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Curso académico 2006-07
DPTO ECONOMIA FINANCIERA Y CONTABILIDAD I
LICENCIATURA EN ADMINISTRACION Y DIRECCION DE EMPRESAS
Plan 2000
MATEMATICAS EMPRESARIALES I
9 Créditos
Código 606
Troncal, Primer Curso
Anual
Curso 2006-07
PROFESORES:
Blanco García, Susana
Busto Caballero, Ana Isabel
Calvo Martín, Mery Emilia
Del Pozo García, Eva
García Pineda Pilar
Garma Pons, Santiago
Murciano Sánchez, Federico
Nuñez del Prado, José Antonio
Segovia Vargas, Mª Jesús
Ficha de la asignatura
Títulación: LADE
Departamento: ECONOMIA FINANCIERA Y CONTABILIDAD I
Nombre Asignatura:
Matemáticas
Empresariales I
Código: 606
Tipo: Troncal
Plan 2000
Semestre 1 y 2
Créditos 9
Teoría : 1.5
Prácticas:1.5
Curso 1
Horas semanales: 3
Nombre del profesor/es que imparte/n la asignatura:
Blanco García, Susana
Busto Caballero, Ana Isabel
Calvo Martín, Mery Emilia
Del Pozo García, Eva
García Pineda Pilar
Garma Pons, Santiago
Murciano Sánchez, Federico
Nuñez del Prado, José Antonio
Segovia Vargas, Mª Jesús
1) Objetivos.
Analizar los conocimientos matemáticos previos y avanzar en nuevos conceptos, métodos
y técnicas de análisis. Con la finalidad de acercar el razonamiento matemático a los
análisis económicos
2) Destrezas y competencias que se van a adquirir:
Conocimientos y razonamientos matemáticos par la compresión de otras materias
Prerrequisitos para cursar la asignatura: Estar matriculado en 1º de Lade
Contenido (breve descripción de la asignatura):
Elementos básicos de:
-
Álgebra Lineal: espacio vectorial, sistemas lineales, cálculo matricial, aplicaciones
lineales, diagonalización de endomorfismos y formas cuadráticas.
-
Cálculo Diferencia: Continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones.
Optimización matemática.
Bibliografía recomendada (máximo 4 títulos):
Apóstol TM: “Calculus, vol. I y II” Reverte 1989
Balbas , Gil, Gutierrez. “Análisis matematicos para la Economía” Ed. AC.1988
Blanco , Del pozo, Garcia Pineda. “Matematicas empresariales. Algebra Lineal”. ED.
Thomson 2001
Blanco , Del pozo, Garcia Pineda. “Matematicas empresariales. Cálculo Diferencial ”. ED.
Thomson 2004
Gutierrez S. “Algebra Lineal” Ed AC 1986
Método docente: clase magistral. Ejercicios prácticos
Tipo de evaluación: (exámenes/ trabajos/ evaluación continua)
Exámenes según calendario de la facultad, realización de ejercicios, seguimiento del
alumno
Idioma en que se imparte: Castellano
Observaciones: enlaces a más información
Resumen:
El programa de la asignatura de Matemáticas Empresariales I está formada por dos bloques temáticos: Algebra
Lineal y Cálculo Diferencial
Los conceptos básicos de Álgebra Lineal tienen un carácter formativo y simbólico y son abundantes e interesantes
sus aplicaciones en economía aplicada, economía financiera, estadística, econometría, teoría económica y economía de la
empresa.
El Cálculo Diferencial de campos escalares y vectoriales es quizás la parcela matemática con mayor tradición de
aplicación a la Economía. Para el estudio de los modelos estáticos no lineales y bajo el enfoque marginalista
predominante en los análisis económicos, esta herramienta matemática se muestra como una de las más idóneas. Los
supuestos de cambios suaves, de divisibilidad perfecta y de sustitución perfecta permiten el uso de funciones continuas y
diferenciables tanto para valorar magnitudes económicas como para expresar relaciones entre las variables de los
modelos. La derivada y la diferencial son los conceptos matemáticos a través de los cuales se expresan algunas
magnitudes económicas, como son la elasticidad, el valor marginal, la relación marginal de sustitución, etc., que
representan las tasas de cambio entre distintas variables económicas. Las técnicas de derivación de funciones implícitas
son utilizadas en el análisis de estática comparativa, última etapa del análisis de los modelos estáticos
Todo ello hace que el Cálculo Diferencial, al igual que el Álgebra Lineal, sea considerada una de las técnicas
matemáticas básicas en el curriculum de los estudiantes de Administración y Dirección de Empresas.
Exámenes
Estos se ajustarán al calendario oficial dado por la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
ÁLGEBRA LINEAL
Lección 1. Análisis económicos lineales
1.
2.
3.
4.
5.
La necesidad de las Matemáticas en la Economía.
Introducción al planteamiento matemático del equilibrio económico
Análisis marginales
Análisis lineales
Objetivo del Álgebra Lineal
Lección 2. Espacios vectoriales
1. Introducción. Nociones matemáticas básicas: proposiciones lógicas. Conjuntos. Relaciones binarias,
correspondencias. Aplicaciones. Leyes de composición. Estructuras algebraicas básicas
2. Espacio vectorial: definición y propiedades
3. Combinación lineal de vectores
4. Dependencia e independencia lineal
5. Sistema generador y base de un espacio vectorial
5.1. Teoremas de la base
5.2. Cambio de base de un espacio vectorial
6. El espacio vectorial Rn
Lección 3. Subespacios vectoriales
1.
2.
3.
4.
5.
Definición de subespacio vectorial
Condición necesaria y suficiente de subespacio vectorial
Variedad lineal generada por un conjunto de vectores
Dimensión y base de un subespacio vectorial
Suma e intersección de subespacios vectoriales
Lección 4. Matrices
1. Definición de matriz. Tipos de matrices
2. Álgebra de matrices
3. Espacio vectorial de matrices M(mxn)
4. Transposición de matrices. Propiedades
Lección 5. Determinante de una matriz cuadrada. Rango de una matriz. Inversión matricial
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Definición, cálculo y propiedades
Relación del determinante y la base de un espacio vectorial
Rango de una matriz
Relación entre el rango y la dependencia e independencia lineal de vectores de Rn
Matriz inversa de una matriz cuadrada. Matrices regulares
Expresiones y ecuaciones matriciales
Lección 6. Métodos matriciales para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales
1.
2.
3.
4.
5.
Definición de sistema de ecuación lineal
Tipología de los sistemas
Estudio de la compatibilidad. Teorema de Rouché-Frobenius
Resolución de sistemas. Regla de Cramer
Aplicaciones económicas
Lección 7. Sistemas lineales homogéneos y subespacios vectoriales
1. Definición de sistema lineal homogéneo.
2. Discusión y resolución del sistema
3. Ecuaciones de un subespacio vectorial: paramétricas e implícitas
Lección 8. Aplicaciones lineales entre espacios de dimensión finita.
1. Definición de aplicación lineal
2. Propiedades y clasificación de las aplicaciones lineales
2.1. Isomorfismo entre un espacio vectorial de dimensión n y Rn
3. Núcleo e imagen de una aplicación lineal. Propiedades
4. Análisis de una aplicación lineal a través de su matriz
5. Efecto de un cambio de base en la matriz de la aplicación. Matrices equivalentes
Lección 9. Operaciones con aplicaciones lineales
1.
2.
3.
4.
Álgebra de las aplicaciones lineales. Isomorfismo entre £(Un, Vm) con M(mxn)
Aplicación lineal inversa
Endomorfismos.: Matrices semejantes. Propiedades
Cambio de base en los endomorfismos
Lección 10. Diagonalización de matrices cuadradas
1. Concepto de autovalor, autovector y polinomio característico. Subespacios propios. Propiedades. Teorema de CaleyHamilton
2. Endomorfismo diagonalizables. Existencia de una matriz diagonal diagonalizable.
3. Potencia n-ésima de una matriz
4. Aplicación económica
Lección 11. Diagonalización de matrices simétricas reales
1. Introducción.
2. Producto escalar. Propiedades. Espacio vectorial euclídeo
3. Norma o módulo de un vector. Ortogonalidad
4. Matrices ortogonales.
5. Matrices simétricas. Propiedades de los autovalores y autovectores
6. Diagonalización de matrices simétricas reales.
Lección 12. Formas lineales y bilineales
1. Formas lineales
1.1 Matriz asociada a una forma lineal
2. Formas bilineales
2.1. Matriz asociada a una forma bilineal
2.2. Forma bilineal simétrica
Lección 13. Formas cuadráticas
1. Definición de una forma cuadrática. Expresión matricial y polinómica
2. Clasificación de una forma cuadrática
3. Cambio de base en las formas cuadráticas. Congruencia matricial
3.1. Expresión canónica de una forma cuadrática
3.2. Teorema de Inercia de Sylvester
4. Estudio del signo de una forma cuadrática sin restricciones
5.1. Criterio de los autovalores
5.2. Criterio de los menores principales
5. Estudio del signo de una forma cuadrática con restricciones
CÁLCULO DIFERENCIAL
Lección 14. Valoración de magnitudes a través de las funciones
1. Valoración de magnitudes
2. Formas de valorar la magnitud: funciones
Lección 15. Nociones topológicas en Rn.
1. Norma y distancia euclídea. Concepto de bola
2. Caracterización topológica de los puntos en Rn
2.1 Exterior y Adherencia
2.2 Puntos aislados y de acumulación
2.3 Puntos frontera e interior
2.4 Abiertos y cerrados. Conjuntos compactos
Lección 16. Funciones y Límites de funciones
1. Funciones
1.1 Definición de función
1.2. Funciones reales y funciones vectoriales
1.3. Dominio de una función
1.4 Álgebra de funciones
1.5 Análisis del comportamiento local y global de una función.
1.6 Representación gráfica de funciones reales. Curvas de nivel
2. Límite finito de una función en un punto. Definición y propiedades
3. Límites de funciones reales de una variable.
3.1 Límite infinito en un punto. Asíntotas verticales
3.2 Límite finito en el infinito. Asintótas horizontales y oblicuas
3.3 Cálculo de límites. Indeterminaciones
3.4 Límites restringidos: límites laterales
Condición necesaria y suficiente para la existencia de límite
4. Límites de funciones reales de varias variables
4.1 Límites restringidos: límites direccionales
4.2Cálculo del límite:
Límites iterados
Cambio a coordenadas polares
Condición necesaria y suficiente para la existencia de límite
5. Límites de funciones vectoriales
5.1Condición necesaria y suficiente para la existencia de límite
Lección 17. Continuidad de funciones
1.
2.
3.
4.
5.
Definición de continuidad en un punto. Función continua
Comportamiento continuo en una dirección
Álgebra de las funciones continuas. Continuidad de la función compuesta
Clasificación de las discontinuidades
Teoremas de las funciones reales continuas de variable real: de Bolzano, de Darboux y de Weierstrass
Lección 18. Derivada de una función
1. Función real de variable real
1.1. Derivada de una función real en un punto. Definición
1.2. Función derivada primera, segunda y sucesivas
1.3. Derivadas laterales
1.4. Reglas de derivación
1.5. Relación entre derivabilidad y continuidad
1.6.Intervalos de crecimiento, decrecimiento y estacionariedad de la función.
1.6.1. Caracterización de los puntos críticos
1.7.Intervalos de concavidad, convexidad y puntos de inflexión
1.7.1.Caracterización de los extremos locales
1.8.Teoremas sobre funciones derivables: de Rolle, del valor medio de Lagrange y de Cauchy. Regla de L´Hopital
2. Función real de varias variables
2.1. Definición de derivada según un vector.
2.2. Derivada direccional.
2.3. Derivada parcial primera. Vector gradiente. Matriz jacobiana
2.4. Derivada parcial segunda. Matriz hessiana
2.4.Relación entre derivabilidad y continuidad
3. Funciones vectoriales
3.1. Derivada direccional
3.2. Función derivada
4. Aplicaciones económicas de las derivadas
Lección 19. Funciones diferenciables
1. Funciones diferenciables de R en R. Introducción
1.1. Aproximación afín
1.2. Definición
1.3. Equivalencia entre derivabilidad y diferenciabilidad
2. Funciones diferenciables de Rn en R. Definición y propiedades
2.1. Matriz asociada a la diferencial
2.2. La diferencial como mejor aproximación lineal a la función
2.3. Continuidad y diferenciabilidad
2.4.Derivabilidad y diferenciabilidad. Relación entre el gradiente y las derivadas direccionales.
2.4.1. Direcciones de crecimiento y decrecimiento.
2.4.2 Direcciones de máximo crecimiento
2.4.3. Definición de extremo local. Condición necesaria. Punto crítico.
2.5. Funciones dos veces diferenciables. Relación entre la matriz hessiana y las derivadas segundas direccionales
2.6 Condición suficiente de difenciabilidad. Función de clase Ck
2.6.1. Teorema de Schwart
2.6.2. Condición suficiente de extremo local
3. Funciones diferenciables de Rn en Rm. Definición
3.1. Diferencial de la función
3.2. Matriz asociada a la diferencial.
3.2.1. Relación entre la matriz jacobiana y las derivadas direccionales
3.3. Diferencial de la función compuesta. Regla de la cadena
Lección 20. Teorema de Taylor y aplicaciones
1.
2.
3.
4.
Aproximación de funciones por el polinomio de Taylor
Teorema de Taylor para funciones reales de variable real. Aplicaciones
Desarrollo en serie de Taylor
Teorema de Taylor para funciones reales de varias variables. Aplicaciones
Lección 21. Optimos de campos escalares: libres y restringidos
1. Programas libres o sin restricción.
2. Programas con restricciones de igualdad. Definición y formulación matemática.
2.1.
Función objetivo
2.2.
Conjunto factible
3. Transformación de un programa con restricciones de igualdad en un programa sin restricciones
4. Teorema de los multiplicadores de Lagrange
4.1.
Función lagrangiana
2.2.
Multiplicadores de Lagrange
4.3.
Condición necesaria de óptimo
4.4.
Condición suficiente de óptimo
5. Análisis de sensibilidad de los multiplicadores de Lagrange
Lección 22. Función implícita
1. Función implícita. Definición
2.1. Teorema de la función implícita
2.2. Derivadas parciales de funciones implícitas
2.3. Aplicaciones económicas. Relaciones de sustitución
Lección 23. Función homogénea
1. Definición y propiedades de las funciones homogéneas
2. Teorema de Euler
3. Aplicaciones económicas. Rendimientos a escala
3.1. La función de producción de Cobb-Douglas
Bibliografía Básica
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ALEGRE, P; y varios (1995): Matemáticas empresariales Madrid AC
APOSTOL, T. (1989): Calculus I y II Barcelona Reverte
BALBAS, A; GIL, J.A; GUTIERREZ, S. (1989) Análisis matemático para la Economía I (Cálculo diferencial).
Madrid AC
BLANCO S. GARCIA P. GARCIA E (2002) Matemáticas Empresariales I. Algebra Lineal. Ed Thomson
BLANCO S. GARCIA P. GARCIA E (2004) Matemáticas Empresariales I. Cálculo Diferencial. Ed Thomson
CABALLERO, R.E. (2000): Matemáticas aplicadas a la Economía y a Empresa. Madrid Pirámides
GUTIERREZ, S.; FRANCO, A (2000): Matemáticas aplicadas a la economía y a la empresa. Madrid AC
HERAS, A.; VILAR, J.L. (1989): Problemas de Álgebra Lineal para la Economía. Madrid AC
JARNE, G; PEREZ, I; MINGUILLON E. (1997): Matemáticas para la Economía. Álgebra Lineal y Cálculo
Diferencial. Madrid Mc Graw-Hill
Bibliografía Complementaria
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AYRES F. ( 1986) Matrices. Teoría y 340 problemas resueltos. Mexico McGraw Hill, Serie Schaum
BARBOLLA, R; SANZ P.( 1989): Álgebra lineal y teoría de matrices. Madrid Prentice Hall
CANCELO, JR et al (1987): Problemas de Álgebra Lineal para economistas. Vol. II, Albacete Tebar-Flores
FLOREY, F. (1997): Fundamentos de Álgebra Lineal y aplicaciones; Madrid Prentice Hall
LIPSCHUTZ, S. (1993): Álgebra Lineal, Madrid McGraw Hill
SANZ, R.; VAZQUEZ, F.; ORTEGA, P. (1998): Problemas de Álgebra Lineal. Cuestiones. Ejercicios y tratamiento
en Derive. Un enfoque teórico práctico. Madrid Prentice Hall