Download Temas: Operatoria entre números naturales (IN) y enteros (Z

Clase-04
Temas: Operatoria entre números naturales (IN) y
enteros (Z) , múltiplos, divisores, mínimo común
múltiplo (M.C.M.) y máximo común divisor (M.C.D.).
1) Indique los primeros elementos de los siguientes
conjuntos numéricos:
Números Naturales:
IN = { 1,2,3,4,5,6,7,.......}
Números Cardinales:
INo = { 0,1,2,3,4,5,6,7,.....}
2) Completar las siguientes tablas, referente a las 4
operaciones entre números cardinales:
Res.
Nº.
op.
Nº.
=
47
9
·
12
=
108
15
=
38
84
:
7
=
12
+
23
=
52
9
·
15
=
135
-
44
=
28
184
:
8
=
23
Nº.
op.
Nº.
12
+
35
53
-
29
72
Res.
3) Al reducir
7 ⋅ 5 + 6 ⋅ 15 : 5 – 36 : 9 ⋅ 4 – 10 =
A) 18
90 : 5 -
35 +
35 +
18
-
4 · 4 - 10
16 - 10
B) 27
53
C) 64
D) 79
E) Otro valor
37
16 - 10
27
10
4) Al reducir
20 - 5[9(8 – 5) – 3(5 + 3)] =
20 - 5[9 · 3
A) 5
B) 15
C) 25
D) 35
E) 45
20 - 5[ 27
20 - 5
20 -
–
·
15
5
– 3· 8]
3
24 ]
5) ¿Cuántas veces el doble de 4 es igual a la mitad
del cuadrado de 8?
A) 1
B) 2
Doble de 4 = 2 · 4 = 8
C) 4
Cuadrado de 8 = 8 · 8 = 64
D) 8
Mitad del cuadrado de 8 = 64 : 2 = 32
E) 16
¿Cuántas veces el doble de 4 = a la mitad del cuadrado de 8?
Cuántas veces 8 =
4 veces
32
6) ¿En cuánto aumenta el producto entre 682 y
318 si se aumenta cada factor en 1?
A) 1
B) 318
C) 682
D) 1.000
E) 1.001
682 · 318
5456
682
+ 2046
216876
Aumento:
683 · 319
6147
683
+ 2049
217877
217.877
-216.876
1.001
7) ¿Qué variación sufre el cuociente de 180 : 12 si el
dividendo aumenta al doble y el divisor disminuye a
la mitad?
A) No varía
B) Se duplica
C) Se triplica
D) Se cuadruplica
E) Se sextuplica.
180 : 12 = 15
Aumenta 4 veces
360 : 6 = 60
8) Un dulce vale $30 y por cada 3 dulces comprados
regalan uno. ¿Cuánto debo pagar si se necesitan 44
dulces?
A) $99
B) $440
Un dulce vale $30
El valor de 3 dulces = 3 · 30 = $ 90
por cada 3 dulces regalan uno
C) $880
D) $990
E) $1.320
⇒ 4 dulces cuestan
⇒
11 · 4
$90 / ·11
= 11 · 90
44 dulces =
$990
9) Indique los elementos de los siguientes conjuntos
de múltiplos y divisores:
a) M(5) = { 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,..... }
b) M(12) ={ 12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,....}
c) D(48) = { 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48 }
d) D(72) = { 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72 }
10) Determine verdadero o falso para cada una de las
siguientes proposiciones:
a) Múltiplo de un número “n” es todo número que
contiene a “n” una cantidad exacta de veces.
V
(definición de múltiplo. Ej: 18 es múltiplo de 6)
b) Divisor de un número “n” es todo número que está
contenido en “n” una cantidad exacta de veces.
V
(definición de divisor. Ej: 6 es divisor de 18)
c) Un número es primo si sus únicos divisores son el
1 y el mismo número.
V
(definición de número primo. Ej. 7 es primo)
d) Un número es compuesto si tiene mas de dos
divisores y se puede escribir como un producto
entre números primos.
V (definición de número compuesto)
e) Todo número par mayor que 2 posee como divisor
al menos un número primo.
V
(Ej: D(18) = {1,2,3,6,9,18} con 2 y 3 primos. )
f) El producto entre dos números primos es divisible
también por otros números que no sean primos.
V (Ej: 5 ·7 = 35 que es divisible por 35 que no es primo)
11) Descomponer en un producto de factores primos
los siguientes números:
2
2
a) 36 = 2 ·3
36
18
9
3
1
2
2
3
3
b) 60 = 22·3 ·5
60
30
15
5
1
2
2
3
5
2 ·3 2 ·5
2
c) 180 =
180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5
12) Complete:
menor
i) El M.C.M. de dos o más cantidades es el ___________
contiene
número que ______________
exactamente a cada una
de ellas.
ii) El M.C.D. de dos o más cantidades, es el
mayor
está contenido
____________
número
que
_____________________
exactamente en cada una de ellas.
13) Por simple inspección determine el M.C.M. y
M.C.D. de las siguientes cantidades:
M.C.M.
M.C.D.
6 , 8 y 12
24
2
8 , 16 y 24
48
8
10 , 15 y 30
30
5
5 , 7 , 10 y 35
70
1
Cantidades
14) Para calcular mediante factores primos el
M.C.M. y el M.C.D pedido; recuerde que:
i) El M.C.M. entre dos o más cantidades queda
determinado por el producto de los factores primos
comunes elevados al mayor exponente con que se
encuentran por los factores primos no comunes.
ii) El M.C.D. entre dos o más cantidades queda
determinado por el producto de los factores primos
comunes a todas las cantidades elevadas al menor
exponente con que se encuentren.
a) 18 , 48 y 60
2
18 = 2 ·3
48 = 24·3
2
60 = 2 ·3 ·5
M.C.M. = 24·3 2·5 = 16 ·9 ·5 = 720
(factores comunes elevados al mayor exponente por los factores no comunes)
M.C.D. = 2 ·3 = 6
(factores comunes a todos los términos elevados al menor exponente)
b) 36 , 120 y 180
36 = 22·3 2
120 = 23 ·3 ·5
2
180 = 22·3 ·5
3 2
M.C.M. = 2 ·3 ·5 = 8 ·9 ·5 = 360
(factores comunes elevados al mayor exponente por los factores no comunes)
M.C.D. = 22·3 = 4 ·3 = 12
(factores comunes a todos los términos elevados al menor exponente)
15) Resolver los siguientes problemas:
a) Determine cuál es la menor cantidad de personas
presentes que se necesita para formar exactamente
grupos de 12 ; luego de 18 y luego de 24 personas:
A) 48
B) 54
C) 72
D) 96
E) 144
Tal menor cantidad de personas queda
determinada por el menor número que contenga
a 12, 18 y 24 ; es decir por el M.C.M. De estas
cantidades:
12 = 22 ⋅ 3
18 = 2 ⋅ 3
2
M.C.M. = 23 ⋅ 32 = 8 · 9 = 72
3
2
⋅3
24 =
Deben ser 72 personas.
b) Se tienen 3 cursos de 48, 64 y 80 alumnos que se
deben dividir en grupos de mayor e igual número de
personas; ¿De cuántas personas serán los grupos?
A) 4
B) 8
El mayor e igual número de personas queda
determinado por el mayor número que está
contenido en 48, 64 y 80 ; es decir por el M.C.D.
De estas cantidades.
C) 12
D) 16
E) 24
48 = 24 ⋅ 3
6
64 = 2
M.C.D. = 24
= 16
4
2
⋅5
80 =
Deben ser de 16 personas los grupos.
16) Recuerde que los números enteros son los
elementos del conjunto Z donde:
Z = {....-3 ,-2 ,-1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,..... }
con:
Z+
_
= { 1,2,3,....... }
-6 -5 -4 -3 -2 -1
Z = {-1,-2,-3,....... }
0
1
+
{0}
Z
Z
donde Z = ...... ∪ ...... ∪ ......
2
3
4
5
6
17) Comparar los siguientes enteros colocando mayor
(>) o menor (<) entre:
a)
18 > 10
b) –15 <
c)
7
18 > -23
d) -10 < 18
g) –72 > -98
0 >
-9
h) –59 < -48
f) –35 <
2
e)
i)
–85 > -89
18) Ordenar:
a) en forma creciente: (de menor a mayor)
-7 , 0 , 12 , -3 , -8 , 4 , 7 , -10 , 9
-10 , -8 , -7 , -3 , 0 , 4 , 7 , 9 , 12
b) en forma decreciente: (de mayor a menor)
-23 , -8 , 7 , 3 , -1 , 15 , -17 , 10 , 6
15 , 10 , 7 , 6 , 3 , -1 , -8 , -17 , -23
19) Completar:
SUMAN
a) Para sumar enteros de igual signo, se .................
COMUN
y se conserva el signo .................
RESTAN
b) Para sumar enteros de distinto signo, se ...............
NUMERO ................
MAYOR
estos y se conserva el signo del ..............
(de mayor valor absoluto)
c) Para restar dos enteros, esta operación se
MINUENDO
ADICIÓN
transforma en .................,
sumando al ...................
SUSTRAENDO
el opuesto del ........................
d) El producto y cuociente entre dos enteros de igual
POSITIVO
signo es siempre ....................
e) El producto y cuociente entre dos enteros de
NEGATIVO
distinto signo es siempre ...................
20) Resolver las siguientes adiciones entre enteros:
Sumando + Sumando = Suma
Sumando + Sumando = Suma
= -9
15 + 23
= 38
e) 8 + -17
b) –12 + -5
= -17
f) –10 + 15 = 5
a)
c) –23 + -15 = -38
g) 18 + -7 = 11
9
h) 12 + -30 = -18
d)
12 + -3 =
Sumando + Sumando = Suma
i) –18 + -9
= -27
j) -20 + 7 = -13
k) –23 + -9 = -32
l) -23 + 35 = 12
21) Resolver lassiguientes sustracciones entre enteros:
Minuendo - Sustraendo = Resta
a) 15 – 9 =
6
b) – 8 – 10 = -18
c) 12 - -8
=
20
d) – 23 - -30 = 7
Minuendo - Sustraendo = Resta
e) 18 - -15 =
f) 35 – 50
= -15
g) –23 - -18 =
-5
h) –15 - -32 =
17
Minuendo - Sustraendo = Resta
i) – 9 - -13 =
33
4
j) 15 – 23
= -8
k) -32 – -17 = -15
l) – 35 – 9 = -44
22) Reducir las siguientes expresiones:
a) –12 + 15 - -7 + -23 – 15 =
3
+ 7 + -23 + -15
10
+ -23 + -15
-13 + -15 = -28
b) 19 – 27 - -32 + 45 – 12 + -29 =
-8 + 32 + 45 + -12 + -29
24
+ 45 + -12 + -29
69
+ -12 + -29
57 + -29 = 28
23) Resolver las siguientes multiplicaciones entre
enteros:
Factor ⋅ Factor = Producto
a)
8 ⋅ 9 = 72
Factor ⋅ Factor = Producto
e) –15 ⋅ 4 = -60
b) –7 ⋅ 12 = -84
f)
c) 9 ⋅ -8 = -72
g) –12 ⋅ -9 = 108
d) –8 ⋅ -7 = 56
h) –9 ⋅ 30 = -270
23 ⋅ -5 = -115
Factor ⋅ Factor = Producto
i) –32 ⋅ -5 = 160
j) 17 ⋅ -6 = -102
k) –25 ⋅ -10 = 250
l) –12 ⋅ -15 = 180
24) Resolver las siguientes divisiones entre enteros:
Dividendo : Divisor = Cuociente
Dividendo : Divisor = Cuociente
8
48 : 8 =
6
b) –36 : 9 =
-4
c)
45 : -5 =
-9
f) –90 : 15 = -6
g) –75 : -25 = 3
d) –32 : -4 =
8
h) –60 : 12 = -5
a)
e) –96 : -12 =
Dividendo : Divisor = Cuociente
i)
140 : 14 = 10
j)
240 : -15 = -16
k) -180 : 36 = -5
l) –360 : -72 = 5
25) Reducir aplicando prioridad entre las operaciones:
a) 12 + -9 ⋅ 2 – 5 - 18 : 3 + 2 =
12 + -18 – 5 - 6 + 2 =
-6
+ -5 + -6
+ 2
-17
+2
-15
b) -8 : 4 + -6 ⋅ 15 : -5 – -32 : 8 ⋅ 4 – -20 =
-2 + -90 : -5 - -4 · 4 - -20
-2
+
16
18
-
-16
- -20
+
16
+
52
20
26) Reducir eliminando paréntesis:
a) –10 + 3[-8 – 5(12 – -23 + 7)]=
–10 + 3[-8 – 5 · 42 ]
–10 + 3[-8 –
210 ]
–10 + 3 · -218
-10 + -654
-664
b) [-2(9 – 3) + 4(-8 - -3)]:[-4(-10 - –8)] =
[-2 · 6
+ 4 · -5
[
+
-12
-20
]:[-4 · -2
]:[
8
:
8
-32
-4
]
]
27) Un congelador debe bajar la temperatura de un
alimento de 24º a –36º: bajando este 5º cada 15 minutos. ¿A los cuántos minutos logra la temperatura
debida?
Temperatura inicial: 24º
Temperatura final : -36º
descenso: 24º- -36º = 60º
Si baja 5º cada 15 minutos /:5
⇒ baja 1º cada 3 minutos
En bajar 60º demorará: 60 · 3 = 180 minutos
=
3 horas
28) Completar los siguientes cuadros:
Número Operación
+
-9
Número Resultado
4
13
-8
-12
-5
+
_
-5
0
-9
_
-8
-1
-18
+
_
10
-14
-8
+
_
-8
0
-10
9
-4
-5
8
-1
9
Número Operación
·
-7
Número Resultado
3
-21
-15
:
5
-3
-3
·
-16
48
-28
:
-7
4
90
-6
-3
-15
-16
:
·
-45
:
-9
-2
·
6
5
-12
48
29) En una carretera hay 12 marcas de kilómetro.
¿Cuál es la distancia que hay entre la primera y la
última marca, si entre marca y marca hay 5 Km?
A) 50 Km.
B) 55 Km.
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
C) 60 Km.
D) 65 Km.
E) 70 Km.
Entre la primera y ultima marca hay
11 distancias de 5 Km.
La distancia entre la primera y la última
marca es 11·5 = 55Km.
30) En un hospital trabajan 14 médicos; por cada
médico trabajan 3 enfermeras y por cada enfermera
hay 4 auxiliares. ¿Cuántas personas trabajan en
total?
A) 112
B) 168
C) 210
D) 214
14 médicos
1 médico = 3 enfermeras/·14
⇒ 14 médicos = 42 enfermeras
1 enfermera = 4 auxiliares /·42
42 enfermeras = 168 auxiliares
E) 224
14 + 42 + 168 = 224 funcionarios
31) Al pasar un número por el círculo, este se divide
por 9 y al pasar por el cuadrado este se multiplica
por 5; luego es correcto:
972
36
648
60
=A
·5 180 : 9 20 ·5 100
=B
: 9 72
=C
: 9 108 ·5 540 : 9
:9
8
·5
40
l) A + B = C (F)
A) Sólo l
B) Sólo ll
C) Sólo lll
D) Sólo l y ll
E) Todas
60 + 100 ≠ 40
ll) B – A = C (V)
100 - 60 = 40
lll) A – C = B (F)
60 - 40 ≠ 100
32) Dos personas S y P caminan durante 2 horas en
sentidos contrarios, partiendo de un punto M. En la
1ª hora S recorre 8 Km. Y P la mitad de esa
distancia. En la 2ª hora P recorre el doble de la
distancia que recorrió S en la primera hora y S lo
mismo que P en la 1ª hora. ¿A que distancia se
encuentra S y P al cabo de las 2 horas?
A) 8 Km.
B) 28 Km.
P
S
12Km
2h
4+
8Km
M
1h
1h
C) 32 Km.
D) 48 Km.
E) 56 Km.
4Km
32Km
+16
20Km
2h
33) A tiene 16 años; a B le faltan 8 años para tener
10 años más que el doble de lo que tiene A y a C le
sobran 9 años para tener la mitad de la suma de las
edades de A y B. ¿Cuál es la edad de C?
A = 16 años ⇒ Doble edad A = 32
A) 12
a B le faltan 8 años para tener 10 años más que el doble de A
B) 18
a B le faltan 8 años para tener.................. 42 años
C) 21
D) 24
B = 42 - 8 = 34 años
Suma edades de A y B = 16 + 34 = 50 ⇒ mitad = 25
a C le sobran 9 años para tener la mitad de la suma de A y B
E) 34
a C le sobran 9 años para tener................ 25 años
C = 25 + 9 = 34 años
34) La capacidad de un estanque vacío es de 300
litros. ¿En qué tiempo se llenará si abrimos al
mismo tiempo tres llaves que vierten, la 1ª 36 lt. en
3 min. la 2ª 48 lt. en 6 min. y la 3ª 15 lt en 3 min.?
la 1ª : 36 lt. en 3 min.
A) 10 min.
⇒ 1 min. entrega 36 : 3 = 12 litros.
B) 12 min.
la 2ª : 48 lt. en 6 min.
C) 15 min.
⇒ 1 min. entrega 48 : 6 = 8 litros.
D) 18 min.
E) 24 min.
12+8+5 = 25
la 3ª : 15 lt. en 3 min.
⇒ 1 min. entrega 15 : 3 = 5 litros.
Ingresan 25 lt. en 1 min; luego 300 lt. se juntarán en:
300 : 25 = 12 minutos
35) ¿Qué edad tendrá Luis cuándo su hermano Juan
cumpla 15 años?
(1) En tres años más Juan cumplirá 15 años.
⇒ edad actual de Juan = 15 - 3 = 12
(2) Hace 7 años Luis tenía 6 años.
⇒ edad actual de Luis = 6 + 7 = 13
û
û
ü
Ambas Juntas:
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional.
Edades actuales:
Juan: 12
Luis : 13
En tres años más:
Juan: 12+3 = 15
Luis : 13+3 = 16
Al tener Juan 15
años;
Luis
tendrá 16 años.
36) Dos números enteros suman 43. ¿Cuáles son los
números?
(1) Uno de ellos es 18.
ü
Suman 43 y uno es 18 (menor) ⇒ el otro nº es: 43 - 18 = 25 (mayor)
(2) La diferencia entre ellos es 7.ü
Suman 43 y dif. es 7 ⇒ 43 - 7 = 36 : 2 = 18 (menor)
18 + 7 = 25 (mayor)
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional.
Fin