Download prefacio - Universidad de Sonora

"Mi Cuaderno de Apuntes de
Mecánica I "
UNIVERSIDAD DE SONORA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
x 0 = -25 m
x-
x 1 =-10m
Prof. Ignacio Cruz Encinas
x 2 = 5m
l
l
l
l
l
-25
-20
-15
-10
-5
l
0
l
5
t0 t1 t2
x0 x1 x2
x 3 = 20m
l
l
10
l
15
20
l
l
25
l
30
x+ (mts.)
35
t3
x3
t4
x4
t5
x5
t6
x6
t7
x7
l
l
x -
l
20
0
l
40
l
60
l
80
l
100
l
120
l
l
l
140
l
160
180
l
200
l
l
+
240 x (mts.)
220
x+ ( m t s . )
2 4 0
o
3 0 0
2 1 0
x (m )
2 5 0
1 8 0
1 5 0
1 2 0
Au
to
2 0 0
o
o
cate to
o p u es to
1 5 0
x = x
1 0 0
3
- x
1
5 0
9 0

6 0
Auto C
0
2
o
cateto ad y acen te
3 0
t = t

o
0
l
3
3
- t
6
8
1 0
to
Au
1 2
t (se g )
B
- 1 0 0
1
l
6
l
9
l
1 2
- 1 5 0
+
t
(seg)
240
v (m/s)
x (mts)
*
220
B
Au to
52.66
50
4
- 5 0
70
60
A
200
40
180
30
20
A 1A
Auto C
10
0
8.07
l
3.33
A 1B
-10
l
5
l
140
*
100
-30
Au to
-40
-50
13.3 - 11.14 = 2.16
120
12.11 t (seg)
A 2A
-20
60
*
m = v = 60 / 2.16 = 27.7

160
A 2B
80
A
*
60
- 56.88
-60
40
-70
20
-80
100 - 40 = 60
m = v = 60 / 3.2 = 18.7

*
9.5 - 6.3 = 3.2
35
*
m = v = 35 / 3.8 = 9.2

l
l
4
6
6 - 2.2 = 3.8
*l
2
m =*v = 0
0
l
8
l
12
l
10
14
t (seg)
B
C= AxB
By

C = A y +B y
y
Vb
Vc
A
c
Ay
d


Vd
Ax
- Va
- Va
V
b
V
e
V
y+
a
0
 y = y2 - y1
 ly 1
l
m0
a
F
l
1
l
0
r2
m0
r1
a=a
2
x1
l
m1
1
m
( x 1, y 1)
0
l
F
 x = x 2 -x 1
l
l
x2
F
a
2
l
l
m2
= 2 a0
l
l
m2
F
F
AxB= -BxA
- Vd
Se aplica una fuerza F al kilogramo patrón
y experimentalmente determinamos la aceleración que experimenta, teniendo ésta un
cierto valor a.
F(x)
A otro
x +cuerpo de masa desconocida M, le
aplicamos la misma fuerza F, encontrando
que su aceleración es la mitad de la que -experimento el kilogramo patrón.
F5
A un segundo cuerpo de masa desconocida
m le aplicamos la misma fuerza F, encon-trando que su aceleración es el doble de la
que experimentó el kilogramo patrón.
F4
F3
F2
F1
Fn
F5
F
4
F1
a
l
m3
3
= 4a0
l
l
F
m3
l
F
Por último, a un tercer cuerpo de masa desconocida m´ le aplicamos la misma fuerza F
encontrando que su aceleración es el cua--truple de la que experimentó el kilogramo -patrón.
C' = B x A
V
Ve
A
A
B
V
- Vc
trayectoria
( x2 , y2 )
y2


V
Vd
Ve
trayectoria del cuerpo
A
Vc
- Vb
a
Bx
B
V
Va
V
Bx
C = Ax +
x
Vb
F
2
F3
x1 x2
x3
x4
x5
x x x x x
x
x
x
x
x
xn
PREFACIO
La falta de apoyos didácticos en la impartición de los cursos de ciencias en nuestros días, ha conllevado al uso
excesivo por parte del profesor del uso del pizarrón, convirtiéndose casi exclusivamente en el único apoyo
didáctico usado por la mayoría del personal docente.
Esta deficiencia que presenta el modelo educativo tradicional en la transmisión y recepción del conocimiento,
en el cual el profesor llega al salón de clases y se "suelta" escribiendo en tanto que los alumnos
apresuradamente apuntan en su cuaderno las notas de clase, a rendido sus frutos, entre los cuales podemos
mencionar:
o
Queja del estudiante de que no tiene tiempo de apuntar y a la vez prestar atención para entender la
clase ( o escribe o pone atención).
o
Un índice de reprobación que fluctúa entre el 40 y el 60% (en algunos casos superior al 60%).
o
Un bajo nivel de aprovechamiento que se refleja en el promedio general de los cursos, el cual es
inferior a 65.
Sin lugar a dudas existen muchos factores que influyen en los resultados obtenidos, uno de ellos lo es la
aberración y falta de hábito del alumno a la lectura de los libros de texto y de consulta, estudiando únicamente
en sus notas de clase, que como mencionamos anteriormente las tomó de una forma apresurada sin prestar
atención y cuando las estudia difícilmente las comprende.
Otro factor lo es el bajo nivel académico del alumno que ingresa a nivel superior en el uso de la herramienta
matemática indispensable, lo cual obliga al profesor a clarificar nociones elementales en álgebra,
trigonometría y geometría analítica (sin incluir el cálculo diferencial e integral), nociones tan básicas como lo
son, uso de notación científica, conversión de unidades, despejes, las funciones trigonométricas, el teorema
de Pitágoras, la gráfica de ecuaciones lineales, la identificación de las variables involucradas, la fórmula de la
pendiente de una recta, la solución de ecuaciones lineales (sistemas de 2 X 2), cuadráticas mediante la
fórmula general, etc. Todo ello redundando en un lento avance del curso que impide culminar el contenido
temático en su totalidad.
Siendo paternalista en algunos aspectos pero con la finalidad de coadyuvar al proceso de enseñanza
aprendizaje se presentar el trabajo intitulado " Mi Cuaderno de Apuntes de Mecánica I", que de ninguna
manera pretende ser o sustituir al libro de texto, pero sí al cuaderno de apuntes del alumno o su complemento,
para que éste preste atención a la explicación del profesor.
Considero que la forma en que se encuentra escrito facilita el estudio, asimilación y comprensión de los
principios físicos inherentes al movimiento de los cuerpos, presentados desde el punto de vista del proverbio
i
chino que dice "una fotografía dice mucho mas que mil palabras", para lo cual, hago hincapié al profesor de la
enseñanza en la correcta interpretación de las gráficas, auxiliándose con dibujos de lo que está ocurriendo en
realidad.
El trabajo que se presenta contiene el material necesario para que el alumno no tome apuntes a menos que el
profesor le indique lo contrario y ponga suficiente atención a la explicación.
Desde mi particular punto de vista, la enseñanza de la física sin el uso de las matemáticas es filosofía, y ese no
es nuestro curso. Los alumnos poseen los conocimientos matemáticos necesarios para abordar los temas,
aunque estos subyacen en su subconsciente y nuestra misión como educadores es hacerlos aflorar, para lo cual
se presentan los contenidos de una forma sencilla, evitando el uso excesivo de las matemáticas y sobre todo
del cálculo diferencial e integral, que difícilmente se ejercita en el nivel educativo antecedente.
El trabajo se encuentra dividido en seis capítulos, en el primer capítulo se presenta el nacimiento, división y
subdivisión de la física, el cual se recomienda que se deje como lectura al estudiante. En el segundo capítulo
se aborda la Cinemática de los cuerpos, iniciando de la forma mas sencilla posible (sin el uso de vectores) con
el movimiento en una dimensión, y dentro de éste, el caso mas sencillo como lo es el movimiento rectilíneo
uniforme, para posteriormente avanzar en el curso con movimientos mas complicados como el rectilíneo
uniformemente acelerado para movimiento horizontal y caída libre para el vertical. A continuación le sigue el
capítulo tercero, dedicado al manejo de la herramienta matemática de los vectores, que es indispensable para
abordar el siguiente tema de cinemática, que se presenta en el capítulo cuarto, relativo al movimiento en el
plano, en donde se inicia con una pequeña introducción del movimiento de cuerpos que se mueven sobre una
superficie, surgiendo la necesidad de redefinir los conceptos vistos en el capítulo segundo, de desplazamiento,
velocidad y aceleración, pero desde el punto de vista del formulismo matemático por lo que fue indispensable
abordar el tema de vectores.
El capítulo quinto correspondiente a la Dinámica de los cuerpos, se abordan las leyes de fuerza y las leyes de
la naturaleza, deduciendo ilustrativamente mediante la experimentación, tabulación y gráfica, una de las
principales leyes como lo es la segunda ley de Newton, para posteriormente hacer hincapié en el
entendimiento de la tercera Ley.
El sexto capítulo está dedicado al Trabajo y la Energía, iniciando con una introducción y repaso de los
anteriormente visto para que surja la necesidad de que en el caso de fuerzas variables ya no se aplican las
ecuaciones de cinemática aunque siguen prevaleciendo las leyes de Newton, así como de buscar alternativas
de nuevos métodos matemáticos de estudio mediante el manejo del cálculo diferencial e integral. Aunque se
introduce de una forma sencilla de tal manera que el alumno fácilmente pueda asimilar el significado de una
integral. En la segunda sección se abordan fuerzas constantes aplicadas en una dimensión, llegándose en esta
ii
misma sección al teorema del trabajo y la energía. Posteriormente se abordan de la misma forma fuerzas
constantes aplicadas en dirección diferente a la del movimiento y finalmente para el caso de fuerzas variables.
Cada sección contiene el problemario correspondiente, recomendando al profesor que aplique evaluaciones
parciales de cada uno de los mismos.
Ignacio Cruz Encinas
iii
CONTENIDO
CAPITULO I
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
CAPÍTULO II
HISTORIA DE LA FÍSICA
Pag
Significado de la palabra física
Ciencia y Tecnología
Nacimiento de las ciencias
División de las ciencias
La Física y su relación con otras disciplinas
División de la Física
Física Clásica
Cuadros sinópticos
1
1
2
3
4
5
6
7
CINEMÁTICA
2.1
Introducción
10
2.2
Movimiento rectilíneo uniforme
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6
2.2.7
Sistemas de referencia
Posiciones y cambios de posición
Desplazamientos y distancia recorrida
Instantes e intervalos de tiempo
Velocidad media y uniforme
Gráficas de funciones lineales
Velocidad y rapidez
Problemario de movimiento rectilíneo uniforme
11
11
2.3
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
2.3.6
Velocidad instantánea
Aceleración media e instantánea
Cálculo de la aceleración a partir de la gráfica de x vs. t
Ecuaciones de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Resumen de ecuaciones de movimiento
Análisis gráfico
Problemario del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Caída libre de los cuerpos
Sistema de referencia con convención de signos positivos hacia
arriba, negativos hacia abajo.
Sistema de referencia con convención de signos positivos hacia
abajo, negativos hacia arriba.
Resumen gráfico de caída libre
Ecuaciones de movimiento de caída libre
Sugerencias para resolver problemas de caída libre
Problemario de caída libre
2.4
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
CAPÍTULO III
12
15
15
16
18
25
29
33
33
39
41
42
43
43
53
56
58
62
65
66
67
68
VECTORES
3.1
3.1.1
3.1.2
El plano cartesiano
Ubicación de un cuerpo en el plano cartesiano
Cambio de posición en el plano
3.2
Vectores
3.3
Suma de vectores
71
71
73
74
77
iv
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
3.4
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4
CAPÍTULO IV
Método del paralelogramo
Método del polígono
Propiedades de la suma vectorial
Sustracción de Vectores
Método analítico
Cálculo de las componentes de un vector
Cálculo de un vector
Suma de vectores mediante el método analítico
Representación vectorial de los vectores: Vectores unitarios
Problemario de vectores
79
79
80
80
81
87
91
MOVIMIENTO EN UN PLANO
4.1
4.2
4.3
4.4
Desplazamiento en el plano
Velocidad media en el plano
Velocidad instantánea en el plano
Aceleración media en el plano
4.5
Movimiento de Proyectiles
4.5.1
4.5.2
4.5.2.1
4.5.2.2
Ecuaciones de movimiento del tiro parabólico
Casos especiales del movimiento de proyectiles
Tiro horizontal
Blancos y alcances
Problemario de tiro parabólico
4.6
Movimiento Circular
4.6.1
4.6.1.1
4.6.1.2
4.6.1.3
4.6.2
4.6.3
Movimiento circular uniforme
Ángulo
Velocidad angular media
Aceleración centrípeta o radial
Movimiento circular no uniforme
Cantidades tangenciales y angulares
CAPÍTULO V
77
78
78
95
96
98
102
103
106
107
107
108
112
116
116
117
118
121
124
127
DINÁMICA
5.1
Introducción
5.2
Leyes de movimiento
5.2.1
5.2.2
5.2.3
Primera Ley de Newton
Segunda Ley de Newton
Tercera Ley de Newton
5.3
Aplicaciones de las Leyes de Newton
Problemario de Dinámica
132
134
134
136
141
143
148
DINÁMICA (Segunda parte)
5.4
Fuerzas de rozamiento
5.4.1
5.4.2
5.4.3
5.4.4
Introducción
Fuerza de rozamiento estática
Fuerza de rozamiento cinética
Coeficientes de rozamiento
Problemario de Dinámica (con rozamiento)
CAPÍTULO VI
6.1
152
152
152
153
154
163
TRABAJO Y ENERGÍA
Introducción
165
v
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Trabajo y energía debido a una fuerza constante aplicada en la
dirección de movimiento
Trabajo y energía debido a una fuerza constante aplicada en
dirección diferente a la del movimiento
Producto escalar o producto punto entre dos vectores
Trabajo y energía debido a una fuerza variable aplicada en la
dirección de movimiento
Trabajo y energía debido a una fuerza variable aplicada en
dirección distinta a la del movimiento
Problemario de trabajo y Energía
Bibliografía
166
171
175
176
182
186
vi
CAPÍTULO I
HISTORIA DE LA FÍSICA
1.1 SIGNIFICADO DE LA PALABRA FÍSICA
La palabra FÍSICA proviene del vocablo griego "Physics" cuyo significado es surgimiento de las cosas. Por
otro lado, también proviene de la palabra del latín que significa naturaleza o nacimiento de las cosas. Como
se puede observar, indistintamente los dos vocablos significan lo mismo; en la actualidad según el libro de
texto que consultemos podemos encontrar muchas variantes del significado de la palabra, sin embargo, todas
esas definiciones las podemos englobar en la siguiente definición:
La Física es la ciencia que trata del estudio de los fenómenos naturales,
sus principios y las leyes que los rigen.
1.2 CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Con la aparición del hombre sobre la superficie de la tierra y la interacción de éste con el medio ambiente en
busca del sustento, vestido y seguridad, el hombre empieza a implementar una serie de tácticas y medidas que
va perfeccionando con la práctica. Entre éstas, en primera instancia el hombre primitivo utiliza piedras y
palos para la caza y defensa, las cuales posteriormente perfecciona fabricando una serie de herramientas
rudimentarias como el hacha, la lanza, el lazo corredizo, las boleadoras, el arco y la flecha, la balsa flotante y
la canoa. Todos estos artefactos inventados por el hombre primitivo dan inicio a lo que actualmente
denominamos tecnología.
HOMBRE + MEDIO AMBIENTE + PRÁCTICA = TECNOLOGÍA
Toda vez que el hombre ve satisfechas sus necesidades mas apremiantes, su curiosidad innata lo conduce a
observar detenidamente el mundo que lo rodea reflexionando sobre las causas de los fenómenos naturales que
acontecen a su alrededor y busca información confiable que posteriormente organiza en un cuerpo de Leyes y
Principios Fundamentales, bajo los cuales predice el comportamiento de la naturaleza en un sinnúmero de
situaciones, de esta forma genera el conocimiento científico.
CIENCIA = HOMBRE + MEDIO AMBIENTE + OBSERVACIÓN + ANÁLISIS +
EXPERIMENTACIÓN
Por su orden de aparición cronológico, la tecnología se antepone a la aparición de la ciencia en la cual se
generan conocimientos para su ulterior aplicación con la finalidad de obtener resultados prácticos.
1
1.3NACIMIENTO DE LAS CIENCIAS
Para abordar el nacimiento de las ciencias, es menester remontarnos al origen de la sociedad humana que data
desde la Época de Piedra en que la gente era nómada y que subsistía enteramente de lo que la naturaleza le
proporcionaba, es decir, de bayas, raíces, frutos y principalmente de la caza de animales a los que tenía que
seguir, entre estos animales se encontraban los mamuts que viajaban a Polonia en verano y a Hungría en
invierno, pasando por tres accesos principalmente y era ahí donde los primitivos los esperaban para matarlos.
Para esto, se le presentaron dos problemas fundamentales; uno como matarlos y el otro como almacenar la
comida. Para ello, el hombre se las ingenió fabricando herramientas rudimentarios como el tallado de piedras,
lanzas, hachas, utensilios, etc.; encontrando varias formas de hacerlo que aunque de forma técnica y
rudimentaria implicaba una buena parte de física y química práctica. Resultado de estas técnicas lo fue la
evolución de las armas, en donde para su fabricación implementó una serie de técnicas rudimentarias que
aunque limitadas perduraron durante siglos.
Las primeras armas se asían simplemente con las manos, luego le acondicionó un mango para asirla con la
mano y posteriormente para lanzarla. Este simple hecho ya implicaba una experimentación que con la práctica
fue perfeccionando para que la lanza alcanzara el objetivo. De esta forma, la destreza humana precedió al
conocimiento ya que para arrojarla más lejos, era necesario aumentar la longitud del brazo, ideando
mecanismos como los "arrojadores de lanzas" en los cuales la lanza se ataba a otro palo curveado y tenso en
forma de catapulta que la impulsara, lo que implicaba tener cierto conocimiento como lo es la idea del resorte
y el principio del arco y la flecha que es un mecanismo de almacenamiento de energía para posteriormente
liberarla.
Estas fueron algunas de las soluciones primitivas a los problemas derivados en ese entonces perdurando por
miles de años.
Así como el fuego fue le descubrimiento más importante en la Edad de Piedra, en la Edad del Bronce y del
Hierro, el principal descubrimiento lo fue sin lugar a dudas la primera gran revolución agrícola que vino a
cambiar el panorama volviendo al hombre sedentario y dando inicio a los primeros tres centros de
civilización; la primera de ellas en las márgenes del Mar Mediterráneo; la segunda en la regiones
comprendidas entre el Mar Mediterráneo, el Mar Negro, el Mar Caspio y el Golfo Pérsico ( Egipto, Siria,
Mesopotamia, India) y la tercera gran civilización en la antigua China, presentando todas ellas la
característica de ser regiones irrigadas por los ríos, en cuyas márgenes se dio el crecimiento de ciudades
bastante grandes, que conllevaron al desarrollo de la producción agrícola.
El gran desarrollo de la agricultura trajo consigo la evolución de otras actividades derivadas como la
construcción, el comercio, la navegación, la industria en sus diversas ramificaciones, donde todas ellas
favorecieron el desarrollo de las matemáticas, la astronomía y la capacidad inventiva del hombre en artefactos
2
y mecanismos auxiliares a sus labores tales como el calendario, la balanza, la rueda, el yugo, el fuelle, el
arado, la prensa, el tornillo, los molinos de agua, la catapulta, los barcos, etc.
De esta forma, aunque de una manera inconsciente el hombre empieza a hacer ciencia. Por ejemplo, para
hacer un calendario debían tener conocimientos del movimiento de los astros, a los cuales se les atribuía la
aparición de ciertos fenómenos naturales que se presentaban con regularidad en ciertos períodos del año,
como lo era la crecida de ciertos ríos.
De esta forma, la totalidad de la vida agrícola era organizada alrededor de esos sucesos naturales que se
repetían periódicamente y que marcaban los períodos de siembra y cosecha.
DESDE SUS INICIOS, A LA CIENCIA SE LE LLAMÓ FILOSOFÍA NATURAL Y EN
ELLA SE CONGLOMERABAN TODOS LOS CONOCIMIENTOS QUE SE IBAN
GENERANDO.
A las personas que la practicaban se le denominaban filósofos, quiénes reflexionaban sobre todas las cosas,
tanto naturales como sobrenaturales teniendo la virtud de dominar la mayoría de las disciplinas por los
escasos conocimientos de esa época.
Desempeñaban un papel importante en la sociedad ya que eran reconocidos por su sabiduría, asesorando y
aconsejando al gobernador sobre lo que debía hacer en diferentes circunstancias, siendo considerados lo que
ahora llamaríamos un consejero científico.
La proliferación de los filósofos se dio principalmente en la antigua Grecia y entre ellos podemos mencionar a
Solon ( ), Pitágoras (matemáticas), Tales de Mileto, Sócrates (Ciencias morales y políticas), Platón (discípulo
de Sócrates y fundador de la escuela llamada Academia), Aristóteles, Parménides, Zenón, Leucipo,
Demócrito, Heráclito, Empédocles, Leucrecio, Epicuro, Arquímedes, etc.
Todos y cada uno de ellos dejó un legado a la humanidad pero los principales fueron los aportados por
Pitágoras con su famoso teorema que lleva el mismo nombre, Aristóteles cuya ideas aunque erróneas
perduraron durante cientos de años y Arquímedes con su celebre frase "Eureka".
1.4 DIVISIÓN DE LAS CIENCIAS
Toda vez que se da el inicio de la ciencia, de acuerdo al pensamiento de las personas que practicaban la
filosofía natural, alrededor del año 1600 D.C. comienza a fraccionarse surgiendo dos áreas de conocimiento.
En una, los filósofos naturales se abocaron al cuestionamiento de preguntas susceptibles de ser contestadas
3
mediante la experimentación, en tanto que la otra área se convirtió en lo que actualmente conocemos como
filosofía y teología, que se centran en la ética y la lógica.
Con el transcurso del tiempo y la gran cantidad de descubrimientos y aportaciones que se
fueron generando, la primera de ellas no fue suficiente para albergarlos, teniendo que
subdividirse en disciplinas del conocimiento, surgiendo de esta forma lo que hoy en día
conocemos Ciencias Exactas donde se encuentran las Matemáticas, las Ciencias Naturales
como la Química, la Biología, la Geología y la Física que junto con las matemáticas
proporcionaban los elementos a las Ciencias Aplicadas como las Ingenierías en sus diversas
manifestaciones.
FILOSOFÍA NATURAL
EXPERIMENTACIÓN
CIENCIAS
EXACTAS
CIENCIAS
NATURALES
MATEMATICAS
QUÍMICA
DEDUCIÓN Y LÓGICA
CIENCIAS
APLICADAS
FILOSOFÍA
TEOLOGÍA
INGENIERÍAS
BIOLOGÍA
FÍSICA
GEOLOGÍA
1.5 LA FÍSICA Y SU RELACIÓN CON OTRAS DISCIPLINAS
La Física por ser considerada como la ciencia que trata del estudio de los fenómenos naturales, sus leyes y los
principios que los rigen, se le asocia con la filosofía natural experimental, siendo entonces una de las ciencias
más antiguas, quién junto con las Matemáticas proporciona los fundamentos para el resto de las ciencias, por
ejemplo:
4
 La Química aplica las leyes de la Física para explicar la formación de las moléculas y los
métodos para transformar estas moléculas en otras hasta formar los compuestos.
 Ambas disciplinas agrupadas en la Físico-Química dan lugar a la Biología que explica los
procesos que tienen lugar en los organismos vivos.
 La Ingeniería en todas sus ramas aplica las leyes de la Física en la solución de problemas de
aplicación práctica, generando así la Técnica o Tecnología.
 Por otra parte, la Física proporciona las técnicas y aparatos que sirven de base para la
investigación y posterior desarrollo de las demás ciencias y el suyo propio en base a la
retroalimentación de si misma y de las demás ciencias, tal es el caso de los telescopios para el
astrónomo, teodolitos y sismógrafos para el geólogo, microscopios electrónicos para el Químico
y el Biólogo.
 De una forma más genérica podemos decir que la Física proporciona las herramientas tanto al
científico como al ama de casa, entre estas herramientas además de las anteriormente
mencionadas, contamos con uno de los últimos avances tecnológicos: la computadora.
1.6 DIVISIÓN DE LA FÍSICA
En la antigüedad, todas las ciencias estaban muy unidas, tan es así que un solo hombre de ciencia podía hacer
importantes investigaciones en matemáticas puras, en química, en biología y en física. Sin embargo, así como
se dio la división de la filosofía natural, con el transcurso del tiempo las ciencias fueron segregándose cada
vez mas surgiendo dentro de ellas mismas ramas o áreas específicas.
Dichas subdivisiones se dieron de acuerdo a los casos en estudio, así por ejemplo, en Física lo eran los
fenómenos naturales y las interacciones entre los cuerpos que producían esos fenómenos. Como existen una
gran diversidad de tales fenómenos, estos se agruparon de acuerdo a como eran percibidos por nuestros
órganos sensitivos como el la vista, el tacto, el oído, el olfato y el gusto, estando estos dos últimos más
relacionados con la Química que con la Física.
Por medio de sus sentidos, el hombre dispone de un completo surtido de aparatos físicos mediante los cuales
registra de una forma cualitativa lo que acontece a su alrededor. Así por ejemplo, un hombre sin vestimenta
puede percibir los cambios en el clima (si esta haciendo frío o calor), esto se realiza mediante la interacción
de nuestro propio cuerpo con el aire que nos circunda, en otras palabras el cuerpo humano es un termómetro
con el cual se pueden registrar cambios en la temperatura; a través de la vista puede decir si un cuerpo esta
lejos o cerca (puede medir distancias); con el oído, puede registrar vibraciones diferenciando entre sonidos y
ruidos, (nuestro oído es un verdadero analizador armónico).
Existe otro sentido que también forma parte de nuestras sensaciones aunque no es catalogado como tal en los
niveles de enseñanza básica, dicho sentido es el muscular. Como todos sabemos, nuestro cuerpo está unido
5
mediante músculos y nervios con los cuales podemos registrar el esfuerzo realizado mediante el grado de
tensión de los mismos. Así por ejemplo, cuando asimos un objeto, somos capaces de diferenciar entre un
cuerpo pesado y uno liviano, en este caso nuestros músculos y nervios funcionan como una balanza
.
Los sentidos de la vista, el tacto, el oído y el muscular son considerados sentidos mecánicos, conjuntándose
todos ellos en la percepción senso-motora de la actividad humana.
De ésta forma a partir del registro de los fenómenos que acontecen a nuestro alrededor por medio de los
aparatos físicos o instrumentos de medición que posee el ser humano, nacen las siguientes ramas de la Física:
La MECÁNICA: En nuestra vida diaria, a través de la vista vemos una infinidad de fenómenos que acontecen
a nuestro alrededor, los mas comunes son los que se producen por medio de los músculos o por las
interacciones de otros cuerpos. Tales fenómenos son los relativos al movimiento de los cuerpos, siendo en
consecuencia uno de los fenómenos que han sido objeto de estudio desde la antigüedad, la Mecánica es la
rama de la Física que se encarga del estudio de las interacciones que conducen a un cambio en el movimiento.
El CALOR: Es la rama de la Física que se encarga del estudio de los fenómenos de origen térmico, se inicia a
partir del registro de las variaciones de la temperatura de los cuerpos mediante el tacto. Dichas variaciones se
deben a las interacciones de los cuerpos y a los efectos o cambios que se producen en el interior de la materia,
generando ella misma sus propias interacciones a nivel atómico.
La ÓPTICA, ONDAS y ACÚSTICA: En estas ramas de la Física se estudian todos aquellos fenómenos que se
registran a partir de las sensaciones visuales y auditivas producidas por la interacción de la luz con la materia
así como por la interacción de los cuerpos al chocar o golpear entre sí produciendo perturbaciones o
vibraciones sean éstas de origen mecánico o sonoras.
La ELECTRICIDAD: Donde se estudian todos los fenómenos naturales registrados por la vista y que son
originados por las interacciones de las cargas eléctricas o de los cuerpos cargados.
El MAGNETISMO: Donde se estudian todos los fenómenos naturales registrados por la vista y que son
originados por las interacciones de las cargas eléctricas en movimiento o de los cuerpos magnetizados como
los imanes.
1.7 FÍSICA CLÁSICA
Todas estas áreas o ramas de la Física se aglutinan en lo que hoy en día llamamos FÍSICA CLÁSICA,
correspondiendo al período comprendido desde los orígenes del hombre hasta la época de uno de los más
6
grandes físicos que ha dado la humanidad: Isaac Newton. Por tal motivo a la Física Clásica también se le da el
nombre de Física Newtoniana que abarca desde 4000 a.C. hasta el año 1700 D.C.
Posterior a Newton, encontramos la física post-newtoniana hasta 1890, fecha a partir de la cual se inicia la
ciencia verdaderamente moderna en lo que podemos llamar la ciencia del Siglo XX, apareciendo la Física
Moderna que aglutina a la Física Cuántica, Atómica y Relativista.
En la actualidad para facilitar el estudio de la Física Clásica, esta la dividimos en cuatro grandes categorías:
i) Mecánica
ii) Fluidos y Calor
iii) Electromagnetismo y
iv) Óptica.
Tratándose en cada una de ellas todos los fenómenos naturales desde el punto de vista clásico o newtoniano.
FÍSICA CLÁSICA
MECÁNICA
Fenómenos
de origen
mecánico
FLUÍDOS Y
CALOR
Fenómenos
de origen
térmico
ELECTROMAGNETISMO
OPTICA
Fenómenos de
origen eléctrico y
magnético
Fenómenos de
origen óptico,
acústico y
sonoro
7
8
Sis te ma s de Re fe re nc ia
Inte r va los de Tiem po
Pos ic iones
De s pla zam ie nto
Dis ta nc ia
Gr a fic as de x vs . t
Ve loc ida d Me dia
Ve loc ida d Uniform e
Ra pidé z
Ec ua c ión de Movim ie nto
Movim ie nto
Re c tilíne o
Unifor m e
(M.R.U.)
MOVIMI ENT O
U NI DIM E NS IO N AL
Movim ie nto
Re c tilíne o
Unifor me me nte
Ace le ra do
(M.R.U.A.)
C
I
N
E
M
A
T
I
C
A
Ve lo cid ad In s t ant án e a
Gr áf ica d e v vs . t
Ace le r ació n M ed ia
Ace le r ació n In at an t áne a
Ecu acio n e s de M o vim ie nt o
Ap licacio n es :
Caíd a L ib re
Nota c ión
Re pr es e ntac ión
Pr opie da des
Ope ra c iones
Mé todo grá fic o
Escalares
y
Ve c tore s
T e o re m a de
Pit ag o r as
Fu n cio n e s t r ig o nom ét r icas
M é to d o An alít ico
MOVIMIENTO
BI DI M I ENSI ONAL
Movim ie nto
e n e l Pla no
Ca r tes ia no
De s p la z a m ie nt o
Ve loc ida d
Acele ra ción
Apl ic a c i one s :
a ) Tir o pa r a b ól ic o
b) Movim ie nto Ci rcula r
U nif or m e
D
I
N
A
M
I
C
A
E
T
N
R
E
A
R
B
Y G
A
Í
J
A
O
I ntrodu cci ón
L e ye s de F ue r z as
Primera Ley de Newton
Segunda Ley de Newton
Tercera Ley de Newton
Fuerzas de contacto
Le ye s de la Na tura le z a
Pe s o
Tens ión
Nor mal
Roz amiento
Fuerzas de acción a
distancia
Introducción
Aplicada en la dirección Energía Cinética
Teorema del
de Movimiento
Trabajo y Energía debido a una
Fuerza Constante
Aplicada en dirección
diferente a la del
Movimiento
Producto Punto de
Vectores
Trabajo y Energía debido a una
Fuerza Variable
Aplicada en la dirección
de Movimiento
Aplicada en dirección
diferente a la del
Movimiento
Trabajo y la
Energía
Producto punto
de Vectores
Unitarios
Método de :
·Area bajo la
curva
·Integración
Integral de
línea
9
CAPITULO II
CINEMÁTICA
2.1 INTRODUCCIÓN
MECÁNICA.- Es la rama de la Física que se encarga del estudio del movimiento de los cuerpos.
Por estudio del movimiento se entiende la descripción y causas del movimiento; la primera de ellas le
corresponde a la cinemática y la segunda a la dinámica.
Dependiendo del movimiento y de sus características así como las del cuerpo objeto del estudio, la mecánica
puede ser:
Mecánica Clásica.- Cuerpos grandes que son tratados como partículas y que se mueven con velocidades
mucho muy pequeñas comparadas con la velocidad de la luz.
Mecánica Cuántica u Ondulatoria.- Movimiento de los cuerpos en el dominio microfísico caracterizado por la
propiedad ondulatoria de los corpúsculos en movimiento.
Mecánica Relativista.- Movimiento de los cuerpos con velocidades cercanas a la velocidad de la luz.
Mecánica Estadística.- Tratamiento estadístico del movimiento desordenado de átomos y moléculas sujetas a
interacciones térmicas.
Así como se da una clasificación de la Mecánica, iniciando con el estudio del movimiento de casos sencillos e
ir profundizando en los conocimientos a medida que se va avanzando, dentro de la Mecánica Clásica también
se sigue el mismo procedimiento, es decir, para estudiar el movimiento de los cuerpos se inicia con el
movimiento de un cuerpo grande que se mueve con una determinada velocidad y que al compararlo con la
distancia que recorre, éste puede considerarse como si fuese un punto o corpúsculo, por ejemplo:
o
Un automóvil que recorre una distancia de 10 Km..
o
Una pelota de béisbol al ser golpeada.
o
La Tierra moviéndose alrededor del Sol.
De igual forma, dentro de este esquema, se inicia con el movimiento en una dimensión (línea recta);
posteriormente en dos dimensiones (en un plano) y se culmina en tres dimensiones (en el espacio).
En una dimensión, se tienen dos casos:

Movimiento rectilíneo uniforme.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Iniciemos con el primer caso.
10
2.2 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.
En esta sección, nuestro problema es realizar una descripción completa del movimiento de un cuerpo, algo
parecido a narrar como estuvo la fiesta a la que fuimos determinado día o bien en observar una fotografía y
empezar a decir que es lo que ahí vemos; cuantas personas hay, como van vestidas, como están colocadas, etc.
En el caso del movimiento de un cuerpo, la descripción es similar, se realiza en base a una observación
particular o a partir de una gráfica y debemos contestar las siguientes preguntas:
¿Donde estaba originalmente el cuerpo?
¿A donde llegó?
¿Que distancia recorrió?
¿En cuanto tiempo?
¿Si se movió a la derecha o a la izquierda?
¿Si cambió de dirección?
¿Con que velocidad se movió?
etc.
La descripción de un movimiento es muy sencilla, por ejemplo:
Hoy en la mañana salí de mi casa a las 7:45 y me dirigí hacia la escuela llegando a las 7:50; como mi casa
está cerca de la escuela y en la misma calle, me vine despacio.
Obviamente que todos entendemos la descripción del movimiento que realice para llegar a la escuela, pero si
lo analizamos detenidamente encontraremos una serie de ambigüedades teles como: ¿Donde está mi casa?
¿Que distancia hay de la escuela a mi casa? ¿A que velocidad me vine?
Aunque diga que la distancia que hay de la casa a la escuela es de 600 metros, y que actualmente estoy en la
escuela, mi casa puede estar ubicada en cualquier punto de un círculo de radio 600 metros alrededor de la
escuela o bien a 600 metros hacia el Sur, hacia el Norte, hacia el Este o hacia el Oeste.
Para evitar esa serie de ambigüedades que se presentan, es necesario que todos tengamos un mismo punto de
partida, que puede ser la escuela, tal punto de partida es lo que se conoce como origen de un cierto sistema de
referencia.
2.2.1 SISTEMA DE REFERENCIA
Cuando platicamos con un amigo, éste nos está entendiendo puesto que hablamos en el mismo lenguaje, en
este caso, nuestro sistema de referencia es la lengua materna (el español); de igual forma sucede con la
descripción de un movimiento, para podernos entender debemos de hablar desde un mismo sistema de
referencia. Tal sistema de referencia para el movimiento rectilíneo uniforme es una línea recta, en la cual
convinimos de mutuo acuerdo establecer un origen, al que designamos con el número cero. A partir de ahí,
11
hacemos marcas sucesivas igualmente espaciadas tanto hacia la derecha como hacia la izquierda, a cada
marca le asignamos un número que irá aumentando en orden progresivo (puede ser de 1 en 1; de 2 en 2; de 5
en 5; de 10 en 10, etc.) a medida que nos vamos alejando del cero, esto es lo que llamamos una escala, a
continuación elegimos una convención de signos, los números hacia la derecha serán positivos y los que se
encuentren hacia la izquierda del cero serán negativos; finalmente a la recta le ponemos flechas en las puntas
y asignamos las unidades a nuestro sistema de referencia (metros, kilómetros, millas, centímetros, pulgadas,
etc.), indicando con una variable el parámetro que estamos observando.
2.2.2 POSICIONES Y CAMBIOS DE POSICIÓN
Ya que contamos con un sistema de referencia, podemos ubicar la posición de cualquier cuerpo en él. Para
indicar posición se utiliza la letra (o símbolo) x. Existen dos tipos de posición; las posiciones particulares y las
posiciones arbitrarias.
o
Si es una posición particular, se le agrega un subíndice por ejemplo:
x0 ; x1 ; x2 ; x3 ; x4 etc. o bien
xi para indicar posición inicial
xf para indicar posición final
o
Si es una posición arbitraria o cualesquier posición, le quitamos el subíndice.
x para indicar cualquier posición.
Ejemplo: Un automóvil se encuentra inicialmente a 10 metros a la izquierda del origen y posteriormente se le
localiza a 10 metros a la derecha del origen.
C
omo se podrá observar, el auto realizó un cambio de posición, éste se define como la diferencia entre la
posición final y la inicial. Expresado en simbología matemática dicho cambio se representa por:
x  x1  x0
x  x f  x i
12
para posiciones particulares y:
x  x  x0
para cualesquier posición, donde x debe de ser la posición final.
Donde el símbolo  es la letra griega Delta que interpretaremos como cambio y x, como ya mencionamos, es
la posición. Luego entonces:
x se lee como: "cambio de posición" .
También se le conoce con el nombre de DESPLAZAMIENTO. De esta forma:
x  cambio de posición o desplazamiento.
y el símbolo matemático
 utilizado se lee "significa" o "es igual que" o "es lo mismo que".
Analizando el concepto de desplazamiento así definido, encontramos que:
a) El desplazamiento es positivo si la posición final es mayor que la inicial.
x  0 si x f  xi
b) El desplazamiento es negativo si la posición final es menor que la inicial.
x  0 si x f  xi
c)
El desplazamiento es nulo o cero si las posiciones inicial y final son iguales.
x  0 si x f  xi
Analicemos diferentes desplazamientos recordando que:
 10  2  0  3  21
por citar algunos ejemplos.
Primer ejemplo: Auto moviéndose a la derecha.
x-
l
-25
l
-20
x2 = 5 m
x 1 =-10 m
x 0 = -25 m
l
-15
l
-10
l
-5
l
0
l
5
x 3 = 20 m
l
10
l
15
l
20
l
25
l
x + (m)
x  x 1  x0  10m  (25m)  10m  25m  15m
x  x 2  x10  5m  10m  15m
13
x  x 3  x2  20m  (5m)  20m  5m  15m
x  x 3  x0  20m  (25m)  20m  25m  45m
Todos estos desplazamientos tienen en común que:
o
Son mayores que cero, es decir son positivos.
o
El automóvil se está moviendo hacia la derecha.
o Que el signo asociado al desplazamiento es independiente de donde se calcule, si en el lado
negativo, en el lado positivo o, uno a la izquierda y el otro a la derecha del origen.
Segundo ejemplo: Auto moviéndose hacia la izquierda.
x-
l
-25
l
-20
x1 = 5 m
x 2 =-10 m
x 3 = -25 m
l
-15
l
-10
l
-5
l
0
l
5
x 0 = 20 m
l
10
l
15
l
20
l
25
l
x + (m)
x  x1  x0  5m  20m  15m
x  x 2  x1  10m  5m  15m
x  x 3  x2  25m  (10m)  25m  10m  15m
x  x 3  x1  25m  5m  30m
Todos estos desplazamientos tienen en común que:
o
Son menores que cero, es decir son negativos.
o
El automóvil se está moviendo hacia la izquierda.
o
Que el signo asociado al desplazamiento es independiente de donde se calcule, si en el lado
negativo, en el lado positivo o, uno a la izquierda y el otro a la derecha del origen.
Tercer ejemplo: Auto que regresa a su posición inicial.
x 1 = -5 m
x-
l
-25
l
-20
l
-15
l
-10
l
-5
l
0
x 0 = 20 m
l
5
l
10
l
15
l
20
x 2 = 20 m
l
25
l
x + (m)
x  x 2  x0  20m  20m  0m
Resumiendo los ejemplos tenemos que:
14
 x
+
Mov. derecha
-
Mov. izquierda
0
Regreso ó reposo
Por lo que los signos que encontremos en los desplazamientos nos indicarán hacia donde se está moviendo el
cuerpo.
2.2.3 DESPLAZAMIENTO Y DISTANCIA RECORRIDA
Toda vez que analizamos los desplazamientos, surge la pregunta:
¿El desplazamiento es igual a la distancia? ( x  d )
La respuesta es NO. Cuando hablamos de longitud, distancia, profundidad o altura, nos estamos refiriendo al
valor absoluto, norma o magnitud de una cantidad física. Nunca decimos estamos a una distancia de -10
metros; de aquí hasta allá hay una longitud de -20 metros; si estamos en el techo de un edificio, nunca
decimos que el edificio tiene una altura de -20 metros o una profundidad de -20 metros. Por lo general
decimos que estamos a 20 metros a la izquierda, a la derecha, arriba o debajo con respecto a un punto de
referencia que puede ser la ubicación de nosotros mismos.
En el caso de desplazamiento y distancia, ésta última se toma a partir de la primera de la siguiente forma:
d  x  x  x0  0
que es el valor absoluto del desplazamiento y por definición de valor absoluto, siempre obtendremos un
número positivo.
d  x  x  x0  0
que es la norma del desplazamiento; por definición también es positivo.
2.2.4 INSTANTES E INTERVALOS DE TIEMPO
El tiempo se mide en base a la observación de un fenómeno que ocurre en la naturaleza y que acontece en
períodos o intervalos regulares como por ejemplo, lo que tarda la tierra en darle una vuelta al sol; las
oscilaciones de un objeto que pende de un hilo, etc.
La forma más común y generalizada de medir el tiempo es en segundos, minutos, horas, días, etc. y para ello
utilizamos el reloj o el cronómetro. Un instante de tiempo es un evento que ocurre solamente una vez en la
vida, con esto queremos expresar que el tiempo no se regresa, de tal manera que un instante t1 siempre es
precedido por otro instante de tiempo t2.
15
Los intervalos de tiempo se calculan de forma similar a los desplazamientos, al instante final le restamos el
instante inicial, obteniendo el cambio en el tiempo o intervalo de tiempo. Por lo general el instante de tiempo
inicial se toma cuando se empieza a observar un fenómeno y ese instante lo relacionamos con t0 = ti= 0 s
Expresando los intervalos de tiempo en simbología matemática tenemos que:
t  t f  t i
t  t 2  t1
t  t  t 0
con la particularidad de que siempre los tiempos son positivos y que:
t f  ti
por lo que:
t  0
es decir, los intervalos de tiempo siempre serán positivos. Cuando al resolver un problema se encuentra un
tiempo negativo, debemos revisar nuestras operaciones ya que un tiempo negativo es una imposibilidad física
que significaría que el tiempo se está regresando, lo cual es imposible.
2.2.5 VELOCIDAD MEDIA
Cuando observamos un fenómeno que está ocurriendo en la naturaleza, se dan una serie de eventos que
ocurren simultáneamente, uno de ellos son las posiciones de un cuerpo y el otro es el tiempo asociado a tales
posiciones, de esta forma, podemos registrar en una tabla de datos las posiciones y los tiempos, dicha tabla
recibe el nombre de tabulación.
Ejemplifiquemos lo anterior con la observación de un automóvil que se desplaza en línea recta como se
muestra en la siguiente figura.
t 1= 3 s
t 0= 0 s
-
x
l
-20
l
l
l
0
20
40
l
60
t 2= 6 s
t 4 = 12 s
t 3= 9 s
l
l
l
l
l
l
80
100
120
140
160
180
l
200
l
l
220
+
240 x (m)
Extrayendo los datos de posición y tiempo formamos la siguiente tabulación:
x (m)
0
60
120
180
240
t (s)
0
3
6
9
12
16
En la figura, se puede apreciar cualitativamente que el automóvil cambia de posición de una manera
uniforme, dicho de otra forma, las distancias de separación entre las posiciones observadas son iguales,
adicionalmente, los intervalos de tiempo se tomaron de una manera regular (a intervalos de tiempo de 3 s).
En base a la tabulación y utilizando la definición de desplazamiento, podemos realizar operaciones sencillas
para apreciar cuantitativamente como son los cambios de posición.
x  x f  x i
siendo estos:
x  60m  0m  60m
x  120m  60m  60m
x  180m  120m  60m
x  240m  180m  60m
en intervalos de tiempo
t  3s
Como se puede apreciar, el automóvil recorre 60 metros cada 3 segundos. Sin embargo, la tabulación no nos
indica:
o
La rapidez con que son efectuados los cambios de posición.
o
La posición del cuerpo entre un intervalo de tiempo observado.
o Lo que sucederá posteriormente a la observación en caso de que el cuerpo continuara
moviéndose de la misma manera.
Todo esto se puede resolver fácilmente si recordamos que toda tabulación puede ser llevada a una gráfica, y
que mediante el análisis gráfico podemos extraer mucha información como:
o
La posición inicial del auto.
o
La posición final del auto.
o
La posición del auto en cualquier instante de tiempo que esté en el rango de nuestra observación
(interpolación).
o
La posición del auto en cualquier instante de tiempo que no esté en el rango de nuestra
observación (extrapolación).
o
La rapidez con que se efectúan los cambios de posición.
o
La dirección en la que ocurre el movimiento.
17
o
La ecuación de movimiento que rige el fenómeno observado.
Luego entonces, debemos llevar la tabulación a su respectiva gráfica, pero antes debemos recordar como se
realiza.
2.2.6 GRÁFICA DE FUNCIONES LINEALES
1.
La gráfica se realiza en el plano cartesiano que consta de dos ejes mutuamente perpendiculares, uno
horizontal y el otro vertical.
2.
En el eje horizontal se destina a la variable independiente.
3.
El eje vertical a la variable dependiente.
4.
Se elige una escala adecuada para cada eje (de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3, etc.). No necesariamente
tienen que tener la misma escala, por ejemplo, el horizontal puede estar de 3 en 3 y el vertical de 20
en 20.
5.
En los extremos de los ejes se coloca una punta de flecha y debajo de ella, con un símbolo o letra se
indica la variable seguida de un paréntesis dentro del cual se coloca la unidad de la variable
observada (m, s, etc.) según sea el caso.
6.
Se adopta una convención de signos, la universalmente aceptada es positivos a la derecha y negativos
hacia la izquierda para el eje horizontal. Positivos hacia arriba y negativos hacia abajo para el
vertical.
7.
Preferentemente se debe utilizar papel milimétrico.
8.
Las escalas deben ser tales que la gráfica sea proporcional en ambos ejes y que los puntos que en ella
marquemos no se encuentren ni muy pegados ni muy distanciados.
9.
La escala debe de ser en números enteros. (no marcar puntos intermedios entre
los valores
convenidos)
10. Si usamos toda la hoja para una sola gráfica, esta debe de estar aproximadamente en las 3/4 partes de
la hoja, colocando de preferencia en ella la tabulación. En caso de utilizar la hoja para dos o mas
gráficas, se debe de guardar la proporción anterior.
Con las indicaciones anteriores, procedamos a realizar la gráfica de nuestra tabulación.
El primer problema que se nos presenta es designar los ejes. En nuestro caso, la variable independiente es el
tiempo y la dependiente la posición (La posición de un cuerpo depende del instante de tiempo y no a la
inversa, es decir, que el tiempo dependa de la posición; recordemos que el tiempo sigue avanzando
independientemente de que el cuerpo cambie de posición o no.)
Al marcar en la gráfica el conjunto de parejas coordenadas ( t , x ), observamos que estos se encuentran
alineados sobre una línea recta, procediendo en consecuencia a unirlos mediante una recta.
18
x+( m )
240
o
210
180
o
150
120
o
90
o
60
30
o
l
l
l
l
0
3
6
9
12
t(seg)
0
x (mts.) 0
3
60
6
9
t (seg.)
12
120 180 240
Esa línea recta, no es la trayectoria que siguió el automóvil, el automóvil no va subiendo, si bien es cierto que
se mueve sobre una línea recta, la gráfica representa la historia del movimiento.
Al leer la gráfica, directamente podemos extraer cierta información como por ejemplo:
o
La posición inicial (x0 = 0 m).
o
La posición final (x = 240m )
o
El desplazamiento ( x
o
Consecuentemente la distancia recorrida (d = 240 m)
 x  x0  240m  0m  240m )
o El tiempo que duró la observación del movimiento (t = 12 seg)
Para extraer información adicional, es necesario tener los conocimientos matemáticos inherentes a la línea
recta. Los principales son:
o
La expresión o ecuación matemática de una función lineal:
y  b  mx
o
La identificación de las variables involucradas:
y es la variable dependiente (eje vertical).
x es la variable independiente (eje horizontal).
b es la intersección de la recta con el eje vertical.
m es la pendiente o grado de inclinación de la recta con respecto al eje horizontal
o
La fórmula para determinar la pendiente:
m  tan  
y 2  y1 y

x2  x1 x
en la cual está implícito el conocimiento que se debe tener sobre la función trigonométrica
tangente del ángulo definida por:
tan  
cateto opuesto
cateto adyacente
19
o
Y por último la conversión o cambio de las variables utilizadas en matemáticas a las variables
que utilizamos en física. La ecuación de la recta en nuestra simbología es:
x  b  mt
donde:
b viene siendo nuevamente la intersección con el eje vertical.
El significado físico de esta variable es que es la posición inicial x0
b = x0
m es la pendiente:
m  tan  
x  x1 x
cateto opuesto
 2

cateto adyacente t 2  t1
t
Para conocer su significado físico tenemos que calcularla, lo que involucra otra serie de conocimientos de
matemáticas como por ejemplo:
1.
Auxiliarnos de la recta en la gráfica y elegir un triángulo rectángulo.
2.
Identificar el cateto opuesto (el que se encuentra en el lado opuesto al ángulo).
3.
Identificar el cateto adyacente (el que se encuentra junto al ángulo).
4.
Elegir los valores de los parámetros o variables con sus unidades respectivas.
En la siguiente gráfica se observa lo anteriormente vertido.
Aplicando la definición de pendiente tenemos que:
240
x+ (m)
o
210
o
180
150
90
o
60
30
o
0
m
cateto opuesto
x = x - x0
o
120


cateto adyacente
t = t - t 0
l
l
l
3
6
9
l
12 t (s)
x x3  x1 180m  60m 120m
m



 20
t
t 3  t1
9seg  3seg 6seg
seg
20
Las unidades encontradas nos indican que el automóvil está cambiando de posición a razón de 20 metros cada
segundo, es decir nos da una idea de la rapidez con que se efectúan dichos cambios de posición al transcurrir
el tiempo. Ese es el significado físico de la pendiente de una recta en una gráfica de posición contra tiempo (x
vs. t).
Más que rapidez, el concepto involucrado es el de velocidad media y se define como la pendiente de la recta
en la gráfica de x vs. t ; luego entonces:
velocidad media  v  vm 
x x  x0

t
t  t0
y como la pendiente de la recta es la misma, consecuentemente la velocidad media también lo será. Esto lo
expresamos como:
v  ctte.
y en el caso particular de que la velocidad media sea una constante, es decir que no cambie su valor, la
velocidad media se dice que es igual a la velocidad uniforme.
velocidad uniforme  v  v  vm 
x x  x0

t
t  t0
Toda vez que tenemos la información anterior, retomemos nuevamente la ecuación de la recta:
x  b  mt
sustituyendo las variables tenemos que:
x  x0  vt
y sustituyendo los valores numéricos encontrados de x0 y v
x  20t
que representa la ecuación de movimiento del automóvil con sus valores numéricos.
La ecuación de movimiento, expresada en una forma más general surge a partir de la definición de velocidad
uniforme.
v
x  x0
t  t0
despejando x - x0 :
x  x0  v(t  t 0 )
pasando x0 hacia la derecha encontramos la:
21
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (v = ctte.)
x  x0  v(t  t 0 )
que nos proporciona la posición del cuerpo en cualquier instante de tiempo.
Por ejemplo:
(interpolación) la posición en t = 5 s
x  20
m
(5s )  100m
s
(extrapolación) la posición en t = 23.7 s
x  20
m
(23.75s )  474m
s
Aquí es donde se aprecia la utilidad de manejar ecuaciones, ya que para tiempos muy grandes tendríamos que
seguir observando el movimiento lo cual resulta imposible en distancias grandes. Una de las ventajas de tener
la gráfica, es que podemos localizar la posición de la partícula o cuerpo con cierta aproximación y dentro de
los valores contenidos en ella, pero el uso de la ecuación nos la proporciona con exactitud.
Con los conceptos abordados pero de una forma más sintetizada, veamos un nuevo ejemplo del movimiento
de un cuerpo que igualmente se mueve sobre una línea recta horizontal con velocidad uniforme.
t 1 = 1 hr
t 0 = 0 hrs
x-
l
l
l
l
l
-20
0
20
40
60
l
80
l
100
t 3 = 3 hrs
t 2 = 2 hrs
l
120
l
140
l
160
l
180
l
200
l
220
l
x + (km)
Tabulación:
t (hr)
0
1
2
3
x (km)
40
100
160
220
Gráfica:
22
x (km)
240
x
220
200
180
x
160
140
120
80

60
40
 x = 120 m
x
100
x
t = 2 hr
20
2
1
0
3
t (hr)
Velocidad:
v
x 120km
km

 60
t
2hr
hr
Ecuación de movimiento:
x  40  60t
EJERCICIO DE PRÁCTICA PARA EL ALUMNO
Encuentre la ecuación de movimiento con sus valores numéricos del siguiente ejemplo:
l
x-
- 20
l
- 15
l
- 10
t = 8 seg
t = 6 seg
t = 4seg
t = 2 seg
t 0 = 0 seg
t = 10 seg
l
l
l
l
l
l
l
l
l
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
l
l
+
40 x (m)
Toda vez que han sido asimilados los conocimientos anteriores, analicemos el movimiento de un automóvil,
desde el mismo sistema de referencia (con la misma convención de signos: positivos a la derecha y negativos
hacia la izquierda) pero moviéndose hacia la izquierda. Con esas condiciones, se analizan los siguientes casos:
o
Moviéndose hacia la izquierda y partiendo del origen.
23
Moviéndose hacia la izquierda y partiendo de una posición que se encuentra a la izquierda del
o
origen.
o Moviéndose hacia la izquierda y partiendo de una posición que se encuentra a la derecha del
origen.
A fin de abreviar un poco, los dos primeros casos se dejan como EJERCICIO al estudiante. Aquí
t = el
2 smismo procedimiento
t =se6 recomienda
s
t = 4que
s se siga
t = 10el
s tercer caso,
t = 8por
s lo que
t 0= 0 s
resolveremos
para los dos
anteriores.
x-
l
l
- 20
- 15
l
- 10
l
l
-5
0
l
l
5
l
10
l
15
l
20
l
25
l
30
l
35
l
+
40 x (m)
Reacuérdese que si un cuerpo se mueve hacia la izquierda el desplazamiento es negativo.
Tabulación:
t (s)
0
2
4
6
8
10
x (m)
30
20
10
0
-10
-20
Gráfica:
50 x (mts.)
40
30
20
10
0
o
cateto adyacente
l
o
l
l
2
4
6
8
-10
-20
-30
o

10
t (seg)
cateto
opuesto
o
o
-40
-50
Como se podrá observar, la diferencia entre esta gráfica y las anteriores es que la recta se encuentra inclinada
hacia abajo y que el ángulo se mide en sentido de las manecillas del reloj (en sentido contrario a como se
midió en las gráficas anteriores).
24
La pendiente de la recta se determina con la misma ecuación utilizada anteriormente, es decir:
m  tan  
cat. op. x x5  x2  20m  10m  30m
m




 5
cat. ady. t
t5  t 2
10s  4s
6s
s
En estos casos, la pendiente de la recta es negativa, tiene el mismo significado físico, es decir nos proporciona
la velocidad del cuerpo, el signo negativo asociado nos indica que el cuerpo se está moviendo hacia la
izquierda.
La descripción del movimiento del automóvil, expresado en palabras diríamos que: "El cuerpo se mueve hacia
la izquierda con una rapidez de 5 m/s, recorre una distancia de 50 metros en un tiempo de 10 s., iniciando su
recorrido en una posición ubicada a 20 metros a la derecha del origen".
La ecuación de movimiento es:
x  30  5t
2.2.7 VELOCIDAD Y RAPIDEZ
Cuando nos trasladamos de un lugar a otro, generalmente decimos que fuimos a 80 km/h y que regresamos a
70 km/h. Nunca decimos que el viaje de ida lo realizamos a 80 km/h y el regreso a -70 km/h. En nuestra vida
cotidiana la palabra velocidad la usamos indebidamente. Cuando queremos expresar el desplazamiento con
respecto al tiempo, siempre nos referimos a la magnitud o valor absoluto de la velocidad, lo correcto es
emplear la palabra rapidez, en todo caso, el signo asociado con la velocidad esta implícito en las expresiones
"fuimos", "regresamos", "vamos" o "venimos".
La rapidez se define como el valor absoluto o magnitud de la velocidad.
rapidéz  velocidad  v  0
Para clarificar la diferencia que existe entre rapidez y velocidad, éste último concepto se analizará en
secciones posteriores desde otro punto de vista (el de vectores).
Para culminar esta sección, analicemos el movimiento de un cuerpo que cambia continuamente de dirección,
primero hacia la derecha, después hacia la izquierda y nuevamente hacia la derecha. Para ilustrar el
movimiento y evitar que los cuerpos se empalmen, los dibujos han sido desplazados, recordando en todo
momento que el movimiento se efectúa sobre una misma carretera horizontal y en todo caso, para seguir el
movimiento debemos observar la secuencia en el tiempo.
25
t 0= 0 s
l
x
-
0
t 2= 6 s
t 1= 3 s
l
l
l
l
l
l
l
20
40
60
80
100
120
140
t 7 = 21 s
x
-
t 3= 9 s
l
l
160
l
l
l
l
l
l
l
l
20
40
60
80
100
120
140
l
l
20
l
200
l
220
l
+
240 x(m)
5
0
0
l
180
t = 15 s
t 6 = 18 s
l
l
160
l
180
l
200
l
220
t 9 = 27 s
t 8 = 24 s
x-
t 4 = 12 s
l
l
l
l
l
l
l
40
60
80
100
120
140
160
l
180
l
240 x(m)
+
t 10= 30 s
l
l
200
l
220
l
+
240 x(m)
De la observación del movimiento extraemos la siguiente:
Tabulación:
t (s)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
x (m)
0
60
120
180
240
180
120
60
120
180
240
Gráfica:
Análisis gráfico:
26
Como en su movimiento el cuerpo cambia continuamente de dirección, el análisis lo debemos realizar por
secciones, en su viaje de ida, en su regreso y nuevamente en su ida.
i)
Primera sección.- De t = 0 s hasta t = 12 s.
Calculemos la pendiente (velocidad) de la recta auxiliándonos del desplazamiento que vine dado por los
cambios de posición entre x 0 = 0 m y x 4 = 240 m con sus respectivos tiempos t 0 = 0 s y t 4 = 12 s
v
x x4  x0 240m  0m
m


 20
t
t4  t0
12s  0s
s
La ecuación de movimiento para ésta primera sección es:
x  x0  v(t  t 0 )
y con sus valores numéricos donde x0 = 0 y t0 = 0
x  20t
Nótese el uso en el manejo de los subíndices para diferenciar posiciones y tiempos y expresar la ecuación de
movimiento en su forma más general. Aquí no se aprecia el conveniente uso de tales subíndices, esto lo
notaremos a continuación al resolver la siguiente sección.
ii)
Segunda sección.- De t4 = 12 s hasta t7 = 21 s
Calculemos ésta nueva pendiente (velocidad) auxiliándonos del desplazamiento que vine dado por los
cambios de posición entre x4 = 240 m y x7 = 60 m y sus respectivos tiempos t4 = 12 s y t7 = 21 s
v
x x7  x4

t
t7  t4
Antes de sustituir datos, despejemos x7 que representa la posición final, para ver cual es la expresión general
de esta recta.
Despejando:
v(t 7  t 4 )  x7  x4
Pasando x4 hacia el lado izquierdo y reorganizando los términos, encontramos la expresión general de esta
recta donde x4 =240 m es la posición inicial y t4 = 12 s es el tiempo inicial.
x7  x4  v(t 7  t 4 )
Recordemos esta expresión en el momento de encontrar la ecuación de movimiento del auto con sus valores
numéricos.
Regresando nuevamente para encontrar la velocidad
27
v
x x7  x4 60m  240m  180m
m



 20
t
t7  t4
21s  12s
9s
s
La ecuación de movimiento con sus valores numéricos es:
x  240  20(t  12)
iii)
para 12  t  21
Sección.- De t7 = 21 s hasta t10 = 30 s
Calculemos ésta última pendiente (velocidad) auxiliándonos del desplazamiento que vine dado por los
cambios de posición entre x7 = 60 m y x10 = 240 m y sus respectivos tiempos t7 = 21 s. y t10 = 30 s
v
x x10  x7 240m  60m 180m
m



 20
t
t10  t 7
30s  21s
9s
s
y su ecuación de movimiento es:
x  60  20(t  21)
para 21  t  30
Recuerde que una gráfica es como una fotografía, de ella podemos extraer mucha información sobre el
comportamiento o descripción del movimiento de un cuerpo. Es decir, en lugar de observar el movimiento,
extraer los datos para la tabulación y realizar la gráfica como lo hemos venido realizando, Usted ya se
encuentra capacitado para que a partir del análisis de una gráfica extraiga toda la información que le sea
posible y describa el movimiento de un cuerpo que se mueve sobre una línea recta horizontal con velocidad
uniforme.
28
PROBLEMARIO DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
(v = CONSTANTE)
Ecuaciones de movimiento
x  x0  vt
cuando el cuerpo se regresa y hay que darle tratamiento por secciones, se recomienda usar:
x  x0  v(t  t 0 )
en ambos casos la velocidad viene dada por:
vv
x
es la posición final
x0
es la posición inicial
v
es la velocidad uniforme
v
es la velocidad media
t
es el tiempo final
t0
es el tiempo inicial (generalmente igual a cero)
x  x0
t  t0
1.- La luz se mueve con velocidad de 300 000 Km/s ¿Cuanto tarda un rayo de luz en ir del Sol a la Tierra si la
distancia es de 150 millones de Km..?
2.- La velocidad del sonido es de 340 m/s, y la de la luz 300 000 km/s Un relámpago se produce en un punto
situado a 100 Km. de un observador. ¿Que registra primero el observador? ¿El sonido o la luz? ¿Con que
diferencia de tiempos?
3.- Un autobús hace un recorrido entre dos ciudades que distan 60 Km. una de otra. En los primeros 40 Km.
desarrolla una velocidad de 80 Km/hr sobre una carretera asfaltada. En los restantes, la carretera es de
terracería y solo consigue desarrollar 20 Km/hr.
a) ¿Cuál es el tiempo total del viaje?
b) ¿Cuál es la velocidad media del autobús en el recorrido total del viaje?
4.- Dos trenes A y B salen en la misma dirección al mismo tiempo de dos estaciones A y B que distan 100
Km. El tren que sale de A desarrolla una velocidad vA = 100 Km/h y el tren B una velocidad vB = 80 Km/hr. El
tren A alcanzará al tren B por ir más rápido. ¿Cuanto tiempo tarda en alcanzarlo y, a que distancia de la
estación B ocurre el alcance?
29
5.- Dos trenes se aproximan uno al otro por la misma vía y sus maquinistas van dormidos en los controles.
Cuando un transeúnte parado en la orilla de la vía los observa por primera vez, se encuentran separados por
una distancia de 500 m. Uno va con una velocidad de 30 m/s en tanto que el otro con una de 20 m/s
a) ¿De cuanto tiempo disponen los maquinistas antes de despertar?
b) Realice una gráfica de x vs. T
6.- Encontrar las velocidades de dos objetos que se mueven con velocidades constantes, si cuando sus
sentidos son contrarios se aproximan 5 m cada segundo y cuando tienen el mismo sentido se aproximan 5 m
cada 10 s
7.- En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento de una partícula en movimiento.
a) Describa el movimiento de la partícula.
b) Exprese la ecuación de movimiento con sus valores numéricos.
x
12
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
(cm)
2
4
6
8
10
t
(s)
8.- Aplicando los conocimientos teóricos abordados en el tema de movimiento rectilíneo uniforme, analice y
extraiga toda la información que le sea posible de la siguiente gráfica que representa la historia del
movimiento de un cuerpo.
Por ejemplo:
a) La distancia recorrida por el cuerpo en los siguientes intervalos de tiempo:
0a2s
2a5s
5a7s
30
b) La distancia cubierta por el cuerpo en el intervalo de tiempo de 0 a 7 s
c) La velocidad media o uniforme en cada uno de esos intervalos de tiempo.
d) La dirección del movimiento en esos mismos intervalos.
e) Las ecuaciones de movimiento en cada intervalo de tiempo (teniendo cuidado en el intervalo de 0
a 7 s donde se supone que el cuerpo se mueve desde la posición marcada con el punto A hasta la
posición marcada con el punto D, uniendo dichos puntos mediante una recta).
x
(m)
50
40
B
C
30
20
10
A
D
1
2
3
4
5
6
7
t (S)
9.- Analice la siguiente gráfica y calcule la distancia recorrida por el cuerpo.
V
(cm/s.)
4
-
3
-
2
-
1
-
-1
-
-2
-
-3
-
l
l
l
l
l
l
1
2
3
4
5
6
t (s)
10.- Sobre una carretera recta, un cuerpo A moviéndose con velocidad constante, se encuentra en t = 0 s en el
origen; y en el tiempo t = 1 s en la posición x = 1 m.
Sobre la misma carretera, otro cuerpo B también moviéndose con velocidad constante, se encuentra en t = 0 s
en x = 5 m y en el tiempo t = 1 . en x = 3 m.
a) ¿En que instantes la distancia entre los dos cuerpos es de 1 m?
b ) Describa el movimiento de ambos cuerpos.
31
11.- Las ecuaciones de movimiento de dos cuerpos son:
x=t-5
x=-t+5
A partir de las ecuaciones conteste las siguientes preguntas:
A que tipo de movimiento corresponde?
¿Cuales son las posiciones iniciales de ambos cuerpos?
¿Cuales son sus velocidades?
¿Hacia donde se mueve cada cuerpo? (sentido)
¿En que instante se encuentran los dos cuerpos?
¿Que distancia recorre cada cuerpo hasta que se encuentran?
Realice una gráfica x vs. t.
12.- De la siguiente gráfica de x vs. t deducir la correspondiente de v vs. t.
x
(m)
2
1
1
2
3
4
5
6
t (s)
-1
La gráfica debe de hacerse por intervalos de tiempo.
De 0 - 1 s ¿que valor tiene la velocidad?
De 1 - 2 s
De 2 - 3 s
y así sucesivamente.
32
2.3 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
2.3.1 VELOCIDAD INSTANTÁNEA
En esta sección, al igual que en la anterior, nuestro problema será realizar la descripción completa del
movimiento de un cuerpo, pero avanzaremos en el curso aumentando el grado de complejidad, de tal forma
que analizaremos el movimiento de un cuerpo que se mueve en línea recta pero cuya velocidad ya no es
uniforme, es decir que aumenta paulatinamente su velocidad.
Por ejemplo, un automóvil que inicialmente estaba en reposo e inicia su marcha.
Si observásemos el velocímetro, detectaríamos que la aguja está cambiando constantemente de posición al
transcurrir el tiempo, estos cambios que notamos en el velocímetro pueden ser de dos tipos:
o
Cuando cambian de una manera uniforme y
o Cuando cambian de una manera no uniforme.
Nos abocaremos a la primera situación, para ello, suponga que al observar el movimiento de un auto
registramos las posiciones y los respectivos tiempos que tardó en estar en dichas posiciones.
t0 t1 t 2
x0 x1 x2
x-
t3
x3
t5
x5
t4
x4
t
7
x7
t6
x6
l
l
l
l
l
l
l
l
0
20
40
60
80
100
120
140
l
160
l
l
l
180
200
220
l
l
240
x (mts.)
+
Tabulación:
t (s)
0
2
4
6
8
10
12
14
x (mts)
0
4.62
18.51
41.65
74.07
115.74
166.66
226.85
Antes de graficar, analicemos la información extraída de la observación del movimiento.
Los intervalos de tiempo:
t  t1  t 0  t 2  t1  t 3  t 2    t 7  t 6  2s  ctte.
son uniformes.
Los desplazamientos:
x  x1  x0  4.62m  0m  4.62m
x  x2  x1  18.51m  4.62m  13.89m
33
x  x3  x2  41.65m  18.81m  23.14m
x  x4  x3  74.07m  41.65m  32.41m
x  x5  x4  115.74m  74.07m  41.67m
x  x6  x5  166.66m  115.74m  50.92m
x  x7  x6  226.85m  115.74m  60.19m
como se puede observar, los cambios de posición son diferentes, es decir el movimiento es rectilíneo no
uniforme (recorre distancias diferentes en iguales intervalos de tiempo).
Ahora realicemos la gráfica correspondiente de x vs. t
240
x (m)
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
l
2
l
4
l
6
l
8
l
10
l
12
14
t (s)
En base a los conocimientos adquiridos de velocidad media analicemos la gráfica. Para ello, calculemos las
diferentes velocidades medias tomando como referencia la posición inicial del cuerpo, esto es: x0 = 0 en t0 = 0
De 0 a 2 s
v
x1  x0 4.62m  0m
m

 2.31
t1  t 0
2s  0s
s
De 0 a 4 s
v
x2  x0 18.51m  0m
m

 4.62
t2  t0
4s  0s
s
34
De 0 a 6 s
v
x3  x0 41.65m  0m
m

 6.94
t3  t0
6s  0s
s
De 0 a 8 s
v
x4  x0 74.07m  0m
m

 9.25
t4  t0
8s  0s
s
De 0 a 10 s
v
x5  x0 115.74m  0m
m

 11.57
t5  t0
10s  0s
s
De 0 a 12 s
v
x6  x0 166.66m  0m
m

 13.88
t6  t0
12s  0s
s
De 0 a 14 s
v
x7  x0 226.85m  0m
m

 16.20
t7  t0
14s  0s
s
Encontramos que la velocidad media está cambiando con lo cual reafirmamos lo anteriormente vertido de
que el movimiento no es uniforme por no existir una velocidad media constante.
En la gráfica anterior, las velocidades medias representan la pendiente de la recta secante a la curva en los
intervalos de tiempo considerados y sus respectivas posiciones. Luego entonces, el concepto de velocidad
media nos proporciona información del movimiento del cuerpo solo cuando éste es rectilíneo uniforme y en
una sola dirección.
Para suplir la falta de información, debemos generar un nuevo concepto de velocidad: el de velocidad
instantánea. Para ello, retomemos nuevamente la gráfica anterior y elijamos un instante de tiempo cualquiera
y sigamos los siguientes desarrollos:
1.
Calculemos la pendiente de la recta secante entre el punto elegido y el último punto registrado.
2.
Tomemos un instante de tiempo anterior al último instante registrado y calculemos nuevamente la
pendiente de la recta secante.
3.
Sigamos con el mismo desarrollo de tomar intervalos de tiempo cada vez menores y de calcular la
pendiente de las rectas secantes.
35
4.
Comparemos como son los intervalos de tiempo y las velocidades medias (pendientes de las
secantes) encontradas.
5.
Sigamos con el mismo desarrollo, considerando intervalos de tiempo cada vez más pequeños hasta
que estos tiendan a cero (sin hacerse cero) y saquemos conclusiones del procedimiento.
x (m)
*
220
200
m
180
*
160
140
m
Rectas secantes
120
*
100
m = pendientes de
las rectas
secantes
m
80
*
60
m
40
*
20
punto elegido como referencia
*
*
0
*l
2
l
4
l
6
l
8
l
10
l
12
14
t (s)
Realicemos los cálculos de las velocidades medias representadas por las pendientes de las rectas secantes.
La primera pendiente que involucra a t = 14 s, x = 226.85 m y t = 6 s, x = 41.66 m es:
m1  v1 
x 226.85m  41.65m 185.19m
m


 23.15
t
14s  6s
8s
s
la segunda:
m2  v 2 
x 166.66m  41.65m 125.19m
m


 20.833
t
12s  6s
6s
s
m3  v 3 
x 115.74m  41.65m 74.08m
m


 20.833
t
10s  6s
4s
s
m4  v 4 
x 74.07m  41.65m 32.418m
m


 16.209
t
8s  6 s
2s
s
Comparando podemos afirmar que las velocidades medias se van haciendo menores a medida que el intervalo
de tiempo se reduce. En símbolos:
v 4  v 3  v 2  v1
y que:
36
t1  t 2  t 3  t 4
Como en nuestra observación del movimiento ya no hay mas datos entre los instantes de tiempo t = 6 s y t = 8
s y como necesitamos mas valores de las pendientes de las rectas secantes entre estos tiempos, los tomaremos
de la gráfica mediante interpolación, siendo estos datos mas o menos aproximados (Lo ideal hubiese sido que
dichas lecturas las tomáramos de la observación o bien realizar una ampliación de la gráfica alrededor del
instante de tiempo elegido).
Mediante interpolación, recogemos los siguientes datos de posición y tiempo:
t (s)
x (m)
7
6.5
6.25
6.13
6.06
6.03
56.69
48.88
45.19
43.4
42.52
42.08
Seguimos con el procedimiento de calcular las velocidades medias, siendo éstas:
v5 
56.69m  41.65m 15.03m
m

 15.03
7 s  6s
1s
s
v6 
48.88m  41.65m 7.228m
m

 14.456
6.5s  6s
0.5s
s
v7 
45.19m  41.65m 3.538m
m

 14.152
6.25s  6s
0.25s
s
v8 
43.40m  41.65m 1.748m
m

 13.984
6.125s  6s
0.125s
s
v9 
42.52m  41.65m 0.868m
m

 13.888
6.0625s  6s
0.0625s
s
v10 
42.084m  41.65m
0.434m
m

 13.888
6.03125s  6s
0.03125s
s
Analicemos nuevamente el comportamiento de las velocidades medias y los intervalos de tiempo.
Las velocidades medias se van haciendo cada vez menores pero tienden a un valor único, este valor es de
13.888 m/s; esto sucede cuando el intervalo de tiempo se hace muy pequeño, o dicho en términos
matemáticos, en el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. En estas condiciones, estamos
trabajando prácticamente en el instante de tiempo t = 6 s cuando el auto está en la posición x = 41.65 m.
Consecuentemente, a la velocidad media así calculada se le conoce con el nombre de velocidad instantánea
(velocidad en un instante de tiempo).
En la gráfica, al estar calculando velocidades medias en base a las secantes a la curva, en el límite cuando el
intervalo de tiempo tiende a cero, prácticamente estamos trabajando en una porción de la curva que podemos
37
considerar una recta, la cual si la prolongamos hacia los extremos, se convierte en tangente a la curva en
dicho punto.
Luego entonces, tenemos una forma de calcular las velocidades instantáneas en una gráfica de x vs. t para lo
cual únicamente tenemos que encontrar el valor de la tangente (mejor conocida como pendiente) a la curva en
el instante de tiempo en que deseamos conocerla.
En términos matemáticos, lo anteriormente expresado en palabras se resume a:
x  x0 dx
x
 lim

 t 0 t
 t 0 t  t
dt
0
velocidad ins tantánea  v  lim v  lim
 t 0
donde el término
lim se lee: "Límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero" y:
t 0
dx
se lee: "La derivada de la posición con respecto a la derivada del tiempo".
dt
De esta forma, el significado de la derivada no es otra cosa más que la tangente a la curva en un punto. En
nuestro caso, la derivada de la posición con respecto al tiempo nos da la velocidad en un instante de tiempo.
Como ejemplo calculemos las velocidades instantáneas en los instantes de tiempo t = 0, 4, 8, y 12 s dejando al
lector los cálculos para los instantes t = 2, 6, 10 y 14 s. Dichos valores posteriormente los calcularemos
mediante el método de interpolación.
38
2.3.2 ACELERACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
Los valores calculados para la velocidad en los instantes de tiempo predeterminados, pueden ser llevados a
una tabulación de velocidad contra tiempo siendo ésta:
t (s)
0
4
8
12
v (m/s)
0
9.2
18.7
27.7
Antes de graficar, debemos hacer la aclaración de que todas las pendientes y consecuentemente las
velocidades son positivas, persistiendo lo visto en el movimiento rectilíneo uniforme de que el signo de la
velocidad está asociado con la dirección de movimiento, lo cual confronta con nuestra observación del
movimiento del auto, que se dirige hacia la derecha.
Como se puede apreciar, los puntos en la gráfica de v vs. t están alineados sobre una línea recta.
Una vez trazada la recta, mediante interpolación podemos calcular la velocidad del auto en cualquier instante
de tiempo, así por ejemplo, a los 2 segundos su velocidad era de 4.6 m /s; a los 6 segundos de 13.9 m / s; a los
10 segundos de 23.1 m/s, lo cual se puede apreciar en la siguiente gráfica.
Mediante extrapolación, prolongamos la recta y encontramos que a los 14 segundos su velocidad era de 32.3
m/s.
39
Como ya vimos en la sección anterior, la velocidad del auto está cambiando de instante a instante. De la
misma forma que nos preguntamos en el movimiento rectilíneo uniforme sobre la rapidez con que se
efectuaban los cambios de posición, ahora nos preguntaremos:
¿Con que rapidez se efectúan los cambios de velocidad?
Con todos los datos de velocidad obtenidos, analicemos como son los cambios de velocidad, es decir:
Calculemos:
v  v  v0
v  v 2  v1  9.2
m
m
m
 4.6  4.6
s
s
s
v  v3  v 2  13.9
m
m
m
 9.2  4.7
s
s
s
v  v 4  v3  18.7
m
m
m
 13.9  4.8
s
s
s
v  v5  v 4  23.1
m
m
m
 18.7  4.6
s
s
s
v  v6  v5  27.7
m
m
m
 23.1  4.6
s
s
s
v  v7  v6  32.3
m
m
m
 27.7  4.6
s
s
s
En promedio, salvo pequeñas diferencias (debido a la forma en que se midieron las velocidades), los cambios
de velocidad son uniformes, teniendo una variación de:
v  4.6
m
cada dos segundos
s
o bien:
v  2 .3
m
cada segundo
s
Al cociente entre el cambio de velocidad y el tiempo se le da el nombre de aceleración media.
aceleració n media  a 
v v  v0

t t  t 0
cuyas unidades son:
40
m m
s  s  m
s
s
s2
1
En el caso particular en que la aceleración media es una constante, al movimiento se le denomina movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado; y como la aceleración es una constante, consecuentemente, en cualquier
instante de tiempo tiene el mismo valor por lo que la aceleración media es igual a la aceleración instantánea.
v  v0 dv
v
 lim

 t 0 t
 t 0 t  t
dt
0
aceleració n instantánea  a  lim a  lim
 t 0
2.3.3 CÁLCULO DE LA ACELERACIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA DE v vs. T
Teniendo la gráfica de v vs. t, podemos calcular la aceleración que experimenta un cuerpo. Como ejemplo,
retomemos nuevamente la gráfica anterior y calculemos la pendiente de la recta.
m  tan  
v v  v0


t t  t 0
m
m
 9.2
s
s  2.31 m
12s  4s
s
27.7
v ( m / s)
30
25
20
v = v - v 0
15

10
t = t - t 0
5
0
l
2
l
4
l
6
l
8
l
l
l
10
12
14
t (s)
Luego entonces, por definición de aceleración, en una gráfica de v vs. t la pendiente de la recta nos
proporciona la aceleración.
La ecuación de la recta es de la forma:
v  b  mt
donde:
41
b es la intersección de la recta con el eje vertical y representa a la velocidad inicial v0 (en t0 = 0 ).
m es la pendiente de la recta y representa a la aceleración a.
Consecuentemente, la ecuación de la recta es:
v  v0  at
y con sus valores numéricos:
v  2.31t
2.3.4 ECUACIONES DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Una de las ecuaciones de movimiento es la encontrada anteriormente, es decir:
v  v0  at
Para encontrar la siguiente, supongamos que únicamente se nos dan dos velocidades: la inicial y la final.
La velocidad media o promedio vine dada por la media aritmética o sea:
v
v  v0
2
Sustituyendo en la ecuación de movimiento uniforme tenemos que:
 v  v0 
x  x0  vt  x0  
t
 2 
x  x0 
1
v  v0 t
2
De la primera ecuación despejamos el tiempo quedándonos:
t
v  v0
a
Sustituyendo en la segunda ecuación:
x  x0 
1
v  v0  v  v0 
2
 a 
sacando a la aceleración del paréntesis:
x  x0 
1
v  v0 v  v0 
2a
42
Despejando los términos entre paréntesis:
v  v0 v  v0   2ax  x0 
Aplicando los conocimientos de matemáticas referentes a la diferencia de cuadrados:
a  ba  b  a 2  b 2
tenemos nuestra tercera ecuación:
v 2  v02  2ax  x0 
La última ecuación la encontramos sustituyendo la velocidad final de la primera ecuación en la segunda
ecuación encontrada.
x  x0 
1
v0  at  v0 t
2
desarrollando
x  x0 

1
2v0 t  at 2
2
x  x0  v0 t 

1 2
at
2
2.3.5 RESUMEN DE ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Para resolver cualquier problema de movimiento rectilíneo uniforme o uniformemente acelerado, únicamente
se requieren las siguientes ecuaciones:
x  x0  v0 t 
x  x0 
1 2
at
2
1
v  v0 t
2
v  v0  at
v 2  v02  2ax  x0 
2.3.6 ANÁLISIS GRÁFICO
A continuación mediante una gráfica de v vs. t presentamos la historia de un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado. Recuerde que una gráfica es como una fotografía de la cual podemos extraer toda
la información posible acerca de como fue el movimiento.
43
30
v (m / s)
25
20
15
10
A2
5
0
l
1
-5
l
2
l
3
4
l
5
l
6
l
7
l
8 t (s)
A1
-10
-15
-20 0
-25
ANÁLISIS GRÁFICO. Lo que tenemos es una recta en una gráfica de v vs. t, la pendiente nos proporciona
la aceleración del móvil. Dicha pendiente tiene un valor de:
ma
o
v

t
0
m 
m
   20 
m
s 
s
5 2
4s  0s
s
La rapidez (no velocidad) inicial del cuerpo es de 20 m/s, y como la velocidad es negativa, el cuerpo
inicialmente se estaba moviendo hacia la izquierda.
o
La rapidez del cuerpo va disminuyendo hasta que llega al reposo en un tiempo de 4 segundos.
o
Posteriormente la rapidez se va incrementando paulatinamente, siendo las velocidades positivas, con
lo que inferimos que el cuerpo cambia de dirección moviéndose ahora hacia la derecha.
En esta parte, debemos recalcar que la aceleración del cuerpo (pendiente de la recta) es positiva
independientemente de que el cuerpo desacelere (frene) en el intervalo de tiempo de 0 a 4 segundos y que
acelere en el intervalo de 4 a 9 segundos. El signo de la aceleración no está asociado con una aceleración o
una desaceleración, únicamente indica el comportamiento de los cambios de velocidad.
Una de las ecuaciones de movimiento del cuerpo es:
v  20  5t
La otra ecuación, suponiendo que el cuerpo estaba en el origen cuando se empezó a observar es:
x  20t  2.5t 2
A partir de esta ecuación podemos calcular el desplazamiento ( x ) del cuerpo después de cualquier instante
de tiempo, por ejemplo a los 9 segundos, el desplazamiento fue de:
44
m
m


2
x  x  x0    20 9s    2.5 2 9s   22.5m
s
s 


y como la posición inicial es cero, el desplazamiento coincide con la posición final.
En aquellos casos en que el cuerpo cambia de dirección, el valor absoluto o magnitud del desplazamiento no
nos proporciona la distancia recorrida. Esta la tenemos que encontrar a partir del área bajo la curva en la
gráfica de v vs. t. Dicha distancia la calculamos a partir de la suma de las dos áreas sombreadas siendo estas:
d  A1 
d  A2 
bh

2
bh

2
4s  20 m 

2
s
 40m
5s  25 m 

2
s
 62.5m
d  A1  A2  102.5m
Teniendo la ecuación de movimiento x vs. t del cuerpo, podemos dar valores al tiempo para realizar la
tabulación y gráfica correspondiente.
Dicha tabulación es:
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x (m)
0
-17.5
-30
-37.5
-40
-37.5
-30
-17.5
0
22.5
Y la gráfica respectiva es:
30
x (m)
o
20
10
0o
l
1
l
2
3
l
4
l
l
5
l
6
l
7
ol
8
l
9 t (s)
-10
o
o
-20
-30
o
o
o
-40
o
o
-50
45
De ésta gráfica, podemos obtener información adicional como por ejemplo:
o
La posición del cuerpo cuando invierte su dirección de movimiento es de 40 metros a la izquierda de
donde se empezó a observar, lo cual ocurre a los 4 segundos.
o
En dicha posición e instante de tiempo, su velocidad es cero (la pendiente o tangente a la curva en
dicho instante es paralela al eje horizontal).
o
A los ocho segundos de iniciada la observación el cuerpo regresa a su posición inicial (donde se
empezó a observar).
o
La distancia que recorre el cuerpo es de 40 metros a la izquierda y de 62.5 metros a la derecha,
haciendo un total de 102.5 metros.
Con los conocimientos adquiridos hasta el momento, resolveremos un problema que involucra el movimiento
simultáneo de tres cuerpos. Los datos son los siguientes:
Auto A
Tipo de movimiento
movimiento acelerado
Auto B
movimiento acelerado
Auto C
movimiento uniforme
Posición inicial (t0 = 0 s)
200 m
-100 m
0m
Velocidad inicial (t0 = 0 s)
40 m/s
- 20 m/s
8.07 m/s
Velocidad final (t = 13 s)
- 64 m/s
58 m/s
8.07 m/s
Con los datos proporcionados encontrar:
a) La gráfica de v vs. t de los autos (en una sola gráfica).
b) La aceleración de cada auto.
c) Las ecuaciones de movimiento de cada auto.
d) La gráfica de x vs. t de cada auto (en una sola gráfica).
e) El instante de tiempo en que los autos A y B cambian de dirección o lo que es lo mismo, el
instante de tiempo en que sus velocidades se hacen cero.
f) La posición donde los autos cambian de dirección.
g) El tiempo que tardan los cuerpos en encontrarse (misma posición, uno al lado de los otros).
h) Las posiciones de los autos en el momento de encontrarse.
i) Las velocidades de los autos al momento de encontrarse.
j) La distancia que recorrió cada auto hasta el momento de encontrarse.
Para contestar las preguntas anteriores, debemos aplicar los conocimientos de acuerdo a los datos
proporcionados, así por ejemplo, en el caso de los autos A y B el movimiento es acelerado y en una gráfica de
46
x vs. t lo que se obtiene son parábolas donde las pendientes (en un instante de tiempo) nos proporcionan las
velocidades; así mismo, para estos mismos cuerpos, en una gráfica de v vs. t lo que se obtienen son rectas
cuya pendiente representa a la aceleración de los cuerpos. En el caso del Auto C, el movimiento es uniforme,
la gráfica de x vs. t nos da una línea recta, su pendiente representa a la velocidad uniforme y no hay
aceleración.
Con los datos proporcionados de velocidad procedamos a graficar.
Con dicha gráfica, procedamos a conocer las aceleraciones calculando las pendientes de las rectas.
v (m/s)
70
Auto A:
60
Auto B
50
m
m
m
40
 40  40
 80
v v  v0 A
s
s 
s  8 m
a A  30  A

2
t
t  t0
10 s  0 s
10 s
sAuto
20
C
10
o
l
l
l
l
l
Auto B:0
2l
6
12
t (s)
10
4
8
-10
-20
m
m
m
40  (20 ) 60
-30
v v  v0 B
s
s 
s 6m
a B -40  B

t
t  t0
10 s  0 s
10 s
s 2 Auto A
-50
-60
Auto C:
-70
-80
aC 
v vC  v0C


t
t  t0
m
m
 8.07
s
s 0m
10 s  0 s
s2
8.07
47
Con dichas aceleraciones y los datos proporcionados (condiciones iniciales), podemos encontrar las
ecuaciones de movimiento de los cuerpos, siendo éstas:
x  x0  v0 t 
1 2
at
2
v  v0  at
sustituyendo los valores conocidos encontramos que:
Auto A:
Su posición viene dada por:
x A  200  40t 
1
(8)t 2
2
x A  200  40t  4t 2
y para la velocidad
v A  40  8t
Auto B:
x B  100  20t  3t 2
vB  20  6t
Auto C:
x  8.07t
v  v0  8.07  ctte
Con las ecuaciones de movimiento de x vs. t podemos asignar valores al tiempo y hacer una tabulación para
después graficar. Dicha tabulación es:
t (s)
0
2
4
6
8
10
12
14
Auto A
x (m)
200
264
296
296
264
200
104
24
Auto B
x (m)
-100
-128
-132
-112
-68
0
88
108
Auto C
x (m)
0
16.14
32.28
48.42
64.56
80.7
97.84
112.98
La gráfica correspondiente a la tabulación anterior es:
48
x (m)
300
250
Auto B
200
150
Auto C
100
Auto A
50
0
2
4
6
8
10
12
t (s)
-50
-100
-150
Para contestar las otras preguntas, podríamos extraer la información de las gráficas pero tal información
estaría supeditada a nuestra apreciación de la vista.
Para ser exactos, debemos recurrir a las ecuaciones de movimiento.
El instante de tiempo en que la velocidad del Auto A se hace cero es:
Auto A:
vA  40  8t
0  40  8t
m
s  5s
t
 8s
 40
La posición del auto en ese instante de tiempo y por consiguiente cuando cambia de dirección se encuentra
sustituyendo el tiempo encontrado en la ecuación de movimiento respectiva.
x A  200  40(5)  4(5) 2
x A  200  200  100  300m
El instante de tiempo en que la velocidad del Auto B se hace cero es:
49
Auto B:
vB  20  6t
0  20  6t
m
s  3.33s
t
m
6 2
s
20
La posición donde cambia de dirección es:
x B  100  20(3.33)  3(3.33) 2
xB  133.33m
La posición donde se encuentran los tres autos, uno al lado del otro es cuando:
x A  x B  xC
Para encontrar dicha posición, igualamos cualesquier par de ecuaciones y resolvemos
200  40t  4t 2  100  20t  3t 2
 4t 2  3t 2  40t  20t  200  100  0
 7t 2  60t  300  0
Resolviendo la ecuación cuadrática mediante la fórmula general:
t
 60  (60) 2  4(7)(300)  60  109.54

2(7)
 14
t1 
 60  109.54
 12.11s
 14
t2 
 60  109.54
 3.58s
 14
La posición se encuentra sustituyendo el tiempo positivo (el negativos no existe en Física, es solamente un
resultado a la ecuación matemática) en la ecuación de movimiento respectiva para cualquiera de los autos.
x A  200  40(12.11)  4(12.11)t 2
x A  200  484.4  586.608
50
x A  97.7m
Las velocidades de los autos en ese momento son:
Auto A:
v A  40  8(12.11)
v A  56.88
m
s
Auto B:
vB  20  6(12.11)
v B  52.66
m
s
Auto C:
vC  8.07
m
s
Las distancias recorridas por los autos hasta que se encuentran, las podemos calcular a partir de las áreas bajo
las curvas en la gráfica de v vs. t. Para ello, debemos de auxiliarnos de los valores encontrados anteriormente,
los cuales aparecen en la siguiente gráfica.
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
v (m/s)
Auto B
52.66
A2B
A1A
8.07
A1B
- 56.88
l
3.33
l
5
A2A
Auto C
l
12.11
t (s)
Auto A
51
d A  A1 A  A2 A 
bh (5)( 40) (12.11  5)(56.88)


2
2
2
d A  302.20m
d B  A1B  A2 B 
bh (3.33)( 20) (12.11  3.33)(52.66)


2
2
2
d B  362m
d C  AC  bh  (12.11)(8.07)
d C  97.7m
52
PROBLEMARIO DEL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO
1. Un automóvil que se mueve con una velocidad inicial de 100 Km/h frena completamente en 15 s.
a) ¿Cuál es su aceleración?
b) ¿Que distancia recorre?
c) ¿Cuales son sus ecuaciones de movimiento? (con valores numéricos).
d) Grafique las ecuaciones de movimiento.
e) Encuentre nuevamente la distancia que recorre encontrando el área bajo la curva en una gráfica de v
vs. t.
2. Un automóvil que se mueve a 60 ft/s llega al reposo con desaceleración constante en una distancia de 240
ft
a) ¿Cuál es su aceleración? (desaceleración)
b) ¿Cuanto tiempo tardó en parar?
3. Un trineo tiene una aceleración constante de 2 m/s y parte del reposo.
a) ¿Que velocidad tendrá a los 5 s?
b) ¿Que distancia habrá recorrido al termino de los 5 s.?
c) ¿Cuál es su velocidad media?
d) ¿Que distancia recorrerá hasta el instante en que alcanza una velocidad de 40 m/s?
4. Un coche que inicialmente se mueve con una velocidad constante, acelera a razón de 1 m/s2 durante 12 s.
Si el coche recorrió en estos 12 s una distancia de 190 m.
a) ¿Cuál era la velocidad del coche cuando empezó a acelerar?
5. Una partícula en movimiento rectilíneo uniformemente acelerado tiene una velocidad de v 1 = 10 m/s en el
instante t1 = 2 s. y una velocidad v2 = 30 m/s en el instante t2 = 7 s.
a) ¿Cuál es la aceleración de la partícula?
b) ¿Cuál será su velocidad en t = 10 s?
c) ¿Cuál es la distancia que recorre desde el instante t0 =0 hasta el instante t = 10 s?
d) ¿Cuál es la velocidad de la partícula después de haber recorrido una distancia de 4 m a partir del
instante de tiempo t = 0 s?
6. Un automóvil que lleva aceleración constante recorre en 6 s la distancia de 54.8 m que separa a dos
puntos. Su velocidad en el momento en que pasa por el segundo punto es de 13.7 m/s.
a) ¿Cuál es su velocidad en el primer punto?
b) ¿Cuál es su aceleración?
c) ¿A que distancia anterior al primer punto estaba el automóvil en reposo?
53
7. En el instante en que se enciende la luz verde en un crucero, un automóvil arranca con una aceleración
constante de 1.83 m/s2. En el mismo instante, un camión que lleva una velocidad constante de 9.14 m/s
alcanza al automóvil y lo pasa.
a) ¿A que distancia del semáforo alcanzará el automóvil al camión?
b) ¿Que velocidad llevará el automóvil en ese momento?
8. Un automovilista que va a una velocidad constante de 72 km/h pasa frente a un agente de tránsito que
empieza a seguirlo en su autopatrulla. El agente inicia la persecución 4 s después de que pasó el auto,
partiendo del reposo y continuando con aceleración constante. Alcanza al auto a 3.6 km. del lugar de
donde partió.
a) ¿Durante cuanto tiempo se movió el auto desde el instante en que pasó frente al policía hasta que fue
alcanzado?
b) ¿Cuanto tiempo usó el policía en la persecución?
c) ¿Cuál fue la aceleración del autopatrulla?
d) ¿Cuál era la velocidad de la patrulla cuando alcanzó al auto?
9. Dos autos viajan inicialmente con la misma velocidad sobre una carretera recta. El primero lleva una
delantera de 100 m al segundo auto. Este segundo auto desarrolla una aceleración constante de 2.4 m/s2,
y la aceleración del primero es de 1.8 m/s2
a) Determine el tiempo necesario para que el segundo auto alcance al primero.
b) Calcular la diferencia de velocidades entre el segundo auto y el primero cuando se efectúa el rebase.
10. Un trineo parte del reposo de la cima de una colina y desliza hacia abajo con aceleración constante. El
trineo se encuentra a 140 ft de la cima 2 segundos después de pasar por un punto que está situado a 92 ft
de la misma. 4 segundos después de pasar por este punto se encuentra a 198 ft de la cima y 6 s después
está a 266 ft.
a) ¿Cuál es la velocidad media del trineo durante cada uno de los intervalos de 2 s?
b) ¿Cuál es la aceleración del trineo?
c) ¿Que velocidad tenía el trineo al pasar por el punto situado a 92 ft?
d) ¿Cuanto tiempo tardó en ir desde la cima al punto situado a 92 ft?
e) ¿Que distancia recorrió el trineo durante el primer segundo después de pasar por dicho punto?
f) ¿Cuanto tiempo tardó en ir desde el punto situado a 92 ft hasta el punto medio situado entre éste y la
señal de 140 ft?
11. Un automóvil que viaja con una velocidad inicial de 30 m/s en una carretera con neblina, ve
repentinamente un camión a 50 m delante de él, viajando en la misma dirección y a la velocidad
constante de 12 m/s. El conductor pierde 0.6 s mientras reacciona y aplica los frenos. Al hacerlo, el auto
sufre una desaceleración constante de 4.0 m/s2.
a) Determinar si el auto choca contra el camión suponiendo que ninguno de los dos se esquiva.
Si ocurre el choque calcule:
54
b) El momento y lugar donde ocurre el choque.
c) La velocidad relativa de los vehículos al ocurrir el impacto.
e) La desaceleración mínima que tendría que haber tenido el auto en estas condiciones para evitar
el impacto.
55
2.4 CAÍDA LIBRE
Hasta el momento hemos considerado problemas de movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente
acelerado en el cual el desplazamiento de los cuerpos se realiza de forma horizontal. En ésta sección
abordaremos el tipo de problemas en donde el desplazamiento es vertical. El ejemplo de este tipo de
movimiento es el de caída libre de los cuerpos, el nombre de caída es simplemente para identificar el tipo de
movimiento pero el cuerpo puede ir ascendiendo o descendiendo; el calificativo que le damos de libre, hace
referencia a una restricción del movimiento en donde se desprecia la resistencia del aire, es decir no hay nada
que pueda obstruir el movimiento del cuerpo. En nuestra vida cotidiana tenemos la resistencia del aire, lo cual
modifica el movimiento, sin embargo, para introducirnos al estudio de tal movimiento, le aplicamos dicha
restricción para facilitar el aprendizaje, en cursos más avanzados se abordan situaciones sin dicha restricción
y aún mas complejos.
Todos los cuerpos que se encuentran libres cerca de la superficie terrestre, independientemente de su masa,
peso, forma o composición, caen debido a la atracción que ejerce la Tierra sobre ellos. Esto lo podemos
visualizar mediante el siguiente ejemplo:
Tomemos tres hojas del cuaderno y dejémoslas caer simultáneamente y observemos que ocurre:
Si no hay corrientes de aire fuertes, veremos que las tres caen simultáneamente llegando al suelo en el mismo
tiempo. Ahora tomemos dos de ellas y arruguémoslas formando unas pelotitas de papel, siendo una mas
compacta que la otra y repitamos el experimento:
Lo que observaremos ahora es que todas caen en diferentes tiempos, cayendo primero la más compacta,
después la menos compacta y finalmente la hoja sin arrugar.
56
Esto nos da una idea de que en ausencia de la resistencia del aire (en el vacío), todos los cuerpos
independientemente de su peso, masa o composición, caen con la misma rapidez. Otro ejemplo es el
siguiente: dejamos caer una pluma de pájaro y un balín de plomo dentro de una campana de vacío a la cual le
hemos extraído completamente el aire, ambos cuerpos caerán simultáneamente.
balín
pluma
salida
de
aire
Lo anterior es debido a la Fuerza Gravitacional que hace que los cuerpos se aceleran (o desaceleran), a esta
aceleración se le da el nombre de aceleración de la gravedad, la cual se representa mediante la letra g. Tiene
un valor que en primera instancia varía con la altura, es decir, a nivel del mar tiene un valor de 9.81 m/s 2 y a
medida que vamos ascendiendo sobre la superficie terrestre y consecuentemente sobre la atmósfera, el valor
va disminuyendo, adquiriendo un valor de cero en el espacio libre.
Lo anterior impone una nueva restricción al movimiento de caída libre: que la distancia que recorra el cuerpo
no sea muy grande de tal manera que el valor de la aceleración de la gravedad pueda considerarse como una
constante.
Es muy común en los niveles de educación enseñar que la aceleración de la gravedad es positiva (g = + 9.81
m/s2) cuando el cuerpo desciende y negativa (g = - 9.81 m/s2 ) cuando asciende; en el primer caso, la
asociamos con una "acelerada" y en el segundo caso con una "frenada". Lo anterior es una incorrección ya
que cuando hacemos referencia a la aceleración de la gravedad, nos estamos refiriendo en realidad a la
"magnitud de la aceleración de la gravedad" y como tal, toda magnitud, valor absoluto, norma o como se le
quiera denominar, por definición siempre es mayor que cero y consecuentemente positiva. En resumen:
Aceleración de la gravedad = g = + 9.81 m/s2
La aceleración del cuerpo es la que puede ser positiva o negativa,
> 0 (positiva)
aceleración de los
= a
cuerpos en caída libre
< 0 (negativa)
Pero:
57
Aceleración de la
gravedad
=g= a
Aceleración de los cuerpos
=
= + 9.81 m/s
2
en caída libre
Tampoco podemos relacionar los signos con una acelerada en el primer caso y con una frenada en el segundo.
Recordemos que en las secciones anteriores vimos que una aceleración positiva (pendiente positiva de la recta
en una gráfica de v vs. t) puede corresponder en realidad a una frenada y una acelerada, los dos tipos de
movimiento en uno solo. Para recordar, lo ilustraremos mediante la siguiente gráfica:
v + (m/s)
v=0
f re
na
nd
n
na
do
f re
o
d
ran
o
m=a>0
ele
ac
t (seg)
ac
el
er
an
do
m=a<0
v - (m/s)
El signo de la aceleración (a > 0) nos indica únicamente que la velocidad se está volviendo menos negativa
hasta que adquiere el valor de cero y posteriormente mas positiva.
El otro signo de la aceleración (a < 0) nos está indicando que las velocidades se están volviendo menos
positivas y posteriormente mas negativas.
En todo caso, el signo de la aceleración está relacionado con el sistema de referencia que adoptemos y mas
específicamente de la convención de signos adoptada.
Lo anterior lo ilustraremos mediante los siguientes ejemplos de caída libre:
i) Sistema de referencia con convención de signos positivos hacia arriba, negativos hacia abajo:
a) Cuerpo descendiendo
b) Cuerpo ascendiendo.
ii) Sistema de referencia con convención de signos negativos hacia arriba, positivos hacia abajo:
c) Cuerpo descendiendo.
d) Cuerpo ascendiendo.
Veamos los ejemplos:
58
2.4.1 SISTEMA DE REFERENCIA CON CONVENCIÓN DE SIGNOS POSITIVOS HACIA
ARRIBA, NEGATIVOS HACIA ABAJO
a) Cuerpo descendiendo
Problema: Se deja caer un cuerpo desde una determinada altura.
y+
origen del
sistema
-
2
y0 = 0
- -2
- -4
- -6
- -8
- -10
suelo
y-
Resolución: Elegimos como sistema de referencia un eje vertical ( el de las y ), con origen en el lugar de
donde se deja caer el cuerpo, de tal forma que las posiciones del cuerpo serán negativas e incrementándose en
su valor. Tomemos dos posiciones cualesquiera, una final y otra inicial, el desplazamiento vine dado por:
y f  y i  y
y como
y f  yi
y  0
para ilustrar consideremos y2 = - 10 m y y3 = -15 m. Entonces:
y  15m  (10m)  5m  0
Cualesquier par de valores que consideremos, nuestro resultado invariablemente será negativo, es decir, todos
los  y serán menores que cero.
Ahora consideremos la velocidad media para ver como es su signo (si es positiva o si es negativa).
vm 
y
t
como todos los  y son negativos y los
t son positivos, consecuentemente la velocidad media será:
59
vm 

0

De igual forma, todas las
v m serán negativas.
En este caso decimos que el cuerpo va bajando. Si comparásemos la rapidez del cuerpo, ésta se irá
incrementando en su valor numérico, siendo la velocidad cada vez más negativa, de tal suerte que si le
asociamos una velocidad de v2 = - 5 m/s cuando está en la posición y2 y una velocidad v3 = -10 m/s cuando
está en la posición y3 , el cambio de velocidad será:
v  v3  v 2  10
m
m
m
m
m
 (5 )  10  5  5
s
s
s
s
s
Si este cambio de velocidades lo dividimos entre
t , entonces estaríamos determinando la aceleración del
cuerpo siendo esta:
a
v 
 0
t 
es decir la aceleración del cuerpo va a ser negativa.
b) Cuerpo ascendiendo.
Problema: Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial diferente de cero, llegando
hasta una altura máxima.
y+
origen del
sistema
-
12
-
10
-
8
-
6
-
4
-
2
- 0 y0 = 0 suelo
y-
Resolución: Elegimos como sistema de referencia un eje vertical ( el de las y ), con origen en el lugar de
donde se lanza el cuerpo, de tal forma que las posiciones del cuerpo serán positivas e incrementándose en su
valor. Tomemos dos posiciones cualesquiera, una final y otra inicial, el desplazamiento vine dado por:
y  y f  y i
60
y como
y f  yi
y  0
Para ilustrar consideremos y2 = 5 m y y3 = 10 m. Entonces:
y  10m  5m  5m  0
Mientras el cuerpo vaya ascendiendo, cualesquier par de valores que consideremos, nuestro resultado
invariablemente será positivo, es decir, todos los  y serán mayores que cero.
Ahora consideremos la velocidad media para ver como es su signo (si es positiva o si es negativa).
como todos los  y son positivos y los
vm 
t también, consecuentemente la velocidad media será:
y 
 0
t 
De igual forma, mientras el cuerpo vaya ascendiendo, en cualquier punto que elijamos, todas las
v m serán
positivas.
En este caso decimos que el cuerpo va subiendo. Si comparásemos la rapidez del cuerpo, ésta irá
disminuyendo en su valor numérico, siendo la velocidad cada vez menos positiva, de tal suerte que si le
asociamos una velocidad v2 = 10 m/s cuando está en la posición y2 y una velocidad v3 = 5 m/s cuando está en
la posición y3 , el cambio de velocidad será:
v  v3  v 2  5
m
m
m
 10  5
s
s
s
es decir,
v  0
Si este cambio de velocidades lo dividimos entre
t , entonces estaríamos determinando la aceleración del
cuerpo siendo esta:
a
v 
 
t 
es decir la aceleración del cuerpo va a ser negativa.
CONCLUSIÓN : Para un sistema de referencia con convención de signos positivos hacia arriba, negativos
hacia abajo; independientemente de que el cuerpo vaya subiendo o bajando, la aceleración que experimenta
será negativa
61
2.4.2 SISTEMA DE REFERENCIA CON CONVENCIÓN DE SIGNOS POSITIVOS HACIA
ABAJO , NEGATIVOS HACIA ARRIBA
c) Cuerpo descendiendo
Problema: Se deja caer un cuerpo desde una determinada altura.
y-
origen del
sistema
y = y2 - y1
= 10 - 5
=5
>0
y
t
y0 = 0
v =0
0
y1 = 5
v1 = 5
y = 10
v =10
v = v2 - v1
= 10 - 5
2
= 10
>0
2
=V>0
y
3
v
3
suelo
a=
v
v v2 - 1 > 0
=
t2 - t1
t
y+
Resolución: Elegimos como sistema de referencia un eje vertical ( el de las y ), con origen en el lugar de
donde se deja caer el cuerpo, de tal forma que todas las posiciones del cuerpo serán positivas y a medida que
transcurre el tiempo cada vez más positivas.
Tomemos dos posiciones cualesquiera, una final y otra inicial, el desplazamiento vine dado por:
y  y f  y i
y como
y f  yi
entonces
y  0
para ilustrar consideremos y1 = 5 m y y2 = 10 m. Entonces:
y  y2  y1  10m  (5m)  10m  5m  5m  0
Cualesquier par de valores que consideremos, nuestro resultado invariablemente será positivo, es decir, todos
los  y serán mayores que cero.
Ahora consideremos la velocidad media para ver como es su signo (si es positiva o si es negativa).
Como todos los  y son positivos y los
t también, consecuentemente la velocidad media será:
62
vm 
y 
 0
t 
De igual forma, en cualquier lugar que elijamos la velocidad media, todas serán positivas.
En este caso decimos que el cuerpo va bajando. Si comparásemos la rapidez del cuerpo, éstas se irán haciendo
cada vez mas positiva e incrementándose en su valor numérico, siendo la velocidad cada vez más positiva, de
tal suerte que si le asociamos una velocidad de v1 = 5 m/s cuando está en la posición y1 y una velocidad v2 =
10 m/s cuando está en la posición y2 , el cambio de velocidad será:
v  v 2  v1  10
m
m
m
5  5  0
s
s
s
t , entonces estaríamos determinando la aceleración del
Si este cambio de velocidades lo dividimos entre
cuerpo siendo esta:
a
v 
 
t 
es decir la aceleración del cuerpo va a ser positiva
iv) Sistema de referencia con convención de signos positivos hacia abajo, negativos hacia arriba:
d) Cuerpo ascendiendo.
Problema: Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial diferente de cero, llegando
hasta una altura máxima.
yy
3
y = -10
2
y = y2 - y1
= -10 -(- 5)
= -5
<0
y
t
v=0
3
v2 =- 5
v = v2 - v1
= -5 -(-10)
=5
>0
y1 = -5
v =-10
y0 = 0
v 0 = -20 suelo
1
=V<0
origen del
sistema
a=
v
v v2 - 1 > 0
=
t2 - t1
t
y+
Resolución: Elegimos como sistema de referencia un eje vertical ( el de las y ), con origen en el lugar de
donde se lanza el cuerpo, de tal forma que las posiciones del cuerpo serán negativas e incrementándose en su
valor. Tomemos dos posiciones cualesquiera, una final y otra inicial, el desplazamiento vine dado por:
63
y  y f  y i
y como
y f  yi
entonces
y  0
para ilustrar consideremos y1 = -5 m y y2 = -10 m. Entonces :
y  y2  y1  10m  (5m)  10m  5m  5m  0
Mientras el cuerpo vaya ascendiendo, cualesquier par de valores que consideremos, nuestro resultado
invariablemente será negativo, es decir, todos los  y serán menores que cero.
Ahora consideremos la velocidad media para ver como es su signo (si es positiva o si es negativa).
como todos los  y son negativos y los
vm 
t positivos, consecuentemente la velocidad media será:
y 
 0
t 
De igual forma, mientras el cuerpo vaya ascendiendo, en cualquier punto que elijamos, todas las
v m serán
negativas.
En este caso decimos que el cuerpo va subiendo. Si comparásemos la rapidez del cuerpo, ésta irá
disminuyendo en su valor numérico, siendo la velocidad cada vez menos negativa, de tal suerte que si le
asociamos una velocidad de v1 = -10 m/s cuando está en la posición y1 y una velocidad v2 = -5 m/s cuando
está en la posición y2, el cambio de velocidad será:
v  v 2  v1  5
m
m
m
m
m
 (10 )  5  10  5  0
s
s
s
s
s
es decir, que todos los cambios de velocidad serán positivos.
Si este cambio de velocidades lo dividimos entre
t , entonces estaríamos determinando la aceleración del
cuerpo siendo esta:
a
v 
 
t 
es decir la aceleración del cuerpo va a ser positiva.
64
CONCLUSIÓN : Para un sistema de referencia con convención de signos positivos hacia abajo, negativos
hacia arriba; independientemente de que el cuerpo vaya subiendo o bajando, la aceleración que experimenta
será positiva.
2.4.3 RESUMEN GRÁFICO DE CAÍDA LIBRE
Convención de signos: +
; -
Cuerpo ascendiendo
Cuerpo descendiendo
y+
y
y + origen del sistema
v3 = 0
3
y
v2
2
v0= 0
y0 = 0
y1 = - 5
v = v1 - v 0
v1 = -10
y <0
v1 = +10
v = v1 - v 0
v 0 = +20
= 10 -20
= -10
<0
y1 = 5
y >0
y0 = 0
y
=V>0
 t
y = -10
2
v v - v
a = t = t1 - t0 < 0
1
0
y
 y = y - y0
y0 = 0
v0 = -20
1
= -5 - (0)
= -5
<0
y = V < 0
t
y0 = 0
v2
v 1 = -10
y = y2- y 1
y 1 = +5
= 10 - 5
=+5
>0
y 2= +10
v0 = 0
v = v3- v 2
v 1 = 10 
= 20 -(10)
= 20 -10
= +10
v 2 = 20
>0
v = v1 - v 0
= -10 -(-20)
= +10
>0
origen del sistema
y+
a=
0
y-
origen del sistema
v3 = 0
y1 = -5
t 1 - t 0<
Cuerpo descendiendo
y-
y2= -10
v v1 -v 0
a= t =
; -
Cuerpo ascendiendo
3
v3
y
=V<0
t
Convención de signos: +
y
v2= -20
3
origen del sistema
= -20 -(-10)
= -10
<0
v v1 - v0
=
>0
t 1 - t0
 t
y3
v3
 y
=V>0
 t
y+
 v = v2 - v 1
t -t >0
a =  t
2
1
65
Como ya se vio, el signo de la aceleración de los cuerpos en caída libre depende de la convención de signos
que se adopte para el sistema de referencia, en lo subsecuente, la convención que adoptaremos será:
positivos hacia arriba;
negativos hacia abajo.
En tal sistema, las ecuaciones de movimiento son las mismas que para el movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado, donde la posición del cuerpo la designamos con la letra x por ser el eje horizontal.
En caída libre, se utiliza el eje vertical por lo que las posiciones se representan con la letra y.
De igual forma sucede con la aceleración del cuerpo, siendo esta una aceleración vertical (- ay ) que es
negativa para nuestro sistema de referencia adoptado, la cual será sustituida por la a que teníamos en el
horizontal.
se requieren las siguientes ecuaciones:
y  y 0  v0 t 
y  y0 
1
ayt 2
2
1
v  v0 t
2
v  v0  a y t
v 2  v02  2a y  y  y0 
Adicionalmente, en las ecuaciones anteriores realizamos la sustitución:
a y  9.81
m
 g
s2
2.4.4 ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE
y  y 0  v0 t 
y  y0 
1 2
gt
2
1
v  v0 t
2
v  v0  gt
v 2  v02  2 g  y  y 0 
Donde:
g  9.81
m
s2
66
2.4.5 SUGERENCIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE CAÍDA LIBRE
1.
Leer detenidamente el enunciado (leer no es ver las palabras ahí escritas, leer es entender el
significado de cada una de ellas). La mayoría de las personas sabemos leer pero no comprendemos la
lectura (no es lo mismo leer que entender).
2.
Hacer un dibujo o diagrama de lo que está ocurriendo (hacer de cuenta que Usted es el protagonista
del problema, imagíneselo).
3.
Elegir el origen del sistema de referencia en el lugar donde se deja caer o se lanza el objeto.
4.
Elegir la convención de signos: positivos hacia arriba, negativos hacia abajo.
5.
Identificar las posiciones claves (iniciales, intermedias y finales)
6.
En el dibujo marcar tales posiciones así como las velocidades y tiempos.
7.
Cuando existen posiciones intermedias, utilizar el uso de los subíndices para diferenciar las
diferentes posiciones, velocidades y tiempos.
8.
Traducir a símbolos matemáticos las expresiones verbales de los incisos o preguntas. Haciendo las
preguntas ¿Qué me piden? y luego ¿Cuándo que?, de tal forma que de las cuatro ecuaciones, se
seleccionará aquellas que tengan la variable que andamos buscando y que no tenga la variable
desconocida.
9.
Si es el caso, despejar de la ecuación así elegida la variable desconocida.
10. Cuando se tienen dos o mas cuerpos que chocan o se alcanzan, se debe de trabajar con las ecuaciones
de posición y  y 0  v 0 t 
1 2
gt , poniendo subíndice para diferenciar entre el cuerpo 1 y el
2
cuerpo 2, quedando:
y1  y 01  v01t 
1 2
gt
2
y 2  y 02  v02t 
1 2
gt
2
y resolver para el tiempo.
67
PROBLEMARIO DE CAÍDA LIBRE
1.- Desde el techo de un edificio se deja caer una piedra hacia abajo y se oye el ruido del impacto contra el
suelo 3 s después. Sin tomar en cuenta la resistencia del aire ni el tiempo que demoró el sonido en llegar
al oído, encuentre:
a) La altura del edificio.
b) La velocidad de la piedra al llegar al suelo.
2.- Se lanza una bola hacia arriba y regresa a su nivel original 4 s después de haber sido lanzada.
¿A que altura se elevó?
3.- Un muchacho de pie en la orilla superior de un edificio, lanza una bola hacia arriba con rapidez de 20
m/s.
a) ¿Cuanto tarda en llegar a su punto mas alto?
b) ¿Cuanto tarda en regresar al nivel desde donde se lanzó?
c) ¿A que altura se eleva?
d) ¿Donde se encontrará después de 4 s? ¿Irá hacia arriba o hacia abajo?
4.- Se lanza una pelota hacia abajo desde una azotea con una rapidez de 5 m/s. La altura desde donde se
lanzó es de 100 m.
a) ¿Cuanto tarda en llegar al suelo?
b) ¿Con que velocidad llega?
5.- Un balín de plomo se deja caer a un lago desde un trampolín que está a 4.88 m sobre el nivel del agua.
Pega en el agua con cierta velocidad y después se hunde hasta el fondo con esa misma velocidad
constante. Llega al fondo 5 s después que se soltó.
a) ¿Que profundidad tiene el lago?
b) ¿Cuál es la velocidad media del balín?
Supóngase que se extrae toda el agua del lago. El balín se arroja desde el trampolín de manera que
llega al fondo en 5 s.
c) ¿Cuál es la velocidad inicial del balín?
6.- Se arroja verticalmente una bola hacia arriba desde el nivel de la calle, junto a un edificio. La atrapa una
persona que está asomada a una ventana, a 6 m sobre la calle. La velocidad inicial de la bola es de 20
m/s y es atrapada cuando ya va de caída. Calcule:
a) La altura máxima que alcanza la pelota.
b) El tiempo que permanece en el aire.
c) La velocidad en el momento de ser atrapada.
68
7.- Los pisos de un edificio se encuentran igualmente espaciados. Cuando se deja caer una bola desde el
último piso, tarda 0.10 s para caer a través de los últimos tres pisos, cada uno de los cuales tiene una
altura de 2 m.
a) ¿Que altura tiene el edificio?
8.- Se deja caer una piedra al agua desde un puente que está a 44 m sobre la superficie del agua. Otra piedra
se arroja verticalmente hacia abajo 1 s después de soltar la primera. Ambas piedras llegan al agua al
mismo tiempo.
a) ¿Cuál fue la velocidad inicial de la segunda piedra?
9.- Se deja caer un objeto desde una ventana en el piso 40 de un edificio de oficinas, a 144 m sobre el nivel de
la calle. En el instante en que se suelta, se arroja hacia abajo una segundo objeto desde el techo del
edificio, a 216 m sobre el nivel de la calle.
a) Determine la velocidad inicial que debe tener el segundo objeto para que llegue al suelo en el mismo
instante que el primero.
10.- Del problema anterior, suponga que ambos objetos parten del reposo pero en diferentes momentos.
a) Calcule el tiempo en que debe soltarse el objeto del piso 40 después de soltar el objeto en el techo,
para que ambos toquen tierra al mismo tiempo.
b) Escriba las ecuaciones de movimiento con sus valores numéricos y grafique.
11.- Un globo que asciende verticalmente hacia arriba con una velocidad de 5 m/s. Suelta un saco de arena
en el instante en que está a 20 m sobre el suelo.
a) ¿Cuanto tiempo tardará en llegar al suelo?
12.- Dos cuerpos inician una caída libre, partiendo del reposo y desde la misma altura con un intervalo de
tiempo de 1 s. ¿Cuánto tiempo después de que empieza a caer el primer cuerpo estarán separados por 10
m?
13.- Una botella se deja caer desde un globo, alcanza el piso en 20 s.
Determínese la altura del globo si:
a) Estuviera en reposo.
b) Si va ascendiendo con una rapidez constante de 50 m/s.
14.- Una persona deja caer una manzana desde el barandal de un puente cuando la parte frontal de un
camión pasa justo debajo de la barda del puente. Si el vehículo se mueve a 55 Km/hr y tiene una longitud
de 12 m.
69
a) ¿Cuanto debe de ser la altura de la barda respecto a la parte superior del camión si la manzana casi
toca con el extremo final de éste?
15.- Se tiran dos cuerpos verticalmente hacia arriba, con la misma velocidad de salida de 100 m/s, pero
separados 4 s. ¿Que tiempo transcurrirá desde que se lanzó el primero para que se vuelvan a encontrar?
16.- Un paracaidista después de saltar de un avión desciende 50 m sin fricción del aire. Cuando se abre el
paracaídas se retarda su caída a razón de 2 m/s2 alcanzando el suelo con una rapidez de 3.0 m/s.
a) ¿Cuál fue el tiempo del paracaidista en el aire?
b) ¿Desde que altura saltó del avión?
17.- Se deja caer un balín de acero de un edificio. Un observador colocado en una ventana de 4 ft de altura
observa que el balín tarda 1/8 s en caer desde la parte alta a la baja de la ventana. El balín continúa
cayendo, sufre una colisión elástica en el pavimento y reaparece en la parte baja de la ventana 2 s
después de que pasó por allí en su bajada.
a) ¿Cuál es la altura del edificio?
18.- Una piedra se deja caer desde un acantilado y un segundo después se lanza una segunda verticalmente
hacia abajo con una rapidez de 20 m/s.
a) ¿A que distancia por debajo de lo alto del acantilado alcanzará la segunda piedra a la primera?
70
CAPITULO III
VECTORES
3.1 El PLANO CARTESIANO
Avanzando en el curso, analizaremos ahora la descripción de un movimiento mas complejo como lo es el de
un cuerpo que se mueve en dos dimensiones, es decir en un plano. Tal plano, lo acostumbramos llamar el
plano cartesiano, formado por dos ejes mutuamente perpendiculares, conocido como eje de las abscisas (eje
horizontal que se designa con la letra x) y eje de las ordenadas (eje vertical, designado con la letra y). El eje
horizontal se destina para la variable independiente en tanto que el vertical para la variable dependiente.
l
-3
l
-2
2
1
l
l
-4
3
l
l
y + ( unidades)
l
eje vertical
(variable dependiente)
l
-1
0
-1
l
-2
l
-3
l
1
l
2
l
3
l
4
l
l
x + (unidades)
eje horizontal
(variable independiente)
l
sistema de coordenadas cartesiano o
sistema de coordenadas rectangulares
3.1.1 UBICACIÓN DE UN CUERPO EN EL PLANO CARTESIANO
Generalmente, la posición de un cuerpo se localiza en el plano cartesiano a partir del origen de coordenadas (
0 , 0 ) y la pareja de puntos coordenados ( x , y ) donde se encuentra el cuerpo.
Por ejemplo:
La posición ( 4 , 3 ) corresponde al punto que se indica en la siguiente figura.
La distancia medida desde el origen hasta dicha posición se encuentra a partir de la forma común de medir
distancias en el plano; siendo ésta:
d
x2  x1 2   y 2  y1 2
en nuestro caso:
d
4m  0m2  3m  0m 2
 16m 2  9m 2  25m 2  5m
71
y + (m)
II cuadrante
3l
l
l
I cuadrante
l
(4,3)
2
d
1
l
l
l
l
l l l
l l
-4 -3 -2 -1 0 1
-1
III cuadrante
-2
l l
2
l
3
l
4
x + (m)
IV cuadrante
Al especificar la pareja de puntos ( x , y ) no es difícil ubicar en que cuadrante se encuentra la partícula, sin
embargo la dirección se especifica mediante el ángulo que se forma entre el eje horizontal positivo y la recta
que une al origen con el punto donde se encuentra la partícula, medido en sentido contrario a las manecillas
del reloj.
Para encontrar el ángulo debe observarse que se forma un triángulo rectángulo, donde el lado más largo se
denomina hipotenusa y los lados más cortos catetos; el lado que está junto al ángulo se denomina cateto
adyacente y cateto opuesto al que se encuentra en el lado contrario.
Con los parámetros anteriores, se definen las siguientes funciones trigonométricas:
sen 
cateto opuesto y 2  y1

hipotenusa
d
cos  
cateto adyacente x 2  x1

hipotenusa
d
tan  
y  y1
cateto opuesto
 2
cateto adyacente x2  x1
El ángulo se puede determinar utilizando una de las funciones trigonométricas anteriores, en nuestro caso
utilizamos la función Seno.
sen 
cateto opuesto y 2  y1

hipotenusa
d
despejando
 como si el Seno estuviera multiplicando
 y 2  y1 
1  3m  0m 
1  3m 
1
0
  sen 
  sen 
  sen (0.6)  36.869
d
5
m
5
m






  sen 1 
72
El sentido se estipula haciendo referencia a los puntos cardinales, el ángulo anterior se expresa en función de
dichos puntos como:
36.869 0
al N del E
lo cual indica que el ángulo se está midiendo hacia el Norte a partir del Este.
3.1.2 CAMBIO DE POSICIÓN EN EL PLANO CARTESIANO
Estando el cuerpo en una posición dada por el punto de coordenadas ( x, y ), nos damos cuenta que dicho
cuerpo cambia de posición cuando cambia una de las parejas de puntos o las dos, por ejemplo, cuando está en
la posición (4,3) y posteriormente en el punto de coordenadas (4,5) o (6,7).
Al haber un cambio de posición, implica que el cuerpo efectuó un desplazamiento, tal desplazamiento, se
define de igual forma que en el caso unidimensional, siendo éste:
POSICIÓN FINAL - POSICIÓN INICIAL
La dificultad estriba en que las posiciones ya no contienen una sola variable (en los casos anteriores x ó y ),
ahora se estipulan mediante las dos variables ( x e y ).
Para salvar esta dificultad, se redefine el desplazamiento en función de otro parámetro que involucra a las dos
variables.
Lo analizaremos mediante el siguiente ejemplo que involucra dos movimientos sucesivos.
Un cuerpo que inicialmente se encuentra en el origen recorre 4 metros en dirección horizontal en el sentido
del eje de las x positivo, posteriormente, se mueve 3 metros en dirección vertical en sentido de las y positivas.
Tales cambios de posición se representan gráficamente en el plano cartesiano mediante las flechas A y B,
siendo la longitud proporcional a la distancia que recorre y la punta de la flecha indica el sentido en el cual a
ocurrido el movimiento.
y + ( m)
3l
2
l
l
l
posición final
(4,3)
B
1
l
-4
l
-3
l
-2
l l
-1
-1
A
l l l l l
l
l
0 1
3
4
2
posición inicial
(0 , 0)
l
x + (m)
-2
73
El desplazamiento resultante o cambio de posición se representa mediante la flecha C que va desde la
posición inicial hasta la posición final.
y + ( mts.)
3
l
2
l
posición final
(4,3)
C
l
1
ll
l
l
l
-3
-2
-1
3
0 1
2
- 1
posición inicial
(0 , 0)
-2
l
l
l
l
l
l
4
x + (mts.)
l
l
-4
l
3.2 VECTORES
Todas aquellas magnitudes físicas que se especifican cuando se proporciona un número (4); una unidad (m.);
una dirección (horizontal); un sentido (eje x positivo) y que se puedan representar gráficamente mediante
flechas, se le denominan VECTORES, consecuentemente, un cambio de posición es una cantidad vectorial.
Por ser un nuevo tipo de cantidades físicas pasaremos a continuación a abordarlas con mayor detalle,
diferenciándolas de las otras a las que estamos acostumbrados que son los ESCALARES, los cuales se
definen como:
ESCALARES: Son todas aquellas cantidades físicas que para especificarse completamente basta con dar un
número y su unidad correspondiente. Se manejan mediante las operaciones ordinarias de la aritmética como
son la suma, resta, multiplicación y división. Ejemplo de ellos son:
Tiempo 5 segundos.
Distancia
4 metros
Longitud
6 metros
Altura
3 metros
Profundidad
7 metros
Rapidez
20 m/s
Volumen
30 m3
Temperatura
300 centígrados
Área
20 m2
Masa
80 Kg.
74
En fin, todas aquellas cantidades de las cuales no hay que abundar mas pues todos sabemos de lo que estamos
hablando.
VECTORES: Son todas aquellas cantidades físicas que para especificarse completamente es
indispensable proporcionar un número, una unidad, una dirección y un sentido. Se manejan
mediante operaciones especiales como son: la suma vectorial, el producto escalar (o producto
punto) y el producto vectorial (o producto cruz).
Ejemplo de cantidades vectoriales son:
Desplazamiento
20 metros hacia el norte
Desplazamiento
20 metros en dirección horizontal hacia la derecha
Velocidad
80 m/s en dirección vertical hacia arriba
Aceleración
9.81 m/s2 en dirección radial dirigida hacia el centro de la Tierra.
Fuerza
40 Newton en dirección inclinada 300 con respecto al eje x positivo.
Campo eléctrico
30 Newton/Coulomb en dirección vertical hacia arriba.
Las direcciones y sentidos de los vectores anteriores es únicamente por dar un ejemplo, pueden tener
Nota:
cualquier dirección y sentido.
Para diferenciar entre escalares y vectores pondremos el siguiente ejemplo.
La distancia entre dos puntos es de 5 metros (es un escalar).
Una persona recorre 5 metros de donde está parada, 5 metros es la distancia que recorre, sin embargo no
podemos localizarla ya que la persona puede estar ubicada en cualquier punto de una circunferencia de radio 5
metros. (Si deseamos localizarla, es necesario dar la dirección y el sentido)
NOTACIÓN DE VECTORES.- Se denotan mediante letras mayúsculas o minúsculas, a las cuales se les pone
encima una flechita para indicar que es un vector. Ejemplo:





A B C F
etc.



a b c d
etc.
Generalmente en libros de textos o notas de clase donde se facilita mas la escritura, se suprime la flechita pero
se remarca la letra por ejemplo:
A, B, C, D, E, etc. ó a, b, c, etc.
que comúnmente son llamadas "negritas" o "bold".
REPRESENTACIÓN DE VECTORES - Se representan mediante flechas.
75
B
A
c
d
MAGNITUD DE UN VECTOR - La magnitud del vector es proporcional a la longitud de la flecha, y como
toda magnitud, se toma el valor absoluto o norma del número.
magnitud del vector A = valor absoluto del vector A
A
A=
ó A
A
=
A
IGUALDAD DE VECTORES.- Dos o mas vectores son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y
sentido, no importa que sus orígenes no coincidan.
OPERACIONES CON VECTORES: Como se mencionó anteriormente, los vectores se manejan mediante
operaciones especiales siendo éstas:
o
SUMA VECTORIAL.- Sean A y B dos vectores, se define la suma vectorial como:
A+B=C
donde C es un nuevo vector con su propia magnitud, dirección y sentido.
o PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO.- Sean A y B dos vectores, se define el producto
punto entre los dos vectores como :
A B cos  AB cos  BA cos
donde A B cos  es un escalar que posee únicamente magnitud y unidad;  es el ángulo que se forma entre
los dos vectores, medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, de tal suerte que si:
00 <


AB  0
= 900
900 <
o
AB  0
< 900

< 2700
AB  0
 = 2700
AB  0
2700 <  < 3600
AB  0
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ.- Sean A y B dos vectores, se define el producto
vectorial como:
A B  C
76
donde C es un nuevo vector cuya dirección es perpendicular tanto a A como a B.
La magnitud del vector C viene dada por:
C  C  A B sen AB
C  ABsen AB
donde
 AB
es el menor de los ángulos que se forma entre A y B. Su sentido se determina a partir de la regla
de la mano derecha, la cual consiste en lo siguiente:
Con los dedos extendidos de la mano derecha y el pulgar perpendicular a ellos, tratar de empujar la punta del
primer vector hacia la punta del segundo vector cerrando los dedos y dejando extendido el pulgar, el sentido
en el que apunta este pulgar, nos indicará el sentido hacia donde apunta el vector C o producto vectorial entre
los dos vectores.
C=AxB
B
A


A
B
AxB=-BxA
C' = B x A
Si el ángulo entre los dos vectores es de 90 , entonces el producto vectorial entre ellos es el VECTOR NULO
0
o Vector cero, ya que Sen 900 = 0
Nota: Los vectores A y B forman o están en un plano, siendo el vector C perpendicular a dicho plano, por
ejemplo, es como si los vectores A y B estuviesen en el piso, luego entonces, el vector C estaría saliendo o
entrando perpendicularmente al piso.
Dentro del curso de mecánica, se utiliza muy frecuentemente lo que es la suma de vectores por lo que
pasaremos a analizarla con mayor detalle.
3.3 SUMA DE VECTORES
Para sumar dos o más vectores, existen dos métodos, siendo éstos:
o Método Gráfico.- Que se subdivide a su vez en:

Método del paralelogramo (es ideal para dos vectores)

Método del polígono ( Para sumar mas de dos vectores)
o Método Analítico
3.3.1 MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
Consiste en sumar dos vectores gráficamente y se realiza de la siguiente manera:
77
Se unen los orígenes de los dos vectores y a partir de sus puntas o terminaciones se trazan paralelas a cada
uno de ellos formando una paralelogramo, la diagonal de dicho paralelogramo es el vector suma, lo cual se
ilustra mediante el siguiente ejemplo:
A y B
Sumar
A
A
C=A+B
B
B
3.3.2 MÉTODO DEL POLÍGONO
Consiste en unir el origen del segundo vector con la punta del primero. Si son mas de dos vectores, unir el
origen del tercer vector con la punta del segundo y así sucesivamente, el vector resultante es el que va desde
el origen del primero hasta la punta del último.
A
B
B
A
C
D
C
E= A+B+C+D
D
3.3.3 PROPIEDADES DE LA SUMA VECTORIAL
i) Ley conmutativa de la suma: Al sumar dos o mas vectores se obtiene el mismo resultado, no importa el
orden en que se sumen. Del ejemplo anterior:
B
C
A
C
E=B+C+A+D
E= C+A+D+B
D
A
D
B
ii) Ley asociativa de la suma: Al sumar dos o mas vectores, algunos o todos se pueden asociar para obtener
semi-resultantes, las cuales se suman a su vez para obtener el vector resultante. Del ejemplo anterior:
B
E
E1
C
A
1
E2
E2
D
E =E 1 + E2
= (A+B)+(C+D)
iii) Multiplicación de un vector ( A ) por un escalar ( k ).- Al multiplicar un vector por un escalar, se obtiene
un nuevo vector ( B ) que es k veces mayor, k veces menor o bien igual que el vector que le dio origen, todo
depende del escalar. Ejemplo:
78
k =2
k = 1/ 2
B 2
=
A
A
A
C= 2
iii) Negativo de un vector: El negativo de un vector A es aquél que tiene la misma magnitud y dirección que A
pero en sentido contrario. El negativo de un vector A es aquél que hay que sumarle a A para obtener el vector
nulo. Ejemplo:
A
A + (- A ) = A - A = 0
-A
3.3.4 SUSTRACCIÓN DE VECTORES
Una vez definida la suma de vectores y el negativo de un vector, se define la resta de vectores como:
A-B=A+(-B)
Para restar un vector B al vector A, se procede igual que en la suma con la única salvedad de que se toma el
negativo del vector B. Ejemplo:
-B
A
B
C=A-B
A
B
C=-D
A-B = - (B-A)
D=B-A
-A
3.4 MÉTODO ANALÍTICO
El método analítico consiste en hablar de vectores con respecto a un sistema de referencia, en el caso del
plano, éste es el plano cartesiano.
4 3 2 -
y+
A
1 l
l
l
l
l
-5 -4 -3 -2 -1
-
l
1
l
2
l
3
l
4
l
5
l
6
x+
-3 -2
79
Una vez elegido el plano, se definen las componentes Ax y Ay de un vector como las proyecciones o sombras
del vector sobre los ejes coordenados, éstas se obtienen trazando paralelas a los ejes a partir de la terminación
del vector.
y +
4 3 2
Ay
A
-
1 -
-1

l
l
-
l
Ax
l
l
l
l
4
5
6
x +
3.4.1 CÁLCULO LAS COMPONENTES DE UN VECTOR
Cuando se nos proporciona la magnitud del vector y su orientación mediante el ángulo, se procede a calcular
las componentes rectangulares del mismo utilizando las funciones trigonométricas de la siguiente forma:
Observando la ilustración anterior, vemos que se forma un triángulo rectángulo, en donde las componentes
vienen siendo los catetos y la hipotenusa la magnitud del vector. Aplicando las funciones trigonométricas:
sen 
cateto opuesto Ay

hipotenusa
A
despejando la componente vertical:
Ay  A sen
cos  
cateto adyacente Ax

hipotenusa
A
despejando la componente horizontal:
Ax  A cos 
3.4.2 CÁLCULO DE UN VECTOR
Cuando se nos proporcionan las componentes rectangulares (Ax y Ay ) de un vector, se puede conocer su
magnitud aplicando el teorema de Pitágoras y su orientación mediante la función tangente del ángulo.
Del teorema de Pitágoras:
hipotenusa  (cateto adyacente) 2  (cateto opuesto) 2
80
en nuestro caso,
A  ( Ax ) 2  ( Ay ) 2
para su orientación:
tan  
Ay
cateto opuesto

hcateto adyacente Ax
despejando el ángulo
 Ay
 Ax
  tan 1 



Un vector puede tener un gran número de componentes, todo depende del sistema de referencia que se
seleccione, así por ejemplo, en mecánica es muy común trabajar con planos inclinados, la labor se facilita si
se elige un sistema de referencia en donde uno de los ejes sea paralelo al plano inclinado. Para tal sistema de
referencia tenemos las siguientes componentes para el vector anterior.
-
y+
l
x+
l
-
5
l
-
l
l
-
Ay = 0
l
l
A
A=
=A
x
-
La labor se facilita debido a que la componente en el eje x del vector es la magnitud del vector, no teniendo
componentes en el eje vertical.
3.4.3 SUMA DE VECTORES MEDIANTE EL MÉTODO ANALÍTICO
Ilustraremos la suma de vectores mediante la siguiente figura:
B
B y

Cy = Ay + By
A
Ay

Ax

Bx
Cx = A x + B x
81
De la figura se observa que las componentes rectangulares del vector suma (C) vienen dadas en función de las
componentes rectangulares de los dos vectores que se van a sumar es decir:
C x  Ax  Bx
C y  Ayx  B y
La magnitud del vector resultante se encuentra aplicando el teorema de Pitágoras:
C  C  (C x ) 2  (C x ) 2
La orientación del vector resultante se encuentra a partir de la función trigonométrica tangente del ángulo:
 Cy
 Cx
  tan 1 



Donde las componentes Ax , Bx , Ay y By vienen dadas en función de las magnitudes de sus respectivos
vectores y sus ángulos:
Ax  A cos 
Bx  B cos
Ay  A sen
B y  B sen
EJERCICIO:
La magnitud del vector A es de 200 unidades y forma una ángulo de 30 0 con respecto a la horizontal; la
magnitud del vector B es de 300 unidades y forma una ángulo de 1350 con respecto a la horizontal; la
magnitud del vector C es de 150 unidades y forma un ángulo de 235 0 con respecto a la horizontal. Todos los
ángulos son medidos en sentido contrario a las manecillas del reloj.
a) Utilizando el método gráfico, encuentre:
i) A+B+C
ii ) B + A + C
iii ) A - B + C
iv ) C - B - A
Primero veamos la orientación de los vectores y elijamos una escala para sus magnitudes.
82
235 0
B
A
30
135 0
0
C
Ahora llevémoslos a un plano
y
200
B
100
A
-300
100
-100
-200
200
C
300
x
-100
Procedamos a sumarlos geométricamente mediante el método del polígono, utilizando el transportador para
medir los ángulos y el juego de escuadras para trazarlos.
y
y
A
300
- 300
C
B
200
C
B
D = A + B + C
- 200
D = B + A + C
100
- 100
A
100
-100
-200
l
-300
x
200
l
-10 0
l
-200
l
100
-100
x
-100
y
y
A
100
l
100
l
-100 -
-200
-
-100
C
l
100
200
300
400
x
x
-100
- A
-200
-B
-
100
-
F = C - A - B
-300
-200 -
E = A - B + C
C
-B
-400
b) Encuentre los puntos del i ) al iv ) del inciso anterior pero utilizando el método analítico.
Para aplicar el método analítico, se requieren conocer las componentes rectangulares de los vectores, siendo
estas:
Ax = A cos
 A = 200 cos 300 = 173.205
83
Ay = A sen
A
Bx = B cos
 B = 300 cos 1350 = -212.132
By = B sen
B
Cx = C cos
 C = 150 cos 2350 = -86.036
Cy = C sen
C
= 200 sen 300 = 100
= 300 sen 1350 = 212.132
= 150 sen 2350 = -122.872
i)D=A+B+C
Las componentes rectangulares sobre los ejes del vector resultante vienen dadas por:
Dx = Ax + Bx + Cx = 173.205 + (-212.132 ) + ( -86.036 ) = -125.063
Dy = A y + By + Cy = 100 + 212.132 + ( -122.872 ) = 189.259
La magnitud del vector D es:
D  D  ( Dx ) 2  ( Dy ) 2  (125.063) 2  (189.259) 2
D  D  15640.753  35818.96  51459.723  226.847
Su dirección:
 Dy
 Dx
 D  tan 1 

189.259 
1
0
  tan 1 
  tan (1.5133)  56.543
  125.063 

ii ) D = B + A + C
Las componentes rectangulares sobre los ejes del vector resultante vienen dadas por:
Dx = Bx + Ax + Cx = (-212.132 ) +173.205 + ( -86.036 ) = -125.063
Dy = By + A y + Cy = 212.132 + 100 + ( -122.872 ) = 189.259
La magnitud del vector D es:
D  D  ( Dx ) 2  ( Dy ) 2  (125.063) 2  (189.259) 2
D  D  15640.753  35818.96  51459.723  226.847
La dirección es:
 Dy
 Dx
 D  tan 1 

189.259 
1
0
  tan 1 
  tan (1.5133)  56.543
  125.063 

84
Obteniendo los mismos resultados que en el inciso anterior debido a la ley conmutativa de la suma de
vectores.
iii ) A - B + C
Las componentes rectangulares sobre los ejes del vector resultante vienen dadas por:
Ex = Ax - Bx + Cx = 173.205 - (-212.132 ) + ( -86.036 ) = 299.301
Ey = A y - By + Cy = 100 - (212.132 ) + ( -122.872 ) = -235.004
La magnitud del vector E es:
E  E  ( E x ) 2  ( E y ) 2  (299.301) 2  (235.004) 2
E  E  89581.088  55226.88  144807.96  380.536
La dirección es:
 Ey
 Ex
 E  tan 1 

 235.004 
1
0
  tan 1 
  tan (0.78517)  38.138
 299.301 

NOTA: Se eligió la letra E debido a que el vector E es diferente del vector D
iv ) C - B - A
Las componentes rectangulares sobre los ejes del vector resultante vienen dadas por:
Fx = Cx - Bx - Ax = ( -86.036 ) - (-212.132 ) - 173.205 = -47.109
Fy = Cy - By - A y = ( -122.872 ) - 212.132 - 100 = -435.004
La magnitud del vector F es:
F  F  ( Fx ) 2  ( Fy ) 2  (49.109) 2  (435.004) 2
E  E  2219.257  189228.48  191447.737  437.547
La dirección es:
 Fy
 Fx
 F  tan 1 

 435.004 
1
0
  tan 1 
  tan (9.23398)  83.8192

47
.
109



NOTA: Se eligió la letra F debido a que el vector F es diferente del vector E y del vector D.
c) Encuentre el valor de los siguientes productos escalares:
85
v ) AB
vi ) B  A
La magnitud del vector A es de 200 unidades y forma una ángulo de 30 0 con respecto a la horizontal; la
magnitud del vector B es de 300 unidades y forma una ángulo de 135 0 con respecto a la horizontal.
Solución:
v ) A  B  A B cos   AB cos 
donde q es el menor ángulo que se forma entre los vectores A y B, el cual se obtiene a partir de:
 AB   B   A  1350  30 0  1050
sustituyendo:
A  B  AB cos   (200)(300) cos1050  60000(0.25881)  15529.142
vi )
B  A  B A cos   BA cos   (300)(200) cos 1050  15529.142
Obteniendo el mismo resultado anterior.
d) Encuentre el vector resultante de los siguientes productos vectoriales.
vii ) A  B
La magnitud del vector A es de 2 unidades y forma una ángulo de 300 con respecto a la horizontal; la
magnitud del vector B es de 3 unidades y forma una ángulo de 135 0 con respecto a la horizontal.
Antes que nada, representamos nuevamente a ambos vectores en un plano (por ejemplo en el xy), utilizando
como sistema de referencia el tridimensional (xyz).
plano yz
z
no
pla
xz
G
B
105 0
x
300
A
a
pl
no
xy
y
Para encontrar la magnitud, definimos al vector G como:
G  A B
86
su magnitud viene dada por:
G  G  A B sen AB  (2)((3)sen1050  5.795
Aunque en la figura no está a escala.
viii ) Encuentre el producto vectorial de: B  A
Para encontrar la magnitud, definimos al vector H como:
BA  H
su magnitud viene dada por:
H  H  B A sen AB  (3)(( 2)sen1050  5.795
su dirección se indica en la siguiente figura:
z
n
pla
plano yz
z
ox
B
105 0
x
300
pl
A
a
no
xy
y
H
donde:
G=-H
AxB=-BxA
3.4.4 REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE LOS VECTORES: VECTORES UNITARIOS
Para representar un vector en forma vectorial, lo analizaremos mediante los siguientes ejemplos:
A A
Es una simbología incorrecta, ya que un vector no puede ser igual a un escalar como lo es la magnitud de un
vector.
A  Ax  Ay
Simbología incorrecta, ya que un vector no puede ser igual a la suma de dos escalares como lo son las
componentes rectangulares de un vector.
87
A  Ax  Ay
Simbología incorrecta, ya que la magnitud de un vector se determina mediante el teorema de Pitágoras.
Como se puede apreciar, aún no contamos con una terminología para describir a un vector en notación
vectorial. Para suplir esta falta de información, se definen los vectores unitarios
iˆ , ˆj cuya magnitud como su
propio nombre lo indica es la unidad y su dirección es a lo largo de los ejes coordenados y saliendo del
origen. Veámoslos en el plano.
2 -
y+
1 j
l
l
-2
-1
i
l
l
l
l
1
2
3
4
x+
-1 -2 -
Para indicar que se trata de un vector unitario, encima de la letra se le pone un gorrito, la letra
para el vector unitario en la dirección del eje de las x positivo y la letra
iˆ se reserva
ĵ para el vector unitario en la
dirección del eje de las y positivo. Al igual que en la notación para vectores, estos también pueden ser escritos
en negritas, por ejemplo:
i  iˆ
j  ĵ
i  j 1
Toda vez que han sido los vectores unitarios, también conocidos como vectores direccionales, un vector se
puede expresar de la siguiente forma:

A  A  Ax iˆ  Ay ˆj  Ax i  Ay j
donde tenemos que un vector( A ) es igual a la suma de un escalar ( Ax ) por un vector ( i )mas otro escalar (
Ay ) por otro vector ( j )
La magnitud del vector es:
A  ( Ax ) 2  ( Ay ) 2
88
su dirección:
 Ay 

A
 x
  tan 1 
Por ejemplo:
A = 5 i + 3j
La magnitud es:
A  A  5 2  3 2  25  9  34  5.83
La dirección es:
 Ay
 Ax
  tan 1 

3
  tan 1    tan 1 (0.6)  30.96 0
5

Su representación en el plano es:
y+
3 
2 1 -

l
1
l
-1
l
2
l
3
l
4
l
5
l
6 x+
-1 -
Sumar los siguientes vectores:
A=4i+5j
B=6i+2j
Solución
C = A + B = (4 i + 5 j ) + (6 i + 2 j )
=4i+6i+5j+6j
= (4 + 6) i + (5 + 6) j
=10 i + 11 j
En su forma mas sencilla, es sumar todas las i y todas las j (operación que se puede hacer mentalmente)
La magnitud del vector suma o resultante es:
89
C  C  (10) 2  (11) 2  100  21  121  14.866
Su dirección:
 11 
1
0
  tan (1.1)  47.72
 10 
  tan 1 
Se solicita al alumno que encuentre este mismo resultado mediante el método gráfico y el analítico para que
vea la diferencia en la rapidez de los cálculos cuando los vectores son expresados en función de los vectores
unitarios.
Para ello considere las componentes de los vectores como:
Ax = 4 Ay = 5 ;
B x = 6 By = 2
Retomaremos nuevamente lo relativo al movimiento de un cuerpo que se mueve en un plano, redefiniendo en
función de los vectores los conceptos antes vistos en el movimiento unidimensional como son:
desplazamiento, velocidad y aceleración.
90
Problemario de Vectores
1.- Encontrar la componente horizontal y vertical de las siguientes fuerzas:
F = 260 lb.

= 600
F = 310 lb

= 2100
En problemas de vectores, cuando se proporciona la magnitud del vector y su orientación, se recomienda:
i) Hacer una representación gráfica en el plano para visualizarlo. Si el tratamiento que le vamos a dar es
por medio del método analítico, utilizar una regla u objeto recto (no es necesario usar el juego
geométrico). Se pueden representar utilizando aproximaciones tanto para la magnitud como para el
ángulo, guardando las proporciones cuando son mas de dos vectores. Lo anterior es para darnos una
idea global de lo que esperaríamos encontrar (Así por ejemplo, al observar la figura vemos que la
componente horizontal de F1 es menor que la de F2).
ii) Trazar líneas punteadas paralelas a los ejes coordenados a partir de la punta del vector.
iii) Escribir sobre los ejes las componentes de los vectores utilizando subíndices para identificarlas.
iv) Si el vector se encuentra en el I cuadrante, aplicar los conocimientos de funciones trigonométricas a
los triángulos rectángulos que se forman.
v) Cuando el ángulo es mayor de 900, existen dos opciones:
a.
La primera es aplicar las funciones trigonométricas (como si el vector estuviese en el primer
cuadrante) siempre y cuando el ángulo sea medido en sentido contrario a las manecillas del
reloj.
b.
La segunda es trazar el triángulo rectángulo que se forma identificando el cateto opuesto y el
adyacente y aplicar las funciones trigonométricas al triángulo formado. Adicionalmente,
observar hacia donde apunta el vector para darle los signos ( + , - ) a nuestros resultados, Así por
ejemplo, la componente horizontal del vector F2 apunta hacia la izquierda en sentido del eje xpor lo que a tal componente le habremos de agregar el signo negativo. Lo mismo ocurre para la
componente vertical, ya que el vector apunta en sentido del eje y-.
F1
F 1y
triángulo
rectángulo
F 2x
210-180 =30 0
210 0
60 0
triángulo
rectángulo
F 1x
F 2y
F2
91
Componentes rectangular horizontal del vector F1 .
Del triángulo rectángulo formado y señalado con sombra, aplicamos la función trigonométrica:
cat. ady. F1x

hip
F
1
cos 1 
despejando a la componente horizontal:
F1x  F1 cos  (260lb) cos 600  260lb(0.5)  130lb
Componente rectangular vertical del vector F1
De la función trigonométrica:
sen 
cat. op. F1 y

hip
F1
despejamos la componente vertical
F1y  F1 sen1  (260lb)sen600  260lb(0.8660)  225.16lb
Componente rectangular horizontal del vector F2
cos  2 
cat. ady. F2 x

hip
F
2
despejando a la componente horizontal:
F2 x  F2 cos 2  (310lb) cos1200  310lb(0.8660)  2268.47lb
Componente rectangular vertical del vector F2
sen 2 
cat. op. F2 y

hip
F2
despejamos la componente vertical
F2 y  F2 sen 2  (310lb)sen2100  310lb(0.5)  155lb
Para éste mismo vector F2 , encontraremos las componentes basándonos en el triángulo rectángulo que se
forma:
92
cateto adyacente
0
F2x 210
0
210-180 =30
cateto
opuesto
triángulo
rectángulo
F2y
F2
Componente rectangular horizontal de F2 con
cos  

= 300

= 300
cat. ady. F2 x

hip
F
2
despejando la componente horizontal:
F2 x  F2 cos  (310lb) cos 300  310lb(0.8660)  268.47lb
como el vector apunta en sentido de x- le agregamos el signo negativo
F2x
= - 268.47 lb
Componente rectangular vertical de F2 con
sen 
cat. op. F2 y

hip
F2
despejando la componente vertical:
F2 y  F2 sen  (310lb)sen300  310lb(0.5)  155lb
como el vector apunta en sentido de y- le agregamos el signo negativo
F2y = - 155 lb
2. Encontrar las componentes rectangulares de una fuerza de 50 Nt, cuya dirección forma un ángulo de 50 0
por encima de la horizontal.
3. Encontrar la magnitud y dirección de los vectores cuyas componentes son:
Ax = 10
Ay = 30
Bx = -10
By = 30
93
4. Encontrar la magnitud y dirección de los vectores cuyas componentes son:
Cx = -1 0
Dx = 10
Cy = - 30
Dy = - 30
5. Un cable arrastra un carro de mina con una fuerza de 120 Newton en una dirección de 1200 sobre la
horizontal. Encontrar las componentes rectangulares de esta fuerza.
6. Un aeroplano vuela 60 Km. en una dirección de 400 al Oeste del Norte ¿Cuáles son las componentes
rectangulares del desplazamiento del avión?
7. Un barco navega hacia el noroeste con una rapidez de 40 Km/hr. Hallar la componente de su rapidez en
dirección del Oeste.
8. Encontrar la magnitud y dirección de la fuerza resultante producida por una fuerza vertical hacia arriba
de 40 Newton y una fuerza horizontal hacia la derecha de 30 Newton.
a) Por el método analítico
b) Por el método gráfico
9. Encontrar la magnitud y dirección de la resultante de tres fuerzas:
1
F1 = 5 Nt
= 45 0 ;
F2 = 3 Nt
2
= 180 0 ;
F3 = 7 Nw
 3 = 225 0
a) Método gráfico
b) Método analítico
10. Un vector D tiene 2.5 m de magnitud y apunta hacia el Norte. ¿Cuáles son las magnitudes y direcciones
de los siguientes vectores?
a) - D
b) D / 2
c) -2.5 D
d) 4.0 D
11. Calcular el producto punto y la magnitud del producto cruz de los vectores:
a) F1 = 260 lb ;
1 = 600
F2 = 310 lb ;
b) Cx = -10
Cy = -30
Dx = 10
2
= 2100
Dy = - 30
12. Dos vectores A y B tienen las siguientes componentes:
Ax = 3.2
Ay = 1.6
Bx = 0.5
By = 4.5
a) Encontrar el ángulo entre los dos vectores.
13. Encontrar las componentes x y y de un vector ( B ) que sea perpendicular a A y que tenga 5 unidades de
longitud.
Bx = ?
By = ?
B=5
94
CAPÍTULO IV
MOVIMIENTO EN UN PLANO
4.1 DESPLAZAMIENTO EN EL PLANO
Sea r1 el vector de posición inicial que ubica a la partícula en el plano cartesiano, cuando ésta está en el punto
de coordenadas ( x1 , y1 ) en el instante de tiempo t1.
Sea r2 el vector de posición final que ubica a la partícula en el plano cartesiano cuando está en el punto de
coordenadas ( x2 , y2 ) en el instante de tiempo t2.
Se define el vector A o cambio de posición como aquél que va desde la posición inicial de coordenadas ( x 1 ,
y1 ) hasta la posición final de coordenadas ( x2 , y2 ). Veámoslos gráficamente:
y+
trayectoria del cuerpo
( x2 , y2 )
y2
A
 y = y2 - y 1
y1
( x 1, y 1 )
r2
r1
x1
 x = x2 -x 1
x2
x+
donde:
x  x2  x1 es la componente del vector A en el eje x
y  y2  y1 es la componente del vector A en el eje y
A  A  (x) 2  (y ) 2  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 es la magnitud del vector A
la cual representa la distancia entre la posición inicial y la final, mas no la distancia recorrida por el cuerpo,
puesto que la trayectoria que siguió la partícula es diferente.
Analizando a los vectores que tenemos en la figura, observamos que el vector r2 es la resultante de sumar los
vectores r1 y A; esto es:
r2 = r1 + A
despejando al vector A (siguiendo las reglas del álgebra) tenemos que:
A = r2 - r 1
95
definiéndose a A como r , tenemos que:
r = r2 - r1
lo cual en expresiones verbales representa:
Cambio de posición o Desplazamiento = Posición final - Posición inicial
No olvidemos que el Desplazamiento es un vector, que tiene magnitud, unidad, dirección y sentido.
La magnitud viene dada por:
A  A  r  r2 - r1  (x) 2  (y ) 2  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2
La unidad en:
metros
Para determinar su dirección y sentido, calculamos el ángulo mediante:
  tan 1
y
x
4.2 VELOCIDAD MEDIA EN EL PLANO
Ya que tenemos la definición de desplazamiento o cambio de posición, procedamos a calcular que tan rápido
se realizaron tales cambios.
Como una primera aproximación, una forma de calcularlas es mediante el cociente de:
Desplazami ento r
cuyas unidades son m/s

tiempo
t
Éste concepto así definido recibe el nombre de velocidad media, para ver que tipo de cantidad física es
(escalar o vectorial) analicemos el cociente:
r es una cantidad vectorial
t es una cantidad escalar
Y el cociente se puede expresar como:
r  1 
  r 
t  t 
lo que representa la multiplicación de un escalar (
1
) por un vector ( r ), obteniendo un nuevo vector que
t
es k veces mayor, menor o igual.
La magnitud viene dada por:
96

vm  v  v m 
m
r
1
1

r 
r
t
t
t
donde el subíndice m indica media. Tal magnitud representa la rapidez del vector velocidad media.
El vector velocidad media tiene la misma dirección y sentido que el vector que le da origen, esto es,  r .
Con respecto a la velocidad media en el plano, existen dos casos importantes de analizar:
i)
Uno de ellos es cuando la trayectoria coincide con la dirección del desplazamiento.
ii)
El otro que es el más general, cuando la trayectoria es cualquier otra trayectoria diferente a la del
caso anterior.
El primer caso no presenta mayor problema ya que se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (la
magnitud de la velocidad media es constante, siempre con la misma dirección y sentido) o uniformemente
acelerado (la magnitud de la velocidad media es variable pero siempre con la misma dirección y sentido).
Ya sea uniforme o uniformemente acelerado, aunque la partícula se mueva en un plano, ésta se está moviendo
a lo largo de una línea recta, siendo el tema que se abordó en el movimiento unidimensional aunque no en
forma vectorial.
El que habremos de analizar es el otro caso cuando la partícula siga una trayectoria diferente a la del vector
desplazamiento. Dicho análisis se puede subdividir en dos aspectos, tratando de seguir la misma tónica
anterior de analizar el problema en su forma mas sencilla y posteriormente aumentar el grado de complejidad.
El más sencillo es cuando la partícula sigue una trayectoria curvilínea pero con magnitud del vector velocidad
media constante (misma rapidez). El más complejo es aquél donde la partícula sigue una trayectoria
curvilínea pero la magnitud del vector velocidad media es variable (la rapidez cambia de instante a instante).
Analizaremos el primer caso a partir de la siguiente ilustración. Para ello tomamos tres posiciones diferentes
que estén sobre la trayectoria de la partícula.
y+
2
 r1 2
1
r1
 r1 3
3
trayectoria
r2
r3
x+
97
La magnitud del vector
v m12  v m12 
v m12 es:
r12
t12
Con misma dirección y sentido que
La magnitud del vector
v m13  v m13 
r12
v m13 es:
r13
t13
Con misma dirección y sentido que
r13
Suponiendo que la rapidez es constante, es decir:
v m12  v m13  vm  ctte.
a pesar de ello, los vectores velocidad media son diferentes debido a que no tienen la misma dirección (para
que dos o mas vectores sean iguales, deben tener la misma magnitud, unidad, dirección y sentido, si una de
esas condiciones cambia, entonces son diferentes).
v m12  v m13
con:
t12  t13
Luego entonces, nos vemos obligados a decir que el vector velocidad media está cambiando de instante a
instante y el concepto de velocidad media es insuficiente para describir el movimiento de la partícula en un
plano cuando su trayectoria es curvilínea. Para suplir esta deficiencia de información, se genera el concepto
de velocidad instantánea en el plano.
4.3 VELOCIDAD INSTANTÁNEA EN EL PLANO
Analicemos nuevamente la figura pero con mayor detalle, siguiendo el siguiente procedimiento:
o
Elegir un punto de coordenadas (x0 , y0 ) que esté sobre la trayectoria de la partícula, en el instante de
tiempo t0.
o Elegir otro punto de coordenadas (x , y ) que también esté sobre la trayectoria pero en un instante de
tiempo ( t10 ), posterior a t0 , es decir t10 > t0
o Calcular la velocidad media entre esos dos puntos para ver su dirección y sentido
98
y+
trayectoria
(x 0 ,
 r0 ,10
y
)
0
(x10 , y
10 )
t 10
t0
r0
r10
x+
velocidad media entre t0 y t10
v m 0,10 
r0,10
t0,10

r10  r0
t10  t0
misma dirección que r0 ,10
o
Elegir el mismo punto de coordenadas (x0 , y0 ) en t0 y otro punto que también esté sobre la
trayectoria pero en un instante de tiempo t9 anterior a t10.
o Calcular la velocidad media entre este nuevo par de posiciones para ver su dirección y sentido.
o Comparar las velocidades medias obtenidas, así como los respectivos intervalos de tiempo.
y+
trayectoria
(x 0 , y0 )
r0 ,9
(x9 , y9 )
t9
t0
r0
r9
x+
velocidad media entre t0 y t9
v m 0,9 
r0,9
t0,9

r9  r0
t9  t 0
misma dirección que r0,9
99
comparando las dos velocidades medias anteriores así como los intervalos de tiempo:
v m 0,10  v m 0,9
t 0,9  t 0,10
Analizando lo anterior, podemos decir que:
i) Nos estamos moviendo sobre la trayectoria de la partícula.
ii) Encontramos vectores de velocidades medias diferentes (aunque puedan ser igual en magnitud).
iii) Que el intervalo de tiempo lo estamos reduciendo y
iv) Nos estamos acercando al punto de coordenadas ( x0 , y0 ) en el instante de tiempo t0.
Seguimos desarrollando el mismo procedimiento de acercarnos mas al instante de tiempo t 0 eligiendo otro
instante de tiempo menor ( t8 ).
o
Elegir el mismo punto de coordenadas (x0 , y0 ) en t0 y otro punto que también esté sobre la
trayectoria pero en un instante de tiempo t8 anterior a t9.
o
Calcular la velocidad media entre este nuevo par de posiciones para ver su dirección y sentido.
o Comparar las velocidades medias obtenidas, así como los respectivos intervalos de tiempo.
y+
(x8 , y 8)
 r0
,8
t8
trayectoria
(x 0 , y 0 )
t0
r8
r0
x+
velocidad media entre t0 y t8
v m 0 ,8 
r0,8
t 0,8

r8  r0
t8  t 0
misma dirección que r0 ,8
comparando las velocidades medias anteriores así como los intervalos de tiempo:
v m 0,10  v m 0,9  v m 0,8
100
t 0,8  t 0,9  t 0,10
Analizando lo anterior, podemos decir que:
i) Nos estamos moviendo sobre la trayectoria de la partícula.
ii) Encontramos vectores de velocidades medias diferentes (aunque puedan ser igual en magnitud).
iii) Que el intervalo de tiempo lo estamos reduciendo y
iv) Nos estamos acercando al punto de coordenadas ( x0 , y0 ) en el instante de tiempo t0.
Para abreviar, diremos que podemos seguir repitiendo el mismo procedimiento una infinidad de veces, de tal
manera que las parejas de puntos (x0 ,y0) y (x , y ) estén tan cerca uno del otro que prácticamente estaremos
trabajando con la sección recta de una curva. En dichos puntos, los vectores velocidades medias variarán muy
poco en magnitud, dirección y en sentido, siendo el intervalo de tiempo
t tan pequeño como nosotros
queramos (próximo a cero), cuando ocurre esto, la dirección del vector velocidad media es tangente a la
trayectoria y el intervalo de tiempo se dice que tiende a cero (pero sin hacerse cero) y prácticamente estamos
trabajando alrededor del instante de tiempo t0 por lo que la velocidad media recibe el nombre de velocidad
instantánea.
Veámoslo en una última gráfica:
prolongación
de  r
y+
(x 0, y0)
t0
trayectoria
r0
tangente a la
curva en el
instante de
tiempo
t0
r
..
(x,y)
t
r
x+
Lo anterior se expresa en simbología matemática de la siguiente manera:
r - r0 dr
r
 lim

 t 0 t
 t 0 t  t
dt
0
Velocidad instantánea = v  lim v m  lim
 t 0
que no es otra cosa mas que la derivada del vector de posición con respecto al tiempo. El significado de la
derivada es la tangente a la curva en un punto y consecuentemente en un instante de tiempo.
101
Con dicho concepto, podemos conocer la dirección y el sentido del vector velocidad en cualquier instante de
tiempo, lo único que tenemos que hacer es trazar la tangente a un punto sobre la trayectoria de la partícula.
Con esto, la velocidad instantánea siempre será tangente a la trayectoria.
Veámoslo gráficamente utilizando la misma gráfica con la que desarrollamos el concepto de velocidad
instantánea y supondremos que la rapidez con la que se mueve la partícula es constante (la flecha que
representa a la velocidad instantánea tendrá siempre la misma longitud).
y +
v4
v3
trayectoria
v2
v1
v5
v6
v1 = v 2 = v 3= v 4 = v 5 = v 6
aunque las magnitudes sean iguales
x +
4.4 ACELERACIÓN MEDIA EN EL PLANO
Como se puede apreciar en la gráfica anterior, el vector velocidad constantemente está cambiando de
dirección (aunque la magnitud de la velocidad sea la misma). Por ese solo hecho de que los vectores no sean
iguales implica que existe un cambio en el vector velocidad. Dicho cambio viene dado por:
v  v f  v i
que viene siendo un nuevo vector que surge de la diferencia de dos vectores, que como ya se vio
anteriormente, también se puede expresar como:
v  v f  ( v i )
es decir, como la suma del vector velocidad posterior mas el negativo del vector velocidad anterior.
Veámoslo gráficamente.
y+
v4
v3
trayectoria
v2
v
-v
v
v5
v6
1
v4
-v2
1
v2
v
v3
v
v
-v3
todos los v son diferentes
v5
-v4
v
x+
- v5
v6
102
En este caso, podemos observar que todos los cambios de velocidad son diferentes, cada cambio del vector
velocidad tiene su propia magnitud, dirección y sentido, por tal motivo nos preguntamos ¿Que tan rápido está
cambiando de velocidad el cuerpo?
Una forma de calcular dichos cambios son por medio del cociente:
v v  v 0

t
t  t0
que recibe el nombre de aceleración media, luego entonces:
Aceleración media = a m 
Cuyas unidades son en
v
t
m
s2
De igual forma que en el concepto de velocidad media, tenemos la multiplicación de un escalar por un vector,
lo cual nos da un nuevo vector, es decir, la aceleración media es un vector, cuya magnitud es:
am  a m 
1
v
t
con misma dirección y sentido que
v
Para calcular la aceleración instantánea, se recurre al mismo procedimiento que se siguió para calcular la
velocidad media, llegándose de esa forma al concepto de:
v - v 0 dv d (dr ) d 2r
v
Aceleración instantánea = a  lim a m  lim
 lim



 t 0
 t 0 t
 t 0 t  t
dt d (dt ) dt 2
0
Existen dos casos especiales cuando la aceleración media es igual a la aceleración instantánea, en los cuales el
vector aceleración siempre tiene la misma magnitud, misma unidad, misma dirección y sentido.
Tales casos son: Movimiento de proyectiles o tiro parabólico y el movimiento circular uniforme, los cuales
pasaremos a abordar a continuación.
4.5 MOVIMIENTO DE PROYECTILES
El movimiento de proyectiles o tiro parabólico se refiere a aquellos cuerpos que al ser lanzados cerca de la
superficie terrestre describen una trayectoria parabólica bajo las siguientes condiciones:
o
Que el lugar donde se efectúa el lanzamiento no presente resistencia al objeto lanzado, ya que con
resistencia del aire la trayectoria tomaría otras formas.
103
y+
y+
sin resistencia del aire
o
x+
con resistencia del aire
x+
Que el lanzamiento no sea muy elevado, de tal manera que la aceleración pueda considerarse
constante. En estos casos, la aceleración es la aceleración de la gravedad, y g varía con la altura.
o
Que el lanzamiento no sea de muy largo alcance, de tal manera que la superficie de la tierra pueda
considerarse plana. Por ejemplo, en lanzamientos transcontinentales la trayectoria toma formas de
elipses.
Con las anteriores restricciones tenemos los siguientes ejemplos (entre otros muchos) de cuerpos que
describen una trayectoria parabólica:
Una pelota de béisbol al ser golpeada por un bat.
Una pelota que rueda sobre una superficie horizontal alta y que cae al suelo.
La bala de un cañón al ser disparada con un ángulo de elevación.
El primer ejemplo es de los considerados casos generales ya que la pelota es golpeada desde una cierta altura,
saliendo con un ángulo de elevación diferente de cero y cae en tierra.
El segundo ejemplo es un caso particular que es conocido como tiro horizontal, donde el objeto sale con un
ángulo de cero grados con respecto a la horizontal.
El tercer ejemplo también es considerado un caso especial (Blancos y Alcances) y es cuando un objeto sale de
un nivel (tierra) y llega a ese mismo nivel (tierra).
Para entrar en materia, diremos que el movimiento de proyectiles o tiro parabólico es un movimiento
resultante o compuesto de dos movimientos, uno horizontal y uniforme y el otro vertical y uniformemente
acelerado, ambos movimientos son a ángulos rectos y su combinación produce el movimiento resultante.
Los movimientos que se dan a ángulos rectos son independientes entre sí, la presencia de uno (el horizontal)
no influye o altera al otro (al vertical) y viceversa, el vertical no influye o altera al horizontal. Para demostrar
lo anterior, realicemos el siguiente experimento:
Se lanza una pelota con una velocidad inicial sobre una mesa alta y sin rozamiento (no hay resistencia al
objeto lanzado), si considerásemos que dicha mesa es infinitamente larga, entonces la pelota se movería en
movimiento rectilíneo uniforme, es decir siempre tendrá la misma velocidad, recorriendo distancias iguales en
iguales intervalos sucesivos de tiempo. Lo anterior lo ilustraremos en la siguiente figura:
104
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
movimiento horizontal.- si la mesa es infinita y no presenta
resistencia al objeto lanzado, éste se seguirá moviendo con la
misma velocidad inicial con la que fué lanzado, la velocidad en
x (v 0x = vx = ctte.) siempre será la misma.
Como complemento al experimento, ahora dejemos caer la pelota desde el borde de la mesa y analicemos el
movimiento. Dicho movimiento será de caída libre, recorriendo el cuerpo distancias cada vez mayores para
los mismos intervalos de tiempo, es decir la velocidad cada vez será mayor. Ilustrémoslo con la siguiente
figura:
y
 t
y
movimiento vertical.- es uniformente
t
 acelerado, en los mismos intervalos de
tiempo el cuerpo recorre cada vez
mayor distancia, es decir su velocidad
 t vertical (v y ) se va incrementando
Se considera que cuando va en el aire
no hay oposicion al objeto que se deja
 t caer (sin resistencia de ninguna índole)
y
 t
y
y
Ahora combinemos ambos movimientos, pero en el caso del movimiento horizontal, ya no consideraremos
una mesa infinita sino que ésta es corta, alta y sin fricción. En todo caso, como no hay resistencia al objeto
lanzado horizontalmente, éste tenderá a continuar moviéndose de la misma forma en el eje x, es decir
uniformemente.
Adicionalmente, recordemos que las velocidades son vectores que se pueden sumar para obtener la resultante.
La combinación de ambos movimientos se ilustra en la siguiente figura:
105
 t
x
 t
x
y  t
 t
 t
x
 t
x
 t
x
 t
x
 t
x
y
y  t
trayectoria
y  t
vx
vy
uniformemente
acelerado
y  t
uniforme
V
resultante
que es
tangemte a la
trayectoria
Obteniendo una trayectoria parabólica.
4.5.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO DEL TIRO PARABÓLICO
Antes de ver las ecuaciones de movimiento, debemos recordar lo relativo a la descomposición de vectores en
sus componentes rectangulares:
v 0 y = V 0 sen 0
V0
0
v0 x = V 0 cos  0
Para las ecuaciones, recordemos que los movimientos son independientes, teniendo en consecuencia uno
horizontal y uniforme y otro vertical y uniformemente acelerado, siendo las mismas ecuaciones anteriormente
vistas para ambos movimientos, con la salvedad de que trabajamos en un plano por lo que se agrega a las
velocidades el subíndice x o y dependiendo si la velocidad es horizontal o vertical respectivamente.
MOVIMIENTO HORIZONTAL (Uniforme)
x  x0  v0 x t
v0 x  vx  V0 cos 0  ctte.
106
MOVIMIENTO VERTICAL (Uniformemente Acelerado)
y  y 0  v0 y t 
y  y0 
1 2
gt
2
1
v y  v0 y t
2
v  v0  gt
v y  v02y  2 g  y  y0 
2
MOVIMIENTO COMBINADO O RESULTANTE:
Dicho movimiento resulta de combinar la primera ecuación de cada movimiento. Del movimiento horizontal
despejamos el tiempo (con x0 = 0) obteniendo:
t
x
v0 x
el cual sustituimos en la primera ecuación del movimiento vertical.
 x  1  x 
  g 

y  y0  v0 y 
 v0 x  2  v0 x 
2
desarrollando:
y  y0 
(v0 y ) x
v0 x

gx 2
2(v0 x ) 2
sustituyendo las componentes v0y y v0x según el dibujo anterior:
y  y0 
( V0 sen 0 ) x
V0 cos  0

gx 2
2( V0 cos  0 ) 2
reduciendo términos:
y  y0  x tan  0 
gx 2
2V0 cos 2  0
Que es la expresión matemática de una parábola de la forma: Y = a + b X + c X 2.
4.5.2 CASOS ESPECIALES DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILES
4.5.2.1 TIRO HORIZONTAL
Este caso se da cuando se dispara un objeto horizontalmente desde una cierta altura. Debido a esto:
107
El ángulo inicial de salida es de cero grados.
 0  00
La magnitud del Vector velocidad inicial es igual a la componente horizontal de la velocidad inicial y como el
movimiento horizontal es uniforme, también es igual a la velocidad horizontal en cualquier instante de
tiempo.
V0 = l V0 l = v0 x = vx
La componente del Vector velocidad inicial en el eje vertical es cero.
v0 y = 0
Eligiendo el sistema de referencia en el lugar de donde sale disparado el objeto, y con convención de signos +
hacia arriba, - hacia abajo, tenemos que:
x0 = 0
y0 = 0
y<0
donde la posición vertical ( y ) del cuerpo es negativa por encontrarse por debajo de nuestro origen.
Con las condiciones anteriores, las ecuaciones de movimiento se reducen a:
x  V0t
y
gt 2
2
v y   gt
v 2  v02  2a y  y  y0 
El tiempo que tarda en objeto en caer se encuentra despejando t de la segunda ecuación de movimiento.
t
 2y
g
4.5.2.2 BLANCOS Y ALCANCES
Este caso se refiere exclusivamente cuando el proyectil sale disparado con un ángulo de inclinación desde un
nivel y llega nuevamente a ese mismo nivel. (por ejemplo, sale de tierra y llega a tierra).
Debido a lo anterior, tenemos que:
v0 x = l V0 l cos
0
108
v0 y = lV0 l sen
0
y = y0 = 0
Los aspectos principales a considerar son:
o
Tiempo total de vuelo.
o
Alcance horizontal máximo que alcanza el proyectil
o
Altura máxima que alcanza el proyectil en su recorrido.
TIEMPO TOTAL DE VUELO ( tt )
Se encuentra a partir de la condición y = y0 = 0 y de la primera ecuación para el movimiento vertical:
y  y 0  v0 y t 
0  0  v0 y t 
1 2
gt
2
1 2
gt
2
pasando uno de los miembros hacia la izquierda:
 v0 y t  
1 2
gt
2
dividiendo entre t en ambos miembros de la igualdad, multiplicando por -1 y despejando:
t
2v0 y
g
finalmente, se sustituye v0y
t
2 V0 sen 0
g
ALCANCE HORIZONTAL ( x = xmax. = R )
Se obtiene considerando que la máxima distancia horizontal recorrida se da cuando t es el tiempo total.
Sustituyendo el tiempo total en la ecuación de movimiento horizontal con x 0 = 0
x  x0  v0 x t
 2 V0 sen 0 

x  v0 x 

g


sustituyendo v0 x :
109
 2 V sen 0 

x  V0 cos  0  0

g


V0 V0
x
g
(2sen 0 cos  0 )
utilizando la identidad trigonométrica
2sen 0 cos  0  sen 2 0
V0 sen2 0
g
2
xmax . 
ALTURA MÁXIMA ( y = y max. )
La altura máxima se alcanza cuando t 
ttotal
x
o bien cuando x  máxima , sin embargo, es mas sencillo
2
2
encontrarla con la condición
y  ymax cuando v y  0
Es decir en el punto donde se alcanza la altura máxima:
o
La componente de la velocidad en el eje vertical se hace cero, ya que en caso contrario el cuerpo
todavía seguiría ascendiendo. Dicha componente hace que el cuerpo suba, disminuyendo su valor
hasta hacerse nula.
o
La componente horizontal es la que hace que el cuerpo avance y como es uniforme, en dicho punto
es tangente a la parábola.
Sustituyendo la condición anterior en la ecuación:
v y  v02y  2 g  y  y0 
2
tenemos que:
 v02y  2 g  y  y0 
multiplicando por -1 y despejando y tenemos que:
y
v02y
2g
sustituyendo v0y
110
y
( V0 sen 0 ) 2
2g
y
V0 sen 2 0
2g
2
ymax 
Analizando las expresiones de blancos y alcances, observamos que todas ellas dependen de:
La velocidad inicial V0
El ángulo de disparo
0
El valor de la gravedad g
o
En el caso del tiempo total, si mantenemos constante a la velocidad inicial V 0 y variamos el ángulo
de disparo, tendremos que para mayor ángulo mayor será el tiempo que tarda el objeto en caer.
o
Lo mismo sucede con la altura máxima, a misma velocidad pero a mayor ángulo, mayor altura
alcanzará.
Lo anterior se puede observar en la siguiente ilustración:
y+
t```> t``> t`
t```

``` ```
t``
misma
V0
```
 ``
t`
`
x+
En el caso del alcance horizontal, de la misma figura anterior, se puede observar que hay un ángulo especial
bajo el cual, el alcance máximo es aún máximo. Dicho ángulo se encuentra a partir de la expresión:
V sen2 0
 0
g
2
xmax .
y puesto que V0 y g son constantes, entonces el alcance depende de
sen 2 0 , además considerando que en
blancos y alcances, el ángulo varía de:
111
0 0   0  90 0
la función seno tiene el siguiente comportamiento:
0  sen 0  1
siendo su máximo valor la unidad. Consecuentemente de la expresión para el alcance máximo tenemos que:
sen2 0  1
resolviendo para el ángulo:
sen 2 0  sen 1 (1)
0 
1
sen 1 (1)
2
0 
1
(90 0 )
2
 0  450
Para ejemplificar lo anterior veamos la siguiente ilustración:
A partir de los 45 0
45
0
+
40 0
= 85
0
45 0 - 40 0 = 5 0
0
45 0 + 20 0 = 65
y+
85 0
45 0 - 20 0 = 25
65
Súbo 40
Bájo 40
Súbo 20
0
Bájo 20
mismo alcance
mismo alcance
0
45
0
25 0
50
misma
V0
x+
NOTA.- No debe de olvidarse que las ecuaciones encontradas para tiro horizontal y blancos y alcances, son
exclusivamente para casos especiales, no se pueden aplicar indistintamente a cualquier problema, en todo
caso, al resolver un problema se deben de aplicar las ecuaciones de tiro parabólico ya que las de casos
especiales se dedujeron de las generales al considerar ciertas condiciones iniciales y finales como son:
1.
y = y0 = 0 para tiro horizontal y alcance máximo
2.
vy = 0 para altura máxima.
112
PROBLEMARIO DE TIRO PARABÓLICO
1.
Una esfera viaja horizontalmente con una velocidad de 3 m/s por una mesa de altura de 1.2 m pega
en el suelo a una distancia de 1.5 m del borde de la mesa.
a) ¿Cuanto tiempo estuvo la esfera en vuelo?
2.
Un proyectil es disparado horizontalmente desde un cañón situado a 144 ft por encima de un plano
horizontal y con una velocidad inicial de 800 ft/s.
a) ¿Cuanto tiempo permanece el proyectil en el aire?
b) ¿A que distancia horizontal choca con el suelo?
c) Cual es la magnitud de la componente vertical de su velocidad al llegar al suelo?
3.
Un bombardero en picada a un ángulo de 53 0 con la vertical deja caer una bomba a una altura de 730
m. La bomba choca con la tierra 5 s después.
a) ¿Cual es la velocidad del bombardero?
b) ¿Cual fue la distancia horizontal recorrida por la bomba durante el vuelo?
c) ¿Cuales son las componentes horizontal y vertical de su velocidad justo en el momento de chocar
con tierra?
d) ¿Cual es la magnitud de su velocidad?
e) ¿Cual es el ángulo con el que llega a tierra?
4.
Dos esferas, 1 y 2, se lanzan con una velocidad horizontal v 1 y v2 desde el borde de una mesa siendo
v2 = 2v1 . La esfera 1 demora 0.5 s para llegar al suelo.
a) ¿Cuanto tiempo demora la esfera 2 para llegar al suelo?
b) Si la distancia a la que cae la esfera 1 es de 0.75 cm. ¿Cual es la distancia a la que cae la esfera 2?
5.
Un avión bombardero va en vuelo horizontal a 10 000 ft de altura sobre una franja de terreno plano.
Vuela a velocidad constante de 800 ft/s y suelta una bomba en determinado punto.
a) Determine la distancia entre el punto que está verticalmente debajo del aeroplano en el instante de
soltar la bomba, y el punto en que la bomba llega al suelo.
6.
Un proyectil es disparado haciendo un ángulo de 350. Llega al suelo a una distancia de 4 Km del
cañón. Calcular:
a) La velocidad inicial del proyectil.
b) El tiempo de vuelo.
c) La altura máxima que alcanza en proyectil en su recorrido.
7.
Desde una altura de 25 m se lanza horizontalmente una piedra con velocidad inicial v0 = 15 m/s.
Hallar:
a) El tiempo que se encontrará la piedra en movimiento hasta llegar al suelo.
b) La distancia de la base de la torre hasta donde caerá.
113
c) La velocidad (magnitud y sentido) con que llegará al suelo.
8.
Se dispara un proyectil desde lo alto de un cerro que tiene una altura de 180 m hacia un valle. El
proyectil tiene una velocidad de salida de 60 m/s y se dispara con un ángulo de elevación de 60 0 con
respecto a la horizontal.
a) ¿Cual es la distancia (uniendo los puntos de salida e impacto) que hay desde lo alto del cerro hasta
el sitio donde cae el proyectil?
9.
Se tiene una manguera colocada a un ángulo de 30 0 con respecto a la horizontal y a una altura de 1.1
m. Si la velocidad con que sale el chorro de agua es de 15 m/s. ¿A que distancia debo colocar un
recipiente en el suelo para recoger el agua?
10. Un jugador de básquetbol lanza desde el suelo la pelota con una velocidad inicial de 10 m/s y con un
ángulo de 530 con respecto a la horizontal. La canasta está situada a 6 m del jugador y tiene una
altura de 3 m. ¿Encestará la pelota?
11. Un muchacho que está a 4 m de una pared vertical, lanza contra ella una pelota. La pelota sale de su
mano a 2 m por encima del suelo con una velocidad inicial

v  10iˆ  10 ˆj (expresada en m/s)
Cuando la bola choca con la pared, se invierte la componente horizontal de su velocidad mientras
que permanece sin variar su componente vertical ¿Donde caerá la pelota?
V0
2 mts.
4 mts.
12. Un jugador lanza una pelota con una velocidad inicial

v0 de 16 m/s desde un punto A localizado a
1.5 m arriba del piso. Sabiendo que el techo del gimnasio tiene una altura de 6 m, determínese el
punto B más alto al que puede pegar la pelota en la pared a 18 m de distancia.
114
6m
Vo
h

1.5 m
1 8 mt s .
13. Una pelota lanzada a una plataforma en A rebota con una velocidad inicial
con la horizontal. Determínese el intervalo de valores de
v0 a un ángulo de 700
v0 para los cual es la pelota entrará por la
abertura BC
C
2 ft.
B
3 ft.
V
A

l
2.5 ft.
l
115
4.6 MOVIMIENTO CIRCULAR
4.6.1 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Analizaremos ahora el otro ejemplo de un movimiento en un plano, siendo éste el circular uniforme. De igual
forma que en los movimientos anteriores, nuestro problema es realizar una descripción completa de tal
movimiento, para introducirnos en él supongamos el siguiente ejemplo:
Describir el movimiento de una rueda de automóvil se encuentra girando en la misma posición. Suponga que
se le han hecho unas marcas localizadas en la parte interior del eje de rotación, en los tornillos, en la parte
interior del rin, en la parte exterior del mismo, así como en la parte media y en la exterior del hule de la llanta.
y+
r5
r 4
r2
r3 r
4
r5
r1 r2 r3
r4
r5
x+
Dichas marcas las localizamos a partir del centro de rotación mediante los vectores de posición r1 , r2. r3 , r4 ,
y r5.
Al girar la llanta, las marcas cambiarán de posición, pero tales cambios que se representan mediante Dr son
diferentes para cada marca, de tal forma que:
r5  r4  r3  r2  r1
es decir, en el mismo intervalo de tiempo
t , las marcas recorrerán distancias diferentes.
Al existir un cambio de posición en un intervalo de tiempo, tenemos asociada una velocidad media dada por:
vm 
r
t
cuya magnitud es:
vm  v m 
r
1

r
t
t
su dirección es la misma que la del desplazamiento, la cual se obtiene uniendo la posición inicial con la final
(es la misma dirección y sentido para todos los desplazamientos).
116
Sin embargo, como los cambios de posición son diferentes para los mismos intervalos de tiempo, tenemos que
las magnitudes:
vm5  vm 4  vm3  vm 2  vm1
y consecuentemente los vectores velocidad media también lo serán (Para que dos o más vectores sean iguales
deben de tener la misma magnitud, misma unidad, misma dirección y sentido, si alguno de estos parámetros
cambia, los vectores son diferentes).
v m5  v m 4  v m3  v m 2  v m1
y por lo tanto, cada partícula que se mueva en una trayectoria circular de radio r tendrá su propia ecuación de
movimiento, es decir, si tenemos n partículas moviéndose simultáneamente, tendremos n ecuaciones, lo cual
complica la descripción del movimiento.
Para salvar dicha dificultad, se requiere de un nuevo concepto bajo el cual se pueda hacer la descripción del
movimiento de las n partículas con una sola ecuación. Dicho concepto es el de velocidad angular y para
definirla, necesitamos conocer lo que son las cantidades angulares y la relación que estas guardan con
respecto a las cantidades lineales o tangenciales que hemos venido manejando. Para tal relación, se requiere
definir en primer lugar lo que es el ángulo y la forma común de medirlo, lo cual abordaremos a continuación:
4.6.1.1 ÁNGULO
El ángulo formado entre dos rectas que se unen en un punto llamado vértice se define como el cociente entre
el arco de circunferencia y el radio del círculo. Para representar simbólicamente a los ángulos, generalmente
se utilizan las letras del alfabeto griego,
r
radio de la
circunfere ncia
s
Arco de
circunferencia

Ángulo
v
Vértice
o eje de rotación

(alfa);
 (beta);  (gama);  (teta);  (fi), etc.
recta
r
s

v
recta
r

s
r
La forma común de medir ángulos es en sentido contrario a las manecillas del reloj.
117
Como s se mide en metros, lo mismo que r, el ángulo es una cantidad adimensional, es decir, no tiene
unidades, sin embargo, para saber de que cantidad estamos hablando se le da el nombre de radianes ( rad ),
grados ( 0 ), o revoluciones ( rev ).
Un radián es cuando la longitud del arco de circunferencia es igual a la longitud del radio (s = r ).
Para encontrar la equivalencia entre grados y radianes, sabemos que un circulo tiene 360 0, lo cual es una
revolución completa, así mismo, tenemos que 360 0 representan la longitud el perímetro de la circunferencia
(s
 2r ), luego entonces:
  3600 
s 2r

 2 rad  1 rev
r
r
Expresado de otra forma, dividimos el perímetro de la circunferencia en 360 partes iguales para obtener la
equivalencia de un grado en radianes
2r
r
s
r

3.1416
10   360  180 


 0.01745 rad
r
r
r
r180 180
180
Aplicando la regla de tres simple, se encuentra que:
1 rad = 57.30
4.6.1.2 VELOCIDAD ANGULAR MEDIA
Ya que tenemos la forma de medir los ángulos, analicemos nuevamente el movimiento de n partículas que se
mueven en trayectorias circulares de diferentes radios, buscando generalidades para todas ellas.
R
s 1
r
s 2

r
Para los dos cuerpos, el ángulo barrido (
R
 ) es el mismo, así como el intervalo de tiempo ( t )
Aplicamos la definición de velocidad media lineal o tangencial ( vm ):
vm 
s
t
118
De la definición de ángulo
 
s
r
despejamos
s
s  r
sustituimos en la ecuación de velocidad media
vm 
r 
t
El cociente de ángulo barrido entre intervalo de tiempo, es el mismo para cualquier partícula que se mueva en
una trayectoria circular, la velocidad lineal o tangencial dependerá de la distancia de la partícula al centro de
rotación. A dicho cociente, se le denomina velocidad angular media representándose con la letra griega
omega (

).
Velocidad Angular media =


t
sus unidades son:
rev
min
rev
s
ó
ó
1
s
ó
s 1
Para obtener la velocidad angular instantánea, se procede de igual forma que para la velocidad tangencial
instantánea, es decir, tomando el limite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, lo cual expresado en
símbolos es:
   0 d

 lim

 t 0 t
 t 0 t  t
dt
0
velocidad angular instantánea    lim   lim
 t 0
La relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular es:
v  r
es decir, la velocidad de la partícula es directamente proporcional a la velocidad angular y a la distancia al eje
de rotación. Como la velocidad angular es una constante para un sistema de partículas, la velocidad lineal
dependerá de la distancia de la partícula al eje de rotación, entre mas alejada se encuentre, mayor velocidad
tendrá.
La ecuación de movimiento en cantidades angulares para una partícula que se mueve en una trayectoria
circular, se encuentra despejando

de la definición de velocidad angular:
119
 
    0

t
t  t0
   0  t
Cuando se trabaja con movimientos repetitivos como lo es un cuerpo moviéndose en trayectoria circular,
existen dos conceptos útiles de introducir, siendo estos: la frecuencia y el período. Cada uno de ellos se define
como:
Frecuencia.- El número de vueltas por unidad de tiempo (se representa mediante la letra griega "nu"  ).

número vueltas
tiempo
cuyas unidades son recíprocos de segundo o s-1
Período.- El tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta (o revolución) completa (se representa mediante la
letra griega "tao"

).
 t
Cuando el número de vueltas es uno, entonces:
1
t
 
1

Las velocidades lineales y angulares se expresan mediante los parámetros anteriores al considerar una vuelta
completa, donde la distancia recorrida será igual al perímetro de la circunferencia.
v
s 2r

t
t
y como el tiempo es simplemente "tao"
v
2r

además, como la frecuencia es el inverso del período:
v
2r
1
 2r  

 
por lo que,
v  2r
Comparando las relaciones anteriores con la expresión:
120
v  r
tenemos que:
  2

2

escribiendo todas las relaciones se tiene que:
v  r  2r 
2r

4.6.1.3 ACELERACIÓN CENTRÍPETA O RADIAL
Analicemos nuevamente el movimiento de una partícula que se mueve en una trayectoria circular de radio r.
Como ya se vio en el movimiento en el plano, la velocidad de la partícula será siempre tangente a la
trayectoria que ésta siga (de ahí que reciba el nombre de velocidad lineal o tangencial), además recordemos
que la velocidad es un vector que posee magnitud, unidad, dirección y sentido.
Empezaremos por el caso mas sencillo en el cual la magnitud de la velocidad es constante.
Vb
Vc
c
d
Va
b
Vd
a
Va = Vb = Vc = Vd = Ve = ctte.
pero
Va = Vb = Vc = Vd = Ve
por que tienen diferentes direcciones
e
Ve
trayectoria
Puesto que los vectores velocidad son diferentes, luego entonces tendremos una diferencia de vectores dada
por:
v  v b  v a
v  v c  v b
v  v d  v c
etc.
los cuales se pueden expresar como una suma, al sumar al primer vector, el negativo del segundo vector, es
decir:
v  v b  ( v a )
121
veámoslo gráficamente:
Vb
Vc
d
Vd
c
V
e
V
Vc
Va
b
V
V
Vb
- Va
- Va
V
- Vb
a
V
Vd
V
trayectoria
Ve
- Vc
V
Ve
- Vd
Como se puede apreciar, todos los vectores cambios de velocidad son diferentes, pero al trasladar dichos
cambios hacia el círculo ( o hacerlos en el circulo tal y como se hizo para DV entre Vb y Va ), éstos tienen
algo en común, que están dirigidos hacia el centro del círculo y que tienen mas o menos la misma magnitud.
Dado que los cambios de velocidad son diferentes, consecuentemente tendremos una aceleración dada por:
a
v
t
que como ya sabemos, es también un vector con magnitud, unidad, dirección y sentido.
Para precisar correctamente tanto su dirección como sentido así como su magnitud, hagamos de nuevo la
figura manteniendo aún constante la magnitud de la velocidad pero considerando un
consecuentemente un
t mas pequeño y
 .
c
Vb
Vi
Vf
V
-V i
Va
-r
r
o
- Va 
V
r
b
 d s
a
r
Al hacer la diferencia de vectores Vb - Va, en la figura se aprecia que ésta apunta en dirección radial y hacia el
centro de rotación independientemente del lugar en donde la queramos medir. Además como la dirección y el
sentido del vector aceleración es el mismo que del vector cambio de velocidad, la aceleración es radial y
dirigida hacia el centro de rotación, de ahí que reciba el nombre de aceleración radial o centrípeta.
Cualitativamente, también se aprecia que la diferencia de vectores tienen la misma magnitud, para
determinarla cuantitativamente, debemos tomar un
t próximo a cero, de tal manera que los puntos a y b se
122
encuentren tan cercanos uno del otro que la parte curva del circulo entre dichos puntos pueda considerarse
como una recta.
De ésta forma, tendremos que
s será una línea recta entre el punto a y el punto b, formándose los triángulos
aob y bcd, que tienen las siguientes características:
triángulo aob
triángulo bcd
Dos lados iguales
r
V
Uno desigual
s
v
De la semejanza de triángulos tenemos que dos o más triángulos son semejantes si tienen dos lados iguales y
uno desigual. Dicho en otras palabras, el lado desigual ( v ) del triángulo aob lo es al lado igual (V) como el
lado desigual ( s ) del triángulo bcd lo es al lado igual (r). Traducido en lenguaje simbólico:
v s

v
r
despejando
v 
v
vs
r
dividiendo entre el intervalo de tiempo que tardó el cuerpo en ir del punto a al punto b:
v vs

 v r t
donde:
v
a
t
y
s
v
t
sustituyendo lo anterior
v2
a
r
siendo
a  a la magnitud de la aceleración del cuerpo.
123
v  v la magnitud de la velocidad lineal o tangencial (expresada en m/s);
r
el radio de la trayectoria circular.
y como la aceleración es radial y dirigida hacia el centro de rotación, se le agrega el subíndice
r
para
diferenciarla de la aceleración lineal o tangencial.
De ésta forma:
ar 
v2
r
Para expresarla en forma vectorial, se define el vector unitario
r̂ , que es un vector cuya magnitud es la
unidad, su dirección es a lo largo del radio y su sentido es saliendo del centro y dirigiéndose hacia la posición
de la partícula; se puede decir que constantemente está cambiando su dirección (con respecto a un sistema de
coordenadas x, y), ya que sigue a la partícula en toda su trayectoria circular. Además, como la aceleración
apunta en sentido contrario al vector unitario es decir, en dirección
ar 
 r̂ , entonces:
v2
(rˆ)
r
Dicha aceleración, expresada en función de la velocidad angular, la frecuencia y el período es:
ar 
v2
4 2 r
  2 r  4 2 2 r  2
r

4.6.2 MOVIMIENTO CIRCULAR NO UNIFORME
Todos los movimientos analizados hasta el momento, tales como el rectilíneo uniforme, el uniformemente
acelerado, el parabólico y el circular uniforme, son de los movimientos mas sencillos que se producen en la
naturaleza y los hemos tratado de una forma aislada.
Sin embargo, en la vida cotidiana lo que observamos en realidad es una combinación de ellos como por
ejemplo:
Un automóvil que se desplaza con velocidad constante sobre una carretera horizontal y que tiene una curva en
el camino. El conductor, al observar la curva disminuye su velocidad, pasando de un movimiento rectilíneo
uniforme a uno uniformemente acelerado (desacelerado) ya que empieza a frenar para poder entrar a la curva
con menor velocidad y no derrapar en el pavimento.
Al entrar a la curva, dependiendo de la velocidad que lleve en ese momento, puede agarrarla con esa misma
velocidad, pasando a un movimiento circular uniforme.
Aproximadamente después de la mitad de la curva, el conductor vuelve a acelerar, pasando a un movimiento
circular no uniforme, continuando acelerando al salir de la curva hasta alcanzar nuevamente la velocidad de
crucero (velocidad de viaje). Esto lo ilustramos en la siguiente figura:
124
rectilíneo
uniforme
rectilíneo uniformemente
acelerado
circular
uniforme
circular
no
uniforme
r
rectilíneo
uniformemente
acelerado
rectilíneo
uniforme
Analicemos el movimiento circular no uniforme en el cual tanto la magnitud de la velocidad así como la
dirección y sentido están variando.
Vb
Vr
r
o
V
r

r
eje tangente
V t
- Va
b
s
a
Vb
Va
- Va
eje
radial
V Vt
Vr
Nuevamente, al hacer la diferencia de vectores, encontramos un cambio en la velocidad, pero a diferencia del
movimiento anterior, éste ya no apunta en dirección radial. Pero como es un vector, la podemos descomponer
en dos componentes rectangulares, una radial y otra tangencial.
V  Vr  Vt
y la aceleración del cuerpo será:
a
V Vr Vt


t
t
t
donde el término:
Vr
 ar
t
es la aceleración radial o centrípeta que encontramos en la sección anterior, y
Vt
 at  a
t
125
es la aceleración lineal del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la cual viene expresada por:
a
V V - V0

t
t-t
0
como es un movimiento circular, la velocidad lineal se expresa en cantidades angulares como:
v  ωr
sustituyendo tenemos que:
a
r  0 r
t  t0
   0 

 r 
t

t
0 

además:
  0

t  t0

t
que es conocida con el nombre de aceleración angular media ( am )
aceleració n angular media   

t
tomando el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero:
  0 d

aceleració n angular instantánea    lim  m  lim
 lim

 t 0 t
 t 0 t  t
dt
 t 0
0
y cuando la aceleración angular media es una constante, ésta será también igual a la aceleración en cualquier
instante de tiempo, es decir:

  0
t  t0
de donde:
  0  t
Por lo tanto, la aceleración del cuerpo que se mueve en una trayectoria circular con velocidad variable y
aceleración angular constante es:
a  ar  r
126
4.6.3 CANTIDADES TANGENCIALES Y ANGULARES
Aunque ya tenemos la relación entre ambas cantidades, éstas se obtuvieron suponiendo que la rueda se
encontraba girando en la misma posición, ahora combinaremos dos movimientos simultáneos: el lineal y el
rotacional.
Un ejemplo de ello es cuando un carrete desenrolla una cuerda o una rueda se desliza por el suelo, lo cual se
ilustra en la siguiente figura:
A
B
B


s
r
s
r
A
A

r
B
s = r
En dado caso de que el carrete rotara en la misma posición, para que el punto B ocupe la posición del punto
A, debe de girar un ángulo q el cual por definición viene expresado como:

s
r
en donde por definición de ángulo,

debe de medirse en radianes.
Al arco de circunferencia también se le llama distancia tangencial por ser medido tangencialmente al borde
del carrete, y viene expresado por:
s  r
Como tenemos dos movimientos simultáneos, el rotacional al girar y el lineal al avanzar el carrete, al observar
la figura anterior, se tiene que la distancia lineal que recorre la rueda al girar un arco de circunferencia s = r q,
es igual a la distancia tangencial que recorre el borde. Lo anterior nos permite relacionar el movimiento lineal
con el rotacional.
Más aún, si se observa la siguiente ilustración, en que una rueda gira
s
con su eje de rotación en la misma posición levantando un cuerpo, se
ve que existe una relación similar en la forma en que la cuerda se
r

r
s = 
r
enrolla en su borde. A medida que un punto del borde recorre una
distancia tangencial s al girar, en el borde se enrolla una longitud s de la
cuerda.
s
127
Comparación entre las ecuaciones de movimiento
lineales
s  s0  vt
   0  t
v  v0  at
   0  t
1
( v  v0 )
2
v

v 2  v0  2a (s  s0 )
2
s  s 0  v0 t 
Nota:
angulares
1 2
at
2
  0
2
 2  0 2  2 (  0 )
1
2
   0  t  t 2
Para convertir cantidades angulares a lineales, las primeras deben de estar expresadas en radianes
Ejemplo:
Una rueda da 1800 rev. en 1 minuto. Calcule la velocidad angular promedio en rad/s.


t

1800 rev
rev
 30
60s
s
Para convertir a rad/s
30
rev  30 rev   2 rad 
rad
rad

 188

  60
s
s
s
 s   rev 
Ejemplo:
Una rueda comienza a girar desde el reposo y alcanza una velocidad rotacional de 240 rev/s en 2 minutos
¿Cuál es su aceleración angular promedio?
Sabemos que:
w0 = 0; w = 240 rev/s
t = 120 s
De la definición de aceleración angular:

  0
t

rev
s  2 rev
120s
s2
(240  0)
Ejemplo:
128
Una rueda de ruleta que da 3 rev/s se detiene uniformemente en 18 s ¿Cuál es su desaceleración? ¿Cuántas
revoluciones da antes de detenerse?
w0 = 3 rev/s

  0
t
w=0
t = 18 s.
a=?
=?
rev
s  0.167 rev
150s
s2
(0  13)

Para encontrar las revoluciones que da antes de detenerse:
1
2
   0  t  t 2
rev 

2
  0.167
18s 
s 
 rev 

  0   3
18s  
2
 s 
   0  27 rev
Ejemplo:
Una rueda gira con una rapidez de 2 rev/s y con una desaceleración uniforme llega al reposo. Si lo hace en 30
s ¿Cuánto giró en el proceso?
El enunciando del problema nos proporciona los siguientes datos:
w0 = 2 rev/s
w=0
t = 30 s

=?
Para determinar la distancia angular de giro se usa:
   0  t
donde:

  0
2

1
rev
rev
(0  2
) 1
2
s
s
sustituyendo:
  0 1
rev
(30 s )  30 rev
s
utilizando la equivalencia entre revoluciones y grados:
1 rev  2 rad  3600
encontramos que:
129
 3600 
  108000
 1 rev 
  (30 rev)
o bien:
 2 rad 
  60 rad
 1 rev 
  (30 rev)
Ejemplo:
Un vehículo cuyas ruedas tienen un diámetro de 50 cm. se mueve con una rapidez de 20 m/s.
a) ¿Qué tan rápido giran las ruedas?
b) ¿Cuántas revoluciones efectúan las ruedas si el carro se desacelera uniformemente hasta llegar al
reposo en 30 s?
c) ¿Cuál es su desaceleración angular?
d) ¿Qué distancia recorre antes de detenerse?
a) La velocidad lineal o tangencial inicial (v0 ) es la que nos dan, en función de las cantidades angulares es:
v0   0 r
despejando la velocidad angular:
m
m
20
20
v0 v0
s 
s  80 rad
0   
d
0
.
5
m
r
0.25m
s
2
2
Para encontrar la rapidez en revoluciones por segundo, se aplica la equivalencia:
1 rad 
1
2 rev
y en consecuencia:
0  80
rad
s
 1 rev  40 rev

 
2

rad

  s
b) Para encontrar las revoluciones que dan las ruedas antes de detenerse sabemos que:
0 
40 rev
 s
0
t  30s
Aplicamos la ecuación:
130

  0
2

1
40 rev  20 rev
 0 

2
 s 
s
de donde:
  t 
20 rev
600 rev
(30 s ) 
 190.98 rev
s

expresado en grados es:
 3600 
  68752.80
 1 rev 
  190.98 rev
c) La desaceleración angular es:
m
0  20
v  v0
m
s
 0.666 2
a
s  2.666 rad
  t  t  30s 
r
r
0.25m
0.25m
s2
donde la desaceleración tangencial o lineal es:
at  0.666
m
s2
d) La distancia que recorre antes de detenerse viene expresada como:
1
m
s  s0  v0t  a t t 2  0  20 (30s) 
2
s
(0.666
m
)(30s) 2
2
s
 300m
2
o bien en cantidades angulares:
 2 rad 
  300 m
s  r  (0.25 m)(190.98 rev)  (0.25 m)(190.98 rev)
1
rev


en donde se convirtieron las revoluciones a radianes.
131
CAPÍTULO V
DINÁMICA
5.1 INTRODUCCIÓN
En el capítulo anterior, abordamos la descripción del movimiento de un cuerpo, describiendo tal movimiento
en función de los parámetros de posición (x), tiempo (t), velocidad (v) y aceleración (a), de tal forma que
mediante el análisis decíamos hacia donde se mueve, como se mueve, y en un determinado instante de tiempo
predecir en que posición se encontraba y con que velocidad se estaba moviendo. En tal descripción, no nos
interesaba el porque se mueve el cuerpo.
En el presente capítulo abordaremos las causas del movimiento de los cuerpos, que es el objeto de estudio de
la Dinámica.
Desde el punto de vista de la Mecánica Clásica que es el nivel que nos atañe, al igual que en Cinemática,
restringiremos nuestro estudio considerando:
Cuerpos grandes como si fuesen partículas o corpúsculos y que además se mueven con velocidades mucho
muy pequeñas en comparación con la velocidad de la luz (c = 3 x 108 m/s ).
Las causas que originan el movimiento de los cuerpos se deben a la interacción con otros cuerpos que
conforman su medio ambiente, entendiendo por medio ambiente todo aquello que lo rodea, como pueden ser:
planos horizontales, verticales, inclinados, lisos o ásperos; cuerdas; poleas; la Tierra; el Sol, etc.
Dentro del medio ambiente, restringiremos aún más nuestro problema, considerando únicamente cuerpos
cercanos ya que la interacción que ejercen los cuerpos lejanos como el Sol o la Luna es insignificante y se
puede despreciar.
El problema a resolver es el siguiente:
o
Se nos proporciona un cuerpo del cual conocemos sus principales características como pueden ser:
su masa, peso, densidad, volumen, composición, rugosidad, carga eléctrica, temperatura, etc.
o
Colocamos dicho cuerpo con una velocidad inicial en un medio ambiente adecuado, del cual tenemos
una descripción completa, es decir, si hay un plano, si es liso o rugoso, si existen cuerdas, poleas,
otros cuerpos, etc.
Las preguntas a contestar serían:
¿Por que se mueve?
¿Como se seguirá moviendo?
Dicho problema fue resuelto por Isaac Newton para una gran variedad de medios ambientes y fue cuando
formuló las Leyes de Movimiento y la Ley de la Gravitación Universal.
132
En nuestro caso, abordaremos el concepto de interacción que es una fuerza y definiremos ésta última en
función de la aceleración que experimenta un cuerpo patrón cuando es colocado en un medio ambiente,
estableciendo una técnica para asociarle una masa m a cualquier cuerpo, con el fin de entender que cuerpos de
la misma naturaleza (por ejemplo madera), experimentan diferentes aceleraciones cuando son colocados en el
mismo medio ambiente.
El concepto de fuerza y masa se encuentran íntimamente relacionados, asociamos a la fuerza con jalar o
empujar un objeto y a la masa como la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado (movido). Los tres
conceptos: fuerza, masa y aceleración, se relacionan entre sí por medio de las Leyes de la Naturaleza o Leyes
de Fuerzas y las Leyes de Movimiento o Leyes de Newton, las primeras son aquéllas mediante las cuales se
rigen los fenómenos naturales e involucran a las propiedades del cuerpo con su medio ambiente, en tanto que
las segundas, son las que rigen su comportamiento en ese medio ambiente.
Dentro de las Leyes de Fuerza tenemos dos clasificaciones: las que son de interacción por contacto y las que
son de interacción a distancia, entre las principales tenemos:
1.
Por contacto
o
Fuerzas de fricción:
F  N Por ejemplo un cuerpo al ser arrastrado por una superficie áspera.
F  v Por ejemplo de un cuerpo que se mueve en un medio como puede ser el aire o un líquido.
o
Fuerza elástica:
F  kx Por ejemplo al comprimir o estirar un resorte.
o
Fuerza de sostén o soporte:
F  PA Por ejemplo cuando aplicamos una presión sobre un objeto.
2.
Por distancia
o
Fuerza gravitacional (de atracción)
F  ma y Por ejemplo el peso de un cuerpo (donde a y  g )
F
o
GmM
rˆ Por ejemplo la fuerza de atracción que existe entre el Sol y la Tierra.
r2
Fuerza Eléctrica (atracción o repulsión)
Fk
o
q1q2
rˆ Por ejemplo la fuerza de repulsión que existe entre dos electrones.
r2
Fuerza magnética (atracción o repulsión)
F  qv x B Por ejemplo un electrón que se mueve en un campo magnético.
133
De las Leyes de Movimiento, tenemos los siguientes enunciados de las Leyes de Newton:
Primera Ley.- Todo cuerpo permanecerá en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, a
menos que se vea obligado a cambiar dicho estado por medio de un agente externo que le aplique
una fuerza.
Segunda Ley.- La aceleración que experimenta un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza resultante e
inversamente proporcional su masa.
Tercera Ley.- A toda acción le corresponde una reacción de igual magnitud pero en sentido contrario.
En esta parte de la Dinámica de los cuerpos, consideraremos únicamente casos ideales en los cuales no existe
fricción, adicionalmente, trabajaremos exclusivamente con fuerzas que son constantes, es decir que en todo
el movimiento del cuerpo se esta ejerciendo una fuerza que no cambia de magnitud ni de dirección ni sentido.
5.2 LEYES DE MOVIMIENTO
5.2.1 PRIMERA LEY DE NEWTON
En la época de Aristóteles, se creía firmemente que un cuerpo se encontraba en su estado natural cuando
estaba en reposo, que se requería la presencia de un agente externo que lo impulsara y que cambiara dicho
estado, y que cuando el agente externo dejaba de impulsarlo, tendía nuevamente a su estado natural.
Dicha aseveración aún persiste en muchas personas, ya que por experiencia propia, cuando arrojamos un
objeto con una cierta velocidad inicial sobre un plano, el cuerpo recorre una distancia y se detiene. Nuestro
error así como el de Aristóteles lo aclara Galileo con el siguiente experimento:
Él argumentaba que si arrojábamos un cuerpo sobre una superficie, este tendería al reposo después de recorrer
una distancia.
v=0
v0 = 0
x
Pero que si arrojamos el cuerpo con la misma velocidad inicial una vez pulidas las superficies, el cuerpo
recorrerá una mayor distancia.
v0 = 0
v=0
x
Si además de pulir las superficies las lubricamos, entonces el cuerpo va a recorrer una mayor distancia.
134
v=0
v0 = 0
x
Si usamos cada vez superficies más tersas y mejor lubricadas, el cuerpo recorrerá cada vez una mayor
distancia.
v=0
v0 = 0
x
En el experimento anterior, se está eliminando la fricción, por lo que al evitarla completamente, lo que
tendremos será un cuerpo que se mueve siempre con la misma velocidad con la que se arroja, es decir, será un
movimiento rectilíneo uniforme.
v0 = 0
v = ctte.
v = ctte.
v = ctte.
v = ctte.
v = ctte.
El experimento, Galileo lo resumió en el siguiente enunciado:
Se requiere la presencia de un agente externo para cambiar la velocidad inicial de un cuerpo, pero no se
requiere tal presencia para que el cuerpo continúe moviéndose con la misma velocidad.
Como se puede apreciar, aunque con otras palabras, la idea de Galileo se encuentra expresada en el enunciado
de la Primera Ley de Newton.
Si nos adelantamos e interpretamos la Segunda Ley, apreciaremos que si la fuerza neta sobre un cuerpo es
cero, entonces no habrá aceleración y por consiguiente el cuerpo estará en reposo o moviéndose con velocidad
constante. Por tal razón, algunos autores atribuyen que la Primera Ley es un caso especial de la Segunda Ley,
sin embargo, la Primera Ley se atribuye a marcos de referencia inerciales, ya que sobre un cuerpo puede estar
obrando una fuerza neta diferente de cero y la aceleración del cuerpo es cero. Ejemplo de lo anterior, es
cuando una persona parada en tierra observa como se acelera un automóvil, un pasajero que vaya en el auto,
observará que todas las cosas en el interior del auto están en reposo con respecto a él.
y
y´
a =0
Visto desde Tierra, el sistema x´, y´ está
acel erado
a
Visto desde el interior del auto, elx´
sistema está en reposo.
x
135
5.2.2 SEGUNDA LEY DE NEWTON
Como se mencionó en la introducción, el concepto de Fuerza lo relacionamos con jalar o empujar un objeto,
sin embargo en Física se requiere una definición mas precisa y se define en función de la aceleración que
experimenta un cuerpo patrón en un medio ambiente adecuado. Por convención Internacional, el cuerpo
patrón es un cilindro de Platino e Iridio, al cual se le a asignado una masa de 1 kilogramo por lo que se le
denomina kilogramo patrón. Como medio ambiente, se elige una superficie lisa (sin fricción) y un resorte de
longitud l
Para determinar la Fuerza que el medio ambiente ejerce sobre el cuerpo, se realiza el siguiente experimento.
Se ata el kilogramo patrón al resorte, colocándolo sobre la superficie horizontal y estirando el resorte una
cierta longitud
l , de tal forma que el cuerpo empiece a moverse (al iniciar el movimiento, el cuerpo que
estaba en reposo cambia de velocidad) acelerándose. Mientras mantengamos alongado el resorte la misma
longitud, la aceleración, que podemos medir experimentalmente, será constante, su valor numérico dependerá
de que tanto incrementemos la longitud del resorte.
Si para un cierto
l encontramos una aceleración de 1 m/s2, entonces decimos que el medio ambiente está
ejerciendo una Fuerza de 1 Newton sobre el cuerpo patrón. Luego entonces, el Newton se define como:
1 Newton = 1 Kg·m/s2
Si continuamos con el experimento pero incrementando al doble la elongación del resorte, entonces la
aceleración que encontraremos será el doble de la anterior y en este caso decimos que el medio ambiente está
ejerciendo una fuerza de 2 Newton sobre el cuerpo.
a=0
l
a
l
a
l
l
l
F
a´ = 2a
l
F
a´ = 2a
2l
l
F´ = 2 F
2l
F´ = 2 F
Una conclusión de nuestro experimento es que la Fuerza aplicada es directamente proporcional a la
aceleración que experimenta el cuerpo.
Para determinar la constante de proporcionalidad, incrementamos nuevamente la elongación del resorte
aplicando una mayor fuerza, de tal forma que al medir las aceleraciones encontramos los siguientes valores
para las respectivas elongaciones del resorte:
136
Elongación
(cm)
Aceleración
(m/s2)
F1
l
a1
F2
2 l
2 a1
F3
3 l
3 a1
F4
4 l
4 a1
F5
5 l
5 a1
F6
6 l
6 a1
F7
7 l
7 a1
Fuerza
(Newton)
Al graficar nuestros resultados de Fuerza contra aceleración, obtenemos:
F (Newton)
8
7
pendiente = tan =
6
6 Newton - 2 Newton
6 m / s2 - 2 m / s 2
=
4 kg·(m/s 2 )
4 (m/s2 )
= 1 kg.
5
4
3

2
1
1
2
3
4
5
6
Aceleración
7
(m/s 2 )
Como se podrá observar en la gráfica, se obtiene una línea recta por lo que la proporción que guarda la fuerza
aplicada con respecto a la aceleración del cuerpo patrón es una proporción lineal. Al calcular la pendiente de
la recta y aplicar la definición de fuerza, se tiene que las unidades de la pendiente son unidades de masa, con
lo cual se infiere que la constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo patrón. Luego entonces, la
Fuerza aplicada es directamente proporcional a la aceleración del cuerpo, siendo la constante de
proporcionalidad la masa del mismo, lo cual expresado en terminología matemática es:
F=ma
Dicha ecuación es la segunda Ley de Newton.
Ya que la aceleración es un vector que es multiplicado por un escalar como lo es la masa, se obtiene un nuevo
vector que tiene la misma dirección y sentido que el vector que le da origen. Consecuentemente, la Fuerza es
una cantidad vectorial, por lo que:
137
F  ma
Debemos de realizar nuevos experimentos para conocer los efectos que una misma fuerza ejerce sobre otros
cuerpos y comparar los resultados con el efecto que se producen en el kilogramo patrón. Para ello, escojamos
otros cuerpos de masa desconocida y procedamos a realizar los experimentos.
a0
a0
l
l
m0
l
l
m0
F
F
a1 = a 0
2
l
m1
m1
l
l
l
l
A otro cuerpo de masa desconocida M, le
aplicamos la misma fuerza F, encontrando
que su aceleración es la mitad de la que -experimento el kilogramo patrón.
F
a 2= 2 a 0
l
l
m2
F
m2
F
a 3= 4 a 0
l
l
m3
l
F
l
m3
Se aplica una fuerza F al kilogramo patrón
y experimentalmente determinamos la aceleración que experimenta, teniendo ésta un
cierto valor a.
F
A un segundo cuerpo de masa desconocida
m le aplicamos la misma fuerza F, encon-trando que su aceleración es el doble de la
que experimentó el kilogramo patrón.
Por último, a un tercer cuerpo de masa desconocida m´ le aplicamos la misma fuerza F
encontrando que su aceleración es el cua--truple de la que experimentó el kilogramo -patrón.
De lo anterior concluimos que: cuerpos de la misma naturaleza experimentan diferentes aceleraciones
cuando son colocados en un mismo medio ambiente.
Así mismo, al tomar el cociente de la aceleración que experimenta el cuerpo patrón y la aceleración que
experimenta cualquiera de las masas desconocidas, obtenemos:
aceleració n del cuerpo patrón
masa desconocid a

 ctte.
aceleració n de la masa desconocid a
masa patrón
o bien:
a0
m
m
m

 1  2  ctte.
a m0 m0 m0
conocida como relación de masas y aceleraciones, con la cual podemos determinar la masa de cualquier
cuerpo despejándola de la relación. Por ejemplo:
m
(1kg)
2
a0 m0
1
s
m2 

 kg
m
a2
4
4 2
s
1
138
Cuando unimos varios cuerpos y aplicamos una fuerza, los cuerpos se moverán en conjunto, experimentando
la misma aceleración, lo cual es equivalente a tener un solo cuerpo de masa
M = m1 + m2 + m3 + ...
m2
m1
F
m3
Equivale a:
F
M = m1 + m2 + m3
La aceleración se determina mediante:
a
F
F

M m1  m2  m3
donde F es la magnitud de la fuerza aplicada.
Sin embargo, sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas como por ejemplo:
Y como son vectores, debemos sumarlas
como vectores
F3
y
F2
F4
F1
F1
Fr
F5
F2
F3
F5
x
F4
donde Fr es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre
el cuerpo o fuerza resultante, lo que equivale a que sobre el cuerpo
estuviera actuando únicamente esta fuerza.
Fr
Para determinar analíticamente a la fuerza resultante, debemos descomponer a las fuerzas individuales en sus
componentes rectangulares sobre los ejes, de tal forma que:

Fr  Fr  F 
 F    F 
2
x
2
y
donde:
F
 F1x  F2 x  F3 x  F4 x  F5 x
F
 F1 y  F2 y  F3 y  F4 y  F5 y
x
y
139
Además, la segunda ley expresada en forma de componentes es:
F
 max
F
 may
x
y
En la cual la aceleración del cuerpo se determina mediante cálculos y en algunos casos mediante la
observación del cuerpo, como por ejemplo, cuando se va deslizando sobre el piso (eje x), la aceleración en el
eje vertical es cero (ay = 0).
Al resolver problemas que involucren fuerzas, es conveniente realizar Diagramas de Cuerpo Libre o aislado
en los cuales consideramos al cuerpo como si fuese un punto situado en el origen de coordenadas, colocando
ahí todas las fuerzas que actúan sobre él así como los respectivos ángulos que dichas fuerzas forman con
respecto a un determinado eje, esto último para poder calcular las componentes de dichas fuerzas sobre los
ejes. Del ejemplo anterior, el Diagrama de Cuerpo Libre es:
Diagrama de Cuerpo Libre
y+
F3
F2
F4

x+
F1
F5
Se elige el sistema de referencia con su
convención de signos y las Fuerzas se
colocan saliendo del origen.
Para determinar las componentes, se procede como en el tema de vectores, teniendo cuidado al seleccionar el
ángulo, ya que en algunos problemas el ángulo se mide con respecto al eje de las y´s, por lo que las funciones
trigonométricas que relacionan a las componentes con la magnitud del vector y el ángulo cambian. Por tal
motivo se recomienda siempre formar el triángulo rectángulo y a él aplicarle las funciones
sen , cos  y
tan .
triángulo rectángulo
F
F
Fy

Fx
Fx = F Cos 
F y = F Sen 
Fy

Fx
Fy = F Cos 
Fx = F Sen 
140
5.2.3 TERCERA LEY DE NEWTON
Todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, provienen de la interacción mutua del mismo con el medio
ambiente, debido a que es mutua, una fuerza sola o aislada es una imposibilidad física, las fuerzas actúan por
parejas, una de ellas es la que ejerce el cuerpo sobre el medio ambiente y la otra es la que el medio ambiente
ejerce sobre el cuerpo (para efecto de aplicaciones, ésta es la que nos interesa). A una de ellas (cualquiera) se
le llama Fuerza de Acción en tanto que a la otra Fuerza de Reacción. Ambas son de igual magnitud pero en
sentido diferente, se encuentran sobre la línea de acción que une a los dos cuerpos y lo importante de la
tercera ley es que actúan sobre cuerpos diferentes. Si actuasen sobre el mismo cuerpo, al aplicar la segunda
ley tendríamos que ambas se anularían y consecuentemente no tendríamos movimiento (aceleración).
Para ilustrar lo anterior, imaginemos que nos recargamos con la palma de la mano sobre un muro. El muro
nos detiene y evita que caigamos, esa es la fuerza que el muro ejerce sobre nosotros, la otra fuerza, es la que
nosotros ejercemos sobre el muro, si éste no estuviese bien pegado, al aplicarle una mayor fuerza podríamos
derribarlo.
Otro ejemplo es cuando queremos cerrar una puerta de un golpe utilizando nuestro pie descalzo. Nosotros
ejercemos una fuerza sobre la puerta y ésta hace que se cierre (acción); la puerta a su vez ejerce una fuerza
sobre nosotros, la cual experimentamos mediante el dolor del pie (reacción).
Para que nos quede claro el concepto, analicemos el siguiente ejemplo: Se tiene un bloque de masa m
colocado sobre un piso horizontal apoyado en ladrillos. En éste ejemplo tenemos dos cuerpos; uno es el
bloque y el otro el piso, hagamos el análisis para ambos cuerpos utilizando diagramas de cuerpo libre:
Sobre el bloque
bloque
Sobre el piso
y
y
N
N´
piso
x
ladrillo
N= Fuerza que el piso ejerce sobre el bloque
(evita que el bloque se hunda)
W= Fuerza que la Tierra ejerce sobre el bloque
(lo que llamamos peso)
W
x
W´
W
N´ = Fuerza que los ladrillos
ejercen sobre el piso
W´ = Fuerza que la Tierra ejerce sobre el
piso (peso del piso)
W = Fuerza que el bloque ejerce sobre el
piso (peso del bloque)
Como el sistema está en reposo, las fuerzas que apuntan hacia arriba deben de ser iguales a
las que apuntan hacia abajo.( N = W ; N´ = W´ + W )
Si deseamos encontrar por parejas a las fuerzas (acción y reacción), debemos expresarlas de la siguiente
forma:
141
Acción
Reacción
W = FTierra / bloque Fbloque / Tierra
N = Fpiso / bloque
Fbloque / piso
W´= FTierra / piso
Fpiso / Tierra
N´ = Fladrillos / piso Fpiso / ladrillos
Si se observa bien, al encontrar una de las fuerzas, la otra surge inmediatamente, lo único que tenemos que
hacer es invertir los subíndices. Por ejemplo: FT / b (acción), Fb / T (reacción).
Analicemos ahora un caso más complicado.
Sobre la cuña
Sobre el hombre
N
P
N
F
P*
P´
F
P´´
f´
W
f´
N
P*
f
N, W
P
P´
P´´
f
Sobre la caja
W
W
Son las fuerzas Normales y Pesos de los cuerpos.
Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la cuña.
Es la fuerza que la cuña ejerce sobre el hombre.
Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la caja, y es la suma de P´ + f´
Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la Tierra (fuerza de rozamiento), el hombre empuja a la
Tierra hacia atrás.
Es la fuerza que la Tierra ejerce sobre el hombre, es la contraparte de la anterior y es la que nos
hace avanzar o caminar.
Es la fuerza de rozamiento entre la caja y la Tierra, ésta fuerza puede ser menor que f
Es la fuerza que la caja ejerce sobre el hombre, es la contrparte de P´´
La fuerza normal recibe ese nombre debido a que es normal o perpendicular a las superficies en contacto.
El peso siempre es vertical y dirigido hacia el centro de la Tierra.
La fuerza de rozamiento es paralela a las superficies en contacto y siempre se oponen al movimiento (o bien
son contrarias a la dirección del movimiento).
142
5.3 APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON
Para resolver problemas aplicando las leyes de Newton, se recomienda:
o
Hacer el dibujo.
o
Hacer el diagrama de cuerpo libre o aislado, considerando al cuerpo como si fuese un punto.
o
Colocar en el diagrama y saliendo del punto, todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
o
Elegir un sistema de referencia (plano cartesiano)
o
Colocar en el sistema la convención de signos.
o
Tomar como eje positivo el de la dirección de movimiento del cuerpo.
o
Marcar los ángulos que forman las fuerzas con respecto a los ejes.
o
Descomponer a las fuerzas en sus componentes rectangulares.
o
Cuando se trabaje con planos inclinados, uno de los ejes debe de ser paralelo al plano.
o
Aplicar la Segunda Ley de Newton, haciendo la sumatoria de las componentes de las fuerzas sobre
los ejes.
F
 max
F
 may
x
y
EJEMPLO: Una persona empuja una caja de 50 kg sobre una superficie horizontal lisa aplicando una fuerza
de 30 Nt. Determine la aceleración de la caja.
Diagrama de
cuerpo libre
y+
N
P
x+
W
F
x
 max
La única fuerza que está actuando sobre el eje de las x es la Fuerza P aplicada, además, tal fuerza es igual a la
componente, por lo tanto:
P  max
despejando a la aceleración:
a
P 30 N
m

 0.6 2
m 50kg
s
143
En este tipo de problemas donde no existe fricción, no es necesario realizar la suma de fuerzas en el eje de las
y a menos que se solicite.
F
y
 may
Las fuerzas que actúan sobre el eje de las y son la Normal (positiva hacia arriba) y el peso (negativo hacia
abajo).
N  W  ma y
Como no hay movimiento en dicho eje, la aceleración aquí es cero (no hay cambios de velocidad). Por lo
tanto:
N W  0
N  W  mg  50kg(9.81
m
)  490.5 N
s2
ya que el peso es igual a la masa por la aceleración de la gravedad.
EJEMPLO.- Del ejemplo anterior, la persona le aplica a la caja la misma fuerza pero haciendo un ángulo de
200 con respecto a la horizontal. Determine la aceleración que tal fuerza le produce a la caja.
Diagrama de
cuerpo libre
y+
N
P
Py
20 0
Px
x+
W
donde las componentes rectangulares de P se determinan a partir del triángulo que se forma:
Px  P cos  30 N (cos 200 )  30 N (0.9396)  28.19 N
Py  P sen  30 N (sen200 )  30 N (0.342)  10.26 N
Aplicando la suma de fuerzas en x:
F
x
 max
Px  ma x
ax 
Px 28.19 N
m

 0.5638 2
m
50kg
s
144
Como se puede observar de los dos resultados, la aceleración máxima se obtiene cuando la fuerza aplicada
es horizontal. A medida que aumentamos el ángulo de aplicación de la fuerza, la aceleración disminuye.
EJEMPLO: Del mismo problema pero cuando la caja es subida por un plano inclinado 200 con respecto a la
horizontal.
Diagrama de
cuerpo libre
y+
20 0
N
W
20 0
x
Wy
20 0
W
F
x
20 0
 Fy  ma
 max
x+
P
y
P  Wx  max
N  W y  ma y
P  mg sen  max
N  mg cos   0
ax 
P  mgsen
m
30 N  50kg(9.81
ax 
N  mg cos 
m
) sen 20 0
2
s
50kg
ax 
30 N  167.76n
50kg
ax 
 137.76 N
50kg
a x  2.75
(no hay mov, en este eje)
N  50kg(9  81
m
) cos 20 0
s2
N  460.919N
m
s2
Como se obtiene un valor negativo para la aceleración, implica que la dirección de movimiento que
supusimos era incorrecta, es decir que el cuerpo en lugar de subir baja. Lo anterior podemos reforzarlo si
analizamos las fuerzas (o componentes) que actúan en el eje x.
La componente del peso es:
Wx  mg sen  50kg(9.81
m
)( sen 20 0 )  167.76 N
2
s
y la fuerza aplicada P tiene un valor de:
145
P = 30 N.
Como la componente del peso es mayor que la fuerza aplicada, la dirección de la resultante de ambas tendrá
esa misma dirección. Lo cual nos lleva al siguiente ejemplo.
EJEMPLO: Del mismo problema anterior, cual debe de ser la magnitud de la fuerza aplicada para poder
sostener al cuerpo sobre el plano inclinado.
Diagrama de
cuerpo libre
y+
20 0
N
W
x+
P
20 0
x
Wy
20 0
W
20 0
En este caso, la caja estaría en equilibrio, es decir en reposo, por lo que la aceleración ax = 0 y
ay=0
consecuentemente,
P - Wx = 0
P - mg sen  = 0
P = mg sen 
P = 167.76 t
EJEMPLO: Del mismo problema, si deseo subir la caja con velocidad constante, ¿que fuerza debo de
aplicar?
En éste caso, el cuerpo se estaría moviendo pero con velocidad constante, es decir que nuevamente la
aceleración sería nula por lo que la fuerza necesaria sería igual a la componente del peso.
P = Wx = 167.76 N.
EJEMPLO: Si deseo subir la caja con una aceleración de 2 m/seg2 ¿Que fuerza debo de aplicar?
Diagrama de
cuerpo libre
y+
20 0
N
W
P
x+
20 0
x
Wy
20 0
W
20 0
146
F
 max
F
0
x
x
P  Wx  max
P  max  Wx
P  50kg(2
m
m
)  50kg(9.81 2 ) sen 20 0
2
s
s
P  267.76N
EJEMPLO: ¿Que tan grande es esta fuerza?
Para darnos una idea de que tan grande es ésta fuerza, debemos de compararla con algo que nos sea familiar,
por ejemplo, para levantar a una persona que pesa 80 kg necesito aplicar una fuerza de:
F = mg = 80 kg (9.81m/s2) = 784.1N.
EJEMPLO: Si el cuerpo parte del reposo y el plano tiene una longitud de 25 m. ¿Cuanto tiempo invierto en
subir la caja?, ¿Cuál será su velocidad al llegar a la parte alta del plano?
Este ya es un problema de cinemática, por lo que tendremos que usar las ecuaciones de movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado.
x  x0  v0 t 
1 2
at
2
puesto que la posición inicial es cero en la base del plano y como parte del reposo,
x
1 2
at
2
despejando el tiempo:
t
2x

a
2(25m)
 25s 2  5s
m
2 2
s
la velocidad se determina a partir de la ecuación:
v  v0  at
v2
m
m
(5s )  10
2
s
s
147
PROBLEMARIO DE DINÁMICA
(APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON)
1.- Un bloque de 10 kg que está en un plano sin rozamiento e inclinado 30 0 con respecto a la
m
horizontal, es sostenido mediante una cuerda como se muestra en la figura.

Determine la tensión de la cuerda y la magnitud de la fuerza normal (perpendicular al plano
inclinado).
2.- Del problema anterior, suponga que la cuerda se rompe. Calcule la aceleración del bloque cuando ésta se
desliza sobre el plano inclinado.
3.- De las siguientes figuras encuentre la aceleración de las masas y las tensiones de las cuerdas.
m1
m1
3
m2
m1
m2
00
m2
300
60 0
m1
m2
4.- Dos bloques de masa m1 = 3 Kg y m2 = 4 Kg están colocados sobre una mesa sin fricción y tocándose.
Sobre el cuerpo de masa m1 actúa una fuerza horizontal de 5 N.
a) ¿Cuál será la aceleración de los dos bloques?
b) ¿Con que fuerza empuja m1 a m2?
c) Repita los incisos anteriores si la fuerza se aplica a m2.
5.- Un automóvil de 900 kg que va a 20 m/s choca con un árbol y recorre 1.6 m antes de detenerse.
¿Que magnitud tendrá la fuerza de retardo ejercida por el árbol sobre él?
6.- ¿Que magnitud tendrá una fuerza paralela a una pendiente de 300 para comunicarle a una caja de 50 Kg
una aceleración de 2.0 m/s2 hacia arriba?
7.- Una bala de 8.0 gr penetra en una pieza de plástico de 2 cm de espesor con una rapidez de 140 m/s ¿Cuál
es la fuerza promedio que retarda el paso de la bala por el plástico?
8.- Un prisionero de 60 Kg desea escapar por una ventana del tercer piso deslizándose por una cuerda hecha
de sábanas. Por desgracia, la cuerda puede sostener solo 500 N.
¿Con que rapidez debe el prisionero acelerar hacia abajo de ella para que no se rompa?
148
9.- Una masa de 200 gr se cuelga de un hilo, del fondo de ella pende una masa de 300 gr atada
a un segundo hilo. Encuentre las tensiones de los dos hilos si las masas:
T1
a) Permanecen inmóviles.
200 grs.
b) Aceleran hacia abajo con una aceleración constante de 5 m/s2.
T2
c) Caen libremente.
d) Si la máxima tensión que pueden soportar las cuerdas es de 15 N. ¿Cuál es la máxima
300 grs.
aceleración hacia arriba que se le puede dar a las masas sin que se rompa la cuerda?
10.- Un pasajero que viaja en un barco en un mar tranquilo cuelga con un hilo una pelota del
techo de su camarote. Observa que, al acelerar la nave, la pelota se encuentra detrás del punto de
suspensión y el péndulo ya no cuelga verticalmente.
¿Cuál será la aceleración del barco cuando el péndulo se halla en un ángulo de 5 0 con la vertical?
11.- Un bloque sin velocidad inicial se desliza sin rozamiento sobre un plano inclinado 370. Después de 3 s.
a) ¿Que distancia recorre?
b) ¿Con que velocidad baja al final del plano si éste tiene una distancia de 40 m?
12.-En la parte superior de un plano inclinado sin fricción de 16 m de longitud se suelta un cuerpo,
originalmente en reposo y tarda 4 s en llegar a la parte mas baja del plano. Desde ahí se lanza hacia arriba
a un segundo cuerpo justo en el momento en que se suelta el primero, de tal forma que ambos llegan
simultáneamente a la parte más baja.
a) Calcular la aceleración de cada uno de los cuerpos sobre el plano inclinado.
b) ¿Cuál era la velocidad inicial del segundo cuerpo
c) ¿Cuál es el ángulo que forma el plano respecto a la horizontal?
13.- Se lanza un bloque hacia arriba sobre un plano inclinado sin fricción con una rapidez inicial v0. El ángulo
de inclinación es
.
a) ¿Cuanto ascenderá por el plano?
b) Cuanto tiempo tarda en hacerlo?
c) Cuál es su rapidez cuando regresa hasta la base?
d) Calcule los incisos anteriores para

= 300 ; v0 = 2 m/s.
14.- Un hombre de 80 Kg se lanza con una paracaídas y sufre una desaceleración hacia abajo de 2.5 m/s2. La
masa del paracaídas es de 5 Kg.
a) ¿Cuál es el valor de la fuerza ejercida hacia arriba por el aire sobre el paracaídas?
b) ¿Cual es el valor de la fuerza ejercida hacia abajo por el hombre sobre el paracaídas?
15.- De la siguiente figura, calcule la aceleración de las masas y las tensiones de las cuerdas.
149
100 kg.
200 kg.
37 0
300 kg.
16.- Dos bloques con masa de 20 kg cada uno, descansan sobre superficies lisas. Suponiendo que las poleas
son ligeras y sin rozamiento. Calcule:
a) El tiempo requerido para que el bloque A se mueva 1.0 m hacia abajo del plano, partiendo del reposo.
b) La tensión de la cuerda que une a los bloques.
37 0
17.- Calcule en función de m1 , m2 y g la aceleración de los dos bloques si no existe rozamiento entre m 1 y la
mesa, ni en la polea.
m1
m2
19.- ¿Cual es la magnitud de una fuerza paralela a un plano inclinado 30 0 necesaria para dar a una caja de 5
Kg una aceleración de 0.20 m/s2 hacia arriba del plano? ¿Y si la fuerza es transversal (perpendicular) al
plano?
20.- Un automóvil que se mueve a 20 m/s empieza a subir en un plano inclinado a 37 0 al mismo tiempo que
otro automóvil que se encuentra a una distancia de 100 m sobre el plano inclinado empieza a moverse hacia
abajo a partir del reposo. Al ignorarse las fuerzas de fricción,
150
a) A que distancia de la parte inferior del plano inclinado se encontrarán los automóviles cuando pasen uno al
lado del otro?.
b) ¿Que velocidades tendrán los autos en ese instante?
21.- Un electrón es lanzado horizontalmente con una velocidad de 1.2 x 10 7 m/s en un campo eléctrico que
ejerce sobre él una fuerza vertical constante de 4.5 x 10 -31 N. Si la masa del electrón es de 9.1 x 10 -31 Kg.
Determinar la distancia vertical recorrida por el electrón durante el tiempo que le toma moverse una distancia
horizontal de 3 cm.
151
DINÁMICA (SEGUNDA PARTE)
LEYES DE FUERZAS
5.4 FUERZAS DE ROZAMIENTO
5.4.1 INTRODUCCIÓN
Una de las principales fuerzas que existen en la naturaleza son las fuerzas de fricción o de rozamiento, si no
existiesen tales fuerzas, nos sería imposible caminar, sostener o agarrar objetos, en pocas palabras, sería un
mundo inanimado ya que no sería posible el movimiento. Para darnos una idea de lo anterior, imagínese que
se encuentra en el centro de un lago congelado al cual se le vertió aceite lubricante en su superficie, en esas
condiciones, la superficie se puede considerar lisa y sin rozamiento. ¿Considera Usted que puede salir de ahí?.
La respuesta inmediata que le surge tal vez sería que no, ya que al intentar caminar empezaría a resbalar o a
patinar y se caería por no tener apoyo. Si su respuesta es esa (que no), es que no lo meditó bien y no ésta
aplicando la tercera ley de Newton, lo único que tendría que hacer es soplar.
5.4.2 FUERZA DE ROZAMIENTO ESTÁTICA (fS)
Donde el subíndice s proviene de la palabra "statics" cuyo significado es reposo o estático. Las fuerzas de
rozamiento se dan entre un par de superficies secas no lubricadas que están en contacto mutuo, son paralelas a
las superficies en contacto y se oponen a la dirección de movimiento. Si dos cuerpos están en contacto pero
no existe fuerza aplicada a uno de ellos, no hay fuerza de rozamiento. Las fuerzas de rozamiento aparecen en
el momento en que se aplican fuerzas, cuando un cuerpo está en reposo, la fuerza de rozamiento empieza a
incrementarse en la misma medida en que aumentamos la fuerza aplicada.
Para ilustrar lo anterior, pongamos el siguiente ejemplo: Tenemos un camión y queremos moverlo.
Viene una persona, le aplica una cierta fuerza y se observa que no puede moverlo. Si aplicásemos la segunda
ley de Newton, al aplicar una fuerza, ésta debería de producir una aceleración, pero se observó que el camión
no se movió, por lo tanto inferimos que existe una fuerza de igual magnitud y en sentido contrario a la fuerza
aplicada, de tal forma que se está anulando. Tal fuerza es la fuerza de rozamiento estática.
Viene otra persona a ayudarle a la primera, (supongamos que ambas ejercen la misma fuerza) de tal forma que
ambos empujan con una fuerza doble que la anterior. Sin embargo, el camión sigue sin moverse. De ello
inferimos que al aumentar la fuerza aplicada, aumento también la fuerza de fricción.
Viene una tercera persona y empuja también con la misma fuerza. El camión sigue sin moverse. La fuerza de
rozamiento vuelve a incrementarse.
Viene una cuarta persona y se observa que el camión empieza a moverse, primero muy lentamente y después
más rápidamente.
152
En la transición en que el camión pasa del reposo al movimiento, la fuerza de rozamiento adquiere su máximo
valor. Dicho valor corresponde a la mínima fuerza necesaria para iniciar el movimiento. Todo lo anterior se
ilustra en los siguientes dibujos:
Diagráma de
cuerpo libre
sistema
Aplicación de la
Segunda ley
y
(forma vectorial)
F=ma
F
=
m
a
x (forma escalar)
 x
N
fs
x
Fa
Fa- f = 0
s
W
y
Observación del
sistema
(a = 0 )
x
N
F´a
F´f´ = 0
a s
x
Fa= f s
no hay mov.
 Fx = m a x
f´s
no hay mov.
(a = 0 )
x
F´=
f´s
a
con F´
a = 2 Fa
W
y
F´´f´´
=0
s
a
f´´
s
no hay mov.
 Fx = m a x
N
F´´
a
(a = 0 )
x
x
W
F´´= f´´
s
a
con F´´
a = 3 Fa
Transicción entre reposo
y mov., la aceleración se
considera nula. En éste
F´´´f´´´
= 0 momento, la fuerza de
s
a
rozamiento adquiere su
F´´´
= f´´´
a min.
s max. máximo valor, la cual
corresponde a la mínima
fuerza aplicada para iniciar el movimiento.
 Fx = m a x
y
N
f´´´
s
F´´´
a
W
x
5.4.3 FUERZA DE ROZAMIENTO CINÉTICA (f k)
Al igual que la fuerza de rozamiento estática, la de rozamiento cinética también se da entre un par de
superficies secas no lubricadas que se encuentran en movimiento relativo una con respecto a la otra, su
dirección es opuesta a la dirección del movimiento.
En la última ilustración del dibujo anterior, con las cuatro personas empujando el camión con la misma fuerza
con la que se inició el movimiento, éste empieza a moverse muy lentamente, pero si seguimos ejerciendo esa
misma fuerza, observamos que la velocidad empieza a incrementarse paulatinamente, es decir, el camión
empieza a acelerarse de tal forma que después de unos segundos, prácticamente iremos corriendo detrás de él.
La fuerza de rozamiento persiste, pero pasa a ser una de rozamiento cinético fk (donde el subíndice k proviene
de la palabra "kinematics" que significa movimiento). La experiencia nos indica que esta fuerza, es menor que
la estática, ya que el camión empieza a acelerarse con la misma fuerza ejercida al comenzar el movimiento.
153
 Fx = m a x
y
4 personas
N
fk
ax=
x
F´´´
a
W
3 personas
F´´´fk
a
m
 Fx = m a´x
y
N
a´x =
fk
F´´
a
F´´f
a
m
k
= 0
 Fx = m a x
F´f = ma´´x
a k
N
y
a´´
x =
F´a
Como ax es diferente
de cero, implica que
= 0
F´´´>
fk
a
Con 3 personas, la fuerza
aplicada disminuye por lo
que la aceleración (a´ < a )
pero el camión sigue acelerado.
x
W
2 personas
con ax = 0
F´´´fk = ma x
a
F´f
a
m
F´
=
f
k
a
x
k
=0
Con 2 personas, la fuerza aplicada
vuelve a disminuir, pero en este caso,
se iguala con la fuerza de rozamiento
por lo que no hay aceleración. Sin
embargo, como el camión está en
movimiento, se seguirá moviendo
pero con velocidad constante.
W
fk
N
1 persona
fk
En este caso,
F´a
W
x
Fa< f k
Fa- f k
<0
a´´´
x =
m
Con una persona, la fuerza de
rozamiento será mayor que la
fuerza aplicada, por lo que el
camión comenzará a disminuir
la velocidad (frenarse) hasta
que quede en reposo.
Si empezamos a disminuir la fuerza aplicada, llegará un momento en que ésta se iguale con la fuerza de
rozamiento cinético, en cuyo caso la aceleración será igual a cero. Pero como el camión ya tiene una
velocidad en dicho instante de tiempo, entonces se seguirá moviendo con esa misma velocidad (movimiento
rectilíneo uniforme). De continuar disminuyendo la fuerza aplicada, entonces la de rozamiento cinético será
mayor, por lo que nuevamente el camión entrará a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
(desacelerado), disminuyendo su velocidad hasta quedar nuevamente en reposo. De lo anterior se concluye
que:
fs > f k
5.4.4 COEFICIENTES DE ROZAMIENTO
Veremos ahora de que dependen las fuerzas de rozamiento. Para ello, supongamos que cargamos el camión y
que nuevamente queremos moverlo.
Las figuras anteriores nos indican que entre mayor peso
tenga el camión, necesitaremos una mayor fuerza para
N
f
poder moverlo, eso nos indica que la fuerza de
F
W
rozamiento a crecido en forma proporcional al peso del
camión. Luego entonces, a grosso modo podemos
N
f
F
afirmar que:
W
La fuerza de rozamiento es proporcional al peso del
camión.
154
Sin embargo, como no hay movimiento en el eje vertical, el peso es igual a la fuerza normal y
consecuentemente, la fuerza de rozamiento está relacionada con dicha fuerza normal. Para ver esto,
analicemos nuevamente el ejemplo anterior en los siguientes casos:
a) Camión en piso horizontal.
b) Camión en piso inclinado
i) de subida.
ii) de bajada.
N
f
F
W
N
F
f

Wx


Wy
W
N

f
W x
Wy
A l des c o mp on er el pes o en s u s
component es rect angul ar es, l a
c omp on en t e en el e je x s e s u ma
a la f u er z a n or ma l, p or l o qu e l a
F u er za ap lic ad a t en dr á qu e s er
may or . C omo en e l ej e v er t ic a l
s igu e s in h ab er m ov i m ien t o, la
c om p on en t e v er t ic a l es igu a l a
f u er za n or m al , la c u al d is m in u y e
N u ev amen te la c o mp on en te v er tic al
de l p es o es igu a l a l a F u er z a n or m al ,
per o la compon ent e del pes o en el
ej e h or i z on t a l l e ay u d a a la f u er z a
ap li c a d a , p or lo qu e s e r e qu ie r e d e
una f uerza apl ic ada men or para
F mov er el camión .

W
Por lo anterior, la fuerza de rozamiento, mas que proporcional al peso, decimos que es proporcional a la
Fuerza normal.
fN
La constante de proporcionalidad depende de las superficies que estén en contacto. Así por ejemplo, si el
camión se encuentra en una superficie horizontal, no es lo mismo que tal superficie sea de concreto, de tierra
que de arena. Se requiere de una menor fuerza cuando se tienen como superficies en contacto concreto-hule
que cuando se tiene tierra-hule y una fuerza aún mayor cuando las superficies son arena-hule.
155
Consecuentemente, la fuerza de rozamiento depende del par de superficies en contacto, tal dependencia es lo
que denominamos coeficientes de rozamiento. Cuando está en reposo es estático (
cinético (
s )
y en movimiento,
 k ).
Generalmente, el coeficiente de rozamiento estático es mayor que el cinético.
s  k
Existen dos tipos de rozamiento, el que hemos analizado es el de rodamiento, el otro es el de deslizamiento,
siendo menor el de rodamiento que el de deslizamiento. Por ejemplo, no es lo mismo mover el camión sin
freno (rodamiento) que cuando están puestos (deslizamiento).
Adicionalmente
a
que
las
fuerzas
de
rozamiento
son
proporcionales a la fuerza normal y a las superficies en contacto,
dichas fuerzas son aproximadamente independientes del área de
contacto. Para ello analicemos los siguientes dibujos:
El bloque tiene el mismo peso, independientemente de como se
coloque, si de lado, de canto o parado, las tres áreas en las que se apoya son diferentes, el área A1 es mayor
que el área A2, y ésta a su vez es mayor que el área A3. La Fuerza aplicada para moverlo es la misma, debido
a que al apoyarse el bloque en un área mayor, la presión que éste ejerce sobre la superficie se reduce, y al
apoyarse en un área menor, la presión que ejerce sobre la superficie aumenta. Esto hace que el área efectiva
de apoyo sea la misma independientemente de como se coloque el bloque, ya que al estar apoyado en una
mayor área, las irregularidades (picos) de las superficies no son alteradas, en tanto que al apoyarse en un área
menor, si se afectan las irregularidades, quebrándose y aumentando el área efectiva de apoyo. Lo anterior se
explica mejor en los siguientes dibujos a nivel microscópico.
puntos de apoyo
mayor área distribuída en mayor
puntos de apoyo, haciendo una
área efectiva de apoyo A´
menor área distribuída en menor
puntos de apoyo (pero con mayor
área) haciendo una área efectiva
de apoyo A¨
156
Resumiendo, las fuerzas de fricción son directamente proporcionales a la fuerza normal, donde la constante de
proporcionalidad son los coeficientes de rozamiento. Lo anterior expresado en forma de ecuación matemática
se reduce a:
fuerza de rozamiento estática:
f s  s N
fuerza de rozamiento cinética:
f k  k N
Donde el signo menor (< ) en la de rozamiento estático indica que esta fuerza crece a medida que aumentamos
la fuerza aplicada y el signo igual ( = ) es cuando la fuerza de rozamiento estática adquiere su máximo valor,
siendo éste justo en el instante en que se va a iniciar el movimiento.
EJEMPLO: Determinar el coeficiente de rozamiento estático entre un tablón y un ladrillo.
Para determinar el coeficiente, se realiza el siguiente experimento: Uno de los extremos del tablón se apoya
en un cuerpo fijo para evitar que resbale. Con el ladrillo colocado en el otro extremo, gradualmente se va
levantando el tablón y se deja de levantar cuando se observa que el ladrillo empieza a deslizarse.
Analicemos el experimento mediante los siguientes dibujos.
El sistema se encuentra en reposo
Las únicas Fuerzas que actúan sobre
el ladrillo son la Fuerza normal y el
N
peso, las cuales por la segunda ley de
w
Newton son iguales. Aún no se tiene
la fuerza de rozamiento estática.
El tablón se levanta 5 grados
N
fs
W
157
Al levantar el tablón, hacemos un diagrama de cuerpo libre, donde el eje horizontal se toma paralelo al
tablón, de esta forma, la fuerza normal sigue apareciendo en el eje vertical en tanto que el peso (que es
vertical y hacia abajo) forma un ángulo de 5 grados con la "vertical", de tal forma que en este sistema de
referencia tiene una componente en el eje vertical y otra en el eje horizontal. Como no hay desplazamiento en
ninguno de los ejes (de la observación vemos que el bloque no se mueve), al aplicar la segunda ley de
Newton, tenemos que la fuerza normal se equilibra con la componente vertical del peso ( N = W y ). En el
caso de la componente horizontal, ésta es la que debería hacer que el ladrillos se deslizara sobre el tablón,
pero como no lo hace, inferimos que existe una fuerza que se opone al movimiento, siendo ésta la fuerza de
rozamiento estática ( fs = Wx = mg sen  )
El tablón se levanta 10 grados
N
fs

W
Como sigue sin haber movimiento, nuevamente la fuerza normal se equilibra con la componente vertical del
peso. La componente horizontal del peso aumenta y consecuentemente la fuerza de rozamiento estática.
El tablón se levanta 15 grados
N
fs
W
Se repiten las mismas aseveraciones anteriores, debido a que el ladrillo aún permanece en reposo. Hagámoslo
ahora mediante ecuaciones.
F
x
 max
F
x
 max
Wx - fs = max
N - Wy = may (Como no hay mov. ax = 0 ; ay = 0 )
Wx - fs = 0
N - Wy = 0
Wx = fs
N = Wy
mg sen  = fs
N = mg cos 
158
Obsérvese que la fuerza de rozamiento estática depende del peso del cuerpo (que es constante) y del ángulo
de inclinación del tablón, el cual estamos variando. Lo mismo sucede con la fuerza normal. la cual disminuye
a medida que aumentamos el ángulo (1 < cos  < 0; cos 00 = 1 , cos 900 = 0).
Ahora bien, existirá un ángulo al cual denominamos s bajo el cual el ladrillo empieza a moverse. Cuando
observemos esto, dejamos de levantar el tablón y con un transportador medimos el ángulo.
El tablón se levanta s grados
se inicia el movimiento
N
fs
  s
W
F
x
 max
Wx - fs = max
F
x
  s
 max
N - Wy = may (Como no hay mov. ax = 0 ; ay = 0 )
Wx - fs = 0
N - Wy = 0
Wx = fs
N = Wy
mg sens = fs
N = mg cos s
Pero
f s  s N
sustituyendo:
mg sen s   s N
sustituyendo nuevamente:
mg sen s  s mg cos s N
despejando:
s  tan  s
Por lo que para medir el coeficiente de rozamiento estático entre cualquier par de superficies, basta con
colocar una encima de la otra y levantar gradualmente la inferior, deteniéndonos y midiendo el ángulo bajo el
159
cual se inicia el movimiento. A éste ángulo le sacamos la tangente y listo. Ya tenemos el coeficiente de
rozamiento estático.
Para el caso del coeficiente de rozamiento cinético, se procede de igual manera, pero resulta problemático
debido a que debemos medir el ángulo ( 
=  k) bajo el cual el cuerpo superior desliza sobre el inferior con
velocidad constante.
Todos los problemas con rozamiento, se resuelven de igual manera que los problemas sin rozamiento vistos
en las aplicaciones de las leyes de Newton, la única diferencia es que debemos de incorporar una nueva fuerza
(fuerza de rozamiento estática o cinética según sea el caso).
EJEMPLO: Determine la fuerza necesaria que debe de ejercer una persona para hacer que un bloque de 40 kg
empiece a moverse hacia arriba sobre un plano inclinado 30 0 con respecto a la horizontal, si el coeficiente de
rozamiento estático entre ambas superficies es de 0.60. Una vez iniciado el movimiento, con esa misma fuerza
aplicada, determine la aceleración del bloque si el coeficiente de rozamiento cinético es de 0.40. Y por último,
determine la fuerza necesaria para que el bloque se deslice hacia arriba con velocidad constante.
N
P
Wx
Wy
fs
 
 
 
W
Para que empiece a moverse:
De la aplicación de la segunda ley al diagrama de cuerpo libre tenemos que:
Fx = max
P - fs - Wx = 0 (el cuerpo está en reposo, ax = 0 )
P = fs + Wx
P=
 s N + mg sen 
De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza normal.
Fy = may
N - Wy = 0 (el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical ax = 0 )
N = mg cos 
160
sustituyendo en la expresión de P encontrada en la sumatoria de fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)
P = ms mg cos  + mg sen 
P = mg ( ms cos  + sen  )
sustituyendo valores
P = ( 40kg )( 9.81m/seg2 )( 0.6 cos 300 + sen 300 )
P = 400.09 Nt.
El cuerpo ya se está moviendo y el coeficiente pasa a ser uno de rozamiento cinético, con esa misma fuerza
aplicada de 400.09 N el cuerpo se acelera, la aceleración es:
Fx = max
P - fk - Wx = max
a
a
P  f k  Wx
m
P   k N  mgsen
m
De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza normal.
Fy = may
N - Wy = 0 (el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical ax = 0 )
N = mg cos 
sustituyendo en la expresión de la aceleración encontrada en la sumatoria de fuerzas en el eje "horizontal"
(eje x)
a
P   k mg cos  mgsen
m
sustituyendo valores
a
400.09 N  (0.4)( 40kg)(cos 300 )  (40kg)(cos 300 )
m
a = 1.69 m/s2
Ahora determinaremos la fuerza necesaria para que el cuerpo se siga moviendo hacia arriba con velocidad
constante
Fx = max
161
P - fk - Wx = 0
(el cuerpo está moviéndose con velocidad constante, ax = 0 )
P = fk + Wx
P  k N  mg sen 
De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza normal.
Fy = may
N - Wy = 0
(el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical ax = 0 )
N = mg cos 
sustituyendo en la expresión de P encontrada en la sumatoria de fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)
P  k mg cos  mg sen 
P  mg( k cos  sen  )
sustituyendo valores
P = ( 40kg )( 9.81m/seg2 )( 0.4 cos 300 + sen 300 )
P = 332.13 N.
162
PROBLEMARIO DE DINÁMICA ( con rozamiento)
1.- Un cuerpo que "pesa" 0.10 kg resbala sobre una superficie de hielo, deteniéndose a una distancia de 15
metros. Si su velocidad inicial es de 6 m/s. ¿Cual es la fuerza de fricción entre el cuerpo y el hielo?
a) ¿Cual es el coeficiente de rozamiento cinético?
2.- Un hombre arrastra por el suelo una canasta de 50 kg tirando de ella con una cuerda. El coeficiente de
rozamiento estático entre el suelo y la canasta es de 0.50 y el de rozamiento cinético de 0.35. Encuentre la
Tensión necesaria de la cuerda para empezar a mover la canasta si:
a) La cuerda esta horizontalmente.
b) Forma un ángulo de 300 con respecto a la horizontal.
c) Forma un ángulo de 600 con respecto a la horizontal.
d) Forma un ángulo de 300 con respecto a la horizontal (medido en sentido de las manecillas del reloj. )
e) Encuentre la aceleración del cuerpo para cada uno de los incisos anteriores.
3.- Un cubo de peso W descansa en un plano inclinado rugoso que forma un ángulo

con respecto a la
horizontal.
a) ¿Cuál es la fuerza mínima necesaria para que el cubo empiece a moverse hacia abajo sobre el plano?
b) ¿Cuál es la fuerza mínima necesaria para que el cubo empiece a ascender por el plano?
c) ¿Cuál es la fuerza mínima horizontal (transversal al plano) para que éste empiece a descender por el
plano?
4.- Un trozo de hielo resbala hacia abajo por una pendiente de 450 en un tiempo doble del que tarda en
resbalar por esa misma pendiente pero sin fricción.
a) ¿Cual es el coeficiente de fricción entre el hielo y la pendiente?
5.- Un bloque desliza hacia abajo por un plano inclinado cuya pendiente es

y con velocidad constante. A
continuación se le proyecta hacia arriba por el mismo plano con una rapidez inicial v0
a) ¿Que distancia ascenderá sobre el plano antes de detenerse?
b) ¿Resbalará hacia abajo de nuevo?
6.- Dos masas m1 =1.65 kg y m2 =3.30 kg unidas por una varilla sin
masa paralela a un plano inclinado, por el cual ambas resbalan,
m1
descienden por el plano tal y como se muestra en la figura, tirando
m2 de m1. El ángulo de inclinación es
 =300. El coeficiente de
m
2
fricción cinética entre m1 y el plano es m1= 0.226 y entre m2 y el
plano es m2 =0.113. Calcular:
30 0
a) La tensión de la varilla que una a los cuerpos.
b) La aceleración de cada cuerpo.
c) Intercambie los cuerpos y calcule nuevamente los incisos anteriores.
163
7.- El bloque B de la siguiente figura pesa 710 N. El coeficiente de
fricción estática entre dicho bloque y la mesa es de 0.25. Encontrar el
peso máximo que debe de tener el bloque A para que el sistema esté en
45
B
equilibrio.
0
A
8.- El bloque A de la figura pesa 44 N y el bloque B tiene una masa de
2.5 kg.
a) Determine el mínimo peso del bloque C que está sobre
A para que el sistema esté en equilibrio si
s
C
entre el
A
bloque A y la mesa es de 0.20.
b) Determine la aceleración de los bloques A y B si el
B
bloque C se retira repentinamente de encima del bloque
A, siendo el coeficiente de rozamiento cinético entre A y
la mesa de 0.20.
9.- Una caja de masa m se empuja por una rampa áspera inclinada un ángulo
coeficiente cinético de rozamiento es
m,
k

con la horizontal, cuyo
mediante una fuerza de magnitud F. Obténganse, en función de
 , F y g las expresiones para:
a)
La fuerza normal.
b) La fuerza de rozamiento.
c) La aceleración de la caja.
d) La fuerza necesaria para empujar la caja con velocidad constante.
10.- Un oficial de policía que está investigando un accidente se da cuenta de que un automóvil dejó rodadas
de deslizamiento de 7.0 m de largo sobre el pavimento seco y plano. Estime la rapidez del vehículo antes de
que comenzara a resbalar. Suponga que el frenado se realiza en las cuatro llantas y que el coeficiente de
deslizamiento entre las llantas y el pavimento es de 0.5
11.- Un libro se encuentra sobre el techo de un automóvil al acelerar éste desde el reposo horizontalmente. Si
el coeficiente de fricción estática entre el vehículo y el libro es de 0.45 ¿Cuál será la máxima aceleración
que alcance sin que el libro resbale?
12.- Un bloque de cemento se encuentra en el piso de una camioneta que desciende una pendiente de 20 0
mientras disminuye su rapidez en 1.5 m/s2. ¿Cuál debe ser el coeficiente de fricción estática entre el piso y
el bloque para que éste no resbale?
164
CAPÍTULO VI
TRABAJO Y ENERGÍA
6.1 INTRODUCCIÓN
En los capítulos anteriores, resolvimos problemas donde se involucraban Fuerzas constantes utilizando la
segunda ley de Newton:
F  ma
donde F viene expresada en función de las propiedades del cuerpo y del medio ambiente que lo rodea, por
medio de la ley de fuerzas ( o ley de la naturaleza ) respectiva que rige el movimiento de un cuerpo. Dadas
ciertas condiciones iniciales, pudimos conocer la aceleración
a del cuerpo y al sustituirla en las ecuaciones de
movimiento:
x  x0  v0 t 
x  x0 
1 2
at
2
1
v  v0  t
2
v  v0  at
v 2  v02  2ax  x0 
determinamos la posición como una función del tiempo x(t) así como su velocidad v(t), con lo cual queda
resuelta la primera parte del problema fundamental de la mecánica clásica. Es una primera parte ya que
únicamente se consideró el caso de una Fuerza constante y en consecuencia una aceleración dada por la
segunda ley de Newton:
a
F
 ctte
m
Si observamos bien la ecuación anterior, la aceleración del cuerpo depende de la Fuerza y de la masa. La
segunda parte del problema de la mecánica clásica es cuando la Fuerza que actúa sobre el cuerpo es variable,
en cuyo caso, la aceleración también lo será y consecuentemente, no se pueden aplicar las ecuaciones de
movimiento de cinemática anteriores ya que éstas son exclusivamente para aceleración constante. En este
capítulo abordaremos el método (integración) para resolver este tipo de problemas.
La tercera parte del problema es cuando se consideran sistemas de masa variable como en el caso de los
cohetes que al ir quemando combustible su masa varía. Sin embargo, este tipo de problemas corresponde a un
segundo curso de mecánica.
165
Dentro de la primera parte, aunque podemos conocer la posición y velocidad de la partícula como una función
del tiempo sin necesidad de abordarlos desde el punto de vista del Trabajo y Energía, para fines didácticos y
facilitar el estudio y entendimiento de casos complicados como el de fuerzas variables, es necesario definir
estos conceptos y poder llegar al teorema del trabajo y la energía, en el cual no es necesario conocer la
aceleración de la partícula aunque indirectamente se aplique la segunda ley de Newton.
En el capítulo anterior vimos que el concepto de fuerza lo relacionábamos con jalar o empujar un objeto y que
para fines científicos requeríamos de una definición mas formal. De la misma forma, el concepto que tenemos
de la palabra trabajo, lo relacionamos con cualquier actividad que requiere de un esfuerzo muscular o
intelectual, así decimos que vamos al trabajo, que al levantar y sostener un objeto estamos realizando trabajo,
que se requiere de un trabajo intelectual para entender las notas de clase, etc.
En física, el científico requiere enunciar con exactitud lo que significa la palabra trabajo, restringiéndola a los
casos en los cuales interviene la aplicación de una fuerza sobre un cuerpo y un desplazamiento.
Sin embargo, dentro de dicha restricción existen diferentes variantes ya que la fuerza aplicada sobre un cuerpo
puede ser:
i) Constante
ii) Variable
y el desplazamiento puede ocurrir
i) En una dimensión
ii) En dos dimensiones
iii) En tres dimensiones
Adicionalmente, la fuerza aplicada puede estar en la dirección de movimiento o en una diferente.
Así como en cinemática donde al inicio abordamos los casos mas sencillos y los fuimos complicando a
medida que avanzábamos en el curso, para el caso del trabajo y la energía procederemos de la misma forma,
abordando el caso mas sencillo que es:
6.2 TRABAJO Y ENERGÍA DEBIDO A UNA FUERZA CONSTANTE APLICADA EN LA
DIRECCIÓN DE MOVIMIENTO.
Consideremos un cuerpo colocado sobre una superficie horizontal áspera, al cual se le aplica una fuerza
horizontal P constante de tal manera que mueve al cuerpo en la dirección que previamente elegimos como
dirección positiva, desde la posición inicial x0 hasta la posición final x.
P
x0
P
P
x
xf
x + (m)
l xf - x0 l = d
166
En una primera aproximación, definimos el trabajo (W) realizado por la fuerza P aplicada sobre el cuerpo
como:
W  Px
la unidad de trabajo es el Newton·metro denominado Joule.
( 1 N ) ( 1 m ) = 1 Joule
El trabajo realizado por esta fuerza tiene un valor positivo ya que tanto P como  x apuntan en la dirección
positiva.
Sobre un cuerpo pueden estar actuando varias fuerzas, en la siguiente figura se presentan varias fuerzas que
pueden estar actuando sobre el cuerpo.
b)
N
a)
fk
fk
P
w
N
w
=m g
P´
w
En el caso anterior, encontramos que la fuerza P realiza un trabajo positivo, sin embargo, se pueden dar las
condiciones para que el trabajo sea negativo o nulo. Por ejemplo, la fuerza de rozamiento cinético que la
superficie áspera del piso ejerce sobre el cuerpo, se opone al movimiento, resultando un trabajo negativo ya
que la dirección de la fuerza (fk) y el desplazamiento son opuestos.
Cuando actúan varias fuerzas sobre el cuerpo, el trabajo realizado por cada una de ellas se determina a partir
de la definición de trabajo dada anteriormente, y el trabajo neto realizado por las fuerzas sobre el cuerpo es
la suma algebraica de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas, calculados individualmente, esto
es:
W  WP  W f x  WN  Wmg
En el diagrama de cuerpo libre a), al aplicar la segunda ley de Newton encontramos una fuerza resultante o
neta F positiva y constante, motivo por el cual el trabajo neto sobre el cuerpo es positivo, el efecto de este
trabajo positivo, en virtud de la segunda ley de Newton, se manifiesta en una aumento de la velocidad del
cuerpo.
En el diagrama de cuerpo libre b), reducimos la fuerza aplicada de tal manera que su magnitud fuera igual a la
fuerza de rozamiento, de esta manera el cuerpo va a continuar moviéndose con velocidad constante por lo que
la aceleración del cuerpo será cero y en consecuencia la fuerza neta o resultante, luego entonces, el trabajo
neto efectuado por las fuerzas sobre el cuerpo es nulo.
167
Para encontrar la relación entre el trabajo y los cambios de velocidad, analicemos un movimiento que nos es
familiar en el laboratorio. El ejemplo es el siguiente:
Un móvil se desplaza sobre un riel de aire sin fricción bajo la acción de una fuerza constante transmitida por
medio de la tensión de un hilo que pasa por una polea sin fricción, en cuyo extremo se encuentra suspendido
un peso a una altura h, tal como se muestra en la siguiente figura.
v
v0 = 0
xo = 0
x
h
mg
Al soltar el peso, el móvil inicia su movimiento (v0= 0 ) a partir del origen (x0 = 0), y la posición del móvil al
recorrer una distancia x vendrá dada por la ecuación:
x
v2
2a
y el trabajo realizado es:
W  Tx
donde T es la tensión del hilo, siendo la única fuerza que actúa sobre el cuerpo y en consecuencia la Fuerza
neta, la cual viene expresada de acuerdo con la segunda ley de Newton como:
T = ma
Sustituyendo los valores de T y x en W tenemos que:
W  ma
W m
W
v2
2a
v2
2
1 2
mv
2
Al adquirir esta velocidad, el móvil se encuentra en la posición x y el peso ha chocado con el suelo por lo cual
la fuerza representada por la tensión del hilo desaparece. Sin embargo, el móvil a adquirido una propiedad que
no poseía cuando se encontraba en reposo, esta propiedad consiste en la capacidad que tiene ahora de
realizar trabajo sobre otro objeto que interaccione con él.
168
Para comprobar lo anterior hagamos lo siguiente:
En la posición final x coloquemos un clavo apuntalado horizontalmente en un bloque de algún material
(frigolit) que permita al clavo penetrar en él y que a la vez evite que el móvil retroceda en el choque. De ésta
forma, el móvil que tiene una velocidad v ejercerá una fuerza F constante sobre el clavo, la cual se suspenderá
cuando su velocidad sea cero.
La aceleración (desaceleración) del móvil que en magnitud es la misma que experimenta el clavo se puede
determinar a partir de la siguiente ecuación de movimiento:
v 2  v0  2ax  x0 
2
en donde para diferenciar del caso anterior, se la han agregado comillas a las variables.
Para esta ecuación, también tenemos condiciones iniciales que son:
v  0
v0  v
x0  0
donde v es la velocidad del móvil al momento del impacto, que viene siendo la velocidad inicial v´0 en esta
segunda parte del problema, por lo que:
v  2  v0
a
2 x   x0 
2
y con las condiciones iniciales:
 v0
a
2x0
2
por lo que la fuerza que ejerce el clavo sobre el móvil (Fc/m) de acuerdo a la segunda ley es:
Fc
m
mv 2

2 x
y por la tercera ley de Newton, esta fuerza debe de ser de igual magnitud pero en sentido contrario a la que
ejerce el móvil sobre el clavo.
Fc   Fm
m
Fm
c
c
mv 2

2 x
169
y el trabajo realizado por el móvil sobre el clavo es:
W  Fm x
c
W
mv 2
x
2 x
W 
1
mv 2
2
Luego entonces podemos afirmar lo siguiente: El trabajo realizado por una fuerza neta sobre el móvil es el
mismo trabajo que éste puede realizar sobre otro objeto que interaccione con él.
A la propiedad que tienen los cuerpos para realizar un trabajo se le denomina Energía, en éste caso, el trabajo
lo relacionamos con la velocidad del móvil, recibiendo el nombre de Energía Cinética. La palabra cinética
proviene del griego kinematics que significa movimiento, utilizándose el símbolo K para representarla y su
valor es igual al trabajo que puede efectuar un cuerpo en movimiento hasta quedar en reposo.
K=W
K
1 2
mv
2
Para terminar el análisis de esta sección, supongamos que de la posición final x retiramos el bloque con el
clavo y a partir de esta posición cancelamos todos los orificios por donde sale el aire, en esta nueva situación,
el móvil ya no estará "suspendido", por lo que las superficies entrarán en contacto generando una nueva
fuerza: la fuerza de rozamiento cinético.
Esta fuerza será la única que actúe sobre el móvil y por lo tanto la fuerza neta que hará que se detenga a una
determinada distancia x.
El trabajo realizado por esta fuerza será:
W  fk x
donde nuevamente la fuerza fk viene dada por la segunda ley de Newton:
f k  ma
sustituyendo tenemos que:
W=max
donde la aceleración se encuentra a partir de la ecuación:
170
v 2  v0
a
2x  x0 
2
sustituyendo tenemos el trabajo realizado por la fuerza neta, en éste caso la fuerza de fricción:
 v 2  v0 2 
x
W  m

 2 x  x 0  
W
1 2 1
2
mv  mv0
2
2
W  K  K0
siendo K la energía cinética final del móvil y K0 su energía cinética inicial. Luego entonces:
W  K  K 0  K
relación que se conoce con el nombre de Teorema del Trabajo y la Energía, cuyo enunciado es: El trabajo
realizado sobre un cuerpo por la fuerza resultante es igual al cambio de su energía cinética.
Como el valor de la velocidad está elevada al cuadrado, la energía cinética siempre es positiva, pero en
cambio, la diferencia de energías puede ser positiva, negativa o nula. En el caso anterior, como v < v0
encontramos una
K  0 , es decir el trabajo realizado por la fuerza neta sobre el móvil es negativo y en
virtud de la tercera ley de Newton, el trabajo efectuado sobre el móvil es el negativo del trabajo realizado por
el móvil sobre el agente que produjo esa fuerza, por lo anterior decimos que: la energía cinética de un cuerpo
disminuye en la misma proporción en que dicho cuerpo efectúa trabajo.
6.3 TRABAJO Y ENERGÍA DEBIDO A UNA FUERZA CONSTANTE APLICADA EN
DIRECCIÓN DIFERENTE A LA DEL MOVIMIENTO
En la sección anterior definimos el trabajo hecho por una fuerza constante, la cual estaba aplicada en la
dirección de movimiento (entendiéndose por dirección el eje x), en algunos casos el sentido era el mismo y en
otros contrario como por ejemplo la fuerza de rozamiento.
Sin embargo, esta fuerza constante aplicada puede estar en una dirección diferente a la del movimiento, tal
como se muestra en la siguiente figura, en donde la fuerza forma un ángulo F con respecto a la dirección de
movimiento.
171
P
P
P

Pcos 
x0
xf
x
l xf - x 0 l = d
x + (m)
En este caso, definimos el trabajo efectuado por la fuerza sobre el cuerpo como el producto de la componente
de la fuerza en la dirección de movimiento por la distancia que recorre el cuerpo a lo largo de dicha
dirección. De la figura observamos que dicha componente es:
Px  P cos 
luego entonces, el trabajo realizado por la fuerza para llevar al cuerpo de la posición inicial x0 hasta la
posición final x es:
W  P cos  x  Px d
donde
d  x
según la ecuación anterior, el trabajo realizado por la fuerza aplicada, al igual que en la sección anterior,
puede ser positivo, negativo o nulo, esto dependerá del ángulo que forme la fuerza con respecto a la dirección
del movimiento ( el ángulo se mide a partir de la dirección de movimiento y en sentido contrario a las
manecillas del reloj ), de tal forma que si:
0 0    90 0
tenemos que W  0
  90 0 tenemos que W  0
270 0    270 0
tenemos que W  0
270 0    360 0
tenemos que W  0
Para ejemplificar lo anterior, supongamos que una persona se pone a jugar con una cuerda en cuyo extremo se
encuentra atado un cuerpo de masa m. En todos los casos que se presentan a continuación, la persona realiza
un esfuerzo físico que puede manifestarse en cansancio.
1.
La persona levanta verticalmente al cuerpo hasta una altura h, de tal forma que el movimiento es tan
lento que no se pueden apreciar los cambios de velocidad, Con esta condición, la fuerza aplicada es
constante, la aceleración resultante será cero y en consecuencia también la fuerza neta.
172
La fuerza aplicada por la persona sobre el cuerpo es igual a la tensión de la cuerda. A continuación
calculamos los trabajos realizados por cada una de las fuerzas que intervienen.
i)
El trabajo realizado por la fuerza aplicada es:
W1  Th cos 
en donde por la segunda ley de Newton, T  mg y
  0 por lo que:
W1  mgh
ii)
El trabajo realizado por la fuerza que ejerce la Tierra sobre el cuerpo representado por
el peso mg es:
W2  mgh cos 
como
  180 0
W2  mgh
El trabajo total efectuado sobre el cuerpo para levantarlo verticalmente, es igual a la suma de los
trabajos individuales calculados en los incisos anteriores, esto es:
WT  W1  W2  mgh  mgh  0
2.
Posteriormente, la persona sostiene al cuerpo en esa posición a una altura h
i) El trabajo realizado por las fuerzas del punto No. 1 es cero debido a que no existe
desplazamiento.
3.
La persona se mueve hacia la derecha una cierta distancia d
ii)
El trabajo realizado por la fuerza aplicada es:
W3  mgd cos 
con
  90 0
W3  0
iii)
El trabajo realizado por la fuerza que ejerce la tierra sobre el cuerpo es:
W4  mgd cos 
con
  270 0
W4  0
173
El trabajo total realizado por las fuerzas al desplazar el cuerpo una distancia d hacia la derecha es:
WT  W3  W4  0
4.
La persona baja el cuerpo desde la altura h hasta el suelo, en las mismas condiciones en que lo subió.
iv)
El trabajo efectuado por la fuerza aplicada es:
W5  mgh cos 
con 
 180 0
W5  mgh
v)
El trabajo efectuado por la Tierra es:
W6  mgh cos 
con
  00
W6  mgh
El trabajo total realizado por las fuerzas al bajar el cuerpo una altura h es:
WT  W5  W6  0
5.
Una vez colocado en el suelo, la persona tira de él en forma horizontal, arrastrándolo con velocidad
constante hasta llevarlo nuevamente a su posición inicial.
vi)
El trabajo realizado por la fuerza aplicada es:
W7  Fd cos 
con
  00
W7  Fd
vii)
El trabajo efectuado por la fuerza de rozamiento cinético es:
W8  f k d cos 
con
  180 0 y
puesto que se mueve con velocidad constante, por la segunda ley de
Newton, la fuerza aplicada es igual a la fuerza de rozamiento cinético ( fk = F )
W8   Fd
El trabajo total realizado por las fuerzas al desplazar al cuerpo sobre el suelo una distancia d es:
174
WT  W5  W6  0
Si deseamos conocer el trabajo realizado sobre el cuerpo en todo el recorrido, desde que se levantó
hasta que regresó a su posición original al ser arrastrado por el suelo, hacemos:
WT  W1  W2  W3  W4  W5  W6  W7  W8
WT  mgh  mgh  0  0  mgh  mgh  Fd  Fd  0
6.
Analicemos un último caso: La persona hace girar el cuerpo sobre su cabeza, describiendo una
trayectoria circular con movimiento uniforme.
viii) Cuando analizamos el movimiento circular, vimos que el desplazamiento es tangente a la
trayectoria y que la fuerza centrípeta es radial y dirigida hacia el centro de rotación por
lo que la fuerza y el desplazamiento forman un ángulo de 900, por lo que el trabajo
realizado es:
W 0
6.4 PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO ENTRE DOS VECTORES
Aunque en la parte relativa a vectores se abordó éste tema, nuevamente lo retomaremos para redefinir el
concepto de trabajo.
Sean A y B dos vectores que forman un ángulo F entre ellos. Se define el producto escalar como el producto
de la magnitud de uno de ellos (digamos A) por la proyección de B sobre A.

e
br
so

 cos 

B)

eA
d
ión os 
cc
c
e
A
oy
r
(P

(Proyección de B sobre A)

o viceversa, es decir , la magnitud de B por la proyección de A sobre B, tal como se muestra en la figura
adjunta a la anterior.
Del producto punto entre los vectores unitarios (perpendiculares entre sí) tenemos que:
iˆ  iˆ  1 1 cos 0 0  1
iˆ  ˆj  1 1 cos 900  0
175
ˆj  ˆj  1 1 cos 0 0  1
ˆj  iˆ  1 1 cos 900  0
Lo cual nos muestra que el producto punto entre dos vectores es un escalar debido a que tenemos la
multiplicación de la magnitud de un vector por la magnitud del otro lo cual nos da un escalar, que se
multiplica por el coseno del ángulo que se forma entre ellos, el cual también un escalar adimensional.
Toda vez que tenemos definido el producto punto entre vectores, tenemos que el trabajo lo podemos definir
como:
( F cos  )d  F cos  x  F  x  W
ya que la magnitud del desplazamiento es la distancia recorrida ( d
 x ) y F cos  es la proyección del
vector fuerza sobre el vector desplazamiento. Por ello:
W  F  x
6.5 TRABAJO Y ENERGÍA DEBIDO A UNA FUERZA VARIABLE APLICADA EN
LA DIRECCIÓN DEL MOVIMIENTO
Antes de abordar este tema, retomemos nuevamente la sección anterior en donde la fuerza es constante y
hagamos un análisis gráfico de la situación mostrada a continuación.
P
x0
P
P
xf
x
l xf - x0 l = d
x + (m)
Si graficamos la fuerza constante aplicada contra desplazamiento tendremos la siguiente gráfica:
F (Newtons)
P = ctte.
xo
xf
x (mts.)
En donde hemos sombreado toda la parte que se encuentra bajo la recta que indica a la fuerza P constante,
formándose un rectángulo de altura P y base d.
176
Como vimos anteriormente, el trabajo realizado por la fuerza constante es:
W  P  x  P x cos   Pd cos   Pd cos 00  Pd
El producto de P por d no es otra cosa mas que la altura del rectángulo multiplicado por su base, es decir, es el
área del rectángulo. Luego entonces:
A  Pd  W
El trabajo realizado por la fuerza P es igual al área del rectángulo que se forma bajo la recta.
Consideraremos ahora el trabajo realizado por una fuerza que no es constante, el caso más sencillo es cuando
la fuerza está aplicada en la dirección de movimiento y que ésta depende de la posición del cuerpo. Por
ejemplo, tenemos el caso de un resorte con uno de sus extremos fijo en una pared y en el otro extremo un
cuerpo que es jalado mediante una cuerda. Si deseamos recorrer el cuerpo una cierta distancia, debemos de
ejercer una fuerza F1, si queremos moverlo mas, debemos ejercer una fuerza F2 mayor; en pocas palabras, a
medida que queremos aumentar la distancia que recorra, en la misma forma debemos de aumentar la fuerza
aplicada.
F variable y aplicada en la dirección
F =0
de movimiento
0
x0 = 0
F1
x0
x1
F2
x0
x1
x2
Si medimos la fuerza con un dinamómetro y la posición del cuerpo para esa fuerza aplicada, estaremos en
posibilidad de realizar una tabulación de Fuerza contra posición (F vs. x) y graficar como se muestra a
continuación.
177
F (Nt.)
F4
F3
h = F4 - F0
F2
F1
X1
X2
X3
X4
X (m)
d = (x4 - x 0 )
Al igual que para el caso de una fuerza constante, el trabajo realizado por una fuerza variable también es igual
al área bajo la recta, en este caso, un triángulo rectángulo de altura F4 - F0 y base x4 - x0, siendo ésta:
A W 
bh ( F4  F0 )( x  x0 ) F4 d


2
2
2
En los dos casos anteriores, calcular el trabajo realizado por las fuerzas mediante el método del área bajo la
curva fue sencillo debido a que las figuras geométricas que se forman son conocidas. Sin embargo, existen
fuerzas variables que dependen de la posición y cuya gráfica de fuerza contra posición son complejas. En
estos casos, el problema se complica y se requiere de un método mas sofisticado para calcular el trabajo
realizado por la fuerza. Dicho método es el método matemático de la integración. Para llegar a él,
supongamos que un cuerpo se mueve en la dirección del eje x de la posición x1 hasta la posición x2 bajo la
acción de una fuerza variable que depende de la posición y que al medirla se obtiene la siguiente gráfica.
F(x)
F2
F1
X1
X2
Dividamos el desplazamiento total de x1 hasta x2 en pequeños desplazamientos iguales de anchura
x
178
F(x)
Fn
F4
F5
F3
F2
F1
F5
F4
F3
F
2
F1
x1
x
x2
x
x3
x4
x
x
x5
x
xn
Como se puede observar, se nos forman rectángulos de altura (F) variable y anchura ( x ) constante.
Consideremos el primer desplazamiento de x1 a x2 (o bien de x1 a x1 +
x ), en este intervalo, la fuerza puede
considerarse aproximadamente constante, teniendo un valor F1. El trabajo realizado por dicha fuerza para
desplazar al cuerpo un
x es:
W  F1x
En el siguiente intervalo de x2 a x3 (o bien de x2 a x2 +
x ), el trabajo realizado es:
W  F3 x
De esta forma podemos seguir calculando el trabajo para cada desplazamiento y el trabajo total aproximado
será la suma de todos los incrementos de trabajo calculados individualmente mediante el área de los
rectángulos, lo cual expresado en notación matemática es:
n
n
i 1
i 1
W   W   Fi x
Decimos que es un trabajo aproximado debido a que dentro de cada intervalo
x la fuerza varía. Si tomamos
el valor de F1 en la posición x1, observaremos que para el primer intervalo se forma un rectángulo de altura F 1
y anchura
x , además de una especie de pequeño triángulo por encima.
Para el siguiente intervalo, se forma un rectángulo de altura F 2 y también de anchura
x , así como un
segundo triángulo, y así sucesivamente. Por lo anterior, podemos asegurar que lo que estamos calculando son
las áreas de los rectángulos de altura Fi y anchura
x , quedándonos por encima de ellos las áreas de los
triangulitos sin calcular, los cuales representan la diferencia entre el trabajo aproximado y el trabajo real
efectuado por las fuerzas.
179
F(x)
Fn
F4
F5
F3
Áreas sin calcular
F2
F1
F
Áreas calculadas
2
F
1
x1
x2
x
x
x3
x4
x
x
x5
x
xn
Para minimizar estas pequeñas diferencias, procedemos a aumentar el número de intervalos haciendo mas
pequeños los
x , con lo cual obtendremos un mayor número de triangulitos por encima de los rectángulos
pero cuyas áreas son mucho menores que las anteriores tal y como se muestra en la siguiente figura.
F(x)
Fn
F5
F4
F3
F2
F1
F5
F4
F1
F
2
F3
x 1 x 2 x3 x 4
x5
x x x x x
x
x x
x
x
xn
Sin embargo aún seguimos teniendo triangulitos sin calcular por encima de la curva, por lo que se procede
nuevamente a tomar
x cada vez más pequeños.
Si queremos aproximarnos aún mas al trabajo real, debemos de hacer que el número de rectángulos tienda a
infinito y que
x  0 por lo que para cada rectángulo tendremos valores mas representativos de la fuerza.
De esta forma, el trabajo realizado por la fuerza será:
W  lim
n
 F x
n   i 1
i
180
Se define la integral definida de F con respecto a x como:
n
lim
 F x  
n  i 1
i
xn
x1
F ( x)dx
Cuyo significado es el siguiente: En el límite cuando cada rectángulo se aproxima a cero, el área [ F ( x)x ]
de cada rectángulo se aproxima al valor real del área situada debajo de la curva F(x) entre los límites x1 y xn,
lo cual nos permite decir que el valor de la integral F(x) entre los limites x1 y x2 es igual al área situada
debajo de la curva descrita por F(x) entre esos límites. Por lo tanto, el trabajo efectuado por la fuerza F(x)
que mueve al cuerpo de la posición x1 hasta la posición x2 es:
xn
W   F ( x)dx
x1
o en forma vectorial
xn
W   F( x)dx
x1
De igual forma que encontramos la relación entre el trabajo realizado por una fuerza constante y la velocidad
del cuerpo (energía cinética), así mismo lo hacemos para una fuerza variable que dependa de la posición. En
aquella parte hicimos uso de las ecuaciones de cinemática ya que la aceleración era constante, pero ahora, no
se pueden usar debido a que la fuerza aplicada es variable y en consecuencia también lo es la aceleración.
Para salvar esta dificultad, realizamos un truco matemático (multiplicar y dividir por la misma cantidad)
expresando la aceleración de la siguiente forma:
a
dv dv dx dx dv
dv


v
dt dt dx dt dx
dx
Con ello, la ecuación para el trabajo la podemos expresar como:
xn
xn
x1
x1
W   F( x)dx   ma dx
Sustituyendo la expresión de la aceleración encontrada anteriormente y recordando que en la posición inicial
(x0) el cuerpo tiene una velocidad inicial (v0); y que en la posición final (x) tiene una velocidad final (v),
tenemos que:
x
W   m(v
x0
v
dv
) dx  m  v dv
v
0
dx
La integral:
n
 v dv 
v n 1
n 1
181
luego entonces:
v
v11
v2
W  m  v dv  m
m
v0
11 v
2
v
v
0

v0
1
2
m(v 2  v 0 )
2
W
1 2 1 2
mv  v0
2
2
W  K  K 0  K
Que es el Teorema del Trabajo y la Energía encontrado anteriormente para una Fuerza constante.
6.6 TRABAJO Y ENERGÍA DEBIDO A UNA FUERZA VARIABLE APLICADA EN
DIRECCIÓN DISTINTA A LA DEL MOVIMIENTO
La fuerza que actúa sobre un cuerpo puede variar tanto en magnitud como en dirección por lo que el cuerpo se
moverá en un plano o en el espacio tridimensional describiendo trayectorias curvas. Encontraremos el trabajo
realizado por una fuerza variable que actúa sobre un cuerpo que se mueve en el plano, pudiendo generalizarse
el resultado de igual forma para el espacio.
En la siguiente figura se representa la trayectoria que describe el cuerpo y la fuerza que actúa sobre él en
varios puntos (x , y), así como el ángulo F que forma la fuerza con respecto al vector desplazamiento r el
cual es tangente a la trayectoria en esos puntos.
Y

r
F
y1
F
F
y2
a (x1, y )
1
x
r

b ( x2, y )
2

r
F

r
x2
1
X
El trabajo realizado sobre el cuerpo por una de las fuerzas puede calcularse a partir de:
W  F(x.y)  r (x.y)
Donde la fuerza y el desplazamiento dependen de las coordenadas (x , y), la fuerza podemos descomponerla
en sus componentes rectangulares: una perpendicular al vector desplazamiento y otra paralela o tangente a la
182
trayectoria; siendo esta última componente la que realiza trabajo. El trabajo realizado por esta componente
podemos considerarlo como un elemento de trabajo que contribuye al trabajo total realizado sobre el cuerpo
para llevarlo desde la posición a hasta la posición b. De esta forma, el elemento de trabajo correspondiente a
un punto sobre la trayectoria viene expresado por:
W  F(x.y)  r (x.y)  Fcosr
El trabajo aproximado se encuentra sumando todos los estos pequeños elementos de trabajo calculados para
cada uno de los segmentos lineales de  r . Cuando estos segmentos  r se van haciendo mas pequeños, los
incrementos  r pueden reemplazarse por los diferenciales dr y la suma por una integral. Luego entonces, el
trabajo realizado por la fuerza para llevar al cuerpo desde a hasta b será:
b
b
a
a
Wab   F(x.y)  dr(x.y)   Fcosdr
Como podemos observar, en la expresión anterior, F y cos  varían por lo que no podemos realizar la
integración hasta no conocer esta variación de punto a punto sobre la trayectoria.
Por otro lado, sabemos que:
F ( x, y )  Fx iˆ  Fy ˆj
dr ( x, y )  d x iˆ  d y ˆj
Por lo que el producto escalar entre ellos vine dado por:
F(x.y)  dr (x.y)  (Fx iˆ  Fy ˆj )  (dx iˆ  dy ˆj )
Desarrollando y haciendo uso del producto escalar entre vectores unitarios, encontramos lo siguiente:
F(x.y)  dr (x.y)  Fx dx  Fy jdy
Sustituyendo esta última expresión encontramos que:
b
Wab   (Fx dx  Fy jdy)
a
La integral anterior es sobre todos los puntos de la trayectoria desde a hasta b por eso se le conoce con el
nombre de integral de línea.
Para encontrar la relación entre el trabajo realizado por la fuerza variable y la velocidad del cuerpo, hacemos
uso de la ecuación:
b
Wab   (F(x.y)  dr(x.y)
a
183
y descomponemos la Fuerza en sus componentes tangencial Ft y perpendicular F o normal FN a la
trayectoria como se muestra en la siguiente figura:
Y
F
y
2
FN

r
b(x ,y )
2 2
Ft
a (x1 , y )
1
y
1
x1
x2
X
Expresando la segunda ley de Newton en términos de la componente tangencial de la fuerza y la aceleración
(la componente normal no realiza trabajo) tenemos que:
Ft  mat  m
dv
dt
donde v es la velocidad lineal o tangencial del cuerpo, la cual viene expresada como:
vt 
dr
dt
despejando
dr  vt dt
Luego entonces:
F (x.y)  dr (x.y)  ma t drt  ma t cos dr  mat dr  m
dv
dr
dt
sustituyendo en la expresión para el trabajo tenemos que:
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
Wab   F  dr   ma  dr   ma t cos drt   ma t dr  m 
v dv
v
dv
dr  m 
(vt dt )  m  v dv
v
v
0 dt
0
dt
184
Cuando el cuerpo se encuentra en el punto a, tiene asociada una velocidad v = vi y cuando pasa por el punto b
tiene una velocidad v = vf, por lo que los límites de integración cambiaron en la expresión anterior al cambiar
las variables de integración, quedándonos:
v
Wa b  m  v dv
v0
Integrando tenemos que:
W a b 
1
2
2
m(v f  v 0 )
2
Wa b 
1
1
2
2
mv f  mv0
2
2
Wa b  K f  K 0  K
Por lo que el teorema del trabajo y la Energía se sigue cumpliendo, no importa si la fuerza es constante o
variable; si el movimiento es en una, dos o tres dimensiones; o si la fuerza aplicada se encuentra en la
dirección de movimiento o no.
185
PROBLEMARIO DE TRABAJO Y ENERGÍA
1.
Un hombre empuja un bloque de 270 N recorriendo 9.1 m a lo largo de un piso horizontal, con
rapidez constante y con una fuerza inclinada a 45 0 por debajo de la horizontal. Si el coeficiente de
fricción cinética es de 0.20. ¿Cuál es el trabajo efectuado por el hombre sobre el bloque?
2.
Un bloque de masa m = 3.57 kg es arrastrado con rapidez constante una distancia d = 4.06 m sobre
un piso horizontal por medio de una cuerda que ejerce una fuerza constante de magnitud F = 7.68 N
y que forma un ángulo
3.
  15 0 sobre la horizontal. Calcular:
a.
El trabajo total efectuado sobre el bloque.
b.
El trabajo efectuado por la cuerda sobre el bloque.
c.
El trabajo efectuado por la fricción sobre el bloque.
d.
El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el suelo.
Una caja de 2200 N está suspendida mediante una cuerda de 12 m de longitud. La caja es desplazada
lateralmente 1.3 m respecto de la vertical y se mantiene en ese sitio.
a.
¿Cuál es la fuerza a lo largo del arco circular necesaria para mantener a la caja en esa
posición?
4.
b.
¿Se efectúa algún trabajo para mantenerla en esa posición?
c.
¿Se realizó algún trabajo al desplazarla lateralmente?
d.
¿Realiza algún trabajo sobre la caja la tensión de la cuerda?
Se usó una cuerda para hacer descender verticalmente una distancia d, con una aceleración constante
hacia abajo de g/4, a un bloque de masa M. Encontrar el trabajo efectuado por la cuerda sobre el
bloque.
5.
Desde que altura tendría que caer un automóvil para ganar la energía cinética equivalente a la que
hubiese tenido corriendo a 97 km/hr.
6.
Un hombre que va corriendo tiene la mitad de la energía cinética de un niño que tiene la mitad de su
masa. El hombre aumenta su rapidez en 1.0 m/s y entonces adquiere la misma energía cinética que el
niño. ¿Cuáles eran las velocidades iniciales del hombre y del niño?
7.
Un protón que parte del reposo es acelerado en un ciclotrón hasta alcanzar una rapidez final de 3.0 x
107 m/s ¿Que trabajo hace (en electrón-volts) la fuerza eléctrica del ciclotrón que lo acelera? ( 1 eV
= 1.6 x 10-19 Joules).
8.
Una bala de 30 gr que inicialmente es disparada a 500 m/s, penetra 12 cm en un bloque de madera.
¿Cuál es la fuerza media que ejerce sobre el bloque?
186
9.
Valiéndose de consideraciones de trabajo y energía cinética, demostrar que, si el conductor aplica a
fondo los frenos, la distancia en que se detiene un automóvil de masa m que se mueve con rapidez v
sobre una carretera a nivel es
v
2 k g
, donde
 k es
el coeficiente de fricción cinética entre las
ruedas y la carretera.
187
BIBLIOGRAFÍA
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Mc Graw – Hill. 1987
Eisberg R. M. y Lerner L.S., Física Fundamentos y aplicaciones, Vol. I., México: Mc Graw-Hill. 1984
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