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SOBRE
ruedas
segundo ciclo
MANUAL BONAERENSE
Dirección Editorial
Florencia N. Acher Lanzillotta
Dirección de Arte
Luciano Andújar y Cecilia Aranda
Coordinación gráfica
Lucas Frontera Schällibaum
Diseño de tapa y maqueta
Ivana Tkacz
Documentación fotográfica
Anabella Ferreyra
Mariana Jubany
Preimpresión y producción gráfica
Florencia Schäfer
Ciencias sociales
Coordinación editorial y edición: Camila Palau
Autoría: Gabriela Costanzo, Eugenia Younis y Paloma Vidal
Corrección: Alan Blinkhorn
Diagramación: Clara Giménez
Ciencias naturales
Coordinación editorial y edición: David Pazos y Alejandro Itce
Autoría: Laura Melchiorre, Verónica Corbacho, David Pazos
y Graciela Saharrea
Corrección: Alan Blinkhorn
Diagramación: Carolina Mareque
© 2015, Edelvives.
Av. Callao 224, 2º piso
Ciudad Autónoma de Buenos Aires (C1022AAP), Argentina.
Manual 5 Bonaerense / Julia Elena Martínez... [et al.]; dirigido por Florencia N. Acher
Lanzillotta; editado por Gustavo Castaño... [et al.]; ilustrado por Juan Pez. - 1a ed. Ciudad Autónoma de Buenos Aires: Edelvives, 2015.
512 p.: il.; 27,5 x 21,2 cm.
ISBN 978-987-642-374-8
1. Ciencias Naturales. 2. Ciencias Sociales. 3. Lengua. I. Martínez, Julia Elena II.
Acher Lanzillotta, Florencia N., dir. III. Castaño, Gustavo, ed. IV. Pez, Juan, ilus.
CDD 372.19
Este libro se terminó de imprimir en el mes de enero de 2016,
en FP Compañía Impresora S. A., Buenos Aires, Argentina.
La presente edición se ajusta a la cartografía establecida por el Poder Ejecutivo
Nacional a través del IGN –ley 22.963– y fue aprobada por el expediente
Nº GG15 2619/5 de fecha 5 de enero de 2016 .
Reservados todos los derechos de la edición por la Fundación Edelvives. Queda
rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del copyright,
bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta
obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de los ejemplares de ella mediante alquiler
o préstamo público. Queda hecho el depósito que dispone la ley 11.723.
La editorial queda a disposición de los eventuales poseedores de los derechos de
fuentes literarias que no pudieron ser contactados.
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Prácticas del lenguaje
Coordinación editorial: Georgina Ricci
Edición: Gustavo Castaño
Autoría y selección de textos: Julia Martínez
Corrección: Roberta Zucchello
Diagramación: Paula Socolovsky (Blaunt diseño editorial)
Matemática
Autoría: Débora Sanguinetti
Edición: Samantha Matos
Corrección: Laura Susin
Diagramación: Sergio Israelson (Blaunt diseño editorial)
Técnicas de estudio
Autoría y edición: Paloma Vidal
Corrección: Alan Blinkhorn
Diagramación: Clara Giménez
Ilustración de aperturas
Juan Pez
Ilustración de interiores
Viviana Brass, Alina Calzadilla, Federico Combi,
Mariana Pabstleben y Josefina Schargorodsky
Cartografía
Miguel Forchi
Fotografía
Agradecimientos: Entidad Binacional Yacyreta, Greenpeace Argentina, Argentina
Idymedia, Instituto Nacional de Tecnología Agropecuaria (INTA), p69: MaritéSganga, p.78: Luciano Tourn.com.
Experiencias de Ciencias Naturales: Paula Bonacorsi
CreativeCommons: Tom L-C/CC BY-SA 3.0; Barcex/CC BY-SA 3.0; Boscos/CC BYSA 3.0, Claudio Elias/CC BY-SA 3.0; Facundo Fernández/CC BY 2.0; Alex Proimos/
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Rivas, B Brown, fuyuliu, David Molina G, Alf Ribeiro, SergeyBogdanov, naito8, WasanSrisawat, alexpro9500, Mark Yuill, nito, MaciejBledowski, Anton_Ivanov, kavram,
MarKord, Max Topchii, James R. Martin, Anibal Trejo. Ciripasca. Maridav. Sergey
Novikov. Halfpoint. Maksim Shmeljov. Pressmaster. Oksana Kuzmina. URRRA.
Mogens Trolle. Macrovector. Sergey Novikov. VLADGRIN. Netta07. Stihii. Stanil777.
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Mashe. Vince Clements. Pefkos. Schankz. KonstantinChristian. Oeytoey. Gajus. Yuris.
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Xunbin. Meoita. BrAt82. Tefi. 12_Tribes. Mchin. Yulia Vybornyh. Plamuekwhan.
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Brataniec. Perspectives - Jeff Smith. Pete Pahham. Tanatat. NorGal.
1/8/16 3:57 PM
M AT E M ÁT I C A
Pág.
Capítulo 1. Números naturales
393
Capítulo 2. Operaciones con números naturales
407
Capítulo 3. Triángulos, ángulos y circunferencias
423
Capítulo 4. Rectángulos y cuerpos geométricos
437
Capítulo 5. Fracciones
451
Capítulo 6. Números decimales
467
Capítulo 7. Medida
485
Capítulo 8. Gráficos y proporcionalidad
501
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Números naturales
M AT E M ÁT IC A
Marquen todos
los números que
aparecen en la
imagen.
A
Escriban con
palabras los
números que
encontraron.
b
c
Ordénenlos de
menor a mayor.
393
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Usar números grandes
1. Margarita encontró en Internet que hay miles de especies de animales en el mundo. Completen la tabla en la que figuran algunos grupos.
Grupo
Mamíferos
Cantidad de especies
(expresado con números)
5.487
Aves
Reptiles
Nueve mil novecientos noventa
8.734
Anfibios
Peces
Seis mil quinientos quince
31.153
Arácnidos
Crustáceos
Ciento dos mil doscientos cuarenta y ocho
47.000
Insectos
Moluscos
Cantidad de especies
(expresado con palabras)
Un millón
85.000
2. Pablo, entusiasmado por la investigación de Margarita, decidió buscar en Internet la distancia
entre el Sol y algunos planetas del Sistema Solar. Así, averiguó que Venus está a 108.200.000 km
del Sol, que Júpiter está a 778.330.000 km y que La Tierra está a 149.600.000 km. Pablo quiere llamar por teléfono a Margarita para contarle su descubrimiento, pero no sabe cómo decir con
palabras todos esos números. Escriban cada distancia en palabras y expliquen cómo lo hicieron.
PARADA TÉCNICA
• Así se escriben y se leen estos números:
10.000: diez mil
100.000: cien mil
1.000.000: un millón
10.000.000: diez millones
100.000.000: cien millones
1.000.000.000: mil millones
• Para expresar con palabras un número que no llega al millón, hay que decir primero los miles.
Por ejemplo: 915.873 es “novecientos quince mil ochocientos setenta y tres”. Si, en cambio,
el número supera al millón, primero decimos los millones y después los miles. Por ejemplo:
398.871.194 es “trescientos noventa y ocho millones ochocientos setenta y un mil ciento
noventa y cuatro”.
• Para escribir un número que está formado por miles pero que no llega al millón, primero se
escriben los miles, se pone un punto y continúa escribiendo el número que sigue. Por ejemplo, “trescientos veinticuatro mil quinientos cuarenta y ocho” se escribe 324.548. Si, en cambio, el número es mayor al millón, se escriben primero los millones, un punto, después los
miles, un punto, y se continúa escribiendo el número que sigue. Por ejemplo, “ochocientos
veintitrés millones quinientos mil trescientos noventa” se escribe 823.500.390.
394
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Números naturales
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M AT EM ÁT IC A
3.
En cada caso, indiquen cuál es el número mayor y cuál es el menor. Justifíquenlo en la carpeta.
a. 986.713
1.154.980
1.245
21.098.001
b. 302.185.398
302.199.001
302.185.018
313.176.124
Compartan entre todos las estrategias que usaron en la actividad anterior para deter4.
minar el número mayor y el número menor. Escriban las conclusiones.
5. a. A partir de la tabla de la actividad 1 decidan cuál es el grupo de animales que más especies tiene y cuál es el que menos especies tiene.
b. Ordenen los grupos de animales de menor a mayor según la cantidad de especies que
tiene cada uno.
6. Completen los números que faltan debajo de las marcas en cada recta numérica. Expliquen
en la carpeta cómo hicieron para completarlas. Recuerden que en las rectas numéricas la diferencia entre dos números representados en marcas sucesivas es siempre la misma.
a.
3.971.237
3.971.238
b.
2.198.000
2.199.000
c.
4.500.000
4.700.000
d.
9.325.100
9.325.700
Comparen sus respuestas de la actividad anterior con las de sus compañeros. Discutan
7.
similitudes y diferencias de cada una de las rectas numéricas.
PARADA TÉCNICA
• Si dos números no tienen la misma cantidad de cifras, siempre será mayor el que tenga más
cifras. Por ejemplo: 23.456.987 es mayor que 345.810, pues el primero tiene 8 cifras y el segundo tiene 6. Si dos números tienen la misma cantidad de cifras, se comparan las cifras de
izquierda a derecha. Por ejemplo, si tenemos 234.581.198 y 234.583.190, como las primeras
cinco cifras son iguales, comparamos la sexta. En el primer número, la sexta cifra es 1 y en el
segundo es 3, por lo tanto es mayor el segundo número.
• En una recta numérica, la diferencia entre dos números representados en marcas sucesivas
es siempre la misma. Si queremos representar números en una recta numérica, necesitamos
tener ubicados al menos dos de ellos.
395
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Los valores de las cifras
8.
Obtengan cada uno de los siguientes números usando solamente las teclas 0, 1, + y ×
de la calculadora. Anoten los cálculos que hicieron para conseguirlos.
a. 1.300
b. 458.000
c. 2.983.230
d. 1.320.985
a. Comparen sus respuestas de la actividad anterior con las de sus compañeros. ¿Hay
9.
una única forma de obtener cada número?
b. Escriban 3 formas de obtener el número 3.478 usando las teclas 0, 1, + y x.
Elaboren entre todos una estrategia que les permita obtener cualquier número
c.
usando las teclas 0, 1, + y x.
10. Roxana juega a un videojuego donde el protagonista es un mago que tiene que recolectar
elementos para sumar puntos y así ganar poderes. Estos son los puntajes:
Piedra roja
Piedra azul
Piedra verde
Piedra dorada
Cofre
Estrella mágica
Libro de hechizos
1
10
100
1.000
10.000
100.000
1.000.000
punto
puntos
puntos
puntos
puntos
puntos
puntos
a. Si Roxana recolectó 50 piedras azules, 19 rojas, 7 doradas, 2 cofres, 3 estrellas mágicas
y 1 libro de hechizos. ¿Cuántos puntos sumó?
b. Roxana escribió este cálculo para saber cuántos puntos sumó en la partida anterior:
3 × 1 + 15 × 10 + 3 × 100 + 2 × 10.000 + 3 × 100.000. Teniendo en cuenta los puntajes de
cada elemento, ¿es posible saber cuántos elementos de cada tipo recolectó Roxana? ¿Cuántos puntos consiguió?
c. Cada 9.350 puntos, el mago recupera su energía. ¿De cuántas maneras se puede conseguir ese puntaje? Expliquen sus respuestas.
d. Para que el mago pueda hacer el hechizo “lluvia de estrellas” necesita tener más de
500.000 puntos. Encuentren tres maneras de conseguir esa cantidad de puntos.
11. En cada caso, completen la igualdad para que resulte verdadera. Indiquen si hay una única
forma posible de completarla o hay varias posibilidades. Expliquen sus respuestas.
a. 2 × 1 +
× 100 + 9 × 10.000 +
b.
×1+
× 10 + 3 ×
c.
×1+
× 10 +
× 100.000 + 1 ×
+9×
× 100 +
+
= 1.790.802
× 1.000.000 = 8.009.321
× 1.000 +
× 10.000 = 57.496
PARADA TÉCNICA
Cualquier número natural se puede expresar como sumas de multiplicaciones por 1, 10, 100,
1.000, 10.000, etcétera. Para hacerlo hay que mirar los valores de cada una de las cifras, que
depende de su posición en el número. Por ejemplo, 3.856 está formado por 3 miles, 8 cienes,
5 dieces y 6 unos, por eso se puede escribir como 3 × 1.000 + 8 × 100 + 5 × 10 + 6 × 1.
396
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Números naturales
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M AT EM ÁT IC A
12. a.
Julieta ingresó el número 34 en la calculadora, y sucesivamente fue realizando multiplicaciones y divisiones, sin borrar el resultado que obtenía, hasta que en el visor volvió a aparecer el número 34. Luego, hizo lo mismo con el número 25. Estos son los resultados que fue
obteniendo. Anoten sobre cada flecha la multiplicación o división que tuvo que hacer para obtener el resultado indicado. Corroboren sus respuestas con la calculadora.
34
x 10
340
3.400
25.000
25
b.
340.000
50.000
200.000
34.000
2
340.000
10
34
50
25
Escriban una tira de resultados como las de Julieta, que termine con el mismo
número que comienza y desafíen a un compañero para que escriba sobre las flechas las
multiplicaciones y divisiones.
13. Completen los espacios para que las igualdades resulten verdaderas.
× 1.000 = 35.000
× 1.000.000 = 348.000.000
: 10 = 340
: 1.000 = 1.000.000
× 100 = 67.000
: 1.000 = 82.000
14. a.
Ingresen en la calculadora el número 10, presionen dos veces seguidas la tecla × y
sucesivas veces la tecla =. Analicen los números que van apareciendo en la pantalla y piensen
qué es lo que ocurre cada vez que se presiona la tecla =.
b. ¿Cuántas veces tendrían que presionar la tecla = para obtener el número 1.000?
c. ¿Cuántas veces hay que multiplicar a 10 por sí mismo para obtener el número 1.000.000?
Encuentren dos formas de obtener el número 100.000 usando solamente las teclas
15. a.
0, 1, = y ×. Expliquen cómo hicieron para hallarlo.
b. ¿Hay más maneras de hacerlo?
PARADA TÉCNICA
Al multiplicar un número natural por un número formado por un 1 seguido de ceros, es decir,
10, 100, 1.000, etcétera, se obtiene como resultado el primer número seguido de tantos ceros
como los del segundo número. Por ejemplo, 15 × 1.000 = 15.000. Por eso, se dice que multiplicar por una unidad seguida de ceros equivale a agregar ceros a la derecha del número multiplicado.
Al dividir un número natural por un número formado por un 1 seguido de ceros, se sacan ceros a la derecha del primer número. Por ejemplo, 560.000 : 1.000 = 560. Sin embargo, esta regla solo vale cuando el dividendo tiene mayor o igual cantidad de ceros que el divisor.
397
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Números romanos
PARADA TÉCNICA
El sistema de numeración romano usa estos símbolos:
I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1.000
Para el 4.000 y para números mayores que 4.000, se coloca una línea horizontal por encima
del símbolo, que indica miles.
V = 5.000 X = 10.000 L = 50.000 C = 100.000 D = 500.000 M = 1.000.000
Sus reglas son:
• Los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor.
• El valor de un número se obtiene sumando los valores de los símbolos que lo forman. Por
ejemplo: el valor de LXXVI se obtiene haciendo 50 + 10 + 10 + 5 + 1 = 76.
• Si se tiene el símbolo I, X, C o M a la izquierda inmediata de otro símbolo de mayor
valor, se resta al valor del segundo. Por ejemplo: IX = 9, porque 10 – 1 = 9 y XL = 40, porque
50 – 10 = 40.
• Los símbolos V, L y D siempre se suman y no pueden estar a la izquierda de un símbolo de
mayor valor.
• Se permiten a lo sumo tres repeticiones consecutivas de los símbolos I, X, C o M. Por
ejemplo, está bien escribir al número 3 como III, pero el 4 se escribe IV y no IIII.
• No se pueden repetir los símbolos V, L y D.
• Solo se admite la resta de un símbolo sobre los dos símbolos inmediatamente mayores.
Por ejemplo: I solo puede restar a V y a X; y X solo puede restar a L y a C.
16.
a. Miren el reloj que aparece en la imagen de la página 393. Analicen cómo se escriben
los números del 1 al 12 en el sistema de numeración romano.
b. Piensen en dónde es posible ver números romanos.
c. Juan dice que 43 se escribe XXXXIII y que 62 se escribe XXXXXXII. ¿Es correcto?
d. ¿Qué número es MMMXLV?
e. Escriban 2.015 con números romanos.
f. Juan dice que cuando escribimos un número en el sistema de numeración romano, a
veces sumamos y a veces restamos. Piensen ejemplos en los que sea necesario sumar,
otros en los que sea necesario restar, y otros en los que se tenga que sumar y restar.
g. Analicen similitudes y diferencias entre nuestro sistema de numeración y el romano.
PARADA TÉCNICA
Decimos que un sistema de numeración es decimal si el valor de cada cifra corresponde a
una unidad seguida de ceros. Por ejemplo: el sistema de numeración que usamos frecuentemente es decimal, porque es posible identificar en todos los números el valor de cada posición con la cantidad de unos, dieces, cienes, miles, etcétera, que tiene. Por ejemplo, el número
2.735 indica que tiene 2 de 1.000, 7 de 100, 3 de 10 y 5 de 1.
Un sistema de numeración es posicional cuando el valor representado por cada cifra está determinado por el lugar que ocupa en ese número. Por ejemplo: el sistema de numeración que
usamos frecuentemente es posicional porque no es lo mismo escribir 21 que 12, los mismos
dígitos en distintas posiciones expresan números diferentes.
Analicen entre todos el sistema de numeración romano. ¿Es decimal? ¿Es posicional?
17.
Anoten en sus carpetas las conclusiones.
398
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Números naturales
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M AT EM ÁT IC A
Sistema de numeración egipcio
PARADA TÉCNICA
Los egipcios, hace miles de años, usaban estos símbolos para escribir los números:
1
10
100
1.000
10.000
100.000
1.000.000
Un trazo
Un arco
Un rollo
Una flor
Un dedo
Un pez
Un hombre
El resto de los números los escribían repitiendo el símbolo las veces que fuera necesario. Por
ejemplo, el número 35 lo podían escribir de diferentes maneras:
Porque 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 35. En este sistema el orden en el que se escriben
los símbolos no importa.
18. a. ¿De qué otras maneras pueden escribir 35?
b. El sistema de numeración egipcio, ¿es posicional?, ¿y decimal?
19. Escriban con los símbolos egipcios los siguientes números.
a. 9 b. 56 c. 163 d. 1.453 e. 15.281 f. 200.000
20. Escriban estos números egipcios en nuestro sistema decimal posicional.
a.
b.
c.
21.
b.
c.
d.
e.
a. Expliquen cómo hubieran escrito los egipcios el número 9.999.999.
¿Y cómo escribirían los romanos el 9.999.999?
Cuando escribimos un número en sistema de numeración romano, a veces sumamos y a
veces restamos. ¿Y en el sistema de numeración egipcio?
Piensen entre todos: ¿qué hay que tener en cuenta para escribir y leer un número
en el sistema egipcio?
Analicen similitudes y diferencias entre nuestro sistema de numeración y el egipcio.
PARADA TÉCNICA
• El sistema de numeración egipcio no es posicional. Como analizaron en la actividad 18, hay
muchas formas de escribir el número 35.
• El sistema de numeración romano es un sistema de numeración posicional, por ejemplo, no
es lo mismo escribir IV que escribir VI.
• Tanto el sistema de numeración egipcio como el nuestro son decimales.
399
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Problemas con sumas y restas
22. El martes fue el cumpleaños de Carla y sus abuelos le regalaron $500 para que ella compre
lo que quiera. Carla lo puso en su alcancía en donde ya tenía $153. El miércoles compró chocolates para su mejor amiga y gastó $58 de su alcancía. El jueves, su mamá le dio $25 para comprar
figuritas, pero ella decidió ahorrarlos. El viernes compró un libro de animales y gastó $219 de su
alcancía. Y el sábado sus tíos le dieron $100 por su cumpleaños. Respondan las preguntas en la
carpeta anotando los cálculos que realizan.
a. ¿Es cierto que el sábado Carla tenía más dinero que el miércoles, antes de comprar los
chocolates?
Discutan entre todos acerca de cómo resolvieron el problema. ¿Hicieron los misb.
mos cálculos? ¿Cómo organizaron los datos?
23. Darío, Inés y Héctor están jugando a embocar pelotas de colores en una cesta. Darío tira las
rojas, Inés las azules y Héctor las verdes. Cada uno tiene 80 pelotitas, juegan 4 rondas y gana el
que embocó la mayor cantidad de pelotitas, contando las de todas las rondas. Esta tabla muestra
la cantidad de pelotitas que embocó cada jugador en cada ronda.
Jugador
Primera ronda
Segunda ronda
Tercera ronda
Cuarta ronda
Inés
58
58
78
69
Darío
45
19
75
51
Héctor
67
65
62
68
a. ¿Quién ganó la competencia?
b. ¿Es cierto que el jugador que más rondas ganó es el ganador del partido? Analicen los
resultados en cada ronda y compárenlo con el puntaje final.
c. Pedro dice que ningún jugador podría haber embocado 350 pelotitas al final de las cuatro rondas. ¿Están de acuerdo con él? Expliquen sus respuestas.
d. ¿Cuántas pelotitas no fueron embocadas, en total, en las cuatro rondas? ¿Cuántas pelotitas quedaron afuera en cada ronda? Anoten los cálculos que realizaron.
Los chicos de la actividad anterior deciden incorporar al juego una regla de puntajes.
24.
En cada ronda, sumarán 1 punto por cada pelota que encestan y restarán 1 punto por cada pelota que cae fuera de la cesta. Por ejemplo, Inés en la primera ronda encestó 58 pelotitas, como
en todas las rondas tiene 80 pelotitas, quedaron afuera 22 pelotitas. Eso significa que sumará
58 puntos y restará 22.
a. Calculen el puntaje de cada chico. Anoten en sus carpetas los cálculos que hicieron.
b. Para calcular los puntajes de cada chico, Flavia sumó la cantidad de pelotas encestadas
en cada ronda y a ese resultado le restó el total de pelotas que quedaron afuera. Anoten
la cuenta que hizo Flavia. ¿Es correcta?
c. Para calcular los puntajes de cada chico, Franco le restó la cantidad de pelotas que quedaron afuera al total de pelotas que quedaron adentro en cada ronda, para luego sumar
esos 4 resultados. Anoten el cálculo que hizo Franco y expliquen por qué da el mismo
resultado que el cálculo que hizo Flavia.
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M AT EM ÁT IC A
25. En una fábrica, este mes hubo una producción de 3.460 tazas, de las cuales 450 eran verdes,
1.670 eran blancas y el resto, azules. Se vendieron 200 tazas verdes, 498 blancas y 368 azules.
a. Decidan cuáles de los siguientes cálculos permiten determinar la cantidad de tazas que
quedaron en el depósito. Expliquen sus decisiones.
3.460 + 450 + 1.670 – 200 – 498 – 368
3.460 – 200 – 498 – 368
3.460 – 200 + 498 + 368
3.460 – (200 + 498 + 368)
b. Comparen la consigna anterior con la actividad 24. ¿En qué se parecen? ¿En qué se
diferencian?
c. ¿Cuántas tazas azules produjeron?
d. ¿Cuántas tazas de cada color quedaron en el depósito de la fábrica?
e. Si se descartaron 108 tazas blancas porque estaban falladas, ¿cuántas tazas de cada
color quedaron en el depósito?
El instructor de Marina le dio una rutina para todas las semanas que consiste en co26.
menzar el lunes caminando una cantidad de cuadras que ella elija y luego caminar todos los días
4 cuadras más que las que caminó el día anterior.
a. Si el lunes de esta semana comienza caminando 5 cuadras, ¿cuántas cuadras va a caminar el domingo? ¿Cuántas cuadras caminó, en total, toda esa semana?
b. Si el domingo de la siguiente semana camina 27 cuadras, ¿cuántas cuadras caminó el
lunes de esa semana? ¿Cuántas cuadras caminó, en total, toda la semana?
c. Si la tercera semana caminó 126 cuadras en total, ¿cuántas cuadras caminó el lunes de
esa semana?
En el almacén de don Tito hoy hay una promoción: cada $100 de compra, hacen un
27.
descuento de $10.
a. Ayer, que no había promoción en el almacén, Matías gastó $450. ¿Cuánto hubiera pagado hoy? ¿De cuánto sería el descuento?
b. Anoten los cálculos que hicieron para resolver la consigna anterior y compartan sus resoluciones con el resto de la clase. ¿Hicieron las mismas cuentas?
c. Expliquen cómo cambian esas cuentas que anotaron si, en lugar de hacer un descuento
de $10 por cada $100 de compra, hicieran un descuento de $5 por cada $100.
d. Darío dice que si el descuento es de $5 por cada $50 de compra el resultado de las dos
primeras consignas no cambia. ¿Están de acuerdo con Darío? Expliquen sus respuestas.
e. ¿Y si el descuento es de $20 por cada $200 de compra?
f. Propongan 3 relaciones entre el descuento y el precio de compra que no cambie el resultado de las dos primeras consignas de esta actividad.
PARADA TÉCNICA
Para resolver problemas donde hay cantidades que se agregan y otras que se sacan, se puede:
• sumar las cantidades que se agregan, sumar las cantidades que se sacan y luego restar los
dos totales entre sí;
• sumar las cantidades que se agregan e ir restando las cantidades que se sacan.
Por ejemplo, para calcular el puntaje de Inés en la actividad 24, puede hacerse:
(58 + 58 + 78 + 69) – (22 + 22 + 2 + 11) o (58 – 22) + (58 – 22) + (78 – 2) + (69 – 11).
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Problemas con multiplicaciones y divisiones
28. a. Cuenten los cuadraditos que hay en una hoja cuadriculada de su carpeta. ¿Qué estrategia usaron para contarlos?
b. ¿Cuántos cuadraditos hay, en total, en toda su carpeta de Matemática? Pueden hacer
las cuentas con la calculadora. Anoten los cálculos que necesitaron hacer para hallar la
respuesta.
c. Si una hoja rectangular tiene un total de 600 cuadraditos, ¿cuántos cuadraditos se apoyan en cada uno de sus lados?
Comparen su respuesta anterior con la de sus compañeros. ¿Es cierto que hay
d.
muchas respuestas posibles?
e. Si en un lado de una hoja se apoyan 15 cuadraditos y en total tiene 300 cuadraditos,
¿cuántos cuadraditos se apoyan sobre el otro lado? ¿Hay una única posibilidad?
29. Celeste está escribiendo una novela. De lunes a viernes escribe 2 páginas por día y los fines
de semana escribe 4 páginas por día. Su novela tiene 302 páginas, y empezó a escribirla un lunes.
a. ¿Cuántos días tardó en escribirla?
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.
b.
30.
Juan va a comprar un lavarropas, averiguó los planes en diferentes comercios.
Comercio “Lo de Tito”
12 cuotas mensuales iguales
de $400
con un interés de $50 en
cada cuota.
Comercio “Todo electrodomésticos” Comercio “Súper Electro”:
$5.300 en efectivo.
$2.000 en efectivo y el resto
en 6 cuotas iguales de $500.
a. ¿En qué comercio el lavarropas sale más barato? ¿Qué cuentas hicieron para calcularlo?
b. ¿Cuál de los planes es el más conveniente?
c. Juan decide comprar una heladera que cuesta $8.000 en un comercio que financia la
compra en 5 cuotas iguales. ¿Cuál es el valor de cada cuota?
d. ¿Y si lo hace en 10 cuotas iguales? ¿Es cierto que, si la cantidad de cuotas se duplica, el
costo de cada cuota también se duplica?
PARADA TÉCNICA
• Para contar elementos ordenados en filas y columnas, como en la actividad 28, podemos
multiplicar la cantidad de filas por la cantidad de columnas. De esta manera no necesitamos
contarlos uno por uno.
• Si conocemos la cantidad de elementos en un arreglo rectangular y sabemos cuántos elementos tiene en cada fila (o columna), podemos saber cuántos elementos hay en cada columna (o fila). Por ejemplo, si en una hoja de papel hay 300 cuadraditos, y sabemos que en su
base se apoyan 30 cuadraditos, entonces en su altura se apoyarán 10 cuadraditos, porque
10 × 30 = 300. Esto también puede averiguarse haciendo la división 300 : 30 = 10.
• Si sabemos cuánto cuesta cada cuota en la compra de un producto, podemos averiguar el
costo total multiplicando la cantidad de cuotas por el valor de cada una. Por ejemplo, si compramos un libro en 6 cuotas de $40, el costo total se calcula haciendo 6 × 40 = 240.
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31. Matías compró un paquete de galletitas cuyo contenido pesa 300 gramos. En la tabla nutricional que figura en el paquete dice que 5 galletitas pesan 30 gramos.
a. ¿Cuántas galletitas tiene un paquete? Anoten los cálculos que hicieron.
b. ¿Cuántos paquetes tiene que comprar Matías para tener 170 galletitas? ¿Es cierto que
sobran galletitas? ¿Por qué? Si sobran, calculen cuántas.
c. ¿Cuánto pesan 6 galletitas? ¿Y 17 galletitas? Anoten los cálculos que realizaron y comparen su resolución con la de sus compañeros.
d. Completen la siguiente tabla que relaciona cantidad de galletitas con su peso.
Cantidad de galletitas
Peso (en gramos)
5
30
10
1
20
450
720
32. Martín y sus amigos están jugando un juego de mesa. Cada jugador tiene una ficha que se
desplaza por un tablero a partir de los resultados que surgen al tirar dos dados. Según la casilla en la que cae debe responder una pregunta, por la que gana puntos si responde bien o resta
puntos si responde mal. También puede optar por sacar una “tarjeta de la sorpresa” en donde se
indica que tiene que duplicar, triplicar o disminuir a la mitad, los puntos conseguidos hasta ese
momento. Martín comienza con 5.000 puntos, luego del primer tiro responde mal una pregunta y le descuentan 2.800 puntos, pero en el tiro siguiente responde bien una pregunta y gana
2.000 puntos más. Al tercer tiro, duplica la cantidad de puntos que tiene en ese momento. Luego, cae en una casilla que le hace perder un tercio de los puntos que posee. Los tres tiros siguientes permiten que Martín gane el partido con 7.000 puntos.
a. ¿Cuántos puntos ganó en los últimos tres tiros?
b. ¿Cuántos puntos hubiera obtenido antes de los últimos tres tiros si, en lugar de haber
respondido mal la primera pregunta, hubiera respondido bien y ganado 2.300 puntos?
PARADA TÉCNICA
Existen problemas que involucran hacer cálculos que tienen sumas, restas, multiplicaciones
y divisiones. Por ejemplo, en la actividad 31, hacer multiplicaciones y divisiones permite saber
la cantidad de galletitas que hay en una determinada cantidad de paquetes y también cuánto
pesa cierta cantidad de galletitas.
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REPASAMOS
1. a. Pablo estuvo investigando las distancias aproximadas, medidas en kilómetros, que hay
desde el Sol a cada planeta del Sistema Solar. Completen la tabla escribiendo, según corresponda,
las distancias expresadas en números o en palabras.
Planeta
Distancia medida en km
(expresada en números)
Distancia medida en km
(expresada en palabras)
Saturno
Mil cuatrocientos veintinueve mil millones
Mercurio
Cincuenta y siete millones novecientos mil
Venus
108.200.000
Júpiter
778.330.000
Marte
Doscientos veintisiete millones novecientos diez mil
Tierra
149.600.000
Urano
2.871.000.000
Neptuno
4.504.000.000
b. En la carpeta, ordenen los planetas desde el que está más cerca del Sol hasta el que está
más alejado. Expliquen cómo lo hicieron.
2. Decidan cuáles de las siguientes rectas numéricas que completó Marcos tienen errores. Expliquen cómo se dieron cuenta y corríjanlas.
1.098.812
1.098.822
1.098.842
1.098.862
3.087.210
3.587.210
4.087.210
4.587.210
1.300.998
1.300.999
1.400.000
1.400.001
3. Escriban como suma de multiplicaciones por 10, 100, 1.000 y 10.000 cada número.
a. 34.897 b. 345.932 c. 3.953.109
4. Completen los cálculos para que la igualdad sea correcta.
12 ×
45.000 :
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= 12.000
= 450
2.378 ×
= 2.378.000.000
: 1.000 = 345
234 ×
= 2.340.000
: 100 = 340.000
Números naturales
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5. ¿Cuáles de estos números están mal escritos en sistema romano? ¿Por qué? Para los números
que están bien escritos, mencionen cuál es su valor en sistema decimal.
a. XXIIIIIII b. XXXXII c. IXIV d. IVIX e. CVXII f. CXVII
6. Escriban cada uno de los números en los sistemas de numeración egipcio y romano.
a. 56
b. 147
c. 1.205
d. 12.000
e. 1.000.050
7. El equipo de fútbol de Pedro se inscribió en tres torneos. Estos fueron los resultados.
Partidos
ganados
Partidos
perdidos
Partidos
empatados
Torneo de verano
10
5
3
Torneo metropolitano
8
3
5
Torneo amistoso
4
6
4
Total de partidos
jugados
Puntos totales
a. Sabiendo que por cada partido ganado suma 2 puntos, por cada partido empatado suma
1 punto y por cada partido perdido no suma ningún punto, completen la tabla.
b. ¿Cuántos partidos jugó el equipo este año?
c. ¿Cuántos partidos no perdió este año? Anoten los cálculos que hicieron.
d. ¿En cuál de los torneos le fue mejor? ¿Por qué?
e. ¿Cuántos puntos hizo en cada torneo?
8. María trabaja como guía en un museo. Si trabaja la jornada completa de 8 horas, le pagan
$960. Los fines de semana, la hora de trabajo la pagan el doble.
a. Esta semana, María trabajó 5 horas el lunes, 8 horas el martes, 2 horas el miércoles,
4 horas el jueves, 8 horas el viernes, 6 horas el sábado y el domingo no trabajó. ¿Cuánto
le pagarán por esta semana de trabajo?
b. El mes pasado, que tuvo 4 semanas, María solo trabajó durante la semana y cobró
$12.600. ¿Cuántas horas trabajó?
c. ¿Cuánto dinero recibe María si trabaja 8 horas por día de lunes a viernes durante un mes
que tiene 20 días hábiles? ¿Y durante un año de 365 días?
d. ¿Es cierto que si durante 30 días María trabaja 8 horas diarias cobrará el doble de dinero
que si trabaja solo 20 días de lunes a viernes?
9. Calculen la cantidad de puntitos que hay en el dibujo, sin contarlos uno por uno. Anoten
cómo lo pensaron.
10.
Hagan un cuadro de doble entrada que compare los sistemas de numeración estudiados.
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RELACIONAMOS E INTEGRAMOS
1. Decidan si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. Expliquen sus decisiones.
a. Si un número natural tiene más cifras que otro número natural, el primero es más grande
que el segundo.
b. Si la primera cifra de un número natural es más grande que la primera cifra de otro número natural, seguro que el primer número es más grande que el segundo.
c. El número 1.009.010 se lee “un millón noventa mil diez”.
d. El número treinta mil quinientos cinco millones cuarenta y ocho mil nueve se escribe:
30.505.040.890.
e. El sistema de numeración egipcio es un sistema posicional y decimal.
2. Un supermercado ofrece una promoción para compras mayores a $1.500: se puede pagar la
mitad en efectivo y el resto en 12 cuotas iguales sin interés.
a. Si Mario compra mercadería por $3.800 y decidió usar la promoción, ¿cuánto pagará en
cada cuota?
b. ¿Cuánto tendría que haber gastado para que cada cuota sea de $100?
c. ¿Es cierto que, usando la promoción, siempre las cuotas serán mayores a $80?
ÚLTIMA PARADA TÉCNICA
• Para expresar en palabras un número, primero decimos los millones y después los miles.
• Para escribir un número natural, escribimos primero los millones, después los miles y continuamos escribiendo el número que sigue, cada grupo separado por un punto.
• En las rectas numéricas la diferencia entre dos números representados en marcas sucesivas es siempre la misma. Para representar números en una recta numérica, necesitamos
tener ubicados al menos dos de ellos.
• Si dos números no tienen la misma cantidad de cifras, siempre será mayor el que tenga
más cifras. Si tienen la misma cantidad de cifras, éstas se comparan de izquierda a derecha.
• Podemos expresar cualquier número natural como sumas de multiplicaciones por 1, 10,
100, 1.000, 10.000, etcétera.
• Multiplicar un número natural por un número formado por un uno seguido de ceros equivale a agregar ceros a la derecha del número. Si, en cambio, lo dividimos, equivale a sacar
ceros, siempre que la cantidad de ceros a la derecha del primer número sea mayor que la
cantidad de ceros a la derecha en el divisor.
• Decimos que un sistema de numeración es decimal si el valor de cada cifra corresponde a
una unidad seguida de ceros. Un sistema de numeración es posicional cuando el valor representado por cada cifra está determinado por el lugar que ocupa en ese número.
• Para averiguar el total en la resolución de problemas que involucran cantidades que se
agregan y otras que se sacan, es posible: sumar las cantidades que se agregan, sumar las
cantidades que se sacan y luego restarlas entre sí; o bien, sumar las cantidades que se
agregan e ir restando las que se sacan una por una. Estas dos estrategias son equivalentes.
• Para contar elementos ordenados en filas y columnas, podemos multiplicar la cantidad de
filas por la cantidad de columnas.
• Si conocemos la cantidad de elementos en un arreglo rectangular y sabemos cuántos tiene cada fila (o columna), podemos saber cuántos elementos hay en cada columna (o fila).
• Si sabemos cuánto cuesta cada cuota en la compra de un producto, sin interés, podemos
averiguar el costo total multiplicando la cantidad de cuotas por el valor de cada una.
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