) Ecuación de la recta paralela que pasa por el origen.
c) Ángulo que forma con la recta 2x – 5y + 12 = 0.
d) Distancia del punto (1,5) a la recta dada.
24. Dados los puntos A(5,1) y B(3,7), se pide:
a) La ecuación general de la recta que pasa por A y B.
b) Ecuación continua de la recta.
c) Paralela a la recta que pasa por (-5,0).
d) Perpendicular que pasa por (-5,0).
e) Ecuación de la recta que forma con la anterior un ángulo de 45º.
uuur
uuur
f) Coordenadas del punto C tal que AC = 4.CB
25. Calcula a y b para que las rectas 3x – 2y + b = 0 y 5x + ay + 7 = 0 sean paralelas y la primera
pase por el punto (-2,2).
26. Calcula a y b para que las rectas ax – 3y + 13 = 0 y 8x – 6y + 25 = 0 sean perpendiculares y la
primera pase por el punto (-2,3).
27. Calcula a para que las rectas (a-5)x – y + 7 = 0, 3x – 2ay + 12 = 0 sean perpendiculares.
28. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de 2x – 3y + 13 = 0 y x + 4y
– 10 = 0 y es paralela a 5x – 8y + 21 = 0.
29. De todas las rectas paralelas a 4x – 3y + 100 = 0, ¿cuál es la que su distancia al origen vale
17?
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30. Dada la recta 4x – 3y + 100 = 0, se pide:
a) Ecuación normal de la recta.
b) Ecuación de la recta paralela que pasa por el punto (-5,2).
c) Distancia entre las dos rectas.
d) Ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto ( 2, -2).
31. Calcula la ecuación de la recta paralela a la 6x – 8y + 17 = 0 que diste 15 unidades de ella.
32. Escribe la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(-5, 2) y B(11,10).
33. La base de un triángulo isosceles está determinada por los puntos A(-5, 2) y B(11,10).
Determina el tercer vértice sabiendo que se encuentra en la recta x – 3y – 13 = 0. Calcula su
área.
34. Calcula el área del triángulo de vértices A(1,1), B(-2, 5) y C(10,10).
35. Un triángulo tiene por vértices A(8,2) y B(20,7). Encuentra el tercer vértice sabiendo que su
área es 65.
Análisis Matemático
*Calcula los siguientes límites, caso de que existan:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD DE FUNCIONES
7.- Dada la función f(x)=
a)
b)
c)
hallar los puntos de discontinuidad
Si existe alguno, indica al tipo de discontinuidad del que se trate
En caso de que sea evitable, transfórmala en continua
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8.- Dada la función F(x)=
a)
b)
c)
, se pide:
hallar los puntos de discontinuidad
Si existe alguno, indica al tipo de discontinuidad del que se trate
En caso de que sea evitable, transfórmala en continua
9.- Se sabe que la función f: (-1, +∞ ) → ℜ definida por
f(x) =
es continua en (-1,+∞ ). Halla el valor de a. ¿Es f derivable en x = 0?
10.- Considera la función f : ℜ → ℜ definida por f (x) = x2 − 5x + 4.
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3.
b) Representa la función.
11.- Sea f : ℜ → ℜ la función definida por f(x) =
a) Estudia la continuidad de f
b) Esboza la gráfica de f
12.- Sea f: R → R la función dada por f(x) =|8 – x2|.
a) Esboza la gráfica y halla los extremos relativos de f (dónde se alcanzan y cuáles son sus
respectivos valores).
b) Defínela como una función a trozos
13.- Sea f la función definida para x ≠ = 2 por f ( x) =
x 2 − 4x + 3
x−2
a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f
.
c) Calcula, si existen, el máximo y el mínimo absolutos de f en el intervalo (puntos en los que se
obtienen y valores que alcanza la función).
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14.- Considera la función f definida para x ≠ 2 por f ( x) =
2x 2 + 2
x+2
a) Halla las asíntotas de la gráfica de f.
b) Estudia la posición relativa de la gráfica de f respecto de sus asíntotas y representa dicha
situación.
c) Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto x = 0
x3
15.- Dada la función f definida para x ≠ -1 por f ( x) =
(1 + x) 2
a) Las asíntotas de la gráfica de f.
b) Los puntos de corte, si existen, de dicha gráfica con sus asíntotas.
16.- Sea f la función f ( x) =
9x − 3
para x ≠ 0 y x ≠ 2.
x 2 − 2x
a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f
b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
c) Con los datos obtenidos esboza la gráfica de f .
17.- Considera la curva de ecuación y =
x3 + 2x
x 2 − 2x − 3
a) Determina sus asíntotas.
b) ¿Corta la curva a alguna de sus asíntotas en algún punto? Justifica la respuesta.
18.- De la función f : ℜ → ℜ definida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d se sabe que tiene un máximo en
x = -1, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa x = -2 y tiene un punto de inflexión
en el punto de abscisa x = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la
gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9.
19.- Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) f(x)=
c) y =e arc tg x;
;
b)
;
d) j(x) =arc sen(x + 3x2)
20.- Representa las gráficas de las siguientes funciones:
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a)
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;
b)
;
c)
21.- Resuelve las integrales siguientes:
a)
;
b)
3x 2 + 2
∫ x 3 dx ;
c)
;
22.- Resuelve las integrales siguientes:
a)
∫
dx
3
b)
5x − 2
∫
e 2x
dx
e 2x + 3
23.- Calcula estas integrales:
a)
∫
2x − x
dx
x2
b)
∫
x + lnx
dx
x
24.- Calcula las siguientes integrales:
a) ∫ cos (5x + 1) dx.
b)
∫
8
( x + 2) 3
dx
25.- Calcular las siguientes integrales indefinidas:
2.
∫ (x
∫ (x
3.
∫ ( x − 1) ⋅ ( x + 1) dx
4.
∫ (9 − x ) dx
5.
∫ ⎜⎝ x + x
6.
∫ ⎜⎜⎝ 4 x
1.
4
− 2 x 3 + x − 5) dx
2
+ 1 dx
)
2
2 2
1 ⎞
dx
2 ⎟
⎠
⎛1
⎛ 5
3
+
1
2 ⎞
⎟ dx
−
x 3 x ⎟⎠
9
d)
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x5 − 2x 3 + x − 1
dx
∫
x2
1+ x
8. ∫
dx
x
7.
3x 2 − 2 x
9. ∫
dx
5x
5
10.
∫ x − 2 dx
11.
∫ 2 x + 3 dx
12.
∫x
13.
x2 +1
∫ x 3 + 3x − 5 dx
14.
x7
∫ 1 + x 8 dx
4
17.
x
dx
+1
ex
∫ 1 + e x dx
15.
16.
2
∫x⋅ x −7
x
∫ 1 − x dx
2
dx
2
18.- ∫ (2 x 3 − 3sen( x) + 5 x )dx
22.
∫ sen(7 x − 2)dx
∫ e dx
∫ e ⋅ cos( x)dx
dx
∫ ( x + 2) e
23.
∫
19.
20.
21.
5x
sen ( x )
x 2 + 4 x +3
6x + 1
dx
1+ x2
10
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25.
∫
∫
sen( x)
dx
cos 3 ( x)
26.
∫
x ⋅ x 2 + 1dx
27.
∫
28.
∫
29.
∫
x
dx
1+ x4
1
dx
3 + x2
5
dx
3 + 2x 2
24.
Matemáticas I
sen( x) ⋅ cos( x)dx
26.- Representa la función y = x 3 − 6 x 2 + 8 x , indicando: dominio, corte con los ejes,
monotonía, máximos y mínimos, si existen curvatura y puntos de inflexión.
27.- Dada la función f(x)=x3-3kx2+ 9x+5:
a) Calcular el valor de k para que la función tenga un punto de inflexión en x =2
b) Para ese valor de k obtenido, calcula los máximos y mínimos, si existen, y represéntala
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