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Unidad I “Sistemas de Medición de ángulos” Mtra. Claudia García Pérez http://www.uaeh.edu.mx/virtual 1 PRESENTACIÓN Los ángulos desde hace muchos años se han utilizado para resolver una gran cantidad de problemas del área de la astronomía, de ingeniería e incluso de la vida cotidiana, por ejemplo para construir una escalera, una calle, un mueble, ruedas o llantas, etc. Los ángulos se pueden medir en grados o radianes y parten del centro de un círculo. En el presente material se indican los sistemas de medición que se pueden utilizar para calcular los ángulos así como las conversiones entre ellos. 2 Conceptos. Sistemas de Medición En la siguiente tabla se indican los sistemas con los que se pueden medir los ángulos y algunos ejemplos: Sistema Descripción/Medida Sexagesimal La circunferencia Ejemplo se considera Si un ángulo ABC mide dividida en 360 partes iguales y un 38° 15 minutos 12 ángulo de un grado es el que tiene el segundos, se escribe: vértice en el centro y sus lados pasan 38°15’12” por dos divisiones consecutivas. Cada división de la circunferencia se llama también grado. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. Los símbolos para estas unidades son: Grado ° Minuto ‘ Segundo” Medida: Grado Centesimal Se considera también a veces a la Si un ángulo ABC mide circunferencia dividida en 400 72 grados 50 minutos partes iguales, llamadas grados 18 centesimales. Cada grado tiene 100 centesimales, segundos se 3 minutos centesimales minuto tiene 100 y cada escribe: 72g 50m 18s segundos centesimales. Medida: Grado centesimal Circular Un radián es el ángulo cuyos lados 360° = 6.28 radianes comprenden un arco cuya longitud 57°18’ = 1 radián es igual al radio de la circunferencia. Así, si la longitud del arco AB es igual a r, entonces ∠AOB = 1 radián. Como la longitud circunferencia es 2 de una radios, resulta que un ángulo de 360° equivale a 2 radianes, es decir: 6.28 radianes, dándole a el valor de 3.14. Un radián equivale a 57°18’ (se obtiene dividiendo 360° entre 2 ). Medida: Radián 4 Relación entre grado sexagesimal y el radián Si se representa por S la medida de un ángulo en grados sexagesimales y por R la medida del mismo ángulo en radianes, se puede establecer la siguiente proporción: Donde Simplificando queda: Ejemplo1: Convertir en radianes un ángulo de 90°. Por lo tanto, R = Ejemplo 2: Convertir en grados sexagesimales un ángulo de 6.28 radianes. Por lo tanto, S = 5 Tipos de ángulos A continuación se mencionan los tipos de ángulos: Nombre Descripción Ángulos adyacentes Son los que están formados de manera que un lado es común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta. Ejemplo: misma recta y , están sobre la ; es común. Por lo tanto, ∠AOC y ∠BOC son ángulos adyacentes. Ángulo recto Es el que mide 90°. ∠AOB = 1 ∠ recto = 90°. Ángulo llano Es aquel en el cual un lado es la prolongación del otro. Mide 180°. ∠MON = 1 ∠ llano = 180°. Ángulos complementarios Son dos ángulos que sumados valen un ángulo recto, es decir, 90°. Ejemplo: Si ∠AOB = 60°, ∠BOC = 30°. Sumando ∠AOB + ∠BOC = 90° y los ángulos AOB y BOC son complementarios. Complemento de un ángulo Se llama complemento de un ángulo a lo que le falta a éste para valer un 6 ángulo recto. El complemento del ∠AOB es 30° y el complemento del ∠BOC es 60°. Ángulos suplementarios Son los ángulos que sumados valen dos ángulos rectos, o sea, 180°. Ejemplo: si ∠MON = 120°, ∠NOP = 60°. Sumando ∠MON + ∠NOP = 180° y los ángulos MON y NOP son adyacentes son suplementarios. Dos ángulos suplementarios. Suplemento de un ángulo Es lo que le falta al ángulo para valer dos ángulos rectos. El suplemento del ∠MON es 60° y el suplemento del ∠NOP es 120°. Ángulos opuestos por el vértice Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos, son las prolongaciones de los lados del otro. ∠AOC y ∠BOD; ∠AOD y ∠BOC. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Ángulos consecutivos Dos ángulos se llaman consecutivos si tienen un lado común que separe a los otros dos. Varios ángulos son consecutivos si el 7 primero es consecutivo del segundo, éste del tercero y así sucesivamente. Ejemplo: los ángulos COD y DOE son consecutivos. Los ángulos AOB, BOC, COD, DOE, EOF y FOA son consecutivos. Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta, suman 180°. La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, vale cuatro ángulos rectos. Ejemplos resueltos 1. Trazar los ángulos de 90°, 45° y 405° 8 2. Convertir en radianes los siguientes ángulos: a) 60° Por lo tanto, R = b) 35° Por lo tanto, R = c) 405° Por lo tanto, R = 3. Expresar en grados los siguientes ángulos: a) Por lo tanto, S = 9 b) Por lo tanto, S = c) 1.2 radianes Por lo tanto, S = 4. Hallar los complementos de los siguientes ángulos: a) 18° Complemento = 90° - 18° = 72° b) 36° 52’ Complemento = 53° 8’ 89° – 36° = 53° 60’ – 52’ = 8’ c) 48° 39’ 15” Complemento = 41° 20’ 45” 89° – 48° = 41° 59’ – 39’ = 20’ 60” – 15” = 45” 10 5. Si un ángulo mide 32° y el otro x, ¿x cuánto debe medir para que los dos ángulos sean complementarios? x = 90° - 32° = 58° 6. Si en la siguiente figura, el ángulo BOC = 35° y AOC = 145°. ¿Cuánto deben medir los ángulos BOD y AOD? Exprese también los resultados en radianes. Como los ángulos BOC y AOD son ángulos opuestos por el vértice, son iguales. También los ángulos AOC y BOD son opuestos por el vértice, por lo que son iguales. Por lo tanto, se tiene que BOC = AOD = 35° y AOC = BOD = 145°, entonces, la suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto debe valer cuatro ángulos rectos, estos es 360°. La suma de los ángulos BOC + AOD + AOC + BOD = 35° + 35° + 145° + 145° = 360°. 11 Se tienen que 35° y 145° equivalen en radianes a y , respectivamente. RESUMEN Existen 3 sistemas de medición que permiten indicar la medida de los ángulos en radianes (sistema circular), grados (sexagesimal) y en grados centesimales (sistema centesimal). Entre estos sistemas se pueden hacer conversiones para representar los valores de los ángulos en el que mejor se adapte a las necesidades. Existen diferentes tipos de ángulos, que permiten obtener el valor de uno o varios ángulos a partir de uno ya conocido. Se tienen: adyacentes, recto, llano, complementarios, suplementarios, opuestos por el vértice y los consecutivos. 12 REFERENCIAS Baldor, J.A. Geometría Plana y del Espacio con una Introducción a la Trigonometría. Publicaciones Cultural, S. A. México, 1984. Silvia, J.M & Lazo, Adriana. Fundamentos de Matemáticas. Editorial LIMUSA, S. A de C.V. México, 2001. 13