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Unidad I
“Sistemas de Medición de ángulos”
Mtra. Claudia García Pérez
http://www.uaeh.edu.mx/virtual
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PRESENTACIÓN
Los ángulos desde hace muchos años se han utilizado para resolver una gran
cantidad de problemas del área de la astronomía, de ingeniería e incluso de la
vida cotidiana, por ejemplo para construir una escalera, una calle, un mueble,
ruedas o llantas, etc.
Los ángulos se pueden medir en grados o radianes y parten del centro de un
círculo.
En el presente material se indican los sistemas de medición que se pueden utilizar
para calcular los ángulos así como las conversiones entre ellos.
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Conceptos.
Sistemas de Medición
En la siguiente tabla se indican los sistemas con los que se pueden medir los
ángulos y algunos ejemplos:
Sistema
Descripción/Medida
Sexagesimal
La
circunferencia
Ejemplo
se
considera Si un ángulo ABC mide
dividida en 360 partes iguales y un 38°
15
minutos
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ángulo de un grado es el que tiene el segundos, se escribe:
vértice en el centro y sus lados pasan 38°15’12”
por
dos
divisiones
consecutivas.
Cada división de la circunferencia se
llama también grado.
Cada grado se considera dividido en
60 partes iguales llamadas minutos
y cada minuto en 60 partes iguales
llamadas segundos.
Los símbolos para estas unidades
son:
Grado °
Minuto ‘
Segundo”
Medida: Grado
Centesimal
Se considera también a veces a la Si un ángulo ABC mide
circunferencia
dividida
en
400 72 grados 50 minutos
partes iguales, llamadas grados 18
centesimales. Cada grado tiene 100 centesimales,
segundos
se
3
minutos
centesimales
minuto
tiene
100
y
cada escribe: 72g 50m 18s
segundos
centesimales.
Medida: Grado centesimal
Circular
Un radián es el ángulo cuyos lados 360° = 6.28 radianes
comprenden un arco cuya longitud 57°18’ = 1 radián
es
igual
al
radio
de
la
circunferencia. Así, si la longitud del
arco AB es igual a r, entonces ∠AOB
= 1 radián.
Como
la
longitud
circunferencia es 2
de
una
radios, resulta
que un ángulo de 360° equivale a
2
radianes, es decir: 6.28 radianes,
dándole a
el valor de 3.14.
Un radián equivale a 57°18’ (se
obtiene dividiendo 360° entre 2 ).
Medida: Radián
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Relación entre grado sexagesimal y el radián
Si se representa por S la medida de un ángulo en grados sexagesimales y por R la
medida del mismo ángulo en radianes, se puede establecer la siguiente
proporción:
Donde
Simplificando queda:
Ejemplo1: Convertir en radianes un ángulo de 90°.
Por lo tanto, R =
Ejemplo 2: Convertir en grados sexagesimales un ángulo de 6.28 radianes.
Por lo tanto, S =
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Tipos de ángulos
A continuación se mencionan los tipos de ángulos:
Nombre
Descripción
Ángulos adyacentes
Son los que están formados de manera
que un lado es común y los otros dos
lados pertenecen a la misma recta.
Ejemplo:
misma recta
y
, están sobre la
;
es común. Por lo
tanto, ∠AOC y ∠BOC son ángulos
adyacentes.
Ángulo recto
Es el que mide 90°.
∠AOB = 1 ∠ recto = 90°.
Ángulo llano
Es aquel en el cual un lado es la
prolongación del otro. Mide 180°.
∠MON = 1 ∠ llano = 180°.
Ángulos complementarios
Son dos ángulos que sumados valen un
ángulo recto, es decir, 90°. Ejemplo: Si
∠AOB = 60°, ∠BOC = 30°. Sumando
∠AOB + ∠BOC = 90° y los ángulos
AOB y BOC son complementarios.
Complemento de un ángulo
Se llama complemento de un ángulo a
lo que le falta a éste para valer un
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ángulo
recto.
El
complemento
del
∠AOB es 30° y el complemento del
∠BOC es 60°.
Ángulos suplementarios
Son los ángulos que sumados valen
dos ángulos rectos, o sea, 180°.
Ejemplo: si ∠MON = 120°, ∠NOP = 60°.
Sumando ∠MON + ∠NOP = 180° y los
ángulos
MON
y
NOP
son
adyacentes
son
suplementarios.
Dos
ángulos
suplementarios.
Suplemento de un ángulo
Es lo que le falta al ángulo para valer
dos ángulos rectos. El suplemento del
∠MON es 60° y el suplemento del
∠NOP es 120°.
Ángulos opuestos por el vértice
Son dos ángulos tales que los lados de
uno de ellos, son las prolongaciones de
los lados del otro. ∠AOC y ∠BOD;
∠AOD y ∠BOC.
Los ángulos opuestos por el vértice son
iguales.
Ángulos consecutivos
Dos ángulos se llaman consecutivos si
tienen un lado común que separe a los
otros dos.
Varios ángulos son consecutivos si el
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primero es consecutivo del segundo,
éste del tercero y así sucesivamente.
Ejemplo: los ángulos COD y DOE son
consecutivos. Los ángulos AOB, BOC,
COD,
DOE,
EOF
y
FOA
son
consecutivos.
Los ángulos consecutivos formados a
un lado de una recta, suman 180°.
La suma de los ángulos consecutivos
alrededor de un punto, vale cuatro
ángulos rectos.
Ejemplos resueltos
1. Trazar los ángulos de 90°, 45° y 405°
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2. Convertir en radianes los siguientes ángulos:
a) 60°
Por lo tanto, R =
b) 35°
Por lo tanto, R =
c) 405°
Por lo tanto, R =
3. Expresar en grados los siguientes ángulos:
a)
Por lo tanto, S =
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b)
Por lo tanto, S =
c) 1.2 radianes
Por lo tanto, S =
4. Hallar los complementos de los siguientes ángulos:
a) 18°
Complemento = 90° - 18° = 72°
b) 36° 52’
Complemento = 53° 8’
89° – 36° = 53°
60’ – 52’ = 8’
c) 48° 39’ 15”
Complemento = 41° 20’ 45”
89° – 48° = 41°
59’ – 39’ = 20’
60” – 15” = 45”
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5. Si un ángulo mide 32° y el otro x, ¿x cuánto debe medir para que los dos
ángulos sean complementarios?
x = 90° - 32° = 58°
6. Si en la siguiente figura, el ángulo BOC = 35° y AOC = 145°. ¿Cuánto deben
medir los ángulos BOD y AOD? Exprese también los resultados en radianes.
Como los ángulos BOC y AOD son ángulos opuestos por el vértice, son
iguales.
También los ángulos AOC y BOD son opuestos por el vértice, por lo que
son iguales.
Por lo tanto, se tiene que BOC = AOD = 35° y AOC = BOD = 145°,
entonces, la suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto debe
valer cuatro ángulos rectos, estos es 360°. La suma de los ángulos BOC +
AOD + AOC + BOD = 35° + 35° + 145° + 145° = 360°.
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Se tienen que 35° y 145° equivalen en radianes a
y
,
respectivamente.
RESUMEN
Existen 3 sistemas de medición que permiten indicar la medida de los ángulos en
radianes (sistema circular), grados (sexagesimal) y en grados centesimales
(sistema centesimal). Entre estos sistemas se pueden hacer conversiones para
representar los valores de los ángulos en el que mejor se adapte a las
necesidades.
Existen diferentes tipos de ángulos, que permiten obtener el valor de uno o varios
ángulos a partir de uno ya conocido. Se tienen: adyacentes, recto, llano,
complementarios, suplementarios, opuestos por el vértice y los consecutivos.
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REFERENCIAS

Baldor, J.A. Geometría Plana y del Espacio con una Introducción a la
Trigonometría. Publicaciones Cultural, S. A. México, 1984.

Silvia, J.M & Lazo, Adriana. Fundamentos de Matemáticas. Editorial LIMUSA,
S. A de C.V. México, 2001.
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