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Los Números Enteros (Z)
• Los números enteros: representación gráfica, orden,
modulo o valor absoluto.
• Operaciones en Z , procedimientos y propiedades
de estas.
• Prioridades de operaciones y paréntesis.
• Problemas que involucran operatoria con enteros.
Los Números enteros:
Son los elementos del conjunto Z ; donde:
Z = {..........,-3,-2,-1,0,1,2,3,...........} ; definiéndose:
Z+ = {1,2,3,4,5,.................}
enteros positivos
Z- = {-1,-2,-3,-4,-5,...........}
enteros negativos
Donde el cero es solo entero, no siendo positivo
como tampoco negativo; luego Z = Z- ∪ {0} ∪ Z+ .
Representación Gráfica:
A todo número entero le corresponde un punto
sobre la recta numérica; así:
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
3
2
Notar que no todo punto de la
recta representa a un número
entero; por ejemplo 1/2 es un
punto de la recta; 1/2 ∉Z.
0
4
5
1
2
6
1
En base a la definición de IN , INo , Z se cumple que
IN ⊆ INo ⊆ Z.
Orden en Z:
Las definiciones de > , < , ≥ , ≤ son las mismas ya
definidas en IN; así al comparar:
a)
7
> 3
d)
0 >
b)
5
< 9
e)
-9 <
15
c)
-3
< 0
f)
12 >
-23
g)
-7
< -3
j) -47 ≥
-54
h)
-8
k) -75 ≤
-67
l) -18 ≥
-18
> -12
i) -32 < -19
-8
De acuerdo a los ejemplos anteriores y con la ayuda
de una recta numérica se puede concluir que todo
número de esta es menor que los que se encuentran
a su derecha y mayor que los que se encuentran a
su izquierda.
Ejercicios:
a) Ordene en forma creciente: (de menor a mayor)
-12 , 0 , 7 , -3 , -16 , 9 , 18 , -7 , -10 , 11 , -1 , 12.
-16 , -12 , -10 , -7 , -3 , -1 , 0 , 7 , 9 , 11 , 12 , 18
b) Ordene en forma decreciente: (de mayor a menor)
-9 , 17 , 2 ,-3 , 8 , -12 ,-7 , 0 , 6 , 15 ,-18 ,-23 , 10.
17 , 15 , 10 , 8 , 6 , 2 , 0 , -3 , -7 , -9 , -12 , -18 , -23
Modulo o Valor Absoluto en Z:
A todo a∈ Z se le asocia un entero no negativo llamado
Modúlo o Valor Absoluto, el que se denota por a ;
definiéndose:
i) Si a > 0 ⇒ a = a
ii) Si a = 0 ⇒ a = 0
iii) Si a < 0 ⇒ a = -a (opuesto de a)
Ejemplos:
a) 3 = 3
c) -7 = 7
e) 34 = 34
b) 0 = 0
d) -25 = 25
f) -45 = 45
g)
-32 - -17 =
=
32 - 17
15
= 15
h)
-25 - 25 =
=
=0
25 - 25
0
Operaciones en Z:
(1) Adición: Se distinguen dos casos:
i) De enteros de igual signo: Se suman sus valores
absolutos y se conserva el signo común.
Ejemplos:
= -29
(a) 12 + 9 = 21
(c) -6 + -9 + -14
(b) -8 + -15 = -23
(d) -4 + -13 + -5 + -1 = -23
ii) De enteros de distinto signo: Se restan sus
valores absolutos (mayor menos menor) y se
conserva el signo del número de mayor valor
absoluto.
Ejemplos:
(a) 17 + -23 = -6
(c) 23 + -14 = 9
(b)-15 + 36 = 21
(d) 43 + -56 = -13
Propiedades: La adición en Z ; cumple con la clausura
es conmutativa, asociativa, posee elemento neutro (es
el 0 ya que ∀ a ∈ Z ; se tiene que a + 0 = a = 0 + a)
y cada entero "a" posee como inverso aditivo u
opuesto al entero -a ; teniéndose que :
a + -a = 0 = -a + a
Notar que al operar un elemento con su inverso, se
tiene que obtener como resultado el neutro de la
operación; en este caso cero.
Ejemplo:
El inverso aditivo u opuesto de 7 es -7 y viceversa ya
que:
7 + -7 = 0 = -7 + 7
Ejercicio:
Resolver las siguientes adiciones entre enteros de
igual o distinto signo:
Número + Número = Suma
9 +
7
= 16
-5 + -2
= -7
-6 +
8
= 2
4 + -9
= -5
-3 + -8
= -11
-8 +
2
= -6
Número + Número = Suma
-8 + -5
= -13
7 +
9
= 16
10 + -15
= -5
8 + -8
= 0
-9 + 12
= 3
-10 + -20
= -30
Número + Número = Suma
-18 +
6
= -12
-7 + -12
= -19
-21 +
15
= -6
17 + -28
= -11
25 +
15
= 40
-32 +
12
= -20
(2) Sustracción:
Se define a - b = a + -b ; es decir la sustracción se
transforma en adición, sumando al minuendo el
opuesto del sustraendo.
Ejemplos:
a) 9 - 5 = 9 + -5
= 4
c) –12 – 7 = -12 + -7
=
-19
b) 7 - -15 = 7 + 15
= 22
d)-19 - -25 = -19 + 25
=
6
Propiedad: La sustracción en Z; cumple sólo con la
propiedad de clausura o ley de composición
interna, es decir la resta de dos enteros es siempre
un nuevo entero.
Ejercicio:
1) Resolver las sustracciones pedidas en el cuadro:
Número - Número =
10 6 =
5 9 =
6 -3 =
-4 - -7 =
-5 4 =
Resta
4
-4
9
3
-9
Número - Número = Resta
5 8
= -3
2 -9
= 11
-6 - -12
= 6
8 -8
= 16
-9 -3
= -6
Número - Número = Resta
-10 - -18
= 8
-17 22
= -39
21 15
= 6
-18 12
= -30
-25 - -15
= -10
2) Reducir las expresiones:
a) –3 + -2 - - 5 – 3 – 10 =
-5
+ 5 + -3 + -10 = -13
b) 10 - -12 + -3 - -10 + 20 =
10 + 12 + -3 + 10 + 20 =
52 + -3
= 49
c) –12 + -15 – 23 + 18 - -9 + -15 =
-27 + -23 + 18 + 9 + -15 =
-65 + 27
= -38
d) 7 – 16 + -5 - -12 + -8 – 15 – 3 =
7 + -16 + -5 + 12 + -8 + -15 + -3 =
19 + -47
= -28
3) Multiplicación:
Para multiplicar dos enteros es necesario tener
presente que el producto de dos enteros de igual
signo es siempre positivo y que el producto de dos
enteros de distinto signo es siempre negativo.
Ejemplos:
a) 12 ⋅ 7 = 84
b) –15 ⋅ 12 = -180
c) 15 ⋅ -6 = -90
d) -17⋅ -30 = 510
Propiedades:
La multiplicación en Z cumple con la propiedad de
clausura, es conmutativa, asociativa, posee elemento neutro (el 1) y es distributiva sobre la adición.
Ejercicio:
Resolver las siguientes multiplicaciones:
a
·
b
Producto
a
·
b
2
·
9
18
8
·
-3
-24
48
-7
35
-35
9
·
·
-5
-5
· -8
· 7
-4
-36
10
·
3
30
-5
·
-9
45
-9
·
6
-54
-12
·
5
-60
-6
Producto
(4) División:
La división en Z no siempre tiene solución; sin
embargo, para dividir dos enteros es necesario tener
presente que el cuociente de dos enteros de igual
signo es siempre positivo y que el cuociente de dos
enteros de distinto signo es siempre negativo.
Ejemplo:
a) 18 : 9 = 2
c) 54 : -27 = -2
b) –75 : 15 = -5
d) –108 : -12 = 9
e) 35 : -8 = No tiene solución en Z
Propiedades:
La división en Z no cumple con la propiedad de
clausura ni con ninguna de las propiedades de la
adición y multiplicación de enteros.
Ejercicios:
1) Resolver las siguientes divisiones:
a
:
b
Cuociente
a
:
32
:
8
4
21
: -7
-3
4
-60
-8
72
: -4
: -12
15
16
: -5
: -2
-6
-80
: 16
-5
-40
:
-8
5
-54
:
6
-75
: 15
-5
-20
-9
b
Cuociente
2) Resolver las siguientes operaciones combinadas
sin paréntesis, recordando que todo cálculo
aritmético se resuelve de izquierda a derecha
respetando las siguientes prioridades:
a) –3 ⋅ 4 – 6 : -3 - -4 =
-12 + 2 + 4 =
-10
+ 4=
-6
b) -72 : 8 + -6 ⋅ -3 - -8 : -2 =
-9
+
9
18 -
4
+
-4
=
= 5
c) –16 : -8 + -2 ⋅ -6 - -4 ⋅ 5 =
2
+
12 - -20 =
14
+
20 = 34
d) –100 : -4 ⋅ 2 - -2 ⋅ -3 + -4 ⋅ 2 : -2 =
25 · 2 -
6
50
6
44
+
-8 : -2 =
+
4
=
+
4
= 48
3) Resolver las siguientes operaciones combinadas
con paréntesis, teniendo presente que se eliminan
primero los paréntesis más interiores; es decir de
a dentro hacia fuera respetando en su interior la
prioridad de las operaciones:
a) 15 − [6 ⋅ (2 − −1) − 7 ⋅ (3 − −2)]
15 - [6 · 3
- 7 · 5]
15 - [ 18
-
15
15
+
= 32
-17
17
35 ]
b) 4 ⋅ [(2 − −3 + 6) − (−6 + 2 − −4)]
4·[(2 + 3 + 6)- (-6 + 2 + 4)]
4 ·[
4
11
·
= 44
11
0
]
c) − [− (−2 − −8 + 3)] : [− (−7 + −5 − −9)] =
-[-(-2 + 8 + 3 ) ] : [ -( -12 + 9) ]
-[ - ( 6 + 3 )] :
-[ - ( 9 ) ]
9
:
:
=3
[ - ( -3 ) ]
3
3
d) 9 ⋅ {5 − (4 − −3)}  : 3 ⋅ {1 − (−2 + 6)}  =
[9·{ 5 - (4 + 3)}] : [ 3·{ 1 - 4} ]
[9·{ 5 - 7 } ] : [ 3·{1 + -4} ]
[9·{5 + -7 } ] : [3 · -3 ]
[9 · -2 ]
:
[ -9 ]
-18
:
-9
= 2
4) Las temperaturas mínimas de 5 ciudades son –36º ;
-23º ; 11º ; -19º y 7º. ¿Cuál es la temperatura
mínima promedio de tales ciudades?
Suma datos:
-36 + -23 + 11 + -19 + 7 = -60
-60
Temperatura Promedio =
= -12º
5
Ejercicios Complementarios:
1) Si a = –3 ; b = -5 ; c = -9 ; luego el valor de la
expresión ab – ac + bc = ?
A) –87
B) –57
C) –3
ab – ac + bc =
a·b – a·c + b·c
-3·-5 - -3·-9 + -5·-9
15 -
27 +
45
D) 3
E) 33
-12
+
33
45
2) Si x = [–8 – {-2(-9+3)}]:[1 - -3] ; luego se tiene que
–x = ?
A) –10
x = [–8 – {-2(-9+3)}] : [1 - -3]
x = [–8 – {-2 · -6 }] : [1 + 3]
B) –5
C) 1
x = [–8 –
x=[
–20
D) 5
E) 10
12
]:[
4
]
]:[
4
]
x = -5
⇒
-x = 5
/·-1
3) Al reducir la expresión:
-8 · -6 : -3 – 18 : -6 · -3 =
48 : -3 +
3
· -3
A) –25
B) –17
C) –15
D) –7
E) –5
-16
+
-25
-9
A = {x/x=3n – 1 con n ∈IN ∧ 5 < n ≤ 8}
B = {z/z=5m – 3 con m ∈IN ∧ 4 ≤ m < 7}
La diferencia entre el mayor valor de “x” y el menor
valor de “z” es:
4)
A) 1
A = {x/x=3n – 1 con n ∈IN ∧ 5 < n ≤ 8}
El mayor valor de x se obtiene para el mayor valor de “n”
B) 2
Si n = 8 ⇒ x = 3·8 - 1 = 24 - 1 ⇒ x = 23
C) 5
B = {z/z=5m – 3 con m ∈IN ∧ 4 ≤ m < 7}
D) 6
E) 10
El menor valor de z se obtiene para el menor valor de “m”
Si m = 4 ⇒ z = 5·4 - 3 = 20 - 3 ⇒
z = 17
mayor valor “x” menos menor valor “z” es:
23
-
17
= 6
5) Si:
a = (15 – 7)·(3 – 5)
b = (-3 + 1)·(2 – -7)
c = (-3 – 1)·(13 – 8)
La relación correcta entre a, b y c es:
A) a > b > c
a = (15 – 7)·(3 – 5)
b = (-3 + 1)·(2 – -7)
B) a > c > b
a=
b=
C) b > a > c
8
a=
· -2
b=
-16
c = (-3 – 1)·(13 – 8)
D) b > c > a
c=
E) c > a > b
-4 ·
c=
5
-20
Luego: -16 > -18 > -20
⇒
a
>
b
>
c
-2 ·
-18
9
6) Si al producto de dos números impares positivos
consecutivos se le suma 1; el resultado es siempre:
l) Un número par. ü
ll) Un múltiplo de 4.ü
lll) Un cuadrado perfecto. ü
A) Sólo l
B) Sólo ll
C) Sólo lll
D) Sólo l y lll
E) l , ll y lll
Ejemplos:
5 · 7 + 1 = 35 + 1 = 36
= 62
11 · 13 + 1 = 143 + 1 = 144 = 122
27 · 29 + 1 = 783 + 1 = 784 = 282
7) A las 8 horas había una temperatura de -28º. Si
cada media hora la temperatura subió 3 grados.
¿A qué hora llego a los 14º ?
A) A las 7 horas
B) A las 14 horas
C) A las 15 horas
D) A las 19 horas
E) A las 22 horas
Si cada media hora la temperatura
sube 3º ; en una hora sube 6º.
De -28º a 14º la temperatura debe
de subir 42º ; luego:
42º : 6 = 7 horas
8 + 7 = 15 horas.
8) Un comerciante compró 30 lápices a $20 c/u;
luego vendió 20 lápices a $18 c/u. ¿A cómo tiene
que vender c/u de los restantes para no perder?
A) $22
Invierte: 30 · 20 = $600
B) $24
Recibe : 20 · 18 = $360
C) $36
Falta recuperar:
-
$240
D) $42
Nº lápices que queda: 30 - 20 = 10
E) $44
Nuevo valor 1 lápiz : 240 : 10 = $24
9) Si a = -5 y b = 4 ; entonces el valor de la
expresión 4· a - - b - a·b + a = ?
4· a - - b - a·b + a =
A) –9
4· -5 - -4 - -5·4 + -5
B) -5
4· -5 - -4 - -20 + -5
C) 4
D) 9
E) 31
4· 5 - 4 -
20 + -5
20 - 4 - 20 + -5
16
-4
20 + -5
+
-9
-5
10) Se tiene que a – b = 3; donde
-1 y 1 ; entonces “a” varía entre:
“b” varía entre
b varía entre -1 y 1
A)
B)
3y 2
2y 4
C) –4 y 2
D) –2 y 4
E) –2 y -4
a–b=3
Si b =-1 ⇒ a – -1 = 3
a+ 1=3
a=3-1
a=2
Si b = 1 ⇒ a – 1 = 3
a=3+1
a=4
⇒ a varía entre 2 y 4
11) Si a
b=b–a y a
b = a – b . ¿Cuál(es) de
las siguientes expresiones dan el mismo resultado
de (5 – 3)+(-6 + 3)?
2
+
-3
-1
l) (5
2
3) -1
(6
3
3) ü
ll) (3
3
6) -1
(3
2
lll) (6
3
3) -1
(5 2
5) ü
3) ü
A) Sólo l
B) Sólo l y ll
C) Sólo ll y lll
D) Todas
E) Ninguna.
Ejemplo: Si
Si
a
b=a–b
5
3=5-3=2
a
b=b–a
3
6=6-3=3
12) Sean a,b,c,d números enteros tales que a + b = 18
y a + c = 12. Se puede determinar el valor de b + d si:
a + b = 18 con a = 8 ⇒ b = 10
ü (1) a = 8 y d = 6c a + c = 12 con a = 8 ⇒ c = 4
d = 6c ⇒ d = 6·4 ⇒ d = 24
⇒ b + d = 10 + 24 = 34
a + c = 12 con c = 4 ⇒ a = 8
ü(2) c = 4 y d = 3a a + b = 18 con a = 8 ⇒ b = 10
d = 3a ⇒ d = 3·8 ⇒ d = 24
⇒ b + d = 10 + 24 = 34
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-03
1) B
6) A
11) E
16) E
2) E
7) E
12) C
17) C
3) C
8) B
13) A
18) D
4) A
9) B
14) A
19) A
5) B
10) A
15) E
20) A