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MATEMÁTICAS PARA LA EMPRESA II
CÁLCULO EN UNA VARIABLE.
Tema 1. - Números Reales. Nociones de topología en R.
1.1 - Números reales racionales e irracionales. El cuerpo de los números reales.
1.2 - Valor absoluto de un número real. Distancia entre dos puntos de R.
1.3 - Intervalos en R. Entornos. Punto interior, frontera, exterior, adherencia,
acumulación y punto aislado. Conjunto abierto, cerrado, acotado, compacto y
denso.
Tema 2. - Sucesiones de números reales.
2.1 - Sucesiones de números reales. Término general de una sucesión.
2.2 - Límite de una sucesión. Unicidad del límite. Casos de indeterminación.
2.3 - Sucesiones de Cauchy.
Tema 3. - Series de números reales.
3.1 - Serie de números reales. Criterio general de convergencia de una serie.
3.2 - Estudio directo de algunas series: Serie geométrica y serie armónica.
3.3 - Series de términos positivos. Criterios de convergencia.
3.4 - Series alternadas. Criterio de convergencia de Leibniz.
3.5- Series absolutamente convergentes y series condicionalmente convergentes.
3.6 - Series incondicionalmente convergentes.
3.7 - Suma de series
Tema 4. - Funciones numéricas de una variable. Límites y continuidad.
4.1- Definición de función. Dominio e imagen de una función. Grafo o gráfica
de una función.
4.2 - Tipos de funciones. Función creciente y función decreciente en un punto.
Función par o impar. Función simétrica respecto de un punto y respecto de una
recta. Función periódica.
4.3 - Límite de una función en un punto. Límites laterales. Teoremas sobre
límites.
4.4 - Infinitésimos equivalentes. Indeterminación. Cálculo de límites.
4.5 - Continuidad de una función en un punto. Continuidad en un intervalo.
Propiedades de las funciones continuas.
4.6 - Teorema fundamental de las funciones continuas. Continuidad uniforme
Tema 5. - Derivada y diferencial de funciones de una variable.
5.1 - Derivada de una función en un punto.
5.2 - Relación entre derivabilidad y continuidad.
5.3 - Funciones derivadas de las funciones elementales.
5.4 - Derivadas sucesivas.
5.5 - Diferencial de una función en un punto. Necesidad y suficiencia de la
derivabilidad para la diferenciabilidad.
5.6 - Diferencial y derivada de una función compuesta. Regla de la cadena.
5.7 - Aplicaciones económicas: Elasticidad de una función de demanda con
respecto al precio. Tanto instantáneo de mortalidad.
Tema 6. - Propiedades y teoremas básicos del cálculo diferencial.
6.1 - Extremos absolutos y relativos de una función real de variable real.
6.2 - Teorema de Rolle. Aplicación a la búsqueda de raíces de una ecuación.
6.3 - Teorema del valor medio del cálculo diferencial o fórmula de los
incrementos finitos de Lagrange.
6.4 - Regla de L´Hopital. Aplicación al cálculo de límites.
6.5 - Fórmula de Taylor y de MacLaurin.
6.6 - Concavidad, convexidad e inflexión, asíntotas y ramas parabólicas de la
función.
6.7 - Representación gráfica de funciones
Tema 7. - Sucesiones y series de funciones.
7.1 - Sucesiones y series de funciones reales de variable real.
7.2 - Convergencia puntual y convergencia uniforme.
7.3 - Series de potencias. Radio de convergencia. Convergencia uniforme.
7.4 - Derivación e integración de una serie entera.
7.5 - Desarrollo de las funciones en series de potencias.
CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES.
Tema 8. - Nociones de topología en Rn .
8.1 – Espacio normado y espacio métrico.
8.2 - Bola abierta y bola cerrada.
8.3 - Punto interior, frontera, exterior, de acumulación, adherente y aislado de un
conjunto en Rn . Conjunto abierto, cerrado, acotado y compacto
Tema 9. - Funciones reales de varias variables. Límites y continuidad.
9.1 - Funciones escalares y funciones vectoriales. Gráfica y conjunto de nivel.
9.2 - Límite en un punto de una función de Rn en Rm . Propiedades. Límites
dobles.
9.3 - Continuidad de funciones de Rn en Rm . Caso particular de Rn en R.
Propiedades. Teorema de continuidad: cálculo de extremos mediante curvas de
nivel.
Tema 10. - Derivada y diferencial en campos escalares y campos vectoriales.
10.1 - Derivada en un campo escalar. Derivada direccional, derivada parcial y
vector gradiente.
10.2 – Diferencial de un campo escalar. Relación entre diferenciabilidad y
continuidad.
10.3 - Derivada y diferencial en campos vectoriales. Matriz Jacobiana.
10.4 - Función compuesta. Regla de la cadena
Tema 11. – Derivadas y diferenciales de orden superior.
11.1 - Derivadas parciales sucesivas.
11.2.- Diferenciales de orden superior. Permutabilidad del orden de las
derivadas. Teorema de Schwartz . Matriz Hessiana.
11.3 - Aproximación polinómica de una función escalar. Fórmula de Taylor.
11.4.- Función implícita.
Tema 12. - Funciones homogéneas.
12.1 - Funciones homogéneas. Grado de homogeneidad.
12.2 - Derivación de las funciones homogéneas. Teorema de Euler.
12.3 - Aplicación: La función de producción Cobb-Douglas. Rendimientos de
escala..
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