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potencias
Prof. Nilsa I. Toro
Catedrática
Recinto Universitario de Mayagüez
Residencial AFAMaC
Septiembre 4, 2010
• A veces es conveniente escribir productos de factores
repetidos en forma corta.
• Por esto, usamos potencias para describir el resultado
de multiplicar repetidamente un número por sí mismo.
veamos
• Para preparar a mano los fideos
al estilo Chef Piñeiro, el Chef
estira la masa de harina, la dobla
por la mitad y vuelve a estirar.
Esto se repite una y otra vez.
Cada vez que estira la masa los
fideos se hacen mas finos y cada
vez que la dobla, el número de
fideos se duplica.
• Un buen fabricante de fideos
puede doblar y estirar la masa 4
veces. Un experto la puede
doblar y estirar ocho veces.
¿Cuántos fideos se obtendrán?
podemos preparar una tabla
Números de
dobleces
Multiplicación repetida
Expresado como
potencia
Número de fideos
1
2
21
2
2
2⋅2
22
4
3
2⋅2⋅2
23
8
4
2⋅2⋅2⋅2
24
16
32
64
5
2⋅2⋅2⋅2⋅2
25
6
2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2
7
2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2
26
27
128
8
2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2
28
256
Podemos hacer esto mismo con un cordón.
veamos
actividad
•
1.
2.
3.
Consideremos un papel.
Cortar en 3 pedazos iguales.
Cortar cada papel en 3 pedazos repetidas veces.
Completar la siguiente tabla
Números de cortes
1
2
3
4
Multiplicación
repetida
Expresado como
potencia
Número de papeles
• El número que sucesivamente se multiplica por sí mismo
se llama la base.
• El número de veces que la base se repite se escribe en la
parte superior derecha de la base y es llamado el
exponente.
veamos
base
Dos a la quinta potencia
5
exponente
la quinta potencia de dos
observación
• Más adelante demostraremos que
cualquier número
a ≠ 0.
a =1
0
para
aplicación (1) de la potencia
• Se puede expresar cualquier número entero en forma
desarrollada usando potencias.
Notemos que las unidades, decenas y centenas , etc. son
potencias de 10. Esto es,
unidades
1 = 10
decenas
1 0 = 1 01
0
centenas 1 0 0 = 1 0 2
definición
• Si a pertenece a los números reales, y n pertenece a los
números naturales entonces
n factores
6447448
n
a = a x a x a xK x a .
Llamamos base al número a , exponente al número n y
n
se lee como a
“a elevada a la potencia n ”.
ejemplo
• Escriba cada uno de los siguientes números en forma
desarrollada.
1. 924
2. 1906
3. 46,424
práctica
• Escriba cada uno de los siguientes números en forma
desarrollada.
1. 27
2. 805
3. 23,041
reglas de potencias
•
•
Podemos hacer varios ejemplos para llegar a concluir las
reglas de las potencias.
Ejemplo:
5 factores
4
744
8
} 64
32 ⋅ 35 = ( 3 ⋅ 3) ⋅ ( 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) = 37
14442444
3
2 factores
2+5 factores
1. Regla del producto de potencias.
a ⋅a = a
m
n
m+ n
•
Ejemplo:
5 factores
64
4
744
8
35 ( 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
3
=
3
⋅
=
=
32
3 ⋅ 3)
({
3⋅3
2 factores
14
4
244
3
(
(
)
5− 2 factores
2. Regla del cociente de potencias.
m
a
m−n
=a
n
a
)
•
Ejemplo:
2+2+2=3⋅2 factores
6444
74448
3 factores
factores 2}
factores 2}
factores
64748  2}

3
2
2
2
2
( 4 ) = ( 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ) =  ( 4 ⋅ 4 ) ( 4 ⋅ 4 ) ( 4 ⋅ 4 )  = 46


3. Regla de potencia de una potencia.
(a )
n
m
=a
m⋅n
•
Ejemplo:
3 factores
3 factores
3 factores
644474448
6
4
74
86
4
74
8
3
( 2 ⋅ 5) = ( ( 2 ⋅ 5) ⋅ ( 2 ⋅ 5) ⋅ ( 2 ⋅ 5) ) = ( 2 ⋅ 2 ⋅ 2 )( 5 ⋅ 5 ⋅ 5) = 23 ⋅ 53
2 factores
678
2
4
4 4
  =  ⋅ =
3
3 3
}
4⋅4
42
= 2
3{
⋅3
3
2 factores
2 factores
4. Regla de potencia de un producto.
( ab )
n
n
=a b
n n
n
a
a
 
  = n, b≠0
b b
definición
a = 1 si a ≠ 0, a pertenece a los números reales.
0
• Ejemplo
5
3
3⋅3⋅3⋅3⋅3
0
5−5
=1
3 =3 = 5 =
3
3⋅3⋅3⋅3⋅3
• Por esto usamos 100 = 1 en la forma desarrollada de un
número.
definición
a
1
= n si a ≠ 0, n pertenece a los números naturales
a
−n
• Notemos que
2
2⋅2⋅2
1
=
=
24
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅2 2
3
3
2
ahora por las Reglas de los Exponentes 4 = 2 −1 ,
2
1
−1
por lo tanto 2 =
2
ejemplos
1
4 =
4
−1
1
3 = 2
3
−2
observación
−2 =
4
( −2 )
4
=
• PRÁCTICA
Simplificar la expresión:
−2
4
( −2 )
3
( −2 )
3
( −2 )
4
=
=
potencias de
( −1) = −1
2
( −1) = 1
3
( −1) = −1
4
( −1) = 1
1
• En general,
( −1)
entero impar
( −1)
entero par
= −1
=1
actividad
Bingo
aplicación (2) de las potencias
• Muchos de los números que se utilizan en la ciencia son muy
grandes, por ejemplo, el numero de organismos unicelulares
que alimentan a una ballena durante unas cuantas horas:
400,000,000,000,000. Otros números son muy pequeños,
como la longitud de la onda mas corta de la luz visible, de
aproximadamente.0000004 metros. La escritura de estos
números se simplifica si se emplea notación científica.
notación científica
• Un número esta escrito en notación científica si esta
expresado en la siguiente forma
a x 10
n
donde 1 ≤ a < 10, y n es entero.
ejemplos
• Escribir en notación científica:
1. .56
2. .0045
3. 9,874
4. 100,432
práctica
• En la siguiente tabla aparece la distancia media en
kilómetros de algunos planetas al Sol. Escribe esas
distancias utilizando potencias de base 10.
Distancia
media
al Sol (km)
Distancia en
Notación
Científica
Tierra
Urano
Neptuno
Plutón
149.500,000
2,873,000,000
4,498,000,000
5,910,000,000
práctica
• El diámetro de un glóbulo rojo es .0065 expresa en
notación científica.
FIN