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EXAMEN DE MATEMÁTICAS – TEMAS TEMAS 1 y 3. 3. NÚMEROS Y ÁLGEBRAÁLGEBRA-I 1º BACHILLERATO - MATEMÁTICAS I RESOLUCIÓN 1 Define número irracional, pon algún ejemplo y explica la diferencia entre un número racional y un número irracional. Número irracional: Todo número que no se pueda escribir en forma de fracción. Por ejemplo, el número Número racional: Todo número que se pueda escribir en forma de fracción (0,5 puntos) π Los números racionales se pueden expresar en forma de fracción y los irracionales no 4 3 2 3 2 Calcula el valor del parámetro m para que el polinomio 2x – 5x + mx + 19x - 10 sea divisible por x – 3x + 2. Hacemos la división e imponemos que el resto valga cero 4 2x – 5x 3 2 + 3 mx + 19x – 10 | x – 3x + 2 4 2 -2x + 6x - 4x ________________________ 3 2 -5x + (m+6)x + 15x - 10 2x – 5 3 5x - 15x + 10 ______________________________ 2 (m+6)x = R = 0 → m = -6 3 Simplifica todo lo posible la fracción algebraica: 2x 4 3 2 − x − 11x − 11x − 3 . 3 2 x − 2x − 3x (2 puntos) Primero factorizamos el numerador y el denominador: 4 3 2 2 Numerador: 2x – x – 11x – 11x – 3 = (x+1)(x+1)(x-3)(2x+1) = (x+1) (x-3)(2x+1) 2 -1 -11 -11 -3 Factor: (x+1) -1 -2 3 8 3 --------------------------------2 -3 -8 -3 0 -1 -2 5 3 --------------------------2 -5 -3 0 Factor: (x+1) 2 C = 2x – 5x – 3 − = − 1 2 ; x1 = 3 , x2 = 2 4 4 ± 7 = 1 2 2 5 − ( −) Factorización del cociente: a(x – x1)(x – x2) = 2(x-3)(x+ 3 3 . 2 . 4 2 . 2 ± = 5 2 − 5 c a 4 − ± 2 a b 2 b Raíces del cociente: x = ) = (x-3)(2x+1) 2 Denominador: x – 2x – 3x = x(x – 2x – 3) = x(x-3)(x+1) ± 2 = 4 − ( −) 2 3 ± . 1 . 1 4 . 2 x= 4 2 2 Raíces de x – 2x – 3: ; x1 = 3 , x2 = -1 ; Factorización: (x-3)(x+1) Sustituimos y eliminamos los factores que se repiten en el numerador y denominador 2x 4 3 2 2 2 2 (x + 1)(2x + 1) 2x + x + 2x + 1 2x + 3x + 1 − x − 11x − 11x − 3 (x + 1) (x − 3)(2x + 1) = = = = 3 2 x(x − 3)(x + 1) x x x x − 2x − 3x (1 punto) 1 4 Efectúa y simplifica todo lo posible: − x2 x −9 x − 1 : . 2 3 x − 9x x − 3x (2,5 puntos) Primero factorizamos los polinomios: 3 2 2 2 x – 9x = x(x – 9) = x(x – 3 ) = x(x + 3)(x – 3) 2 x – 3x = x(x – 3) Sustituimos y operamos: 1.(x + 3)(x −3) − x(x −1) x − 9 1 x −9 x −1 : 1 − x −1 : x −9 : = − = = 2 2 3 2 (x + 3)(x − 3) x(x − 3) x2 x(x − 3) x(x + 3)(x −3) x − 3x x x − 9x x x2 − 9 − x2 + x x − 9 x −9 (x − 9)x(x − 3) 1 1 x −9 : : = = = = = 2 2 x2 (x + 3)(x − 3) x(x − 3) x2 (x + 3)(x − 3) x(x − 3) x(x + 3) x (x + 3)(x −3)(x − 9) x + 3x 5 Efectúa y simplifica usando las propiedades de los radicales: = 1 2 1 = 3 3 a a 2 1 a 2 3 a a 2 1 a 2 1 a .4 a 6 a 2 1 . a a4 3 = a) (4 puntos) = =1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------= 5 4 =3 − 5 2 3 5 5 2 = − 5 5 5 = − 2 5 2 5 5 = − 2 3 5 5 2 3 5 ( ) b) = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ = − 5 27 3 23 3 = − 3 22 5 3 2 . 12 23 3 2 3 3 2 2 5 3 12 = − 23 3 = 3 4 2 2 5 3 12 − 23 3 65 17 3 12 23 3 c) − El resultado se deja indicado pues las raíces no son semejantes y no se pueden restar ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ − − − ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- − ( + 2 3 ) 3 2 1 2 ) −( 2 2 1 ( + 2 2 1 2 1 3 2 + ) + ) = 3 − =( 2 3 ) 6 3 2 )−( − 2 1 + 2 1 6 3 2 + ( 2 3 − ) 2 1 2 2 1 + 3 ( ( 3 e) ) = 3 + 2.6 + 12 – (12 – 2.6 + 3) = 3 + 12 + 12 – 12 + 12 – 3 = 24 1 = 3 +) 33 ( 1 − 3 2 ( ) = 2 +) 33 1 2 1 ( − 32 3 + 2 − = 3 2 3 − + 1 1 3 − 3 3 . 1 2 1 3 − 3 3 . 1 3 2 1 3 d)