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FACULTAD DE INGENIERÍA - DEPARTAMENTO DE FÍSICA FÍSICA II-2016 ESPECIALIDADES: AGRIMENSURA-CIVIL-QUÍMICA-ALIMENTOSBIOINGENIERÍA GUÍA DE PROBLEMAS PROPUESTOS Y RESUELTOS - MAGNETISMO Problema Nº 1 Un protón (q = 1,6 x 10-19 C, m = 1,67 x 10-27 Kg) tiene una rapidez de 8 x 106 (m/s) en un punto del espacio donde B = 2,5 T, formando el vector velocidad un ángulo de 60º con el vector B. a) Dibujar un diagrama con los vectores v, B y F (fuerza magnética que actúa sobre el protón). b) Calcular el módulo de la fuerza. c) Calcular el módulo de la aceleración que adquiere el protón. d) Repetir los puntos (a), (b) y (c) para un electrón (q = 1,6 x 10-19 C, m = 9,1 x 10-31 Kg) que se mueve con la misma velocidad y en el mismo campo. Rta: b) F = 2,77 x 10-12 N c) a = 1,66 x 1015 (m/s2) d) F = 2,77 x 10-12 N a = 3,04x 1018(m/s2) Problema Nº 2 Un positrón (q = 1,6 x 10-19 C, m = 9,1 x 10-31 Kg), se dispara horizontalmente y hacia la derecha con una velocidad de módulo 5 x 106 m/s, en una región donde existe un campo magnético perpendicular al plano del dibujo, experimentando inicialmente la acción de una fuerza vertical y hacia abajo, de módulo igual a 1,14 x 10-19 N. a) Determinar sentido y módulo del campo magnético. b) ¿Cuál es el radio de la trayectoria que describe el positrón? c) ¿Cuál es su frecuencia de giro? (La solución de este problema se encuentra al final de la guía). Problema Nº 3 ¿Qué campo magnético se requeriría para hacer que un electrón cuya energía es de 400 eV se mantenga en una trayectoria circular de 0,8 m de radio? Rta: B = 8,35x10-5 T Problema Nº 4 Una barra metálica de 2,4 m de largo y 100 g de masa está suspendida de unos alambres en un campo magnético de 2 T, como muestra la figura. Determinar la magnitud y sentido de la corriente necesaria para que la fuerza magnética equilibre al peso de la barra. B . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rta: i = 0,2 A; de derecha a izquierda Problema Nº 5 Se mantiene una corriente de 6 mA en una sola espira circular que tiene una longitud de 1m. Un campo magnético externo de 0,3 T está dirigido paralelamente al plano de la espira. a) Calcule el momento de dipolo magnético de la espira de corriente. b) ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión ejercido sobre la espira por el campo magnético? Rta: a) = 4,77x 10 -4 A.m2 b) = 1,43 x10 -4 N.m Problema Nº 6 Una bobina rectangular de 225 vueltas de área 0,45 m2 está en un campo magnético uniforme de 0,21 T. Las mediciones indican que el máximo momento ejercido sobre la espira por el campo magnético es de 8x10-3N.m . Calcular la corriente en la bobina. Rta: 376 µA . 1 Físíca II-2016 Agrimensura-Civil-Química-Alimentos-Bioingeniería Magnetismo Problema Nº 7 Un alambre recto y largo, de sección circular de 2 cm de radio, transporta una corriente de 0,1 A uniformemente distribuida en su sección transversal. Calcular el campo magnético a las siguientes distancias del eje del alambre: a) 0,5 cm. b) 4 cm. µ0=4π x 10-7 Wb/ A.m Rta: a) B = 2,5 x 10-7 T b)B = 5 x 10-7 T Problema Nº 8 Un alambre recto y muy largo, transporta una corriente i= 1,5 A dirigida a lo largo del eje x positivo, perpendicular a un campo magnético. La corriente experimenta una fuerza por unidad de longitud de 0,63 N/m en la dirección del eje y negativo. Calcular la magnitud y la dirección del campo magnético en la región donde se encuentra el alambre. Rta: 0,42 T en dirección del eje z positivo. Problema Nº 9 Dos alambres rectos, largos y paralelos, separados una distancia de 10 cm, llevan corrientes de sentidos opuestos, de 0,2 A (entrante) y 0,3 A (saliente), respectivamente. a) Calcular el campo magnético en un punto entre los alambres y equidistante de los mismos. b) Calcular el campo magnético en un punto sobre la recta que une los ejes de los alambres, y 2 cm a la derecha del segundo alambre. c) Determinar si los alambres se atraen o se repelen. d) Calcular la fuerza por unidad de longitud, (F/L), que actúa sobre cada alambre. e) Idem a todo lo anterior si las dos corrientes son entrantes. Rta: a) B = 2 x 10-6 T (vertical y hacia abajo). b) B = 2,67 x 10 -6 T (vertical y hacia arriba). c) Se repelen d) (F/L) = 1,2 x 10-7 (N/m). e) B = 4 x 10-7 T (vertical y hacia arriba); B = 3,33 x 10-6 T (vertical y hacia abajo); Se atraen; (F/L) = 1,2 x 10-7 (N/m). Problema Nº 10 Dos alambres rectos y muy largos son perpendiculares a un sistema de coordenadas cartesianas, en los puntos (0m, 6m) y (8 m, 0m). Por el primer alambre circula una corriente entrante de 0,01 A, y por el segundo una corriente saliente de 0,03 A. a) Calcular el módulo del campo magnético B resultante en el punto (0m, 0m) y el ángulo que forma con el eje x. b) Calcular el módulo del B resultante en el punto (5m, 4m) y el ángulo que forma con el eje x. c) Determinar módulo, dirección y sentido de la fuerza inicial que actúa sobre un electrón que se dispara en el punto anterior, en el sentido de las y positivas, con una velocidad de 3000 (m/s). d) Idem a todo lo anterior si ambas corrientes son entrantes. Rta: a) B = 8,2 x 10–10 T, =246. b) B = 1,53 x 10–9 T, = 224,1 c) F = 5,27 x 10–25 N (perpendicular al plano del dibujo y entrante). d) B = 8,2 x 10–10 T, = 112 ; B = 9 x 10–10 T, =24,58 ; F = 3,9 x 10–25 N (perpendicular al plano del dibujo y saliente). Problema Nº 11 Un solenoide, que ha sido proyectado para crear un campo magnético B = 1,2x10-4T en su eje, tiene una longitud de 20 cm. Si el alambre de las espiras puede conducir una corriente máxima de 0,038A ¿qué número de espiras debe tener el solenoide? Rta: 500espiras Problema Nº 12 Por una espira circular de 0,5 m de radio circula una corriente que crea en el centro de la espira un campo magnético de 2 10–8 T, perpendicular al plano de la misma, y entrante. Calcular el valor de la corriente y determinar su sentido. Rta: i = 0,05 A, sentido horario. Problema Nº 13 El segmento de alambre de la figura conduce una corriente de 5A, donde el radio del arco circular es R=3cm.Determinar la magnitud y dirección del campo magnético en el origen. Rta: 26,2x 10-6T 2 Físíca II-2016 Agrimensura-Civil-Química-Alimentos-Bioingeniería Magnetismo A i B O C i D Problema Nº 14 Se construye una espira circular flexible con un alambre de 300 cm de largo. La espira se coloca en un campo magnético uniforme de 1,2 T. a)¿Cuánto vale el flujo de B a través de la espira? Se tira la espira en los punto indicados en la figura formando una espira de área nula en un intervalo de tiempo de 0,2 s b)¿Qué f.e.m. se induce en el circuito? c)¿Cuál es el sentido de la corriente en R? Rta: a) ØB = 0,86Wb b) ε=4,30V c) sentido horario. Problema Nº 15 El flujo magnético que atraviesa la espira de la figura varía de acuerdo con la siguiente relación B = 3 t2 + 5 t + 1, estando B expresado en mWb (miliweber) (1 mWb = 1x 10–3 Wb) y t en segundos. a)¿Cuánto valen la fem inducida y la corriente inducida en la espira cuando t = 3 s, si la resistencia total del circuito es de 15 ? b) Determinar el sentido de la corriente inducida. (La solución de este problema se encuentra al final de la guía). Problema Nº 16 Una espira de 5 de resistencia se encuentra en una región del espacio donde existe un campo magnético uniforme y perpendicular al plano de aquélla. Inicialmente la espira está en la posición 1, para la cual el flujo a su través es de 3 mWb. La espira empieza a moverse y un segundo después está en la posición 2. Determinar: a) EI sentido de la corriente inducida. b) La magnitud de la corriente inducida. x x x x x x x x Rta: a) Horario. b)i = 6 x 10–4 A. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1x x x x x x x x x x x x x 3 x x x x x x x x x x x x x x x x 2 Físíca II-2016 Agrimensura-Civil-Química-Alimentos-Bioingeniería Magnetismo Problema Nº 17 Determinar el sentido de la corriente inducida en la bobina de la derecha a) cuando el cursor c se desplaza hacia la derecha b) cuando se deja quieto c) cuando se desplaza hacia la izquierda (La solución de este problema se encuentra al final de la guía). Problema Nº 18 La inductancia de una bobina apretada de 200 vueltas es de 8 mH. ¿Cuál es el flujo magnético en la bobina cuando la corriente es de 5 x 10–3 A? Rta: B = 2 x 10–7 Wb. Problema Nº 19 En el circuito LR de la figura, en el cual la llave S está en la posición 1, L vale 2 H, L = 0,25 s, y VR = 10 V para un tiempo infinito. Calcular: a) La resistencia del circuito. b) La corriente de equilibrio. c) El ritmo de aumento de la corriente para t = L. d) VL para t = 0. e) El ritmo con que la fem entrega energía al circuito para t = . f) El ritmo con que se almacena energía en el campo magnético para t = 0,5 s. d) El ritmo con que se disipa calor en la resistencia para t = 0,75 s. (La solución de este problema se encuentra al final de la guía). R 1 2 S L *********************************************************************************** 4 Físíca II-2016 Agrimensura-Civil-Química-Alimentos-Bioingeniería Magnetismo Problemas Resueltos Problema Nº 2 Un positrón (q = 1,6 x 10-19 C, m = 9,1 x 10-31 Kg), se dispara horizontalmente y hacia la derecha con una velocidad de módulo 5 x 106 m/s, en una región donde existe un campo magnético perpendicular al plano del dibujo, experimentando inicialmente la acción de una fuerza vertical y hacia abajo, de módulo igual a 1,14 x 10-19 N. a) Determinar sentido y módulo del campo magnético. b) ¿Cuál es el radio de la trayectoria que describe el positrón? c) ¿Cuál es su frecuencia de giro? Solución: a) La fuerza de origen magnético que actúa sobre el positrón es: F qvx B (1) Como los vectores v y B son perpendiculares, el módulo de F es: F qvBsen90 F 1,14 x1019 N 1,425 x10 7 N / A.m Luego: B 19 6 qv 1,6 x10 C.5 x10 m / s B 1,425x107 T Como B es perpendicular al plano del dibujo, puede ser saliente o entrante, o sea que las dos posibles ternas de vectores son: qV B qV B F (a) F (b) De las dos ternas, sólo la (b) satisface la ecuación (1), luego el campo magnético es saliente. Aplicando las expresiones vistas en teoría ("Magnetismo: conceptos básicos''), el radio de la trayectoria descripta y la frecuencia de giro se calculan mediante las ecuaciones: r m.v q.B y f qB 2. .m b) 9,1x10 31 Kg.5 x106 m / s 200m 1,6 x10 19 C.1,425 x10 7 T r 200m r c) 1.6 x1019 C.1.425 x107 T f 3989,6C.N / A.m / Kg 6,28 x9,1x1031 Kg f 3989,6s 1 *********************************************************************************** 5 Físíca II-2016 Agrimensura-Civil-Química-Alimentos-Bioingeniería Magnetismo Problema Nº 15 El flujo magnético que atraviesa la espira de la figura varía de acuerdo con la siguiente relación B = 3 t2 + 5 t + 1, estando B expresado en mWb (miliweber) (1 mWb = 1x 10–3 Wb) y t en segundos. a) ¿Cuánto valen la fem inducida y la corriente inducida en la espira cuando t = 3 s, si la resistencia total del circuito es de 15 ? b) Determinar el sentido de la corriente inducida. x x x x x x x Solución: a) De acuerdo con la ley de Faraday, Como B 3t 2 5t 1 x x x x x x x dB dt se tiene: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x dB 6t 5 dt Prescindiendo del signo: = 6 t + 5 (Esta expresión da la ley de variación de la fem inducida con el tiempo) Análisis de unidades B mW t s mV Luego, si el flujo se expresa en mWb y el tiempo en segundos, la fem resultará en mV. Para t = 3s, se tiene = (6 x 3) + 5 = 23 mV; i R = 23 mV 23mV 1,5mA; 15 i 1,5mA b) Cuando hay una variación de flujo magnético en el tiempo parece una fem inducida y ésta origina una corriente inducida en la espira. Para determinar su sentido, hay que averiguar si el flujo aumenta o disminuye con el tiempo. De acuerdo con la ley de variación del flujo con el tiempo, se tiene que, por ejemplo, para t = 0 s, B = 1 mWb, y para t = 1 s, B = 9 mWb, o sea que le flujo a través de la espira, que es entrante, aumenta con el tiempo. Luego, la corriente inducida tenderá a oponerse a ese aumento de flujo entrante, y su sentido será tal que cree un flujo saliente a través de la espira. O sea que la corriente debe ser de sentido antihorario. *********************************************************************************** 6 Físíca II-2016 Agrimensura-Civil-Química-Alimentos-Bioingeniería Magnetismo Problema Nº 17 Determinar el sentido de la corriente inducida en la bobina de la derecha d) cuando el cursor c se desplaza hacia la derecha e) cuando se deja quieto f) cuando se desplaza hacia la izquierda Solución: Llamamos 1 a la bobina de la izquierda, y 2 a la de la derecha. Por la bobina 1 circula una corriente i que vale: i = /(R + Rb) donde R es la resistencia variable, y Rb es la resistencia de la bobina. La corriente i crea un campo magnético B, el cual es directamente proporcional a i, y apunta a la izquierda en el interior de la bobina 2. O sea que se tiene un flujo b, a través de la bobina 2, el cual es directamente proporcional a la corriente i, es decir que: b i a) Al desplazar el cursor C hacia la derecha, R aumenta y por lo tanto disminuyen i, B y b. Como hay una variación del flujo en el tiempo a través de la bobina 2, aparece en ésta una fem inducida, la cual origina a su vez una corriente inducida, cuyo sentido es tal, que se opone a la causa que la produce. Como ésta es una disminución del flujo magnético, la corriente inducida crea un flujo para evitar esa disminución, es decir, crea un campo magnético, B', que en el interior de la bobina 2 apunta hacia la izquierda, por lo tanto, el sentido de la corriente inducida es el indicado. B i B' i b) Si el cursor se deja quieto, i, B y b permanecen constantes. Por lo tanto, si no hay variación de flujo en el tiempo a través de la bobina 2, no hay fem inducida ni corriente inducida. c) Al desplazar el cursor C hacia la izquierda, R disminuye y por lo tanto aumentan i, B y b. Como hay un aumento del flujo magnético a través de la bobina 2, siguiendo un razonamiento semejante al del punto (a), se encuentra que la corriente inducida en la bobina 2 tiene el sentido indicado en la figura. B B' i 7 Físíca II-2016 Agrimensura-Civil-Química-Alimentos-Bioingeniería Magnetismo Problema Nº 19 En el circuito LR de la figura, en el cual la llave S está en la posición 1, L vale 2 H, L = 0,25 s, y VR = 10 V para un tiempo infinito. Calcular: a) La resistencia del circuito. b) La corriente de equilibrio. c) El ritmo de aumento de la corriente para t = L. d) VL para t = 0. e) El ritmo con que la fem entrega energía al circuito para t = . f) El ritmo con que se almacena energía en el campo magnético para t = 0,5 s. d) El ritmo con que se disipa calor en la resistencia para t = 0,75 s. R 1 2 S L Solución: a) L = L/R; R R = L/L ; 2H 8s / s 0,25s R 8 b) La corriente de equilibrio es i = /R i Para t = , VR = . Luego = 10 V. c) Para t L 10V 1,25 A 8 di L / L 1 e e dt L L di 10V 1,84 A / s dt 8H .2,718 d) Para t = 0, VL = e) Para t = , .i . f) Para t = 0,5s, VL 10V R 2 .i R (10V ) 2 12,5W 8 di L.i. L 1 e 2 e 2 dt R L di L.i. (1 0,135).(0,135) 1,4W dt R 2 g) Para t = 0,75s, 2 PJ i 2 .R 1 e 3 .R R 2 2 Pj 1 0,05 11,28W R 8 Físíca II-2016 Agrimensura-Civil-Química-Alimentos-Bioingeniería Magnetismo Problemas optativos Problema Nº 1 Por un conductor rectilíneo circula una corriente de 20 A, como indica la figura. Una espira rectangular, con dos de sus lados paralelos al conductor recto, lleva una corriente de 5 A. Calcular: a) La fuerza magnética sobre cada lado de la espira. b) La fuerza magnética resultante sobre la espira. c) El flujo magnético a través de la espira, debido al campo creado por la corriente que circula por el alambre rectilíneo. Problema Nº 2 Se tienen dos cilindros concéntricos muy largos, el interior macizo, y el exterior hueco. Por el cilindro interior circula una corriente i uniformemente distribuida en su sección transversal (j=constante), y por el exterior circula la misma corriente pero en sentido contrario, estando también uniformemente distribuida. Deducir la expresión del campo magnético para: a) r < a; b) a < r < b; c) b < r < c y d) r > c, siendo r la distancia al eje de los cilindros. Problema Nº 3 Un anillo de madera de sección rectangular tiene como eje a un rectilíneo muy largo que lleva una corriente i=200A.. Calcular el flujo de inducción (flujo de B) a través de la sección del anillo, según las dimensiones indicadas en el dibujo. 9