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2º BACHILLERATO
FÍSICA
TEMA 1
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Santiago Sánchez García
2º BACHILLERATO
TEMA 1
1.1.
FÍSICA
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Características más importantes del movimiento armónico
simple (MAS).
1.1.1. Ejemplos de movimientos armónicos simples.
Vamos a comenzar indicando algunos movimientos armónicos simples que se
dan en la naturaleza:
a) Si desplazamos un cuerpo que pende de un muelle de su posición de
equilibrio, el cuerpo adquiere un MAS.
b) Si desplazamos un cuerpo que pende de un hilo de su posición de
equilibrio, el cuerpo adquiere un MAS.
c) Si insertamos una lámina metálica, por un extremo, en una ranura y
desplazamos el otro extremo de la posición de equilibrio, las partículas que
están en dicho extremo adquieren un MAS.
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d) El movimiento de los átomos que constituyen un cristal, es un MAS de
los mismos alrededor de su posición de equilibrio.
No obstante, debemos hacer notar que todos estos movimientos son
movimientos armónicos amortiguados ( acaban parándose), pero si suponemos
un intervalo de tiempo suficientemente pequeño los podemos suponer MAS.
1.1.2. Características de este movimiento
Las características más importantes de este movimiento son las siguientes:
a) Los cuerpos animados de este movimiento describen una trayectoria
rectilínea.
b) Los cuerpos con MAS pasan periódicamente por las mismas
posiciones. Es un movimiento periódico.
c) La velocidad y la aceleración también varía periódicamente en los
cuerpos con MAS.
1.2. Magnitudes que intervienen en el MAS
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Para el estudio de este movimiento tenemos que introducir una serie de
conceptos y magnitudes que no hemos estudiado hasta ahora:
a) Oscilación, vibración o ciclo. Es el recorrido que realiza un cuerpo
con MAS para volver a la posición inicial viajando en el mismo
sentido.
b) Periodo ( T ). Es el tiempo que tarda un cuerpo con MAS en realizar
una oscilación completa. Su unidad en el SI es el segundo.
c) Frecuencia ( f ). Es el número de oscilaciones que realiza un cuerpo
con MAS en un segundo. Su unidad en el SI es el hercio (Hz) o
ciclos/s o s-1. La frecuencia es la inversa del periodo ( por la propia
definición ), luego:
1
f=
T
d) Elongación ( x ). Es la distancia a la que se encuentra un cuerpo con
MAS de su posición de equilibrio. Su unidad en el SI en el metro.
e) Amplitud ( A ). Es la máxima elongación que alcanza un cuerpo con
MAS en su movimiento. Su unidad en el SI es el metro.
f) Pulsación o frecuencia angular (  ). Es el número de periodos
comprendidos en 2 unidades de tiempo. Luego:
ω=
2
=2πf
T
Su unidad en el SI de unidades es el rad/s.
1.3. Ecuación del movimiento armónico simple
1.3.1. Ecuación
Vamos a deducir la ecuación del movimiento armónico simple a partir de un
movimiento armónico simple particular. Se trata del movimiento de la
proyección sobre el diámetro de una circunferencia de un movimiento circular
uniforme con velocidad angular .
El punto B es donde se comienza a medir el tiempo, por tanto, hay un ángulo
inicial 0. Si transcurre un tiempo de t segundos, el móvil, que según la
definición dada se mueve sobre la circunferencia con una velocidad angular 
constante, se encontrará en un punto tal como P y habrá recorrido un ángulo
 = t.
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La ecuación que vamos a determinar es una expresión que nos dará la
elongación x del punto H en cada instante, es decir, en función del tiempo t.
En el triángulo OHP, x = OP sen 1. Como OP = radio = amplitud, tenemos
x = A sen 1. El ángulo 1= 2 . A su vez :
β2 = 180 – ( ω t + φ0 )
por consiguiente:
x = A sen β1
tenemos:
y como
β1 = β2 = 180 – ( ω t + φ0 )
x = A sen ( 180 – ( ω t + φ0 ) )
luego:
x = A sen ( ω t + φ0 )
La ecuación obtenida es la ecuación del MAS.
1.3.2. Fase del movimiento y fase inicial
Al término
( ω t + φ0 )
Se le denomina fase del movimiento.
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Al término 0 se le denomina fase inicial del movimiento. Si en el instante inicial
del movimiento el cuerpo se encuentra en la posición de equilibrio 0 = 0.
Si desplazamos el cuerpo de la posición de equilibrio y lo soltamos, empezando
a computar el tiempo en ese instante, 0 = /2 rad ( ya que el punto que
describe el MCU ha descrito un ángulo de /2 rad ).
1.4. Cálculo de la velocidad y de la aceleración
Para obtener la velocidad se deriva la ecuación del movimiento:
v=
dx
= 0 sen ( ω t + φ0 ) + A (ω cos ( ω t + φ0 ) ) = A ω cos ( ω t + φ0 )
dt
La velocidad puede expresarse fácilmente en función de la elongación. Como:
sen2 α + cos2 α = 1
Luego podemos poner:
cos α = 
1  sen 2
Y por tanto:
v =  A ω 1  sen 2 (t   0 ) =  ω
A2  A2 sen 2 (t   0 ) =   A2  x 2
v =   A2  x 2
Consecuencias:
1. La velocidad del movimiento armónico simple es función periódica del
tiempo.
2. Su valor depende de la posición de la partícula. Tiene el valor
máximo en la posición de equilibrio y se anula en los extremos.
Para obtener la ecuación de la aceleración derivamos la ecuación de la
velocidad:
a=
dv
= 0 cos ( ω t + φ0 ) + A ω ( - ω sen ( ω t + φ0 ) ) = - A ω2 sen ( ω t + φ0
dt
)
Y como:
x = A sen ( ω t + φ0 )
La expresión anterior se transforma en:
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a = - ω2 x
Consecuencias:
1. La aceleración también varía periódicamente.
2. Su valor es nulo en el centro y máximo en los extremos.
1.5. Dinámica del movimiento armónico simple
Cualquier movimiento armónico simple está sometido a la acción de la fuerza:
F = m a , pero como en este movimiento: a = - ω2 x , tenemos:
F = - m ω2 x
Como m y  no varían, aparece una constante K ( K = m2 ), denominada
constante elástica o recuperadora:
F=-Kx
Su unidad en el SI es N/m.
Esta expresión indica que en el MAS la fuerza es proporcional al
desplazamiento y opuesta a él. Es decir, se dirige siempre hacia el punto de
equilibrio O, punto en el que se anula.
A partir de la fórmula anterior podemos obtener la expresión del periodo de
oscilación de un cuerpo sometido a una fuerza elástica.
K = m ω2
ω=
K=m
4 2
T2
T=2π
m
K
Luego:
2
T
y por tanto:
El periodo de un oscilador sometido a una fuerza elástica depende de su
constante recuperadora y de su masa, pero no depende de la amplitud del
movimiento.
1.6. Energía de un oscilador mecánico
Una partícula que está sometida a un MAS recibe el nombre de oscilador
mecánico. Se llama así porque posee energía cinética y potencial.
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1.6.1. Energía cinética en un MAS
La expresión que nos da la energía cinética es:
Ec =
1
m v2
2
Y teniendo en cuenta que la velocidad en un MAS es:
A2  x 2
v=  ω
Si sustituimos, tenemos:
Ec =
1
1
1
m v2 =
m ω2 ( A2 – x2 ) =
K ( A2 – x2 )
2
2
2
Ec =
1
K ( A2 – x2 )
2
Consecuencias:
1. La energía cinética es proporcional al cuadrado de la amplitud.
2. Su valor depende de la posición. Valor máximo en el centro de la
trayectoria y nula en los puntos de máxima elongación.
3. Es periódica.
1.6.2. Energía potencial en un MAS
La energía potencial es el trabajo que debemos hacer para deformar el resorte
una distancia x venciendo la fuerza de recuperación elástica. Luego:
Ep =

x
0
Fdx =
Ep =

x
0
Kxdx =
1
K x2
2
1
K x2
2
Consecuencias:
1. La energía potencial es proporcional al cuadrado de la elongación.
2. Depende de la posición. Tiene su valor máximo en los extremos y
nulo en el centro de la trayectoria.
3. Es periódica.
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1.6.3. Energía mecánica
La energía mecánica es la suma de la energía cinética y potencial. Luego:
Em = Ec + Ep =
1
1
1
1
K A2 K x2 +
K x2 =
K A2
2
2
2
2
Em =
1
K A2
2
En el movimiento armónico simple la energía mecánica permanece
constante y proporcional al cuadrado de la amplitud.
1.7. Periodo de oscilación de un péndulo simple
Si suspendemos una pequeña partícula material de masa m de un hilo de
longitud l , inextensible y de masa despreciable, y la separamos un pequeño
ángulo  de su posición de equilibrio, la partícula se comporta como un
oscilador armónico. Este sistema recibe el nombre de péndulo simple.
El periodo de oscilación ( T ) de un péndulo simple lo podemos determinar de la
siguiente forma:
Sen α =
F
P
para ángulos pequeños sen α ≈ α ;
(1)
por otro lado:
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Arco = ángulo x radio
luego x = α.l ;
;
de donde: α =
x
l
Si sustituimos en la ecuación (1) tenemos:
Kx
x
F
x
=
;
=
l
P
l
mg
K=
ω=
Como
2
T
mg
l
;
;
tendremos:
m ω2 =
mg
l
4 2
g
=
2
l
T
Y despejando T tendremos:
T = 2π
l
g
Consecuencias:
1. El periodo de oscilación de un péndulo simple es independiente de su
masa y de la amplitud de la oscilación.
2. El periodo solo depende de la longitud del hilo y del valor de la
aceleración de la gravedad.
ANEXO 1
Consultar las páginas de Internet:
www.newton.cnice.mec.es/2bach/MAS/mas.html
www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm
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