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potencias Prof. Nilsa I. Toro Catedrática Recinto Universitario de Mayagüez Residencial AFAMaC Septiembre 4, 2010 • A veces es conveniente escribir productos de factores repetidos en forma corta. • Por esto, usamos potencias para describir el resultado de multiplicar repetidamente un número por sí mismo. veamos • Para preparar a mano los fideos al estilo Chef Piñeiro, el Chef estira la masa de harina, la dobla por la mitad y vuelve a estirar. Esto se repite una y otra vez. Cada vez que estira la masa los fideos se hacen mas finos y cada vez que la dobla, el número de fideos se duplica. • Un buen fabricante de fideos puede doblar y estirar la masa 4 veces. Un experto la puede doblar y estirar ocho veces. ¿Cuántos fideos se obtendrán? podemos preparar una tabla Números de dobleces Multiplicación repetida Expresado como potencia Número de fideos 1 2 21 2 2 2⋅2 22 4 3 2⋅2⋅2 23 8 4 2⋅2⋅2⋅2 24 16 32 64 5 2⋅2⋅2⋅2⋅2 25 6 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 7 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 26 27 128 8 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 28 256 Podemos hacer esto mismo con un cordón. veamos actividad • 1. 2. 3. Consideremos un papel. Cortar en 3 pedazos iguales. Cortar cada papel en 3 pedazos repetidas veces. Completar la siguiente tabla Números de cortes 1 2 3 4 Multiplicación repetida Expresado como potencia Número de papeles • El número que sucesivamente se multiplica por sí mismo se llama la base. • El número de veces que la base se repite se escribe en la parte superior derecha de la base y es llamado el exponente. veamos base Dos a la quinta potencia 5 exponente la quinta potencia de dos observación • Más adelante demostraremos que cualquier número a ≠ 0. a =1 0 para aplicación (1) de la potencia • Se puede expresar cualquier número entero en forma desarrollada usando potencias. Notemos que las unidades, decenas y centenas , etc. son potencias de 10. Esto es, unidades 1 = 10 decenas 1 0 = 1 01 0 centenas 1 0 0 = 1 0 2 definición • Si a pertenece a los números reales, y n pertenece a los números naturales entonces n factores 6447448 n a = a x a x a xK x a . Llamamos base al número a , exponente al número n y n se lee como a “a elevada a la potencia n ”. ejemplo • Escriba cada uno de los siguientes números en forma desarrollada. 1. 924 2. 1906 3. 46,424 práctica • Escriba cada uno de los siguientes números en forma desarrollada. 1. 27 2. 805 3. 23,041 reglas de potencias • • Podemos hacer varios ejemplos para llegar a concluir las reglas de las potencias. Ejemplo: 5 factores 4 744 8 } 64 32 ⋅ 35 = ( 3 ⋅ 3) ⋅ ( 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) = 37 14442444 3 2 factores 2+5 factores 1. Regla del producto de potencias. a ⋅a = a m n m+ n • Ejemplo: 5 factores 64 4 744 8 35 ( 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 3 = 3 ⋅ = = 32 3 ⋅ 3) ({ 3⋅3 2 factores 14 4 244 3 ( ( ) 5− 2 factores 2. Regla del cociente de potencias. m a m−n =a n a ) • Ejemplo: 2+2+2=3⋅2 factores 6444 74448 3 factores factores 2} factores 2} factores 64748 2} 3 2 2 2 2 ( 4 ) = ( 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ) = ( 4 ⋅ 4 ) ( 4 ⋅ 4 ) ( 4 ⋅ 4 ) = 46 3. Regla de potencia de una potencia. (a ) n m =a m⋅n • Ejemplo: 3 factores 3 factores 3 factores 644474448 6 4 74 86 4 74 8 3 ( 2 ⋅ 5) = ( ( 2 ⋅ 5) ⋅ ( 2 ⋅ 5) ⋅ ( 2 ⋅ 5) ) = ( 2 ⋅ 2 ⋅ 2 )( 5 ⋅ 5 ⋅ 5) = 23 ⋅ 53 2 factores 678 2 4 4 4 = ⋅ = 3 3 3 } 4⋅4 42 = 2 3{ ⋅3 3 2 factores 2 factores 4. Regla de potencia de un producto. ( ab ) n n =a b n n n a a = n, b≠0 b b definición a = 1 si a ≠ 0, a pertenece a los números reales. 0 • Ejemplo 5 3 3⋅3⋅3⋅3⋅3 0 5−5 =1 3 =3 = 5 = 3 3⋅3⋅3⋅3⋅3 • Por esto usamos 100 = 1 en la forma desarrollada de un número. definición a 1 = n si a ≠ 0, n pertenece a los números naturales a −n • Notemos que 2 2⋅2⋅2 1 = = 24 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅2 2 3 3 2 ahora por las Reglas de los Exponentes 4 = 2 −1 , 2 1 −1 por lo tanto 2 = 2 ejemplos 1 4 = 4 −1 1 3 = 2 3 −2 observación −2 = 4 ( −2 ) 4 = • PRÁCTICA Simplificar la expresión: −2 4 ( −2 ) 3 ( −2 ) 3 ( −2 ) 4 = = potencias de ( −1) = −1 2 ( −1) = 1 3 ( −1) = −1 4 ( −1) = 1 1 • En general, ( −1) entero impar ( −1) entero par = −1 =1 actividad Bingo aplicación (2) de las potencias • Muchos de los números que se utilizan en la ciencia son muy grandes, por ejemplo, el numero de organismos unicelulares que alimentan a una ballena durante unas cuantas horas: 400,000,000,000,000. Otros números son muy pequeños, como la longitud de la onda mas corta de la luz visible, de aproximadamente.0000004 metros. La escritura de estos números se simplifica si se emplea notación científica. notación científica • Un número esta escrito en notación científica si esta expresado en la siguiente forma a x 10 n donde 1 ≤ a < 10, y n es entero. ejemplos • Escribir en notación científica: 1. .56 2. .0045 3. 9,874 4. 100,432 práctica • En la siguiente tabla aparece la distancia media en kilómetros de algunos planetas al Sol. Escribe esas distancias utilizando potencias de base 10. Distancia media al Sol (km) Distancia en Notación Científica Tierra Urano Neptuno Plutón 149.500,000 2,873,000,000 4,498,000,000 5,910,000,000 práctica • El diámetro de un glóbulo rojo es .0065 expresa en notación científica. FIN