Download IV.1 Sistema de ecuaciones lineales

Unidad IV
Á lg ebr a
Esquema conceptual: Unidad IV
2. Solución de
sistemas de dos
ecuaciones
lineales en dos
incógnitas
Ecuaciones dependientes
Ecuaciones independientes
Ecuaciones incompletas
Métodos gráficos
Estrategia de eliminación por igualación
3. Solución de
sistemas de tres
ecuaciones
lineales en tres
incógnitas
1. Sistemas
de ecuaciones
lineales
UNIDAD IV
Sistemas de ecuaciones
lineales y matrices
98
7. Resolución
de un sistema
de 3x3 por regla
de Kramer
Aplicación de
determinantes en la
solución de sistemas de
ecuaciones lineales
4. Determinantes
de 2x2
6. Regla de
Sarrus
5. Determinantes
de 3x3
Definición de matriz
Representación matricial
de un sistema de valores
Determinantes
Semana 7
Unida d IV. Siste ma s de ecuacione s line a le s y matr ice s
Presentación
U
na ecuación es una expresión que contiene una o más incógnitas o variables. Mediante operaciones algebraicas, es posible determinar los valores
de dichas variables. En diversas aplicaciones, tanto de las ciencias matemáticas como de la administración, los problemas se plantean en términos de más
de una ecuación, los cuales forman parte de un sistema que debe resolverse
simultáneamente ya que el valor hallado para las incógnitas es el mismo para
todas las ecuaciones del sistema.
Objetivos específicos
r El alumno resolverá sistemas de ecuaciones lineales.
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Tema y subtemas
IV Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
IV.1
Sistema de ecuaciones lineales
IV.2
Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales
en dos incógnitas
Á lg ebr a
IV.1 Sistema de ecuaciones lineales
Definición de sistema de
ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de m ecuaciones de primer
grado con n incógnitas cuyos valores, una vez hallados, resuelven (o satisfacen) a
todas y cada una de las ecuaciones del sistema.
Ejemplo:
4x + 3y = 10
2x + 5y = 11
es un sistema de ecuaciones lineales con m = 2 (dos ecuaciones) y n = 2 (dos
incógnitas), en donde la solución es x = 1 , y = 2 que satisface simultáneamente ambas ecuaciones del sistema.
Ecuaciones dependientes
Características de las
ecuaciones dependientes
Cuando las ecuaciones de un sistema son múltiplos entre sí, el sistema tiene un
número infinito de soluciones.
Por ejemplo, en el sistema:
x+y=6
2x + 2y = 12
100
La segunda ecuación equivale a la primera ecuación multiplicada por dos (es
decir, la segunda ecuación es múltiplo de la primera), por lo tanto, el sistema tiene
un número infinito de soluciones, lo que en la práctica no es de utilidad para la
resolución de problemas.
Una solución es x = 4, y = 2 y otra x = 5 , y = 1, son dos de un número infinito
de soluciones.
Ecuaciones independientes
Características
de las ecuaciones
independientes
Cuando las ecuaciones de un sistema no son múltiplos entre sí (es decir, ninguna
de ellas puede obtenerse a partir del producto de otra multiplicada por determinado valor), se dice que son ecuaciones independientes y, en consecuencia, tienen
solución única, lo que es de gran utilidad en la solución de problemas prácticos.
Por ejemplo, el sistema
4x + 3y = 22
2x + 5y = 18
tiene sus dos ecuaciones independientes, por lo que la solución única es:
x=4,y=2
Unida d IV. Siste ma s de ecuacione s line a le s y matr ice s
Ecuaciones incompatibles
Se dice que un sistema de ecuaciones es incompatible si, pese a conformarse de
ecuaciones independientes, éstas no tienen solución en común.
Por ejemplo, el sistema:
Características
de las ecuaciones
incompatibles
3x + 6y = 30
6x + 12y = 15
se conforma de ecuaciones incompatibles debido a que no existen valores de x y
y, que resuelvan ambas ecuaciones en forma simultánea.
IV.2 Solución de un sistema
de dos ecuaciones lineales
en dos incógnitas
Métodos gráficos
La primera técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas es el método gráfico. Considerando que la gráfica de una ecuación de primer
grado corresponde a una recta, se procede a graficar ambas ecuaciones en el plano
cartesiano para determinar visualmente las coordenadas (x y y) en donde la rectas
se cortan.
Ejercicio. Resolver el sistema por el método gráfico:
2x + y = 0
x + y = −1
Solución:
Se procede a graficar ambas ecuaciones, despejando en ambas.
y = −2x
y = −1 − x
Puede observarse que las rectas se cortan en el punto x =1 , y = 2, y que puede comprobarse al sustituir dichos valores en el sistema original resolviéndolo de
manera simultánea.
2(1) + (−2) = 0
1 + (−2) = 0
Solución de un sistema
de ecuaciones a través
de métodos gráficos
101
Á lg ebr a
2x+y, x+y
6
4
2
0
−2
−4
−6
−6
−4
−2
0
2
4
6
Estrategia de eliminación por igualación
102
Solución de un sistema
de ecuaciones a través
de eliminación por
igualación
Este método consiste en despejar cualquiera de las dos incógnitas de ambas ecuaciones, con el fin de generar una ecuación de primer grado con una sola incógnita,
es decir, se elimina la incógnita inicial. Al resolver la ecuación de primer grado
mediante los pasos anteriores, ahora el valor obtenido se sustituye en cualquiera
de las ecuaciones para obtener el valor de la otra incógnita.
Ejercicio. Resolver el sistema:
4x + 3y = 22 [1]
2x + 5y = 18 [2]
Solución:
Despejamos alguna de las incógnitas, digamos x en las dos ecuaciones. Para la
ecuación [1], x se despeja de la siguiente manera:
4x = 22 − 3y
x=
22 − 3y
4
Para la ecuación [2], x se despeja de la siguiente manera:
2x = 18 − 5y
Unida d IV. Siste ma s de ecuacione s line a le s y matr ice s
x = 18 − 5y
2
Se procede ahora a igualar los valores de x obtenidos en los pasos anteriores:
22 − 3y 18 − 5y
=
4
2
Así, se obtiene una ecuación con una sola incógnita, en donde la variable x ha
sido eliminada. Se resuelve entonces la ecuación y tenemos:
22 − 3y 18 − 5y
=
4
2
2(22 – 3y) = 4(18 − 5y)
44 − 6y = 72 − 20y
14y = 28
y=
28
14
y=2
Este valor se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones por ejemplo en [1]
4x + 3(2) = 22
4x = 16
x=
16
4
x=4
Con lo que el sistema queda resuelto.
103
Reactivos de autoevaluación
Instrucciones: Selecciona la respuesta correcta:
1. Resuelve el sistema:
a) x = −1, y = −3
b) x = −1, y = 3
2. Resuelve el sistema:
a) x = −1, y = −2
[1] x + 4y = 13
c) x = 1, y = 3
[1] −x − y = 3
b) x = 1, y = −2
[2] 2x − y = –1
[2] x − y = 1
c) x = –1, y = 2
3. Resuelve el sistema:
[1] 5x − y = −9
[2] x − 5y = 3
a) x = −2, y = −1
b) x = 2, y = −1
c) x = −2, y = 1
4. Resuelve el sistema:
a) x = −3, y = 1
b) x = 3, y = 1
5. Resuelve el sistema:
a) x = 5, y = 0
[1] 3x − 2y = 7
[1] 7x + y = 5
b) x = −5, y = 0
[2] −4x + 6y = −6
c) x = −3, y = −1
[2] x − 3y = −15
c) x = 0, y = 5
Instrucciones: Relaciona las columnas anotando en el paréntesis el número de la opción
correcta.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Expresión que contiene una o más incógnitas:
Colección de m ecuaciones con n incógnitas:
Sistema con número infinito de soluciones:
Sistema de ecuaciones independientes que no
tienen solución en común:
Técnica visual para la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales:
Ecuación de primer grado:
Punto donde se cortan las rectas del sistema de
ecuaciones:
Método para comprobar la solución de un
sistema de ecuaciones:
La igualación de una estrategia de:
10. Ecuaciones independientes:
(
(
(
(
)
)
)
)
Ecuación lineal.
Sistema de ecuaciones.
Método gráfico.
Eliminación.
(
)
(
(
)
)
(
)
Sistema con ecuaciones
incompatibles.
Sustitución.
Ecuaciones que nos son
múltiplo entre sí.
Ecuación.
(
)
(
)
Sistema con ecuaciones
dependientes.
Solución del sistema.
Unida d IV. Siste ma s de ecuacione s line a le s y matr ice s
Glosario
Despeje: Conjunto de pasos algebraicos para hallar el valor de una incógnita.
Graficar: Realizar la representación de una ecuación en el eje cartesiano.
Cortar: En matemáticas se refiere al punto donde se intersectan las gráficas de
ecuaciones.
Múltiplo: Dos valores o dos ecuaciones son múltiplos si uno divide al otro de forma
exacta.
Eliminación: Estrategia empleada para hallar el valor de una incógnita en un sistema de ecuaciones.
Incógnita: En una ecuación, es el valor desconocido de una variable
Fuentes de información
Baldor, A. (2001). Álgebra. México: Publicaciones Cultural.
Grossman, S. (1998, 2a edición). Álgebra Lineal. México: Grupo Editorial Iberoamericana.
Swokowski, E. (1994). Álgebra Universitaria. México: CECSA.
Thompson, E. (1996). Álgebra. México: UTEHA
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