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Cuarto de secundaria
Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús”
ÁNGULOS
Definición: Es la reunión de dos rayos que
tienen un punto extremo común, es decir
tienen el mismo origen.
Los dos rayos son los lados del ángulo y el
punto extremo común se llama VÉRTICE del
ángulo.
A
O
°
m AOB  180 
B
ángulo cuya
2. Ángulos opuestos por el vértice:
Son dos ángulos determinados al trazar dos
rectas secantes.
A
I. SEGÚN SU MEDIDA
1. Lados: OA y OB
2. Vértice: “O”
3. Simbología:  AOB, AOB;  AOB
°
Dos o más ángulos son congruentes si tienen
igual medida.
O
Q
Bisectriz de un ángulo. La bisectriz de un
ángulo es el rayo que partiendo del vértice
divide al ángulo en dos ángulos congruentes.
II. SEGÚN
LADOS
C
°
B
Geometría Analítica


B
D
 AOB   COD
m AOB = m  COD
III. SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS.
1. Ángulos adyacentes complementarios:
Se dice que dos ángulos son adyacentes
complementarios, cuando tienen el mismo
vértice y cuyos lados tienen el mismo
vértice y cuyos lados no comunes forman
un ángulo recto.
LA POSICIÓN DE SUS
1. Ángulos adyacentes:
Se dice que dos ángulos son adyacentes
cuando tienen el mismo vértice y un lado
común tal que los lados se encuentren a otro
y otro lado del lado común.
A
O
B
m AOB  0 
2. Ángulo Obtuso: Es aquel ángulo cuya
medida es mayor que 90° pero menor que
180°.
AOB  POQ
Prof. Edwin Meza Flores
O
B
O  90 

B
  90 
A
O
P
°
O
5. Ángulo Nulo o Perígono: Es aquel
ángulo cuya medida se considera igual a
0°.
Ángulos congruentes. ()
A

1. Ángulo Agudo: Es aquel ángulo cuya
medida es menor que 90° pero mayor que
0°.
A
4. Notación:  AOB = OA  OB
5. Medida: m  AOB = °
B
4. Ángulo Recto: Es aquel
medida es igual a 90°
A
Elementos del ángulo.
O
C
Los ángulos: AOB y BOC son adyacentes (*)
dos o más ángulos serán adyacentes
consecutivos cuando cada uno de ellos es
adyacente con su inmediato.
O
°
B
 lado común

O
180°
x
Clasificación de los ángulos.
Los ángulos se clasifican según su medida, de
acuerdo a su posición y según sus
características.
B
A
3. Ángulo Llano o rectilíneo: Es aquel
ángulo cuyos lados son dos rayos
opuestos; es decir son colineales y su
medida es 180°.
A
O

90   180 
 OX : es bisectriz del  AOB
 mAOX = XOB = °
 AOX = XOB
A
B

O

C
Los ángulos AOB y BOC son adyacentes
complementarios.
    90 
“Amar, adorar y servir”
Cuarto de secundaria
Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús”
A
2. Ángulos adyacentes suplementarios:
Se dice que dos ángulos son adyacentes
suplementarios, cuando tienen el mismo
vértice y cuyos lados tienen el mismo
vértice y cuyos lados no comunes forman
un ángulo recto.
C
O
OD  Bi sec triz de AOC. Hallar DOB
B
D
A
PRÁCTICA DE CLASE
a) 45°
b) 35°
d) 48°
e) 60°
b) 6°
d) 15°
e) 10°
70°
c) 5°
c) 43°
04. Sabiendo que:
OQ  Bi sec triz de AOB
01. Tres ángulos consecutivos, situados a
un mismo lado de una recta están en
progresión aritmética. Calcular los
ángulos, si el menor y el mayor están
en relación de 3 es a 7.
a) 8°
120°
B
O
A
E

C
AOC - BOC = 40°
C
B

AOC + BOC = 100°
OR  Bi sec triz de AOC y BOC  48 
Calcular QOR
06. Se tiene tres ángulos consecutivos
AOB, BOC y COD de tal manera que
las bisectrices de los ángulos AOB y
COD son perpendiculares y el ángulo
BOD mide 80°. Calcular la m  AOC.
a) 100°
b) 50°
d) 80°
e) N.A
c) 70°
D 120
a) 85°
b) 90°
d) 100°
e) 105°
c) 95°
09.En la figura si: medida del ángulo
BON= 20° ON bisectriz del ángulo
AOQ. OM bisectriz del ángulo AOP.
Calcular “x”
C
A
A
Q
07.Si los puntos A, O y B es una recta,
a) 36°, 60°, 84°
b) 0°, 60°, 84°
c) 60°, 20°, 70°
c) 40°, 50°, 80°
R
OQ
O
e) N.a.
a) 84°
b) 48°
d) 40°
e) N.a.
a) 14°
b) 24°
d) 26°
e) 10°
A
M
N
A
D
O
Prof. Edwin Meza Flores
c) 12°
05. En el siguiente gráfico:
c) 96°
03. En el siguiente gráfico BD es bisectriz
del ángulo CBE y la suma de los
ángulos
ABC + ABE = 86°. ¿ Cuál
es el valor de los ángulos ABD?
. Hallar la medida del
ángulo NOB.
C
02. Cinco ángulos situados alrededor de
un punto están en progresión
aritmética. Calcular el mayor de los
ángulos si los menores están en
relación de 4 es a 5.
es bisectriz del ángulo AOM y
m  QON
5

m  QOB
7
B
O
a) 18°
b) 25°
d) 45°
e) 60°
C
Geometría Analítica
x°
P
O
Q
a) 51°
b) 52°
d) 54°
e) 55°
c) 53°
10. Se tienen los ángulos adyacentes
B
c) 30°
08.En la figura, calcular la medida del
ángulo formando por la bisectriz del
ángulo AOB y COD.
B
x°
suplementarios AOB y BOC . Si OM
es bisectriz del ángulo AOB. Calcular
la medida del ángulo BOM. Siendo
además m BOC - m AOB = 40°.
a) 40°
b) 20°
d) 30°
e) 35°
c) 10°
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11.De que ángulo se debe restar su
complemento para obtener 10°.
a) 30°
b) 40°
d) 60°
e) 70°
15.
c) 50°
b) 45°
d) 55°
e) 50°
los
y
ángulos
ˆC
AO
son
a) 30°
b) 37°
d) 53°
e) 45°
c) 60°
16.De la figura: Hallar “x”:
d) 53°
b) 20°
c) 40°
e) 30°
es bisectriz del
ˆN
MO
ˆQ
NO
, OZ
es
OY , es bisectriz del
ˆ Y . Si m NOQ - m
bisectriz del XO
 MON = 60°. Calcular m NOZ:
b) 15°
d) 25°
e) N.a
d) 40°
e) 70°
c) 36°
a) 10°
b) 20°
d) 40°
e) 50°
c) 30°
d) 180°
e) N.a.
b) 60°
a) 40°
b) 50°
d) 30°
e) N.a.
c) 45°
05. Hallar “x” en la figura, si POQ =
100.
A
R
e) 36°
17. Se tiene los ángulos consecutivos
AOB BOC y COD tal que OC es
bisectriz del ángulo BOD; además se
cumple:m AOB +m AOD = 100.
Hallar m AOC
a) 100°
b) 80°
d) 60°
e) 40°
Prof. Edwin Meza Flores
c) 30°
,
c) 50°
18. Se tienen los ángulos consecutivos
AOB y BOC; el primero es mayor que
el segundo en 40°. Se traza la bisectriz
OX del ángulo AOC. Calcular la m
BOX.
a) 40°
b) 50°
d) 20°
e) 70°

c) 45°
c) 80°
Geometría Analítica
01. Encontrar la mitad de la tercera parte
del complemento del suplemento de
un ángulo que mide 96°.
a) 1°
b) 2°
d) 4°
e) N.a.
c) 3°
c) 160°
04. La diferencia de dos ángulos
adyacentes es 90. ¿Cuál s la diferencia
de los ángulos formados por sus
bisectrices?
B
14.Dados los ángulos consecutivos M Oˆ
a) 20°
b) 50°
b) 135°
PROBLEMAS PROPUESTOS
a) 30°
de los ángulos AOB y COD
respectivamente. Si m  POQ = 70°
y m BOD = 120°. Hallar la medida
del ángulo AOC.
Ny
a) 20°
a) 150°
P
OQ
ˆQ,
NO
OX
19. Sobre una línea se tiene cinco ángulos
consecutivos, los cuales se encuentran
en progresión aritmética. Si el mayor
de los ángulos excede al menor en
20°. Hallar el menor de dichos
ángulos.
20. Hallar “x”. Si: m AOD = 220°; m
BOD=230°, m AOC = 240.
2x
x
bisectrices OP y
d) 50°
superpuestos
ˆB
AO
c) 30°
13.Se tiene los ángulos consecutivos
AOB, BOC y COD. Se trazan las
a) 60°
que
complementarios, siendo OX ,
bisectriz del ángulo BOC, entonces el
ángulo AOX mide:
12.Si el suplemento del suplemento del
suplemento de la medida de un ángulo
se la añade el complemento del
complemento del complemento del
doble de la medida de dicho ángulo, se
obtiene el triple de la medida del
ángulo mencionado. Calcular dicho
ángulo.
a) 60°
Sabiendo
x° 

Y

a) 50°
b) 40°
d) 20°
e) N.a.
X
c) 30°
06. En la figura:
OB bisectriz de AOE
02. Si a un ángulo se le resta su
complemento es igual a la cuarta parte
de su suplemento; calcular dicho
ángulo.
OC bisectriz de BOE
OC bisectriz de COE
Si BOD = 36. Hallar AOE
B
a) 80°
d) 60°
b) 45°
c) 15°
e) N.a.
03. Dados los ángulos consecutivos AOB,
BOC y COD, calcular la suma de
AOC y BOD si el ángulo formado por
las bisectrices vde AOB y Cod es de
90°
C
A
D
E
a) 96°
b) 72°
d) 24°
e) N.a.
c) 48°
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07. En la figura AOC y BOC son
suplementarios. AOB = 80. Hallar
AOC.
10. Calcular la medida de un ángulo,
sabiendo que su complemento es a su
suplemento como 1 es a 10.
17. Hallar “x”
C
B
120°
70°
B
A
C
a) 80°
b) 75°
d) 95°
e) 69°
c) 70°
A
O
a) 100°
b) 110°
d) 130°
e) N.a.
c) 120°
08. La suma del complemento de un
ángulo “” con el suplemento de un
ángulo doble es igual a 3/2 del
complemento de un ángulo “” y   = 24°. Calcular el complemento del
ángulo de “”.
a) 36°
b) 18°
d) 45°
e) 38°
c) 24°
11. Se tienen tres ángulos consecutivos,
AOB, BOC y COD de tal manera que
las bisectrices de los ángulos AOB y
COD son perpendiculares y el ángulo
BOd mide 80°. Calcular la m ADC.
a) 100°
b) 50°
d) 80°
e) N.a.
M
N
Q
A
B
O
30°
14. En la figura si: m BON = 20°. ON
bisectriz del ángulo AOQ, OM
bisectriz del ángulo AOP. Calcular
“x”
A
B
N
x°
O
a) 51°
b) 52°
d) 54°
e) 55°
Q
15. Se tienen los ángulos adyacentes
suplementarios AOB y BOC. Si OM
es bisectriz del ángulo AOB. Calcular
la medida del ángulo BOM, siendo
además m BOC - m AOB = 40°
a) 40°
b) 20°
d) 30°
e) 35°
B

N

O
a) 28°
b) 14°
d) 95°
e) 69°
Prof. Edwin Meza Flores
X
c) 56°
a) 18°
b) 25°
d) 45°
e) 60°
c) 30°
13. En la figura la medida del ángulo
formado por la bisectriz del ángulo
AOB y COD.
c) 10°
Geometría Analítica
16. Se tiene los ángulos consecutivos
suplementarios AOB y BOc que se
diferencian en 38°. Calcular la
medida del ángulo formado por la
bisectriz del ángulo AOC y el rayo
OB.
a) 76°
b) 38°
d) 19°
e) 24°
a) 30°
b) 60°
d) 50°
e) 25°
c) 70°
18. Se tiene los ángulos consecutivos
AOB , BOC y COD, siendo 2(AOB)
= 3(COD); AOC = 92° y BOD = 76°.
Hallar la medida de BOC.
a) 24°
b) 16°
d) 44°
e) 64°
c) 54°
c) 53°
A
M
X'
e) 105°
c) 95°
x°
12. Si los puntos A, O y B están en una
recta, OQ es bisectriz del ángulo
ON es bisectriz de AOX
OM es bisectriz de AOX
d) 100°
P
medida del ángulo NOB.
BON = 22.BOX = ?
b) 90°
c) 70°
m QON
5
AOM y
 . Hallar la
m QOB 7
09. En la figura AOM = BOX
a) 85°
M
x°
B
O
19. El doble de la medida de un ángulo
es igual al triple de la media de su
complemento. Hallar la medida del
ángulo.
a) 54°
b) 36°
d) 27°
e) 58°
c) 44|
20. Si a la medida de un ángulo se le
resta dos grados mas que a la tercera
parte de su complemento, resulta un
cuarto del suplemento del ángulo,
disminuido en un grado. ¿Cuánto
mide dicho ángulo?
a) 45°
b) 46°
d) 48°
e) 38°
c) 44°
c) 20°
“Amar, adorar y servir”